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Chapitre 1
               Notions préliminaires
Master Informatique Décisionnelle et Intelligence appliquée à la gestion


                              Hend Bouziri
                      Maître Assistant, ESSEC de Tunis

                               LARODEC ISG
          Laboratoire de Recherche Opérationnelle, de DEcision et de
                            Contrôle de processus

                                                           1
Typologie de problèmes
• Problème de décision,
• Problème d’optimisation




                            2
Problème de décision
• Un problème de décision est défini par:
   – un nom,
   – des paramètres génériques,
   – une question.
• Exemples
   – Problème de CLIQUE
   – Graphe G=(S,A), 1<k<n=Card(S)
   – Existe t ’il une clique d’ordre k dans G?

   –   SAT
   –   N var. logiques xj
   –   k clauses Ck sur les xj
   –   Existe t’il une fonction de vérité telle que toutes les clauses
       soient vraies?



                                                         3
Problème SAT
• Boolean Satisfiability Problem
  – Le premier problème classé NP-complet
• Applications possibles
  – Diagnostic de systèmes
  – Cryptographie
• L’expression booléenne doit être une
  conjonction de clauses ;
  – les clauses sont représentées par des disjonctions de
    k variables (k-SAT)
• Exemple:
  – Pour N=3, k=2,
  – soit la fonction (expression) logique:
     • (v1∨v2)∧(¬v1∨v3)∧(¬v2∨v1)
     • Fonction satisfiable si v1=vrai,v2=faux et v3=vrai
                                                    4
Complexité du SAT
• Pour N=100,
  – taille espace de recherche = 2100≈1030!
• Evaluation de 1000 chaînes / sec ; 15
  milliards d’années pour évaluer moins de
  1% de l’espace.
• Attention!
  – k>2, problème NP-complet ;
  – k=2, Algorithme polynomial

                                        5
Problème d’optimisation
• Un problème d’optimisation
  – Encore appelé problème de programmation
    mathématique
  – consiste à trouver, parmi un ensemble donné,
    un élément :
          •   Qui peut être un vecteur de IRn un vecteur
              d’entiers, une fonction...
          •   minimisant ou maximisant une fonction
              donnée de cet ensemble sur IR.

                                          6
Pourquoi Optimiser?




                 7
Problème d’optimisation
• Dans tout problème d’optimisation on se
  doit de définir :
  – les variables
  – le ou les objectifs
  – les contraintes




                                8
Problème d’optimisation
• Problème d’optimisation continu: à
  variable continue
  – Chercher un optimum d’une fonction continue
     • Sans ou avec contraintes
     • Applications: physique,…
• Problème d’optimisation combinatoire:
  – ou problèmes discrets
  – les variables sont dénombrables

                                      9
Exemple d’applications industrielles
• Allocation de fréquences
•  Optimisation de réseaux téléinformatiques
•  Localisation d'entrepôts
•  Optimisation de tournées de
  distribution/ramassage
• Optimisation de chaînes de production
• Optimisation de planning/emplois du temps
• Gestion du trafic aérien/ferroviaire

                                     10
Problème d’optimisation
            combinatoire
• Tous les modèles sont des simplifications
  de la réalité.
• Problème ==> Modèle ==> Solution
• Exemple de problèmes d’OC
  – TSP
  – Sac à dos
  – ordonnancement
  – coloration de graphes

                                 11
Le problème de voyageur de
                  commerce
• Travelling Salesman Problem
• Étant donné:
   – un ensemble de villes
   – distance entre chaque paire de
     villes
• Trouver la distance du « tour
  minimum » qui commence et
  termine dans une ville donnée
• Le voyageur doit visiter toutes
  les villes exactement une fois.


                                      12
Remarque
• Version décisionnelle de TSP :
  – Étant donné un ensemble de villes, distance
    entre chaque paire de villes, et une borne B,
  – Existe-t-il un tour qui
    • commence et se termine dans une ville donnée,
    • Visite chaque ville exactement une seule fois
    • Admet une distance totale au plus égale à B?




