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Mesures radar

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MESURE PAR RADAR METEOROLOGIQUE

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Mesures par radar
Mars 20092009
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Radars de précipitations
Ces radars utilisent des ondes centimétriques sensibles aux gouttes d’eau
Bande S C X
Fréquence f 3 GHz 6 GHz 10.6 GHz
Longueur d’onde
λ
10 cm 5 cm 2.5 cm
Bande S : zone où il y a risque de fortes pluies
Bande C : zones tempérées
Bande X : observation locale, étude, très bonne réflectivité mais forte atténuation par les RR
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GénéralitésGénéralités
• Un radar permet de faire de la télédétection ; détection de cibles,
mesure à distance. Cela est différent de la télémesure, terme plus
ancien qui consiste à placer un capteur dans un endroit et de
récupérer les données à distance (mesure in situ avec transmission
de données).
• RADAR : Radio Detection And Ranging (Détection par ondes radio-
électriques et mesure relative à la distance)
• Un radar permet donc de détecter une cible et d’évaluer la distance
de cette cible par rapport au dispositif de télédétection.
• Les premiers radars ont été conçus et développés en Angleterre au
début de la 2éme guerre mondiale. Les premiers essais ont eu lieu
en 1941 dans la baie de Cardingam (bataille d’Angleterre), il
s’agissait alors de repérer les avions allemands.
6
Principes du radar météorologiquePrincipes du radar météorologique
• Un radar météorologique est un radar à impulsions, c'est-à-dire qu'il émet
des impulsions de très courte durée suivi d'un temps mort beaucoup plus
long pour « écouter » les échos de retour venant des précipitations.
• On peut ainsi repérer la position, l'intensité et le déplacement de ces
dernières. On peut même tirer le type du signal retourné, si on sait quelles
variables de l'écho analyser.
• Émission d’une onde électromagnétique pulsée :

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Mesures radar

  • 2. 2
  • 3. 3 Radars de précipitations Ces radars utilisent des ondes centimétriques sensibles aux gouttes d’eau Bande S C X Fréquence f 3 GHz 6 GHz 10.6 GHz Longueur d’onde λ 10 cm 5 cm 2.5 cm Bande S : zone où il y a risque de fortes pluies Bande C : zones tempérées Bande X : observation locale, étude, très bonne réflectivité mais forte atténuation par les RR
  • 4. 4
  • 5. 5 GénéralitésGénéralités • Un radar permet de faire de la télédétection ; détection de cibles, mesure à distance. Cela est différent de la télémesure, terme plus ancien qui consiste à placer un capteur dans un endroit et de récupérer les données à distance (mesure in situ avec transmission de données). • RADAR : Radio Detection And Ranging (Détection par ondes radio- électriques et mesure relative à la distance) • Un radar permet donc de détecter une cible et d’évaluer la distance de cette cible par rapport au dispositif de télédétection. • Les premiers radars ont été conçus et développés en Angleterre au début de la 2éme guerre mondiale. Les premiers essais ont eu lieu en 1941 dans la baie de Cardingam (bataille d’Angleterre), il s’agissait alors de repérer les avions allemands.
  • 6. 6 Principes du radar météorologiquePrincipes du radar météorologique • Un radar météorologique est un radar à impulsions, c'est-à-dire qu'il émet des impulsions de très courte durée suivi d'un temps mort beaucoup plus long pour « écouter » les échos de retour venant des précipitations. • On peut ainsi repérer la position, l'intensité et le déplacement de ces dernières. On peut même tirer le type du signal retourné, si on sait quelles variables de l'écho analyser. • Émission d’une onde électromagnétique pulsée :
  • 7. 7
  • 8. 8 • L’onde émise se propage a priori de manière isotrope, c’est-à-dire dans toutes les directions. • Cependant, on aura tendance à privilégier une direction particulière dans laquelle on va concentrer la puissance du signal. • Pour ce faire, on utilise un dispositif directionnel : une antenne. Le plus souvent cette antenne est de forme parabolique. • En effet, en émettant au foyer d’une parabole infinie, on obtient un faisceau unidirectionnel. En réalité, suivant la taille de l’antenne, le faisceau est plus ou moins divergent. Parabole infinie Parabole finie faisceau ± divergent
  • 9. 9 Trajectoire, hauteur du faisceau radarTrajectoire, hauteur du faisceau radar et volume sondéet volume sondé • Une impulsion est produite par un oscillateur (magnétronmagnétron, klystronklystron ou autre) électronique. • Elle est envoyé à travers un tube guide d’ondetube guide d’onde à une antenne parabolique qui l’émet vers la précipitation. • Chaque impulsion a une certaine largeur qui dépend des caractéristiques de l'antenne et une certaine profondeur qui dépend du temps qu'elle dure (l’ordre de la microsecondemicroseconde).
  • 10. 10 Hauteur du faisceau (m) Angle d’élévation Largeur du faisceau Variation de la hauteur et de la largeur du faisceau en fonction de la distance
  • 11. 11 Trajectoire , hauteur du faisceau radarTrajectoire , hauteur du faisceau radar et volume sondéet volume sondé
  • 12. 12 Volume sondéVolume sondé Ainsi, une impulsion sonde un volume de l'atmosphère qui augmente avec la distance au radar comme h : largeur de l'impulsion, r : la distance au radar Θ : l'angle d’ouverture du faisceau Hauteur du faisceau radarHauteur du faisceau radar
  • 13. 13 Composantes d'un radar monostatique)Composantes d'un radar monostatique)
  • 14. 14 Un radar est formé de différentes composantes: • L'émetteur qui génère l'onde radio. Sur les radars à hyperfréquences (fréquences supérieures au gigahertz), c'est un guide d'onde qui amène l'onde vers l'antenne. • Le duplexeur, un commutateur électronique, dirige l'onde vers l'antenne lors de l'émission ou le signal de retour depuis l'antenne vers le récepteur lors de la réception quand on utilise un radar monostatique. Il permet donc d'utiliser la même antenne pour les deux fonctions. Il est primordial qu'il soit bien synchronisé, puisque la puissance du signal émis est de l'ordre du mega-watt ce qui est trop important pour le récepteur qui, lui, traite des signaux d'une puissance de l'ordre de quelques nano- watts. Au cas où l'impulsion émise serait dirigée vers le récepteur, celui-ci serait instantanément détruit. • L'antenne dont le rôle est de diffuser l'onde électromagnétique vers la cible avec le minimum de perte. Sa vitesse de déplacement, rotation et/ou balancement, ainsi que sa position, en élévation comme en azimut, sont asservies, soit mécaniquement, mais parfois aussi électroniquement. L'antenne est sollicitée tant en émission qu'en réception. Ces deux fonctions peuvent être cependant séparées entre deux antennes dans le cas de radars multistatiques. • Le récepteur qui reçoit le signal incident (cible - antenne - guide d'ondes - duplexeur), le fait émerger des bruits radios parasites, l'amplifie, le traite; • Un étage de traitement de signal permettant de traiter le signal brut afin d'en extraire des données utiles à l'opérateur (détection, suivi et identification de cible; extraction de paramètres météorologiques, océanographiques, etc.). Le tout est contrôlé par le système électronique du radar, programmé selon un logiciel de sondage. Les données obtenues sont alors affichées aux utilisateurs.
  • 15. 15 • Dans l’air, milieu peu dense, on suppose que l’on a une propagation quasiment sans atténuation, à la vitesse c (vitesse de propagation d’une onde dans le vide). • Quand l’onde rencontre de la matière, il peut se produire une interaction onde/matière : l’onde est réfléchie et repart dans la même direction en sens opposé et à la même vitesse. Cible : ensemble de gouttes d’eau ou de glace
  • 16. 16 Quelle relation peut-on écrire ?Quelle relation peut-on écrire ? c r t c r tt 22 0 =∆⇔+= t0 : moment de l’émission du signal t : retour du signal réfléchi r : distance radiale (de la cible au radar ) c : vitesse de propagation de l’onde On peut surtout connaître à l’aide cette expression la distance de la cible au radar : 2 tc r ∆ =
  • 17. 17 Échos reçusÉchos reçus • Les échos reçus par les radaristes ne sont pas le seul fait des avions. Ainsi, on peut rencontrer des échos de sol qui rendent « aveugles » les radars de par la puissance des échos reçus. • Ils proviennent de l’interception entre le faisceau d’onde et une forme topographique ou de bâtiments proéminente. On les rencontre également lors dune propagation anormale qui le rabat vers le sol. • On trouve également des échos dus aux précipitations (les orages constituent une barrière à la propagation du faisceau), des échos d’anges (échos de turbulence en ciel clair) et de manière anecdotique des échos d’origine animale (migration des oiseaux ou insectes). • La cible qui permet de recevoir des échos est constituée d’un ensemble de gouttes d’eau. Lorsque l’on émet un faisceau d’une puissance de quelques 100 kW, on en reçoit que quelques µW.
  • 18. 18 Éléments et fonctionsÉléments et fonctions Moteurs Moteurs
  • 19. 19 Les gammes d’émissionLes gammes d’émission
  • 20. 20 Les gammes d’émissionLes gammes d’émission • L’interaction entre les ondes électromagnétiques et les gouttes d’eau ne se fait pas avec la même efficacité à toutes les fréquences. • Les 3 types de fréquences les plus utilisées BandeBande SS CC XX FréquenceFréquence 3 GHz 6 GHz 10 GHz Longueur d’ondeLongueur d’onde 10 cm 5 cm 3 cm
  • 21. 21 La bande XLa bande X (λ=2.5 cm) • Très courte longueur d’onde • Excellente détection : la quasi-totalité de l’onde est réfléchie • Les revers de la médaille : un train peut en cacher un autre … • Si une deuxième ligne d’orage se situe derrière la première, on ne la détecte pas (le radar est « aveuglé » par la première bande orageuse). • Par rapport aux autres, c’est un radar faible coût. En effet, pour avoir un faisceau le plus concentré possible, il faut : • Soit utiliser un aérien de grande dimension ( on s’approche de la parabole infinie) • Soit utiliser une longueur d’onde faible car θ l’angle d’ouverture du faisceau est proportionnel à λ². • De fait, plus λ est grand, plus la dimension de l’antenne doit être importante pour avoir un faisceau fin. Pour un λ=3cm, on trouve des aériens (antenne du radar) d’un mètre de diamètre. • Mais pour la météo synoptique, il faut être capable de voir derrière une ligne de grain : on utilise alors des longueurs d’ondes moins rétrodiffusées qui pourront partiellement traverser les précipitations de premier plan. On utilise donc la bande S
  • 22. 22 La bande SLa bande S (λ=10 cm) • Bande utilisée sous les tropiques et sur l’arc méditerranéen. • Inconvénients : écho faible (moins d’interaction onde/gouttes) • Bruit atmosphérique et électronique important par rapport au signal utile rétrodiffusé. • Solution : émettre plus de puissance • Optimiser le rapport signal/bruit • Construire un aérien de plusieurs mètres de diamètre mais difficile à concevoir :  (+ lourd, +rigide, nécessité de produire une parabole exacte)  nécessité d’un moteur plus puissant pour faire tourner l’ensemble  résistance plus importante face au vent. • On vent de voir les deux cas extrêmes. Dans un souci de recherche d’un meilleur rapport qualité/prix, on a opté en métropole pour l’utilisation de radars en bande S La bande CLa bande C (λ= 5 cm) Bon compromis entre les deux autres bandes de longueurs d’ondes.
  • 23. 23 Équation radar dans le cas des précipitationsÉquation radar dans le cas des précipitations 2 182 2 23 10 2ln1024 r ZKhGP p bbt r − ⋅⋅= λ φθπ
  • 24. 24 Équation simplifiée du radarÉquation simplifiée du radar . Puissance reçue :
  • 25. 25 Réflectivité :Réflectivité : • En optique, la réflectivité est la réflectance (le rapport de l'énergie réfléchi sur la puissance incidente, généralement en décibel ou pourcentage) à la surface d'un matériau d'une épaisseur telle que le facteur de réflexion ne change pas lorsqu'on augmente cette épaisseur. Ce concept est très utilisé en télécommunications et en radar. • La réflection peut être subdivisée en réflectance diffuse (de Beer-Lambert) et réflectance spéculaire ou miroitante. • La réflectance efficace pour une surface idéale de Lambert est indépendant de l'angle de vision de l'observateur (loi de Rayleigh). • La réflectance spéculaire est quant à elle très dépendante de l'angle de vision étant maximale dans la direction du faisceau incident et à son opposée (théorie de Mie). La plupart des objets ont un mélange de ces deux types de réflectance.
  • 26. 26 Équation simplifiée du radarÉquation simplifiée du radar . valable pour l’eau liquide n(D) représente le nombre de diamètre de goutte par unité de volume et par mm. D6 : La réflectivité augmente en puissance 6 du diamètre de la goutte. Il en découle que les grosses gouttes sont facilement détectables et que la réflectivité dépend aussi du nombre de goutte dans le volume considéré. Exemples : Z = 0.00 mm6 /m3 pour du brouillard Z = 50 00 000 mm6 /m3 pour une grêle importante Remarque : dans un nuage et dans un échantillon de mesure nuageuse, on peut trouver de l’ordre de 109 à 1012 gouttelettes.
  • 27. 27 Exemple, prenons deux types de concentration nuageuses différentes • 1) 1000 gouttes de diamètre d • 2) 1 goutte de diamètre D=10d Remarque : égal à En utilisant l’équation dDDDnZ ∫ ∞ = 0 6 ).( on remarque que dans le cas  1) la réflectivité est proportionnelle à 1000 d6  2) la réflectivité est proportionnelle à 106 d6 . Ainsi - La réflectivité dépend du diamètre de la cible - Les plus grosses gouttes sont plus réflectives que les fines gouttes. Cela est intéressant car on cherche à repérer les précipitations et non les gouttelettes de brouillard par exemple. 1000= d D Z Z
  • 28. 28 Mesure de la hauteur de précipitationMesure de la hauteur de précipitation grâce à la réflectivité radargrâce à la réflectivité radar  L' échoécho reçu par un radar météorologique permet de mesurer : • l'orientation, • l'éloignement • et l'altitude auxquels se localise, par rapport au site radar la précipitationprécipitation ayant provoqué la rétrodiffusionrétrodiffusion du rayonnement électromagnétiquerayonnement électromagnétique émis depuis ce site  L' échoécho reçu par un radar météorologique permet d’évaluer : • en même temps l'intensitéintensité de la précipitation (appelée aussi abusivement l'intensité de la pluie ), c'est-à-dire le nombre RR égal à la hauteur dehauteur de précipitationprécipitation recueillie par unité de temps.
  • 29. 29 • La précipitation se compose d'un très grand nombre de particules (ce peut être suivant les cas des gouttelettes, des grêlons , des flocons de neige ... ) • Chaque particule renvoie vers le radar, par réflexion diffuseréflexion diffuse , une faible part de l' énergie radianteénergie radiante reçue ; • Cette part dépend de divers facteurs :  la longueur d'ondelongueur d'onde du rayonnementrayonnement radar  les propriétés physiques de la particule, dont son indice de réfractionindice de réfraction  sa forme  et sa taille LA REFLEXION DIFFUSE EST PROPORTIONNELLE AU CARRE DE SON VOLUME, DONC A LA SIXIEME PUISSANCE DE SON DIAMETRE
  • 30. 30 • Si l'on connaît la répartition statistique du nombre de particules de précipitation en fonction de leur diamètre, dite "répartition"répartition granulométrique"granulométrique", on peut dès lors en déduire la réflectivitéréflectivité radar de la précipitation • Autrement dit, pour la "cible" que constitue un volume unité dans l'air où se produit cette précipitation, on en déduit la part ZZ de l'énergie radiante reçue qui est rétrodiffusée vers le radar • Diverses formules de répartition granulométrique relatives aux précipitations de pluie ou de glace ont été proposées à ce sujet : la plus couramment employée est la distribution de Marshall-Palmerdistribution de Marshall-Palmer • Cette distribution suppose une diminution exponentielle du nombre de gouttes de pluie comprises par leur taille dans un petit intervalle donné de variation autour d'un diamètre lorsque ce dernier augmente.
  • 31. 31 Réflectivité (en décibel ou dBZ)Réflectivité (en décibel ou dBZ) La distribution des gouttes de pluie ou granulométrie de la pluie est la répartition du nombre de gouttes de pluie selon leur diamètre (D). En effet, trois processus contribuent à la formation des gouttes: – la condensation de vapeur d'eau sur une goutte, – l'accrétion de petites gouttes sur de plus grosses – et les collisions entre gouttes de taille similaire. Selon le temps passé dans le nuage, le mouvement vertical dans celui-ci et la température ambiante, on aura donc des gouttes qui auront une histoire très variée et une distribution de diamètres qui va de quelques dizaines de micromètres à quelques millimètres.
  • 32. 32 DéfinitionDéfinition • En général, on représente cette distribution comme une fonction gamma tronquée, entre un diamètre nul et un diamètre maximum puisque les gouttes ne peuvent grossir indéfiniment: Distribution générale = • L'étude la plus connue sur le sujet est celle de Marshall et Palmer faite à l'Université McGill de Montréal. Ils ont trouvé une distribution des gouttes dans la pluie stratiforme dont le μ = 0, ce qui revient à une distribution exponentielle: Distribution Marshall-Palmer =
  • 33. 33 • Comme les différentes précipitations (pluie, neige, grésil, etc.) et les différents types de nuages qui les produisent varient dans le temps et l'espace, les coefficients de la fonction de distribution des gouttes vont varier avec chaque situation. • La relation de Marshall-Palmer est encore celle la plus citée mais il faut se rappeler qu'elle est une moyenne de nombreux événements de pluie stratiforme dans les latitudes moyennes.
  • 34. 34 MesureMesure • Les premières mesures de cette distribution ont été faites de façon assez rudimentaires par Palmer, l'étudiant de Marshall, en exposant un carton recouvert de farine à la pluie durant une courte période. • La marque laissée par chaque goutte étant proportionnelle à son diamètre, il put déterminer la distribution en comptant le nombre de marques correspondant à chaque grosseur de goutte. Ceci se passait immédiatement après la Seconde guerre mondiale. • Différents appareils ont été développés pour obtenir cette distribution de façon plus exacte:  Disdromètre  Profileur de vents
  • 35. 35
  • 36. 36 • Le disdromètreLe disdromètre est un appareil destiné à mesurer individuellement le diamètre des gouttes qui tombent sur son cône. Le principe de cet appareil repose sur la mesure du choc individuel de chaque goutte sur un cône de 50 cm2 exposé à la pluie. Lorsqu’une goutte frappe le cône, une impulsion électrique est transmise à l’unité de conditionnement du signal qui l’amplifie, la traite et transmet une impulsion rectangulaire dont la durée est de l’ordre de 0,5 ms et dont l’amplitude est fonction de la « force d’impact » de la goutte sur le cône. Cette vitesse terminale n’est fonction que de son diamètre, tout comme sa « force d’impact » sur le cône du disdromètre. • À partir de la mesure de l’amplitude de l’impulsion traitée, le diamètre de chaque goutte est déterminé en utilisant la relation voltage-diamètre : Où Cd est le coefficient déduit de la calibration de l’instrument. Toutes les 30 secondes, le nombre de gouttes tombant sur le cône est calculé pour différentes classes de diamètre variant de 0 à 5 mm par pas de 0,2 mm, et les 25 nombres sont enregistrés dans un fichier informatique, avec la date et l’heure et les paramètres de l’instrument. Pendant l’intervalle de temps Δt de moyenne des données, les gouttes tombant sur la surface Sd du cône de 50 cm2 proviennent du volume balayé par ces gouttes lors de leur chute avec la vitesse v(De ).
  • 37. 37 •Le nombre de ces gouttes ΔN(De), ayant leur diamètre compris entre De et De + dDe et tombant sur le cône, est donné, en fonction de la distribution des gouttes N(De ), par l’équation : qui permet de calculer la distribution des gouttes (De ) dans le nuage en fonction des nombres de gouttes enregistrés par classe. En fait, le nombre de gouttes tombant effectivement sur le cône. N(De) est, compte tenu de la distribution supposée aléatoire des gouttes dans le volume d’air, le résultat d’un processus de Poisson dont la moyenne et la variance sont égales et sont données par l’équation ci-dessus . Si ce nombre est inférieur à 10 pour une classe, la fluctuation statistique sur ce nombre est prépondérante. Les grosses gouttes étant rares et contribuant fortement au calcul de la réflectivité Z par l’équation : Il convient de calculer une distribution moyenne sur au moins 5 minutes pour avoir une estimation fiable de la réflectivité Z équivalente.
  • 38. 38 Le profileur de ventLe profileur de vent • Un Profileur de vents est un type de radar monté verticalement utilisé en météorologie pour mesurer la direction et la vitesse des vents. • Un tel appareil est souvent muni d'un RASS (Radio-Acoustic Sounding System), un système de sondage radio-acoustique de l'atmosphère, pour estimer la température dans la basse troposphère. Principe de fonctionnement • Un profileur de vents est un radar Doppler à très grande résolution (typiquement 100 à 200 m à la verticale et moins de 100 m à l’horizontale) pointant verticalement. Il note la variation de l’indice de réfraction de l’air selon la théorie de la diffusion de Bragg (Loi de Bragg). Cette variation est due aux turbulences de l’air en mouvement par la variation de sa densité. Lorsque l’indice change sur une distance qui correspond à la moitié de la longueur d’onde du radar utilisé, il y a un retour constructif entre les ondes revenant des zones de variation successives.
  • 39. 39 • Cette distance de variation est typiquement de l’ordre de quelques centimètres à quelques mètres ce qui fait qu’on utilisera une longueur d’onde de cet ordre de grandeur. Il s’agit là du même spectre que pour les radars météorologiques et donc on suit également avec les profileurs, des cibles telles que la pluie, la neige, les insectes, les oiseaux et même parfois les avions. Il faut donc filtrer ces cibles du signal désiré pour pouvoir estimer le vrai déplacement de l’air. • Pour mesurer le vent horizontal, le radar est dirigé dans deux directions orthogonales l’une de l’autre à un certain angle du zénith. Par exemple, on analyse le changement Doppler des échos émis par le radar en direction nord à 30 degrés de la verticale et ensuite vers l’est pour trouver les composantes de la vitesse dans ces directions. Ensuite, on trouve la vitesse de l’air selon la verticale en pointant vers le zénith. On combine les trois composantes ainsi trouvées dans l’équation de continuité de masse pour obtenir le vent total et donc sa composante horizontale. • Accessoirement, on obtient la réflectivité des hydrométéores à grande résolution et leur vitesse de chute. Cela donne une information complémentaire à celle de tout radar météorologique voisin. En effet, ce dernier a moins de résolution mais couvre une très grande région et ne voit pas la composante verticale de vitesses des particules, puisqu'il sonde horizontalement.
  • 40. 40 • Les profileurs de vents opèrent dans une large gamme de longueurs d’onde. La couche entre le sol, où la friction freine le déplacement de l’air, et la hauteur où cette dernière devient négligeable est appelée la couche limite planétaire (CLP). Elle est de l’ordre de moins de 3 kilomètres en général. Dans cette couche, les gradients de température et d’humidité sont grands et nécessitent une faible longueur d’onde. Les profileurs UHF (30 à 40 cm) sont donc utilisés pour cette étude. Ils sont compacts et peuvent être déplacés facilement : ils sont souvent utilisés pour des campagnes de prises de données. • Les profileurs VHF (1 à 10 m) sont sensibles à des gradients de températures variant sur de plus grandes distances, donc au-dessus de la couche limite. Ils vont être utilisés pour le sondage de l’atmosphère de 2 à 16 km au-dessus du sol. Selon la longueur d’onde, leurs dimensions varient. Plus la longueur d'onde est grande plus l’antenne le sera (une longueur d'onde d'un mètre nécessite une antenne de 10 x 10 m, une de 6 à 10 m équivaut à la dimension d’un terrain de football) avec la même résolution. • Les bandes de fréquences les plus utilisés pour les radars profileurs de vent sont : 45,00 à 68,00 MHz ; 900,00 à 1 400,00 MHz et 35,20 à 36,00 GHz. On trouve également des radars profileurs de vent dans la bande des 72 MHz.
  • 41. 41 Loi de PoissonLoi de Poisson 1 PRÉSENTATION Loi de probabilités discrètes, ou fonction de distribution discrète, associée à l’étude des phénomènes caractérisés par un comptage effectué dans une unité fondamentale, telles les unités de temps, d’espace, de fréquence, d’énergie, etc. 2 DÉFINITION ET CARACTÉRISTIQUES Toute variable X résultant d’une expérience aléatoire est dite variable aléatoire ; si, de plus, elle correspond au nombre de phénomènes observés (comptage) par unité fondamentale, elle suit en général une loi type, dite loi de Poisson de paramètre λ, notée Pλ, et sa fonction de probabilité est telle que : où e est la notation usuelle de la fonction exponentielle. On appelle alors variable aléatoire de Poisson, toute variable aléatoire dont la loi est de Poisson.
  • 42. 42 • L’espérance mathématique E[X] et la variance Var(X) de la fonction de probabilité d’une variable aléatoire de Poisson ont la propriété remarquable d’être toutes deux égales au paramètre de la loi de Poisson : où D est l’ensemble des valeurs possibles de la variable aléatoire X. • La fonction de probabilité de la loi de Poisson est une fonction décroissante puisque l’exposant de la fonction exponentielle intervenant dans son expression mathématique est négatif (e-λ ), et que la variation d’une fonction exponentielle l’emporte sur celle des fonctions de puissance (λn ), quelle que soit la valeur de l’exposant n. • Lorsque le paramètre λ est très grand, on peut effectuer une approximation de la loi de Poisson par la loi de Gauss, dite loi normale, affectée d’une moyenne et d’une variance toutes deux égales à λ ; la fonction de probabilité F(n = x) associée à la loi normale est alors telle que :
  • 43. 43 3 ORIGINE, UTILISATION ET INTERPRÉTATION • La loi de Poisson porte le nom du physicien et mathématicien français Siméon Denis Poisson qui l’a énoncée en 1837 à partir de l’étude des limites de la loi de probabilité binomiale intervenant en analyse combinatoire et dont la loi de probabilités est telle que :
  • 44. 44 • La loi de Poisson est une des lois de probabilités les plus utilisées en analyse statistique dès lors que les variables aléatoires sont de nature discrète, c’est-à- dire qu’elles adoptent des valeurs dans un intervalle D, fini ou infini, mais dénombrable, tel l’ensemble des entiers naturels ou une de ses parties. En associant à chacune des valeurs possibles n, définies dans un intervalle D d’une variable aléatoire de Poisson X, la probabilité de l’obtenir, on obtient la loi de probabilité, dite encore fonction de probabilité discrète, notée P(n), ou encore fonction de répartition discrète notée F(n), de cette variable aléatoire. • Outre la loi de Poisson, parmi les lois de probabilités discrètes les plus utilisées figurent la loi de Bernoulli, la loi binomiale, la loi binomiale négative, la loi géométrique, la loi multinomiale et la loi hypergéométrique. • Comme l’une des propriétés de la loi de Poisson est la très grande probabilité qu’un deuxième événement succède immédiatement au premier, certains y voient une illustration mathématique de la « loi dite de Murphy », selon laquelle un désagrément survient rarement seul. • Si la loi de Poisson est très utilisée dans de nombreuses disciplines scientifiques lors d’expérimentations, telles la physique nucléaire pour étudier le nombre de particules émises par une substance radioactive, ou encore la microbiologie pour surveiller la multiplication des bactéries dans une préparation biologique, elle est également très utilisée dans les sciences sociales, pour mener des études statistiques (nombre d’accidents survenant à un assuré ; nombre de visites à un guichet, etc.). Retour
  • 45. 45
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  • 47. 47 • Références • Angevine, W.M., A.W. Grimsdell, L.M. Hartten and A.C. Delany 1998. The Flatland • boundary layer experiments. Bull. Amer. Meteor. Soc., 79, 419-31. • Ecklund, W.L., D.A. Carter, & B.B. Balsley, A UHF wind profiler for the boundary • layer: brief description and initial results, J. Atmos.Oceanic.Tech., 5, 432-441, 1988. • Mailhot J., J.W.Strapp, J.I. MacPherson, R. Benoit, N.R. Donaldson, F. Froude, M. • Benjamin, I. Zawadski, and R.R. Roger, 1998: The Montreal-96 Experiment on • Regional Mixing and Ozone (MERMOZ): An overview and some preliminary results. • Bull. Amer. Meteor. Soc.,79, 433-442. • Rogers, R.R., S.A. Cohn, W.L. Ecklund, J.S. Wilson, and D.A. Carter, Experience • from one year of operating a boundary-layer profiler in the center of a large city, • Ann. Geophysicae, 12, 529-540, 1994. • M K Yau et R R ROGERS, Short Course in Cloud Physics, Third Edition, publié par • Butterworth-Heinemann, 1er janvier, 1989, 304 pages. EAN 9780750632157 ISBN • 0750632151