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- 1. FΓSICA C Primer Parcial *Fuerza ElΓ©ctrica *Campo ElΓ©ctrico *Ley de Gauss *EnergΓa ElΓ©ctrica *Potencial ElΓ©ctrico *Capacitancia *Resistencia ESPOL ERICK CONDE ESPOL
- 2. FΓSICA C ESPOL 2 ERICK CONDE FUERZA Y CAMPO ELΓCTRICO Ejercicio 1. Dos esferas idΓ©nticas que tienen carga de signo opuesto se atraen entre sΓ con una fuerza de 0.108 N cuando estΓ‘n separadas por 50 cm. Las esferas se conectan sΓΊbitamente con un alambre conductor delgado, luego se retiran y las esferas se repelen entre sΓ con una fuerza de 0.0360 N. ΒΏCuΓ‘les eran las cargas iniciales de las esferas? F = 0.108 N r = 50 cm F*= 0.0360 N β πΉ = πΎ π1 π2 π2 β‘ πΉβ = πΎ π1 π2 π2 = πΎπ2 π2 β’ π = π1 β π2 2 ; ππππ π ππ ππ πππππππππ π ππ ππππππ ππππππππ‘ππ , πππ‘πππππ π π πππ π‘ππ De β‘ se tiene que: π2 = πΉβ π2 πΎ β π = 0.0360 0.5 2 9 β 109 = 1 β 10β6 πΆ De β’ se tiene que: π1 = 2π + π2 β’ en β πΉ = πΎπ2 2π + π2 π2 β π2 πΉ = 2πΎπ2 π + πΎπ2 2 0 = πΎπ2 2 + 2πΎπ π2 β π2 πΉ π2 = β2πΎπ Β± 2πΎπ 2 β 4(πΎ) βπ2 πΉ 2πΎ π2 = β2 9 β 109 1 β 10β6 Β± 2 9 β 109 1 β 10β6 2 + 4 9 β 109 0.52 0.108 2 9 β 109 π2 = β18000 Β± 36000 18 β 109 ; π‘ππππππ ππ π£ππππ πππ ππ‘ππ£π , π¦π ππ’π ππ π‘ππππ π‘πππππππππ πππ ππππππ‘π’πππ π π = π β ππβπ πͺ π1 = 2π + π2 π π = π β ππβπ πͺ
- 3. FΓSICA C ESPOL 3 ERICK CONDE Ejercicio 2. Una barra delgada de longitud L y carga uniforme por longitud π esta a lo largo del eje x como se muestra en la figura. Calcule el campo elΓ©ctrico en el punto P a una distancia Y de la barra. Por simetrΓa las componentes del campo en βxβ se anulan, entonces: ππΈ π¦ = ππΈ πΆππ π ππΈ = πΎ ππ π2 ; πΆππ π = π π ; π = ππ ππ₯ β ππ = π ππ₯ ππΈ π¦ = πΎ ππ π2 πΆππ π β ππΈ π¦ = πΎπ ππ₯ π2 π π β ππΈ π¦ = πΎππ ππ₯ π3 ; π = π₯2 + π2 1 2 ππΈ π¦ = πΎππ ππ₯ π₯2 + π2 3 2 ππΈ π¦ = 2πΎππ ππ₯ π₯2 + π2 3 2 π 2 0 = 2πΎππ π₯ π2 π2 + π₯2 0 π 2 π¬ π = ππ²π π π π π π π + π π π π π΅ πͺ Ejercicio 3. Una lΓnea de carga positiva se forma dentro de un semicΓrculo de radio R igual a 60 cm. La larga por unidad de longitud a lo largo del semicΓrculo se describe por medio de la expresiΓ³n π = π π πͺππ π½. La carga total en el semicΓrculo es de 12 ππͺ. Calcule la fuerza total en una carga de 3 ππͺ situado en el centro de la curvatura. ππΉπ¦ = ππΉ πΆππ π ππΉπ¦ = πΎπ ππ π 2 πΆππ π ; π = π0 πΆππ π β ππ ππ = π0 πΆππ π β ππ = π0 πΆππ π ππ ππΉπ¦ = πΎπ π0 πΆππ π ππ π 2 πΆππ π ; ππ = π ππ ππΉπ¦ = πΎπ π0 πΆππ 2 π π ππ π 2 = πΎπ π0 πΆππ 2 π ππ π ππΉπ¦ = 2πΎπ π0 π πΆππ 2 π ππ = π 2 0 2πΎπ π0 π 1 + πΆππ 2π 2 ππ π 2 0