                                        13
Complexité des problèmes
             combinatoire
• TSP  n villes ville=élément d’une permutation
• Taille de l’espace de recherche = n!
• Problème TSP symétrique :
    – dist(x,y)=dist(y,x)
•   TSP symétrique : n! / 2,
•   |S| = n!/2n = (n-1)! / 2 ; n>6 (TSP > SAT)
•   10 villes = 181 000 solutions
•   20 villes = 10 000 000 000 000 000 solutions
•   50 villes = 100 000 000 000 000 000 000 000
    000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
    000 000 solutions !!!
                                     14
Attention concernant la complexité
• Voir cours complexité
• On peut avoir un problème classé
  – NP-complet
  – qui admet des instances (ou des cas)
    « faciles ».




                                    15
Convexité
• Définition 1.1
   – Étant donné deux points de IRn, x et y. une
     combinaison de x et y est un point z donné par:
   – z=λx +(1-λ)y.
      ∀ λ est un réel entre 0 et 1.
   – Si λ différent de 0 et 1 alors z est dit une combinaison
     stricte de x et de y.
• Définition 1.2
   – Un ensemble S ⊆ IRn est convexe s’il contient toutes
     les combinaisons convexe des points x et y.
• Remarques: IRn est convexe, tout singleton est
  convexe, ∅ est convexe.
                                              16
Exemples d’ensembles convexes
• Dans IR1, tout intervalle est un ensemble
  convexe et tout ensemble convexe est un
  intervalle.
• Dans IR2




                                 17
Fonction convexe
• Soit S ⊆IRn un ensemble convexe,
• la fonction f:S →IR1 est dite convexe dans S si
  pour toute paire de points x et y de S, on a:
• f(λx +(1-λ)y) ≤ λf(x) +(1-λ)f(y)
    λ ∈ IR1 et 0≤λ≤1.
• Si S=IRn, on dit simplement que f est convexe.
• Exemple:
  – Toute fonction linéaire est convexe dans tout
    ensemble convexe S.
• Remarque:
  – Une fonction qui n’est pas convexe est concave.

                                           18
Représentation graphique
• Intuitivement, une
  fonction convexe
  admet l’allure
  suivante:
• Ici c:[0,1]⊆IR→IR
• La condition de
  convexité implique
  que graphiquement
  tjs la « corde» se
  situe au dessus de la
  fonction.
                          19
• Exemple:
• Une classe importante
   des problèmes            • La fonction c(x) définit
   d’optimisations concerne   sur [0,1] est convexe
   la minimisation de         et admet plusieurs
   fonctions convexes sur     optimima locaux mais
   des ensembles convexes     tous globaux
 • Dans de tels problèmes :
         optimum local
               =
       optimum global.


                                         20
Instance d’un problème
            d’optimisation
• Un problème d’optimisation est un
  ensemble d’instances du problème.
• Informellement:
  – une instance est donnée par un ensemble de
    donnée (en input) et suffisamment de
    données pour formuler une solution
  – Un problème est une collection d’instances
    générées de la même manière.


                                   21
• Résoudre un problème (plus précisément
  une instance du problème)
• consiste à trouver une (ou plusieurs)
  solution s* ∈ X optimisant la valeur de la
  fonction de coût f.
• Une telle solution s* s'appelle une solution
  optimale ou un optimum global.


                                   22
Optimum global - optimum local




                      23
Instance de problème
     d’optimisation combinatoire
• Un problème d’optimisation est défini par un
  ensemble d’instances
• A chaque instance d’un problème d’optimisation
  combinatoire est associé :
  – un ensemble discret de solutions S (espace de
    recherche),
  – un sous-ensemble X de S représentant les solutions
    admissibles (réalisables)
  – et une fonction de coût f (ou fonction objectif) qui
    assigne à chaque solution s∈ X le nombre réel (ou
    entier) f(s).

                                           24
Plus formellement
• Une instance I d'un problème de
  minimisation est un couple (X, f) où:
  – X⊆ S est un ensemble fini de solutions
    admissibles, et f une fonction de coût à
    minimiser.
  – f : X → R. Le problème est de trouver s* ∈ X
    tel que f(s*) ≤ f(s) pour tout élément s ∈ X.
• N.b: d’une manière similaire on peut
  définir un problème de maximisation en
  remplaçant ≤ par ≥.
                                      25
Définition encore plus formelle
• Un problème d’optimisation (minimisation)
  P=(S,f) est donné par:
  Minimiser f(s) (fonction à minimiser)
  Avec gi(s) ≤ 0, i=1..m (contraintes d’inégalités)
        hj(s)=0, j=1…p (contraintes d’égalité)
  – Avec f, g et h fonctions dans IRn.




