Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre funciones cuadráticas para estudiantes de segundo medio. Explica conceptos como la forma polinomial y canónica de funciones cuadráticas, y cómo calcular los puntos especiales como el vértice, eje de simetría e intersecciones con los ejes. Incluye ejemplos y ejercicios para que los estudiantes practiquen el cálculo y graficado de funciones cuadráticas.

1. GUÍA DE APRENDIZAJE Nº 11
ASIGNATURA: MATEMÁTICA
DOCENTE: ALEJANDRO QUINTEROS VARGAS
NIVEL: II° MEDIO
UNIDAD TEMA
UNIDAD 2 Función de Segundo Grado
NIVEL NIVEL 1
OBJETIVO DE
APRENDIZAJE
OA03: Mostrar que comprenden la función cuadrática de la forma:
f(x)= ax2 + bx + c (a ≠ 0)
ESTRATEGIA DE APRENDIZAJE:
Mostrar que comprenden la función Segundo Grado graficando, calculando e interpretando sus
puntos especiales desarrollando problemas de aplicación de la vida real siendo Organizadas.
INSTRUCCIONES:
Desarrolle los ejercicios y luego suba sus respuestas en documento con fotografías o documento
escaneado.
I. Función Cuadrática
1) Definición: Se define como función cuadrática a la ecuación que puede escribirse como:
𝒇( 𝒙) = 𝑨𝒙 𝟐
+ 𝑩𝒙 + 𝑪, 𝒄𝒐𝒏 𝑨 ≠ 𝟎; 𝑨, 𝑩 𝒚 𝑪 𝝐 ℝ
Las letras A, B y C se llaman coeficientes de la función; la letra x representa la variable
independiente (Dominio de la Función) y la expresión 𝒇( 𝒙) representa el valor obtenido al
reemplazar el valor de 𝒙 y calcular el valor de la expresión, siendo esta la variable
dependiente de la función (Recorrido de la Función) y pude ser reemplazado por la letra “y”,
así la expresión anterior puede quedar escrita como: 𝒚 = 𝑨𝒙 𝟐
+ 𝑩𝒙 + 𝑪, 𝒄𝒐𝒏 𝑨 ≠
𝟎; 𝑨, 𝑩 𝒚 𝑪 𝝐 ℝ.
Ejemplos de funciones Cuadráticas
a) 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 5𝑥 + 3 b) 𝑦 = −𝑥2
c) ℎ( 𝑡) = −8𝑡2
+ 60𝑡 d) 𝑓( 𝑥) = 2( 𝑥 − 3)2
+ 3
e) 𝑓( 𝑥) =
𝑥2
3
+ 5𝑥 + 3 f) 𝑦 = 1 − 2𝑡2

2. 2) Formas de la Función Cuadrática
Forma Polinomial Forma Canónica
𝒚 = 𝑨𝒙 𝟐
+ 𝑩𝒙 + 𝑪 𝒚 = 𝒂(𝒙 − 𝒉) 𝟐
+ 𝒌
3) Grafica de una Función Cuadrática:
La grafica de una función cuadrática se denomina “parábola”, y esta puede ser creciente o
decreciente.
El signo del coeficiente “A” en la función, nos indica el sentido
de la función:
Si A > 0; función Creciente o concavidad positiva
𝒚 = 𝒙 𝟐
Si A < 0; función Decreciente o concavidad negativa
𝒚 = −𝒙 𝟐
4) Elementos de la función Cuadrática
a) Vértice: corresponde al punto exacto donde la función cambia de sentido, es decir, si la
función va decreciendo, esta comienza a crecer.
El valor de la coordenada del vértice V(h,k), puede
ser calculado de dos formas.
a) Método 1:
𝑉 = (
−𝑏
2𝑎
,
4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎
)
b) Método 2:
𝑉 = (
−𝑏
2𝑎
, 𝑓 (
−𝑏
2𝑎
))
En este método, se evalúa la función en base al
valor obtenido en la posición x del par
ordenado.

3. Ejemplos de cálculo de posición del vértice de la función.
a) 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 5𝑥 + 3 Método 1:
𝑉 = (
−5
2 ∙ 1
;
4 ∙ 1 ∙ 3 − 52
4 ∙ 1
)
𝑉 = (
−5
2
;
12 − 25
4
)
𝑉 = (
−5
2
;
−13
4
)
Método 2:
Se calcula
𝑥 =
−𝑏
2𝑎
=
−5
2
Luego se evalúa la función en el punto obtenido,
reemplazando el valor de x, por el obtenido
anteriormente
𝑦 = 𝑓 (
−5
2
) = (
−5
2
)
2
+ 5 ∙
−5
2
+ 3
𝑦 =
25
4
+
−25
2
+ 3
𝑦 =
25 − 50 + 12
4
=
−13
4
Entonces el vértice es:
𝑉 = (
−5
2
;
−13
4
)
b) Eje de Simetría; corresponde a una línea recta, paralela al eje y, que divide a la parábola
en dos partes iguales.
Tiene como coordenadas al valor de x del vértice de la parábola:
𝑥 =
−𝑏
2𝑎