- 4. FΓSICA C ESPOL 4 ERICK CONDE πΉ = πΎπ π0 π π + πππ 2π 2 0 π 2 = πΎπ π0 π π 2 Pero no conocemos el valor de π0, entonces: ππ = π0 πΆππ π ππ ππ = π0 πΆππ π ππ = π0 πΆππ π π ππ π = 2π π0 πΆππ π ππ π 2 0 = 2π π0 ππππ 0 π 2 = 2π π0 π0 = π 2π πΉ = πΎπ ππ 4π 2 = 9 β 109 3 β 10β6 12 β 10β6 π 4 0.6 2 = 0.7068 π π = βπ. ππππ π π΅ Ejercicio 4. Una esfera aislante de radio R contiene una carga positiva total Q en todo su volumen de modo que la densidad volumΓ©trica estΓ‘ dada por: π π = πΆ ; π < πΉ π ππΆ π β π πΉ ; πΉ π β€ π β€ πΉ π ; π > π ; donde πΆ es una constante positiva donde la unidad es de π π π halle πΆ en tΓ©rminos de Q y R. π = ππ ππ£ β ππ = π ππ£ ππ = π ππ£ ; π£ = 4 3 ππ3 β ππ£ = 4ππ2 ππ ππ = 4πππ2 ππ π 0 = 4π πΌπ2 ππ π 2 0 + 2πΌ 1 β π π π2 ππ π π 2 π = 4ππΌ π3 3 0 π 2 + 2 π3 3 β π4 4π π 2 π = 4ππΌ π 3 24 + 2 π 3 3 β π 4 4π β π 3 24 + π 4 64π π = 4ππΌ π 3 24 + 2π 3 3 β π 3 2 β π 3 12 + π 3 32 = 4ππΌ 5 32 π 3 πΆ = ππΈ ππ πΉ π π π π
- 5. FΓSICA C ESPOL 5 ERICK CONDE Ejercicio 4. Dos barras delgadas idΓ©nticas de longitud 2A contienen cargas iguales πΈ+ uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las barras descansan a lo largo del eje x con su centro separado a una distancia π > 2π. Demostrar que la magnitud de la fuerza ejercida por la barra de la izquierda sobre la derecha esta dad por: π = π²πΈ π ππ π ππ π π π πβππ π Vamos a encontrar una expresiΓ³n de la fuerza que ejerce la 2da barra sobre una partΓcula βqβ que pertenece a la 1era barra, para luego generalizarla (βqβ y la distancia entre βqβ y la barra permanecerΓ‘ constante) ππΉ = πΎπ ππ π₯2 ; π = ππ ππ β π 2π = ππ ππ β ππ = π ππ₯ 2π ππΉ = πΎππ ππ₯ 2ππ₯2 ππΉ = πΎππ 2π ππ₯ π₯2 π+2π π = πΎππ 2π β 1 π₯ π π+2π = πΎππ 2π β 1 π + 2π + 1 π πΉ = πΎππ π π + 2π Ahora βqβ serΓ‘ un dq de la primera barra y la distancia entre dq y la 2da barra no serΓ‘ constante
- 6. FΓSICA C ESPOL 6 ERICK CONDE ππΉ = πΎπ ππ π₯ π₯ + 2π ; ππ = πππ₯ 2π ππΉ = πΎππ ππ₯ 2ππ₯ π₯ + 2π ππΉ = πΎπ2 2π ππ₯ π₯ π₯ + 2π π₯ π π’π π₯ πππ = πΎπ2 2π ππ₯ π₯ π₯ + 2π π πβ2π 1 π₯ π₯ + 2π = π΄ π₯ + π΅ π₯ + 2π 1 = π΄ π₯ + 2π + π΅π₯ β 1 = π΄ + π΅ π₯ + 2ππ΄ 1 = 2ππ΄ β π΄ = 1 2π 0 = π΄ + π΅ β π΅ = β 1 2π πΉ = πΎπ2 2π π΄ π₯ + π΅ π₯ + 2π π πβ2π ππ₯ = πΎπ2 2π 1 2π ππ π₯ β 1 2π ππ π₯ + 2π πβ2π π πΉ = πΎπ2 4π2 ππ π β ππ π + 2π β ππ π β 2π β ππ π β 2π + 2π πΉ = πΎπ2 4π2 ππ π π + 2π β ππ π β 2π π = πΎπ2 4π2 ππ π π + 2π π β 2π π πΉ = πΎπ2 4π2 ππ π2 π + 2π π β 2π π = π²πΈ π ππ π ππ π π π π β ππ π π΅ Ejercicio 5. Una carga de 8 ππͺ se coloca en x = 4m , y = 0 , donde se deberΓ‘ colocar una carga de 4 ππͺ para que el campo elΓ©ctrico sea nulo en el origen. πΈ8 π’πΆ = πΈ4 π’πΆ πΎ 4 π’πΆ π₯2 = πΎ 8 π’πΆ π₯2 β 4 π₯2 = 8 42 π₯2 = 8 β π₯ = Β± 8 Tomamos el valor negativo, debido a que la carga1 se encuentra a la izquierda del origen π = βπ π [π]