                                         26
• Si f est concave, g est convexe et h est
  linéaire alors on parle d’un problème de
  programmation convexe.
• Pour un problème de programmation
  convexe optimum local=optimum global




                                 27
Problème de programmation
             linéaire
• Si f, g, h sont fonctions linéaires, on parle
  de problème de programmation linéaire.
• Chaque problème dans cette classe est
  réduit à la sélection d’une solution parmi
  un ensemble fini de solutions possibles.
• Ce problème est alors de type
  combinatoire


                                    28
Programmation linéaire en 0-1
• Exemple: Problème de sac à dos
• Définissant pour chaque objet une variable de
  décision binaire
  – xi= 1 si l’objet i est retenu
  – xi= 0 sinon
• Déterminer une sélection optimale:
  – Max Σcixi
  – Sous Σvixi≤ b (volume ou poids du sac)
• Plusieurs applications réelles
• Pb: Comment modéliser?
                                             29
Modélisation: Contraintes
• La plupart des problèmes réels possèdent des
  contraintes.
• Exemple : Problème d’emploi du temps :
• Liste des cours, classes, étudiants / classe, professeur /
  classe, salles disponibles, taille des salles, logistique des
  salles (vidéo, …).
• Exemple de contraintes :
   – Toute classe doit être affectée à une salle disponible avec un
     nombre de places suffisant et des facilités requises,
   – Les étudiants affectés à plusieurs classes ne doivent pas être
     affectés au même temps.
   – Les professeurs ne doivent pas être affecté à des cours en
     parallèle.

                                                     30
Exemple: Le problème de voyageur
          de commerce
• Dans une instance du problème TSP
  – Données (input):
    • n>0 (entier) nombre de villes,
    • Les distances entre toutes paires de villes (matrice
      de dimension n×n.
  – Un tour est un cycle (chemin fermé) qui passe
    une et une seule fois par chaque ville (et donc
    revient à la ville de départ) →contraintes


                                           31
Modélisation: Objectif
• Enjeux économique,
  performance,..
• Dans un problème
  d’affectation de fréquences,
  plusieurs objectifs:
  – Min Nombre de sites (coût)
  – Min Interférences
  – Max Trafic écoulé

                                 32
Classification des méthodes de
              résolution

• Algorithmes évaluant des solutions
  complètes
• Algorithmes évaluant des solutions
  partielles (incomplète, problème réduit)
• Algorithmes exacts
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                                  33

