1. SUPERFICIES CURVAS DE REVOLUCIÓN: ESFERA. SECCIONES.
POSIBLES CASOS DE SECCIONES:
1. POR PLANOS PARALELOS A LOS DE PROYECCIÓN
Sección de una esfera por un plano frontal o uno horizontal: la sección siempre se ve en Verdadera Magnitud con
forma de CIRCUNFERENCIA apreciable en PV. ó P.H..
El diámetro de la sección lo dan los extremos 1 y 2 de la sección, en la proyección en que se ve como una
recta.
Tendremos que llevar esos puntos 1 y 2 sobre el diámetro paralelo a la línea de tierra en la otra proyección. Por lo
que el contorno de la circunferencia en una proyección viene determinado por el diámetro paralelo a la línea de
tierra en la otra proyección.
2. SECCIÓN DE LA ESFERA POR PLANOS PROYECTANTES (similar en Proyectante al PV.)
La sección también es una CIRCUNFERENCIA pero ahora no se verá en verdadera magnitud, sino como una
elipse en una proyección y como una recta en la otra.

2. Los puntos 1, 2 en los que P corta al perímetro de la esfera en P.H. tienen su proyección vertical 1’, 2’ en el
diámetro paralelo a L.T.. (son los extremos del eje menor de la elipse).
Hallar eje mayor de la elipse: Tomar el punto medio del segmento 1-2 (puedes hacerlo con una perpendicular
desde O). En este punto medio están 3 y 4, (extremos del eje mayor).
Para encontrar 3´,4´: hacer una sección por un plano frontal que contenga a estos puntos.Esa sección la hemos
visto antes y es simplemente una circunferencia con un radio hasta el punto a’. En esa circunferencia se
encuentran las proyecciones verticales 3’ y 4’.
Por último encontramos los puntos de tangencia de la elipse que se pueden ver en el diámetro paralelo a L.T. en
P.H.l. Es el punto T que tiene como proyecciones verticales los puntos T1 y T2.
Sección y su abatimiento:
3. SECCIÓN DE LA ESFERA POR PLANO OBLICUO
La sección de la esfera por P. oblicuo se realiza como siempre por cambio de plano,
colocando el plano de sección P como proyectante y a partir de ahí resolverlo como acabamos
de hacer.
*La esfera no es desarrollable, no se puede extender sobre un plano. Por lo que no hay
desarrollo ni transformada.

3. INTERSECCIÓN DE RECTAS CON ESFERA
Aunque con los cuerpos de revolución funciona igualmente el método general, te voy a dar a
continuación algunas ideas para evitar que tengas que encontrar la sección en forma de elipse o
parábola de uno de estos objetos.
Así trabajarás más rápido y con mayor precisión.
1. LA ESFERA
El caso de una recta horizontal o frontal es muy sencillo y se hace aplicando el método general.
Veamos una recta horizontal: utilizamos un plano horizontal P que la contiene y le hacemos su
correspondiente sección. Para encontrar la sección de este plano encontramos el punto 1’ en
que P’ corta al contorno de la esfera en proyección vertical. Este punto tiene su proyección
horizontal 1 en el diámetro paralelo a la línea de tierra. Con centro en O y radio O-1 trazamos una
circunferencia que es la sección del plano P sobre la esfera.
La intersección de r con esta circunferencia de sección da los 2 puntos de intersección i1 e i2
que tienen su proyección vertical en r’.
Bueno, este caso es sencillo. Vamos con una recta oblicua.
Para resolver la intersección de una recta oblicua con una esfera tenemos varias posibilidades:

4. 1. ENCONTRAR LA SECCIÓN ELÍPTICA QUE PRODUCE UN PLANO PROYECTANTE AUXILIAR.
Hay que introducir la recta en un plano proyectante P y encontrar la sección de este plano sobre
la esfera. La intersección de esta sección con la recta nos da los dos puntos de intersección.
Este es el método más impreciso y que menos recomiendo.

5. 2. ENCONTRAR LA SECCIÓN POR CAMBIO DE PLANO
En este caso introducimos igualmente la recta en un plano proyectante P, igual que antes, pero
ahora aplicamos un cambio de plano con el que veremos el plano P como frontal y la sección
que produce será una circunferencia. Así ganamos en precisión.
No olvides cambiar de plano también la recta.
En el cambio de plano, la sección que produce un plano frontal con la esfera es una
circunferencia. La intersección de esta circunferencia con la proyección r’’ de la recta da como
resultado los puntos i1’’ e i2’’. Al llevar estos sobre sus proyecciones correspondientes en r y r’
obtenemos el resultado, que, lógicamente coincide con el método anterior.

6. 3. RESOLVER MEDIANTE GIRO
Este es el método más rápido a la vez que preciso pero también posiblemente el que más
esfuerzo mental requiere.
Consiste en girar la recta R hasta colocarla como frontal R2. En este momento hacemos la
sección que produce un plano P frontal que contiene a R2 sobre la esfera, que será una
circunferencia vista en verdadera magnitud. La intersección de esta sección en forma de
circunferencia con la proyección vertical r2’ de la recta girada nos da los puntos de intersección
en el giro.
Para encontrar los puntos definitivos I1 e I2 solo hay que deshacer el giro.

7. PAU DE MADRID: EXAMEN MODELO DE DIBUJO TÉCNICO RESUELTO Y EXPLICADO
JUNIO 15, 2014
B2.- HALLAR LOS PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE LA RECTA R QUE PASA POR LOS PUNTOS O
Y P, CON LA ESFERA DE PROYECCIONES DADAS. INDICAR LAS PARTES VISTAS Y OCULTAS
DE LA RECTA.
Utilizaré para resolver este ejercicio un plano de perfil, ya que la recta que nos dan está de
canto.
En un plano de perfil, dibuja la tercera proyección de la esfera, que será una circunferencia con
el mismo radio y centro en O3. Este punto O3 se encuentra a la misma altura y sólo hay que
buscar la posición respecto al plano de perfil mediante el compás o ángulo de 45º.
Dibuja también la recta de perfil, que pasa por la Línea de Tierra (punto P) y por el centro de la
esfera.

8. Puesto que la recta pasa por el centro de la esfera, el plano vertical que la contenga producirá
una sección sobre la esfera con forma circular y con el mismo radio que la esfera. Es decir, la
corta por la mitad.
Los puntos de intersección A, B de la recta se ven directamente en el perfil sobre el contorno
de la esfera. Ahora sólo tienes que llevar las proyecciones a su posición original.

9. PARTES VISTAS Y OCULTAS
¿Qué partes de la recta están ocultas por la esfera y cuáles no?
Dentro de la esfera la recta siempre estará oculta. Por tanto, entre A y B siempre será
discontinua.
El punto B se encuentra en la mitad inferior y posterior de la esfera, por lo que tanto en
proyección horizontal como en vertical, el tramo desde el punto B hasta el contorno de la
esfera estará también oculto.
El punto A se sitúa en la mitad superior y anterior de la esfera. Tanto en proyección horizontal
como en vertical será visto.