- 7. FΓSICA C ESPOL 7 ERICK CONDE Ejercicio 5. Una lΓnea de carga empieza en π = +π π y se extiende hasta el infinito positivo. Si la densidad de carga lineal es π = π π π π π Determine el campo elΓ©ctrico en el origen. ππΈ = πΎππ π₯2 ; π = ππ ππ β π0 π₯0 π₯ = ππ ππ β ππ = π0 π₯0 π₯ ππ₯ ππΈ = πΎπ0 π₯0 π₯3 ππ₯ ππΈ = πΎπ0 π₯0 ππ₯ π₯3 +β π₯0 = πΎπ0 π₯0 lim π‘βΆ+β ππ₯ π₯3 π‘ π₯0 πΈ = πΎπ0 π₯0 lim π‘βΆ+β β 1 2π₯2 π₯0 π‘ = πΎπ0 π₯0 lim π‘βΆ+β β 1 2π‘2 + 1 2π₯0 2 π¬ = β π²π π ππ π π π΅ πͺ Ejercicio 6. Se lanzan protones a una rapidez inicial ππ = π. ππ β ππ π π/πππ dentro de una regiΓ³n donde se presenta un campo elΓ©ctrico uniforme π¬ = βππππ π΅/πͺ como se muestra en la figura, los protones van a incidir sobre un blanco que se encuentra a una distancia horizontal de 1.27 mm del punto donde se lanzaron los protones. Determinar: a) Los 2 Γ‘ngulos de lanzamiento π½ que darΓ‘n como resultado del impacto. b) El tiempo total de vuelo para cada trayectoria. Para a) πΉ = π π π πΉπ = π π π β πΈπ π = π π π π = πΈπ π π π = β720 1.6 β 10β19 1.67 β 10β27 = β6.89 β 1010 π/π ππ2 π₯ πΓ‘π₯ = π£0π₯ π‘ π£ β π‘ π£ = π₯ πΓ‘π₯ π£0π₯ π¦ πΓ‘π₯ = π£0π¦ π‘ π£ + 1 2 ππ‘ π£ 2 = π£0π¦ π₯ πΓ‘π₯ π£0π₯ + 1 2 π π₯ πΓ‘π₯ π£0π₯ 2 π¦ πΓ‘π₯ = π£0 ππππ π£0 πΆππ π π₯ πΓ‘π₯ + 1 2 π π₯ πΓ‘π₯ 2 π£0 2 πΆππ π2
- 8. FΓSICA C ESPOL 8 ERICK CONDE Pero sabemos que al final del impacto las coordenadas son 0, π₯ πΓ‘π₯ 0 = ππππ πΆππ π π₯ πΓ‘π₯ + 1 2 π π₯ πΓ‘π₯ 2 π£0 2 πΆππ 2 π π₯ πΓ‘π₯ = β 2 ππππ π£0 2 πΆππ 2 π π πΆππ π = β 2 ππππ π£0 2 πΆππ π π = β πππ2π π£0 2 π πππ2π = β π π₯ πΓ‘π₯ π£0 2 = β β6.89 β 1010 1.27 β 10β3 9.55 β 103 2 πππ2π = 0.9594 β 2π = 73.62 π½ π = ππ. ππΒ° π2 = 90 β π1 β π½ π = ππ. ππΒ° Para b) π‘1 = π₯ πΓ‘π₯ π£0π₯1 = π₯ πΓ‘π₯ π£0 πΆππ π1 = 1.27 β 10β3 9.55 β 103 πΆππ 36.81 π π = π. ππ β ππβπ πππ π‘2 = π₯ πΓ‘π₯ π£0π₯2 = π₯ πΓ‘π₯ π£0 πΆππ π2 = 1.27 β 10β3 9.55 β 103 πΆππ 53.19 π π = π. ππ β ππβπ πππ Ejercicio 7. Tres cargas puntuales estΓ‘n alineados a lo largo del eje x como se muestra en la figura. Encuentre el campo elΓ©ctrico en la posiciΓ³n (0 , 2.0) y en la posiciΓ³n (2.0 , 0) Para (0 , 2.0) πΈ1 = πΎπ1 π1 2 = 9 β 109 4 β 10β9 2.06 2 = 8.46 π/πΆ πΈ2 = πΎπ2 π2 2 = 9 β 109 5 β 10β9 2.0 2 = 11.25 π/πΆ πΈ3 = πΎπ3 π3 2 = 9 β 109 3 β 10β9 2.15 2 = 5.84 π/πΆ π1 = πππβ1 2 0.5 = 75.96Β° π2 = πππβ1 2 0.8 = 68.19Β°
- 9. FΓSICA C ESPOL 9 ERICK CONDE πΈ1π₯ = πΈ1 πΆππ π1 = β2.05 π π/πΆ πΈ1π = πΈ1 ππππ1 = β8.20 π π/πΆ πΈ2π₯ = πΈ2 πΆππ 90Β° = 0 πΈ2π = πΈ2 πππ90Β° = 11.25 π π/πΆ πΈ3π₯ = πΈ3 πΆππ π2 = β2.17 π π/πΆ πΈ3π = πΈ3 ππππ2 = 5.42 π π/πΆ πΈπ = β4.8 π + 8.47 π π/πΆ π¬ π = π. ππ π΅/πͺ Para (2.0 , 0) πΈ1 = πΎπ1 π1 2 = 9 β 109 4 β 10β9 2.5 2 = 5.76 π/πΆ πΈ2 = πΎπ2 π2 2 = 9 β 109 5 β 10β9 2.0 2 = 11.25 π/πΆ πΈ3 = πΎπ3 π3 2 = 9 β 109 3 β 10β9 1.2 2 = 18.75 π/πΆ πΈ π = β5.76 π + 11.25 π + 18.75 π π/πΆ πΈ π = 24.24 π π/πΆ π¬ πΉ = ππ. ππ π΅/πͺ