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  • 1. Chapitre 1 Notions préliminaires Master Informatique Décisionnelle et Intelligence appliquée à la gestion Hend Bouziri Maître Assistant, ESSEC de Tunis LARODEC ISG Laboratoire de Recherche Opérationnelle, de DEcision et de Contrôle de processus 1
  • 2. Typologie de problèmes • Problème de décision, • Problème d’optimisation 2
  • 3. Problème de décision • Un problème de décision est défini par: – un nom, – des paramètres génériques, – une question. • Exemples – Problème de CLIQUE – Graphe G=(S,A), 1<k<n=Card(S) – Existe t ’il une clique d’ordre k dans G? – SAT – N var. logiques xj – k clauses Ck sur les xj – Existe t’il une fonction de vérité telle que toutes les clauses soient vraies? 3
  • 4. Problème SAT • Boolean Satisfiability Problem – Le premier problème classé NP-complet • Applications possibles – Diagnostic de systèmes – Cryptographie • L’expression booléenne doit être une conjonction de clauses ; – les clauses sont représentées par des disjonctions de k variables (k-SAT) • Exemple: – Pour N=3, k=2, – soit la fonction (expression) logique: • (v1∨v2)∧(¬v1∨v3)∧(¬v2∨v1) • Fonction satisfiable si v1=vrai,v2=faux et v3=vrai 4
  • 5. Complexité du SAT • Pour N=100, – taille espace de recherche = 2100≈1030! • Evaluation de 1000 chaînes / sec ; 15 milliards d’années pour évaluer moins de 1% de l’espace. • Attention! – k>2, problème NP-complet ; – k=2, Algorithme polynomial 5
  • 6. Problème d’optimisation • Un problème d’optimisation – Encore appelé problème de programmation mathématique – consiste à trouver, parmi un ensemble donné, un élément : • Qui peut être un vecteur de IRn un vecteur d’entiers, une fonction... • minimisant ou maximisant une fonction donnée de cet ensemble sur IR. 6
  • 8. Problème d’optimisation • Dans tout problème d’optimisation on se doit de définir : – les variables – le ou les objectifs – les contraintes 8
  • 9. Problème d’optimisation • Problème d’optimisation continu: à variable continue – Chercher un optimum d’une fonction continue • Sans ou avec contraintes • Applications: physique,… • Problème d’optimisation combinatoire: – ou problèmes discrets – les variables sont dénombrables 9
  • 10. Exemple d’applications industrielles • Allocation de fréquences • Optimisation de réseaux téléinformatiques • Localisation d'entrepôts • Optimisation de tournées de distribution/ramassage • Optimisation de chaînes de production • Optimisation de planning/emplois du temps • Gestion du trafic aérien/ferroviaire 10
  • 11. Problème d’optimisation combinatoire • Tous les modèles sont des simplifications de la réalité. • Problème ==> Modèle ==> Solution • Exemple de problèmes d’OC – TSP – Sac à dos – ordonnancement – coloration de graphes 11
  • 12. Le problème de voyageur de commerce • Travelling Salesman Problem • Étant donné: – un ensemble de villes – distance entre chaque paire de villes • Trouver la distance du « tour minimum » qui commence et termine dans une ville donnée • Le voyageur doit visiter toutes les villes exactement une fois. 12
  • 13. Remarque • Version décisionnelle de TSP : – Étant donné un ensemble de villes, distance entre chaque paire de villes, et une borne B, – Existe-t-il un tour qui • commence et se termine dans une ville donnée, • Visite chaque ville exactement une seule fois • Admet une distance totale au plus égale à B? 13
  • 14. Complexité des problèmes combinatoire • TSP  n villes ville=élément d’une permutation • Taille de l’espace de recherche = n! • Problème TSP symétrique : – dist(x,y)=dist(y,x) • TSP symétrique : n! / 2, • |S| = n!/2n = (n-1)! / 2 ; n>6 (TSP > SAT) • 10 villes = 181 000 solutions • 20 villes = 10 000 000 000 000 000 solutions • 50 villes = 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 solutions !!! 14
  • 15. Attention concernant la complexité • Voir cours complexité • On peut avoir un problème classé – NP-complet – qui admet des instances (ou des cas) « faciles ». 15
  • 16. Convexité • Définition 1.1 – Étant donné deux points de IRn, x et y. une combinaison de x et y est un point z donné par: – z=λx +(1-λ)y. ∀ λ est un réel entre 0 et 1. – Si λ différent de 0 et 1 alors z est dit une combinaison stricte de x et de y. • Définition 1.2 – Un ensemble S ⊆ IRn est convexe s’il contient toutes les combinaisons convexe des points x et y. • Remarques: IRn est convexe, tout singleton est convexe, ∅ est convexe. 16
  • 17. Exemples d’ensembles convexes • Dans IR1, tout intervalle est un ensemble convexe et tout ensemble convexe est un intervalle. • Dans IR2 17