4. c) Intersección con los Ejes:
i) Intersección con el eje “x”, para poder calcular las coordenadas de intersección de la
parábola con el eje “x”, la función se iguala a “0” y se calcula como una ecuación de 2°.
Se debe tener en cuenta que al resolver una ecuación se pueden obtener 3 tipos de
resultados dependiendo del valor de la discriminante de la ecuación:
Δ = 𝑏2
− 4𝑎𝑐
- Si elvalor de ladiscriminante es igual
a 0, la función tendrá solo un punto
de intersección con el eje “x” y este
corresponderá a la coordenada del
Vértice.
𝑓(𝑥) = 𝑥2
Δ = −02
− 4 ∙ 1 ∙ 0 = 0
Toda función donde los coeficientes
B y C, sean iguales a 0 solo poseen 1
punto de intersección con el eje “x”
- Si el valor de la discriminante es
mayor que 0, la función tendrá 2
puntos de intersección con el eje
“x”, cuyas coordenadas
corresponderán al valor obtenido en
laresolución de la función igualadaa
0.
𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 5𝑥 + 6
Δ = (−5)2
− 4 ∙ 1 ∙ 6
Δ = 25 − 24 = 1
Se iguala a cero la función y se
resuelve como una ecuación normal
de 2°.
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = 0
( 𝑥 + 2)( 𝑥 + 3) = 0
𝑥 + 2 = 0 ∨ 𝑥 + 3 = 0
∴ 𝑥1 = −2 ∨ 𝑥2 = −3
Los puntos de intersección de la
función con el eje “x”, son:
𝐴(−2,0) 𝑦 𝐵(−3,0)

5. - Si el valor de la discriminante es
menor que 0, la función no tiene
puntos de intersección con el eje
“x”, ya que, al dar solución a la
ecuación, esta no tiene soluciones
Reales.
𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 5𝑥 − 7
Δ = (−5)2
− 4 ∙ 1 ∙ 7
Δ = 25 − 28 = −3
j) Intersección con el Eje “y”: para poder calcular la intersección de la función con el eje
“y”, solo debemos reemplazar la variable “x” por un 0 en la función y resolver.
𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 5𝑥 + 6
𝑓(0) = 02
+ 5 ∙ 0 + 6
𝑓(0) = 6
∴ 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 (0,6)
k) Relación de las raíces de la función y sus coeficientes:
Si sumamos el valor de las raíces (intersección con el eje “x”) de la función, obtenemos
lo siguiente:
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
Si multiplicamos el valor de las raíces de la función, obtenemos lo siguiente:
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
En base a estas relaciones, es posible obtener la función en base a sus soluciones.
Ejemplo: Sea 𝑥1 = −7 ∧ 𝑥2 = 2 𝑦 𝐶 = 28 , determine la función que corresponda.
−7 ∙ 2 =
28
𝑎
⇒ 𝑎 =
28
−14
= −2
−7 + 2 = −
𝑏
−2
⇒ 𝑏 = −5 ∙ 2 = −10
∴ 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠: 𝑓( 𝑥) = −2𝑥2
− 10𝑥 + 28

6. II. Ejercicios
1) En cada una de las siguientes funciones determine lo siguiente:
- Coordenadas del Vértice (1 pto)
- Concavidad (1 pto)
- Eje de Simetría (1 pto)
- Coordenadas de intersección con el Eje “x” e “y”. (1 pto)
- Grafique la función. (3 ptos)
a) y = x2 + 4x + 3 b) y = –x2 + 5x c) y = x2 – 6x + 5
d) y = –x2 + 2x + 24 e) y = –x2 + 6x + 16 f) y = 3x2 – 5x – 2
g) y = x2 + 5x h) y = 6x2 – 13x – 5 i) y = –3x2 – 5x – 6
j) y = x2 – 5 k) y = 3x2
+
3x
4
−
1
32
l) y =
3x2
2
+ 2𝑥 + 5
2) Dado las siguientes soluciones, determine la función que corresponde. (3 ptos c/u)
a) 𝑥1 =2
𝑥2 = 6
𝑐 =12
b) 𝑥1 = 4
𝑥2 = −2
𝑐 = -8
c) 𝑥1 = 3
𝑥2 = −3
𝑐 = 9
d) e) f)
Puntaje Total
93
Puntaje Obtenido
% Logro
% Logro Descripción
0% - 45% Tengo que pedir ayuda y poner empeño
45% - 60% Me falta más estudio, puedo mejorar
60% - 75 % Es suficiente, pero puedo ser mejor
75% - 100% He logrado el objetivo, pero siempre puedo aprender más.

7. AUTOEVALUACIÓN
Marca con una x en la columna que corresponda a cada afirmación.
Criterios No Logrado
Parcialmente
Logrado
Logrado
Reconozco una Función cuadrática
Puedo Calcular los puntos Especiales de la
Función
Puedo Graficar una Función Cuadrática
Busque información adicional NO SI
Pedí ayuda cuando la necesité NO SI
Desarrolle todos los ejercicios NO SI
Que conceptos algebraicos debo reforzar: