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EXEMPLE 1

Étudier la fonction f (x) = x² sur l'intervalle [-2; 3]
EXEMPLE 1

On étudie f (x) = x² sur l'intervalle [-2; 3]

Première étape :     L'intervalle d'étude est [-2; 3]

Deuxième étape : f '(x) = 2x

Troisième étape :        Résolution de l'équation f '(x) = 0

f '(x) = 0 est équivalent à 2x = 0 soit x = 0 ( résultat placé en première ligne)


         x             -2                       0                     3
    Signe de f '                   -            0            +
   Variation de f       4                        0                        9

Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-2) , f (0) et f (3)

f (-2) = (-2)² = 4          f (0) = 0² = 0           f (3) = 3² = 9
EXEMPLE 1

Quatième étape :

A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-2 ; 4) , 0 ; 0) et (3 ; 9)
et puis tracer à main levée l'allure de la courbe
                                          y

                                          9

                                          8

                                          7

                                          6

                                          5

                                          4

                                          3

                                          2

                                          1


                                   -1     0      1      2      x
                                         -1
EXEMPLE 2



 Étudier la fonction f (x) = 2x² + 5x +1

         sur l'intervalle [-3 ; 1]
EXEMPLE 2

On étudie f (x) = 2x² + 5x +1 sur l'intervalle [-2; 3]

Première étape :     L'intervalle d'étude est [-3; 1]

Deuxième étape : f '(x) = 2×2x+ 5 = 4x + 5

Troisième étape :        Résolution de l'équation f '(x) = 0

f '(x) = 0 est équivalent à 4x+5 = 0 soit 4x = -5 d'où x = -5/4 = -1,25


        x              -3                   -1,25                      1
   Signe de f '                  -          0            +
  Variation de f        4                  -2,125                          8

Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-3) , f (-1,25) et f (1)

f (-3) = 2×(-3)² + 5×(-3) +1 = 4
f (-1,25) = 2×(-1,25)² + 5×(-1,253) +1 = -2,125
 f (1) = 2×1² + 5×1 +1 = 8
EXEMPLE 2

Quatrième étape :

A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-3 ; 4) , (-1,25 ;-2,125)
et (1 ; 8) et puis tracer à main levée l'allure de la courbe
                                                    y
                                                   10

                                                    9

                                                    8

                                                    7

                                                    6

                                                    5

                                                    4

                                                    3

                                                    2

                                                    1


                                    -2      -1       0       1
                                                             x
                                                   -1

                                                   -2
EXEMPLE 3



                                3     2
                               xx
 Étudier la fonction f (x) =    −2x1
                               32

          sur l'intervalle [-3 ; 2]
EXEMPLE 3
                      x3 x2
On étudie f (x) =        −2x1 sur l'intervalle [-3; 3]
                      32

Première étape :       L'intervalle d'étude est [-3; 3]

                          3x 2 2x
Deuxième étape : f '(x) =      −2 = x²+x-2
                           3    2

Troisième étape :         Résolution de l'équation f '(x) = 0

f '(x) = 0 est équivalent à x²+x-2 = 0
                                                  ∆ = b² – 4ac = 1² - 4×1×(−2) = 9
    a=1           b= 1           c = -2    d'où
Comme le résultat ∆ > 0 , il y a deux solutions x1 et x2.   x1 = -2 et x2 = 1

          x                 -3                 -2                1                    3
     Signe de f '                     +         0       -        0          +
    Variation de f         2,5                4,33             -0,17                  8,5

Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-3) , f (-2) , f (1) et f(3)

f (-3) = 2,5      f (-2) = 4,33            f (1) = -0,17     f (3) = 8,5
EXEMPLE 3

Quatrième étape :

A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-3 ; 2,5) , (-2 ;4,33) ,
 (1 ;-0,17) et (3 ; 8,5) et puis tracer à main levée l'allure de la courbe
                                            y
                                            9

                                            8

                                            7

                                            6

                                            5

                                            4

                                            3

                                            2

                                            1


                            -2      -1       0       1       2        x
                                           -1
EXEMPLE 4



                                2
 Étudier la fonction f (x) =    x

      sur l'intervalle [-4 ; -0,5]
EXEMPLE 4

                    2
On étudie f (x) =        sur l'intervalle [-4; -0,5]
                    x

Première étape :        L'intervalle d'étude est [-4; -0,5]

                                    2
Deuxième étape : f '(x) = −
                                    x²

Troisième étape :          Résolution de l'équation f '(x) =0

                                   2
f '(x) = 0 est équivalent à −         = 0 . Il n'y a pas de solution
                                   x²

Comme x² est positif (quelque soit la valeur de x ), la division de (-2) par x² est négatif

           x                -4                                                    -0,5
      Signe de f '                                     -
     Variation de f         -0,5                                                 -4

Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-4) , f (-0,5)
EXEMPLE 4

Quatrième étape :

A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-4 ; -0,5) , (-0,5 ;-4) ,
et puis tracer à main levée l'allure de la courbe
                                                       y

                                                      1


                      -4      -3      -2       -1      0       1      x
                                                     -1

                                                     -2

                                                     -3

                                                     -4

                                                     -5
EXEMPLE 5



                               900
 Étudier la fonction f (x) = x x

     sur l'intervalle [10 ; 90]
EXEMPLE 5

                     2
On étudie f (x) =         sur l'intervalle [10; 90]
                     x

Première étape :         L'intervalle d'étude est [10; 90]

                                     900
Deuxième étape : f '(x) = 1−
                                      x²

Troisième étape :           Résolution de l'équation f '(x) = 0

                                    900
f '(x) = 0 est équivalent à 1−          = 0 soit x² = 900
                                     x²