- 10. FΓSICA C ESPOL 10 ERICK CONDE LEY DE GAUSS Ejercicio 1. Una esfera pequeΓ±a cuya masa es 1.12 mg contiene una carga 19.7 πΌπͺ cuelga en el campo gravitatorio de la tierra de un hilo de seda que forma un Γ‘ngulo de 27.4Β° con una lΓ‘mina grande no conductora y uniformemente cargada. Calcule la densidad de carga uniforme π para la lΓ‘mina. + β πΉπ₯ = 0 + β πΉπ¦ = 0 πΉπ = π ππππ π πΆππ π = ππ πΉπ = ππ ππππ πΆππ π π = ππ πΆππ π πΈπ = ππ ππππ πΈ. ππ΄ = π πππ π0 π = π πππ π΄ πππ πΈππ΄ πΆππ (0) = π πππ π0 β πΈ ππ΄ = ππ΄ π0 πΈ 2π΄ = ππ΄ π0 β πΈ = π 2π0 π 2π0 π = ππ ππππ π = ππ ππππ 2π0 π = 2 1.12 β 10β6 πππ 27.4 8.85 β 10β12 (9.8) 19.7 β 10β9 π = π. ππ β ππβπ πͺ/π π Ejercicio 2. Un cilindro infinitamente largo de radio a lleva una carga uniforme por unidad de volumen βπ π π π > 0 y estΓ‘ rodeado por un cilindro conectado de radio b coaxial al cilindro como se muestra en la figura. Mediante la utilizaciΓ³n de una superficie gaussiana apropiada. Determine el campo elΓ©ctrico para r < a , a < r < b , r > b
- 11. FΓSICA C ESPOL 11 ERICK CONDE Para r < a πΈ. ππ΄ = π πππ π0 π = π πππ ππππ β π πππ = π ππππ πΈππ΄ πΆππ (180) = π πππ π0 β βπΈ ππ΄ = π ππππ π0 βπΈ 2πππ = βπ0 ππ2 π π0 β π¬ = π π π ππΊ π π΅/πͺ ; πππ ππππππππ πππππ ππ πππππ Para a < r < b πΈ. ππ΄ = π πππ π0 π = π πππ ππ ππ = ππ‘ ππ ππ β ππ‘ = πππ ππ πΈππ΄ πΆππ (180) = π πππ π0 β βπΈ ππ΄ = π ππ ππ π0 βπΈ 2πππ = βπ0 ππ2 π π0 β π¬ = π π π π πππΊ π π΅/πͺ ; πππ ππππππππ πππππ ππ πππππ Para r > b Como el conductor estΓ‘ conectado a tierra, suben electrones para neutralizar la carga +ππ‘ππ‘ππ por lo tanto la carga encerrada es nula, entonces. π¬ = π
- 12. FΓSICA C ESPOL 12 ERICK CONDE Ejercicio 3. Para la configuraciΓ³n mostrada en la figura suponga que a = 5 cm, b = 20 cm, c = 25 cm. Suponga tambiΓ©n que se mide el valor del campo elΓ©ctrico en un punto a 10 cm del centro igual a π. π β ππ π π΅/πͺ radialmente hacia adentro en tanto que le campo elΓ©ctrico en un punto a 50 cm del centro es π. π β ππ π π΅/πͺ radialmente hacia afuera. A partir de esta informaciΓ³n encuentre la carga neta sobre la esfera conductora hueca. a < r < b πΈ. ππ΄ = π πππ π0 = π πππ ππππ‘π π0 πΈππ΄ πΆππ (180) = π πππ ππππ‘π π0 β βπΈ ππ΄ = π πππ ππππ‘π π0 βπΈ 4ππ2 = π πππ ππππ‘π π0 π πππ ππππ‘π = β4πΈππ2 π0 = β4π 3.6 β 103 0.1 2 8.85 β 10β12 π πππ ππππ‘π = β4 ππΆ r > c πΈ. ππ΄ = π πππ π0 πΈππ΄ πΆππ (0) = π ππ₯π‘ π0 β πΈ ππ΄ = π ππ₯π‘ π0 πΈ 4ππ2 = π ππ₯π‘ π0 β π ππ₯π‘ = β4πΈππ2 π0 = β4π 2.0 β 102 0.5 2 8.85 β 10β12 π ππ₯π‘ = 5.56 ππΆ ππππππ’ππ‘ππ = π ππ₯π‘ β π πππ ππππ‘π = 5.56 ππΆ β (β4 ππΆ) πΈ ππππ πππππ = π. ππ πΌπͺ
- 13. FΓSICA C ESPOL 13 ERICK CONDE Ejercicio 4. Una masa de 1 g se la expone a un cilindro que tiene una densidad de carga π = π¨π donde A es una constante. Calcular la carga de la esfera que esta colgando de un hilo aislante, donde π½ = ππΒ° + β πΉπ₯ = 0 + β πΉπ¦ = 0 πΉπ = π ππππ π πΆππ π = ππ πΉπ = ππ ππππ πΆππ π π = ππ πΆππ π π = ππ ππππ πΈ πΈ. ππ΄ = π πππ π0 πΈππ΄ πΆππ (0) = π πππ‘ππ π0 β πΈ ππ΄ = π πππ‘ππ π0 πΈ 2ππβ²π = π πππ‘ππ π0 π = ππ ππ ππ = πππ ; π = ππ2 π β ππ = 2πππ ππ π πππ‘ππ = 2ππππ ππ = 2π΄ππ2 π ππ π πππ‘ππ = 2π΄ππ π2 ππ 1 0 = 2π΄ππ π3 3 0 1 π πππ‘ππ = 2π΄ππ 3 (πΆ) πΈ 2ππβ²π = 2π΄ππ 3π0 β πΈ = π΄ 3π0 πβ² π = ππ ππππ πΈ = 3π0 πβ² ππ ππππ π΄ = 3 8.85 β 10β12 1.5 1 β 10β3 9.8 πππ(20) π΄ π = 1.42 β 10β3 π΄ ; pero como el campo es positivo y ademΓ‘s existe una fuerza de atracciΓ³n,entonces: π = β π. ππ β ππβπ π¨ πͺ