  • 18. Fonction convexe • Soit S ⊆IRn un ensemble convexe, • la fonction f:S →IR1 est dite convexe dans S si pour toute paire de points x et y de S, on a: • f(λx +(1-λ)y) ≤ λf(x) +(1-λ)f(y) λ ∈ IR1 et 0≤λ≤1. • Si S=IRn, on dit simplement que f est convexe. • Exemple: – Toute fonction linéaire est convexe dans tout ensemble convexe S. • Remarque: – Une fonction qui n’est pas convexe est concave. 18
  • 19. Représentation graphique • Intuitivement, une fonction convexe admet l’allure suivante: • Ici c:[0,1]⊆IR→IR • La condition de convexité implique que graphiquement tjs la « corde» se situe au dessus de la fonction. 19
  • 20. • Exemple: • Une classe importante des problèmes • La fonction c(x) définit d’optimisations concerne sur [0,1] est convexe la minimisation de et admet plusieurs fonctions convexes sur optimima locaux mais des ensembles convexes tous globaux • Dans de tels problèmes : optimum local = optimum global. 20
  • 21. Instance d’un problème d’optimisation • Un problème d’optimisation est un ensemble d’instances du problème. • Informellement: – une instance est donnée par un ensemble de donnée (en input) et suffisamment de données pour formuler une solution – Un problème est une collection d’instances générées de la même manière. 21
  • 22. • Résoudre un problème (plus précisément une instance du problème) • consiste à trouver une (ou plusieurs) solution s* ∈ X optimisant la valeur de la fonction de coût f. • Une telle solution s* s'appelle une solution optimale ou un optimum global. 22
  • 23. Optimum global - optimum local 23
  • 24. Instance de problème d’optimisation combinatoire • Un problème d’optimisation est défini par un ensemble d’instances • A chaque instance d’un problème d’optimisation combinatoire est associé : – un ensemble discret de solutions S (espace de recherche), – un sous-ensemble X de S représentant les solutions admissibles (réalisables) – et une fonction de coût f (ou fonction objectif) qui assigne à chaque solution s∈ X le nombre réel (ou entier) f(s). 24
  • 25. Plus formellement • Une instance I d'un problème de minimisation est un couple (X, f) où: – X⊆ S est un ensemble fini de solutions admissibles, et f une fonction de coût à minimiser. – f : X → R. Le problème est de trouver s* ∈ X tel que f(s*) ≤ f(s) pour tout élément s ∈ X. • N.b: d’une manière similaire on peut définir un problème de maximisation en remplaçant ≤ par ≥. 25
  • 26. Définition encore plus formelle • Un problème d’optimisation (minimisation) P=(S,f) est donné par: Minimiser f(s) (fonction à minimiser) Avec gi(s) ≤ 0, i=1..m (contraintes d’inégalités) hj(s)=0, j=1…p (contraintes d’égalité) – Avec f, g et h fonctions dans IRn. 26
  • 27. • Si f est concave, g est convexe et h est linéaire alors on parle d’un problème de programmation convexe. • Pour un problème de programmation convexe optimum local=optimum global 27
  • 28. Problème de programmation linéaire • Si f, g, h sont fonctions linéaires, on parle de problème de programmation linéaire. • Chaque problème dans cette classe est réduit à la sélection d’une solution parmi un ensemble fini de solutions possibles. • Ce problème est alors de type combinatoire 28
  • 29. Programmation linéaire en 0-1 • Exemple: Problème de sac à dos • Définissant pour chaque objet une variable de décision binaire – xi= 1 si l’objet i est retenu – xi= 0 sinon • Déterminer une sélection optimale: – Max Σcixi – Sous Σvixi≤ b (volume ou poids du sac) • Plusieurs applications réelles • Pb: Comment modéliser? 29
  • 30. Modélisation: Contraintes • La plupart des problèmes réels possèdent des contraintes. • Exemple : Problème d’emploi du temps : • Liste des cours, classes, étudiants / classe, professeur / classe, salles disponibles, taille des salles, logistique des salles (vidéo, …). • Exemple de contraintes : – Toute classe doit être affectée à une salle disponible avec un nombre de places suffisant et des facilités requises, – Les étudiants affectés à plusieurs classes ne doivent pas être affectés au même temps. – Les professeurs ne doivent pas être affecté à des cours en parallèle. 30
  • 31. Exemple: Le problème de voyageur de commerce • Dans une instance du problème TSP – Données (input): • n>0 (entier) nombre de villes, • Les distances entre toutes paires de villes (matrice de dimension n×n. – Un tour est un cycle (chemin fermé) qui passe une et une seule fois par chaque ville (et donc revient à la ville de départ) →contraintes 31
  • 32. Modélisation: Objectif • Enjeux économique, performance,.. • Dans un problème d’affectation de fréquences, plusieurs objectifs: – Min Nombre de sites (coût) – Min Interférences – Max Trafic écoulé 32
  • 33. Classification des méthodes de résolution • Algorithmes évaluant des solutions complètes • Algorithmes évaluant des solutions partielles (incomplète, problème réduit) • Algorithmes exacts • Algorithmes approximatifs. 33