Les solutions à cette équation sont x1 = -30 et x2 = 30

          x                  10                           30                    90
     Signe de f '                       -                  0         +
    Variation de f          100                           40                    100

Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (10) , f (30) et f (90)
Quatrième étape :

A partir du tableau de variation, on peut placer les points (10 ; 100) , (30,40) et
(90,100)
 et puis tracer à main levée l'allure de la courbe
                 y

               110

               100

                90

                80

                70

                60

                50

                40

                30

                20

                10


                 0     10    20    30    40    50    60     70    80    90 x

               -10

               -20

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Etude De Fonctions,2

  • 1. EXEMPLE 1 Étudier la fonction f (x) = x² sur l'intervalle [-2; 3]
  • 2. EXEMPLE 1 On étudie f (x) = x² sur l'intervalle [-2; 3] Première étape : L'intervalle d'étude est [-2; 3] Deuxième étape : f '(x) = 2x Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) = 0 f '(x) = 0 est équivalent à 2x = 0 soit x = 0 ( résultat placé en première ligne) x -2 0 3 Signe de f ' - 0 + Variation de f 4 0 9 Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-2) , f (0) et f (3) f (-2) = (-2)² = 4 f (0) = 0² = 0 f (3) = 3² = 9
  • 3. EXEMPLE 1 Quatième étape : A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-2 ; 4) , 0 ; 0) et (3 ; 9) et puis tracer à main levée l'allure de la courbe y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 0 1 2 x -1
  • 4. EXEMPLE 2 Étudier la fonction f (x) = 2x² + 5x +1 sur l'intervalle [-3 ; 1]
  • 5. EXEMPLE 2 On étudie f (x) = 2x² + 5x +1 sur l'intervalle [-2; 3] Première étape : L'intervalle d'étude est [-3; 1] Deuxième étape : f '(x) = 2×2x+ 5 = 4x + 5 Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) = 0 f '(x) = 0 est équivalent à 4x+5 = 0 soit 4x = -5 d'où x = -5/4 = -1,25 x -3 -1,25 1 Signe de f ' - 0 + Variation de f 4 -2,125 8 Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-3) , f (-1,25) et f (1) f (-3) = 2×(-3)² + 5×(-3) +1 = 4 f (-1,25) = 2×(-1,25)² + 5×(-1,253) +1 = -2,125 f (1) = 2×1² + 5×1 +1 = 8
  • 6. EXEMPLE 2 Quatrième étape : A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-3 ; 4) , (-1,25 ;-2,125) et (1 ; 8) et puis tracer à main levée l'allure de la courbe y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -2 -1 0 1 x -1 -2
  • 7. EXEMPLE 3 3 2 xx Étudier la fonction f (x) =  −2x1 32 sur l'intervalle [-3 ; 2]
  • 8. EXEMPLE 3 x3 x2 On étudie f (x) =  −2x1 sur l'intervalle [-3; 3] 32 Première étape : L'intervalle d'étude est [-3; 3] 3x 2 2x Deuxième étape : f '(x) =  −2 = x²+x-2 3 2 Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) = 0 f '(x) = 0 est équivalent à x²+x-2 = 0 ∆ = b² – 4ac = 1² - 4×1×(−2) = 9 a=1 b= 1 c = -2 d'où Comme le résultat ∆ > 0 , il y a deux solutions x1 et x2. x1 = -2 et x2 = 1 x -3 -2 1 3 Signe de f ' + 0 - 0 + Variation de f 2,5 4,33 -0,17 8,5 Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-3) , f (-2) , f (1) et f(3) f (-3) = 2,5 f (-2) = 4,33 f (1) = -0,17 f (3) = 8,5
  • 9. EXEMPLE 3 Quatrième étape : A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-3 ; 2,5) , (-2 ;4,33) , (1 ;-0,17) et (3 ; 8,5) et puis tracer à main levée l'allure de la courbe y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -2 -1 0 1 2 x -1
  • 10. EXEMPLE 4 2 Étudier la fonction f (x) = x sur l'intervalle [-4 ; -0,5]
  • 11. EXEMPLE 4 2 On étudie f (x) = sur l'intervalle [-4; -0,5] x Première étape : L'intervalle d'étude est [-4; -0,5] 2 Deuxième étape : f '(x) = − x² Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) =0 2 f '(x) = 0 est équivalent à − = 0 . Il n'y a pas de solution x² Comme x² est positif (quelque soit la valeur de x ), la division de (-2) par x² est négatif x -4 -0,5 Signe de f ' - Variation de f -0,5 -4 Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-4) , f (-0,5)
  • 12. EXEMPLE 4 Quatrième étape : A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-4 ; -0,5) , (-0,5 ;-4) , et puis tracer à main levée l'allure de la courbe y 1 -4 -3 -2 -1 0 1 x -1 -2 -3 -4 -5
  • 13. EXEMPLE 5 900 Étudier la fonction f (x) = x x sur l'intervalle [10 ; 90]
  • 14. EXEMPLE 5 2 On étudie f (x) = sur l'intervalle [10; 90] x Première étape : L'intervalle d'étude est [10; 90] 900 Deuxième étape : f '(x) = 1− x² Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) = 0 900 f '(x) = 0 est équivalent à 1− = 0 soit x² = 900 x² Les solutions à cette équation sont x1 = -30 et x2 = 30 x 10 30 90 Signe de f ' - 0 + Variation de f 100 40 100 Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (10) , f (30) et f (90)
  • 15. Quatrième étape : A partir du tableau de variation, on peut placer les points (10 ; 100) , (30,40) et (90,100) et puis tracer à main levée l'allure de la courbe y 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 x -10 -20