- 14. FΓSICA C ESPOL 14 ERICK CONDE Ejercicio 5. Considere un cilindro no conductor de longitud infinita con su nΓΊcleo hueco. El radio interior es a, el radio exterior es b, y la regiΓ³n solida tiene carga uniformemente distribuida por unidad de volumen de densidad π. a) Usando la Ley e Gauss, calcule el campo elΓ©ctrico a una distancia r desde el eje del cilindro donde r > b (Exprese los resultados en funciΓ³n de a, b, π, r). b) Usando la Ley e Gauss, calcule el campo elΓ©ctrico a una distancia r desde el eje del cilindro donde a < r < b Para a) πΈ. ππ΄ = π πππ π0 ; π = π πππ ππππ = π πππ‘ππ ππππ‘ππ π πππ‘ππ = π ππππ‘ππ π πππ‘ππ = π ππ2 π β ππ2 π = πππ π2 β π2 (πΆ) πΈππ΄ πΆππ (0) = π πππ π0 β πΈ ππ΄ = π πππ‘ππ π0 πΈ 2πππ = πππ π2 β π2 π0 β π¬ = ππ π π π β π π πππΊ π ; πππ ππππππππ πππππ ππππππ Para b) πΈ. ππ΄ = π πππ π0 π = π πππ ππππ β π = ππ ππ ππ = πππ ; π = ππ2 π β ππ2 π = ππ π2 β π2 β ππ = 2πππ ππ π πππ = 2πππ πππ π π = 2πππ π2 2 π π π πππ = πππ π2 β π2 (πΆ) πΈππ΄ πΆππ (0) = π πππ π0 β πΈ ππ΄ = π πππ π0 πΈ 2πππ = πππ π2 β π2 π0 β π¬ = ππ π π π β π π πππΊ π ; πππ ππππππππ πππππ ππππππ
- 15. FΓSICA C ESPOL 15 ERICK CONDE ENERGΓA Y POTENCIAL ELΓCTRICO Ejercicio 1. Un bloque de 4 Kg con una carga Q con 50 ππͺ se conecta a un resorte para el cual k= 100 N/m, el bloque esta sobre una pista horizontal sin fricciΓ³n, el sistema estΓ‘ inmerso en un campo elΓ©ctrico uniforme de magnitud π¬ = π β ππ π π½/π y su direcciΓ³n es como se indica en la figura. Si el bloque se suelta desde el reposo cuando el resorte no estΓ‘ deformado (x = 0). a) Que distancia mΓ‘xima se alargarΓ‘ el resorte. b) CuΓ‘l serΓ‘ la posiciΓ³n de equilibrio del resorte. c) Muestre que existe M.A.S y determine su periodo. Para a) πΈπ = πΈπ 0 = πππΓ‘π π‘πππ + πππΓ©ππ‘ππππ 0 = 1 2 π π₯ πΓ‘π₯ 2 + βππΈπ = 1 2 π π₯ πΓ‘π₯ 2 β ππΈπ₯ πΓ‘π₯ 0 = 1 2 ππ₯ πΓ‘π₯ β ππΈ π₯ πΓ‘π₯ = 2ππΈ π = 2 50 β 10β6 5 β 105 100 π πΓ‘π = π. π π Para b) + β πΉπ₯ = 0 πΉππΓ©ππ‘ππππ β πΉππΓ‘π π‘πππ = 0 β πΉππΓ©ππ‘ππππ = πΉππΓ‘π π‘πππ ππΈ β ππ₯ πππ’πππππππ = 0 β ππΈ = ππ₯ πππ’πππππππ π₯ πππ’πππππππ = ππΈ π = 50 β 10β6 5 β 105 100 π ππππππππππ = π. ππ π
- 16. FΓSICA C ESPOL 16 ERICK CONDE Para c) πΉ = ππ πΉππΓ©ππ‘ππππ β πΉππΓ‘π π‘πππ = π π2 π₯ ππ‘2 ππΈ β π π₯ πππ’πππππππ + π₯ = π π2 π₯ ππ‘2 β ππΈ β ππ₯ πππ’πππππππ 0 β ππ₯ = π π2 π₯ ππ‘2 βππ = π π π π π π π β΄ π¬π π΄. π¨. πΊ β π π π₯ = π2 π₯ ππ‘2 β βπ2 π₯ = π2 π₯ ππ‘2 π2 = π π ; π = 2π π π = π π ; π = 2π π π = 2π 4 100 π» = π. ππ πππ Ejercicio 2. Una carga de -3 ππͺ esta fijo en un determinado punto desde una distancia de 4,5 cm, una partΓcula de 7,2 gr y carga -8ππͺ es disparada con una velocidad inicial de 65 m/seg directamente hacia la carga fija ΒΏQuΓ© distancia recorre la partΓcula antes de que su velocidad sea cero. ΞπΎ = πππΓ©ππ‘πππ π 1 2 π π£π 2 β 1 2 π π£π 2 = βππΈπ ; ππππ ππ πππππ ππ ππ π’πππππππ, π¦π ππ’π π£ππππ πππ ππ πππππ, πππ‘πππππ β 1 2 π π£π 2 = βπ πΈ ππ₯ π₯ 0 1 2 π π£π 2 = βπ πΎπ π2 ππ₯ π₯ 0 β 1 2 π π£π 2 = βπ πΎπ π2 (βππ) π π π0 1 2 π π£π 2 = πΎππ β 1 π π0 π π β 1 2 π π£π 2 = πΎππ 1 π0 β 1 ππ
- 17. FΓSICA C ESPOL 17 ERICK CONDE 1 ππ = 1 π0 β π π£π 2 2πΎππ β ππ = 1 π0 β π π£π 2 2πΎππ β1 = 1 0.045 β 7.2 β 10β3 65 2 2 9 β 109 3 β 10β6 8 β 10β6 β1 ππ = β0.0207 ; el resultado nos queda negativo debido a que βdrβ es un vector, pero sabemos que dx = - dr, entonces π πππππ = π. ππππ π Ejercicio 3. Considere que una carga de +3 ππͺ es colocada en el punto A. ΒΏCuΓ‘nto trabajo se requiere para llevarla desde el punto A hasta el punto B del rectΓ‘ngulo de dimensiones 2 cm x 10 cm? Ξπ = βπ ; Ξπ = Ξπ π Ξπ = Ξπ π = ππ΅ β ππ΄ π Ξπ = π πΎ π1 π + πΎ π2 π ππ΅ β πΎ π1 π + πΎ π2 π ππ΄ = ππΎ π1 π + π2 π β π1 π + π2 π Ξπ = 3 β 10β6 9 β 109 1 β 10β6 β 5 0.02 + 2 0.1 β 5 0.1 + 2 0.02 Ξπ = β7.56 π½ β πΎ = π. ππ π± Ejercicio 4. Una carga puntual βqβ es colocada en reposo en el punto βpβ sobre el eje de un anillo con carga uniforme q y radio R. Cuando la carga se libera, esta se mueve a lo largo del eje x, conforme lo muestra la figura. Encuentre una expresiΓ³n para la velocidad final que adquiere esta carga puntual luego de moverse una distancia βxβ, desprecie efectos gravitacionales.
- 18. FΓSICA C ESPOL 18 ERICK CONDE πΈπ = πΈπ ππ + πΎπ = ππ + πΎπ β πΎπ β πΎπ = ππ β ππ β πΎπ β πΎπ = Ξπ β Ξπ = βΞπΎ Ξπ = Ξπ π = β ΞπΎ π Ξπ = β 1 2π π π£π 2 β π£π 2 = β π π£π 2 2π π = πΎ π π β ππ = πΎ ππ π 2 + π2 ππ = πΎ π 2 + π2 ππ β π = πΎπ π 2 + π2 ππ β ππ = β π π£π 2 2π ; ππ = πΎπ π 2 + (π + π₯)2 ; ππ = πΎπ π 2 + π 2 πΎπ π 2 + (π + π₯)2 β πΎπ 2π = β π π£π 2 2π π π = ππ²π π π π ππΉ β π πΉ π + (πΉ + π) π π/πππ Ejercicio 5. ΒΏCuΓ‘l de las siguientes premisas es correcta? a) Si el campo elΓ©ctrico es cero en algΓΊn punto del espacio, el potencial elΓ©ctrico debe ser tambiΓ©n cero en dicho punto b) Si el potencial elΓ©ctrico es cero en algΓΊn punto del espacio, el campo elΓ©ctrico debe ser cero tambiΓ©n en dicho punto c) Las lΓneas del campo elΓ©ctrico apuntan hacia las regiones donde el potencial es mΓ‘s alto d) En electroestΓ‘tica, la superficie de un conductor es una superficie equipotencial. Para a) πΈ = ππ ππ ; Por esta definiciΓ³n nos dice, que si el campo elΓ©ctrico es cero, el potencial elΓ©ctrico no necesariamente es cero, si no que puede ser una constante Para b) π = πΎ π π (πππ‘ππππππ ππππππ π π’ππ πππππ ππ’ππ‘π’ππ) π1 = πΎ π1 π ; π2 = πΎ π2 π Si el campo elΓ©ctrico es cero, el potencial elΓ©ctrico es cero
- 19. FΓSICA C ESPOL 19 ERICK CONDE Para c) Las lΓneas del campo elΓ©ctrico apuntan donde el potencial decrece Para d) La superficie de un conductor es una superficie equipotencial Ejercicio 6. Si tenemos una carga positiva de 1 C en el centro de una esfera de radio R ΒΏCuΓ‘l es el flujo a travΓ©s de la superficie de la esfera. πΈ. ππ΄ = π πππ π0 ΙΈ πππ‘ππ = π πππ π0 β ΙΈ π»ππππ = π π. ππ β ππβππ π΅π π/πͺ Ejercicio 7. Un alambre doblado en forma de semicΓrculo de radio βaβ mantiene una carga elΓ©ctrica uniformemente a lo largo de su longitud, con densidad π. Calcule el potencial elΓ©ctrico el el punto O π = πΎ π π ππ = πΎ ππ π = πΎ πππ π ππ = πΎπ π ππ β π = πΎπ π π πππ‘ππ π = πΎπ π ππ β π½ = π²ππ π½ Ejercicio 8. Calcule el potencial elΓ©ctrico en el punto P sobre el anillo mostrado en la figura la cual tiene una densidad de carga π = πΆ/πΉ donde πΆ es una constante positiva. πΉπππππ ππ πππ: π π π π + π π = ππ π + π π + π π
- 20. FΓSICA C ESPOL 20 ERICK CONDE π΄πππππ ππ πππππ π : π = πΎπ π₯2+π 2 ππ = πΎππ π2 + π 2 ; π = ππ ππ΄ β ππ = πππ΄ ππ = πΎπππ΄ π2 + π 2 ; π΄ = ππ2 β ππ΄ = 2ππππ ππ = 2πΎπππππ π2 + π 2 = 2πΎππππ π2 + π 2 πΌ π ππ = 2πΎππΌ ππ π2 + π 2 π π = 2πΎππΌ ππ π + π2 + π 2 π π π = 2πΎππΌ ππ π + π2 + π 2 β ππ π + π2 + π 2 π½ = ππ²π πΆ ππ π + π π + πΉ π π + π π + πΉ π π½ Ejercicio 9. Un alambre que tiene densidad lineal de carga uniforme π se dobla de la forma indicada en la figura. Encuentre el potencial elΓ©ctrico en el punto O. π = ππ ππ β ππ = πππ ππ1 = πΎ ππ π = πΎ πππ π ππ1 = πΎπ ππ π 3π π = πΎπ ππ π π 3π π1 = πΎπ lnβ‘(3) ππ2 = πΎ ππ π = πΎ πππ π ππ2 = πΎπ π ππ = πΎπ π π πππ‘ππ π2 = πΎπ π ππ π½ π»ππππ = ππ²π π₯π§ π + π²ππ π½
- 21. FΓSICA C ESPOL 21 ERICK CONDE Ejercicio 10. Un cilindro conductor de radio a tiene una carga uniformemente distribuida es su superficie π Determine: a) El valor del campo elΓ©ctrico fuera del cilindro. b) La diferencia de potencial entre 2 puntos ubicados a una distancia πΉ π y πΉ π, fuera del cilindro medidos desde el eje del cilindro (πΉ π > πΉ π). Para a) πΈ. ππ΄ = π πππ π0 π = π πππ ππππ β π πππ = πππππ = π 2πππ πΈππ΄ πΆππ (0) = π πππ π0 β πΈ ππ΄ = 2ππππ π0 πΈ 2πππ = 2ππππ π0 β π¬ = ππ πΊ π π π΅/πͺ ; πππ ππππππππ πππππ ππππππ Para b) Ξπ = βπΈπ Ξπ = β πΈ. ππ π΅ π΄ ππ΅ β ππ΄ = β πΈ(βππ) π΅ π΄ = ππ π0 π π2 π1 ππ ππ΅ β ππ΄ = ππ π0 ππ π π2 π1 = ππ π0 ln π2 β ln π1 π½ π© β π½ π¨ = ππ πΊ π ππ π π π π Ejercicio 11. Dos cascarones conductores esfΓ©ricos y concΓ©ntricos estΓ‘n conectados por medio de un alambre delgado como se muestra en la figura, si una carga Q se pone en el sistema ΒΏCuΓ‘nta carga queda sobre cada esfera? a = 0.4 m b = 0.5 m Q = 10 ππͺ
- 22. FΓSICA C ESPOL 22 ERICK CONDE Cuando se une por un alambre el potencial en la superficie de las dos esferas son iguales. π1 = π2 ; π = π1 + π2 πΎ π1 π = πΎ π2 π β π1 π = π2 π π β π2 π = π2 π β π = π2 1 + π π π2 = π 1 + π π β1 = 10 β 10β6 1 + 0.4 0.5 β1 π π = π. ππ β ππβπ πͺ ; π π = π. ππ β ππβπ πͺ Ejercicio 12. Una esfera solida aislante de radio R tiene una densidad de carga volumΓ©trica uniforme con carga total Q. a) Determine el potencial elΓ©ctrico en un punto fuera de la esfera, es decir (r > R). Considere V = 0 en el infinito. b) Encuentre el potencial en un punto dentro de la esfera (r < R) Para a) βπ = β πΈ. ππ πΈ. ππ΄ = π πππ π0 πΈππ΄ πΆππ (0) = π π0 β πΈ ππ΄ = π π0 πΈ 4ππ2 = π π0 β πΈ = 1 4ππ0 π π2 β πΈ = πΎπ π2 ππ>π β ππ=β = β πΈππ π β ππ>π = β πΎπ π2 ππ π β = πΎπ 1 π β π β π½ π>π = π²πΈ π π½ Para b) πΈ. ππ΄ = π πππ π0 π = π πππ‘ππ ππππ‘ππ = π πππ ππ ππ β π πππ = π πππ‘ππ ππππ‘ππ ππ ππ β π πππ = π 4 3 ππ 3 4 3 ππ3 πΈππ΄ πΆππ (0) = π πππ π0 β πΈ ππ΄ = ππ3 π0 π 3
- 23. FΓSICA C ESPOL 23 ERICK CONDE πΈ 4ππ2 = ππ3 π0 π 3 β πΈ = 1 4ππ0 ππ3 π 3 β πΈ = πΎππ3 π 3 ππ<π β ππ=β = β πΈππ π<π β ππ<π = β πΎππ3 π 3 ππ π<π β = β πΈ1 ππ π β β πΎππ3 π 3 ππ π π ππ<π = πΎπ π β πΎπ π 3 π2 2 π π β ππ<π = πΎπ π β πΎπ 2π 3 π2 β π 2 π½ π<π = π²πΈ πΉ π β π π β πΉ π ππΉ π π½ Ejercicio 13. El flujo del campo creado por un dipolo elΓ©ctrico formados por 2 cargas (+q) y (-q) a travΓ©s de una superficie cerrada que rodea el dipolo y situado en el vacio es igual a: πΈ. ππ΄ = π πππ π0 β ΙΈ πππ‘ππ = +π π0 + βπ π0 β ΙΈ πππ‘ππ = 0 Ejercicio 14. Los tres grandes planos de la figura (que pueden considerarse de superficie infinita, ya que sus Γ‘reas son muchos mayores que la separaciΓ³n de 1 m entre ellos; en el espacio entre ellos estΓ‘ el vacio) estΓ‘n cargados uniformemente con unas densidades de carga. π π¨ = π. ππ β ππβπ πͺ/π π ; π π© = π. ππ β ππβπ πͺ/π π ; π πͺ = ππ. ππ β ππβπ πͺ/π π a) Determinar el campo elΓ©ctrico en puntos; 0 < y < 1 , 1 < y < 2 b) Determinar las diferencias de potencial π½ π© β π½ π¨ , π½ πͺ β π½ π© c) ΒΏCon que velocidad en la direcciΓ³n del OY se debe lanzar el protΓ³n desde un punto de. coordenadas (0.5 , -0.5 , 0.5)m para que llegue al plano B con velocidad cero.
- 24. FΓSICA C ESPOL 24 ERICK CONDE Para a) 0 < y < 1 πΈ π = π π΄ 2π0 β π π΅ 2π0 β π πΆ 2π0 πΈ π = 1 2π0 ππ΄ β π π΅ β ππΆ = 10β6 2 8.85 β 10β12 3.54 β 7.08 β 10.62 π¬ πΉ = βπππ π π²π΅/πͺ 1 < y < 2 πΈ π = ππ΄ 2π0 + π π΅ 2π0 β ππΆ 2π0 πΈ π = 1 2π0 ππ΄ + π π΅ β ππΆ = 10β6 2 8.85 β 10β12 3.54 + 7.08 β 10.62 π¬ πΉ = π π΅/πͺ Para b) Como el potencial apunta donde el campo decrece, entonces ππ΅ > ππ΄ ππ΅ β ππ΄ = +πΈπ β ππ΅ β ππ΄ = +800 β 103 (1) π½ π© β π½ π¨ = πππ π²π½ ππΆ β ππ΅ = πΈπ β π½ πͺ β π½ π© = π π½ Para c) βπ = βπ π = β βπΎ π βπ = β π 2π π£π 2 β π£π 2 β βπ = π 2π π£π 2 ππ΅ β ππ = π π 2π π π£π 2 πΈπ = β ππ΄ 2π0 β π π΅ 2π0 β ππΆ 2π0 πΈπ = β 1 2π0 ππ΄ + π π΅ + ππΆ = 10β6 2 8.85 β 10β12 3.54 + 7.08 β 10.62 πΈπ = β1200 π πΎπ/πΆ ππ΄ > ππ ππ β ππ΄ = βπΈπ π β ππ β ππ΄ = β1200 β 103 (0.5) ππ β ππ΄ = β0.6 β 106 π β ππ = β0.6 β 106 + ππ΄
- 25. FΓSICA C ESPOL 25 ERICK CONDE ππ΅ β ππ΄ = 800 πΎπ β ππ΅ = 800 β 103 + ππ΄ 800 β 103 + ππ΄ β β0.6 β 106 + ππ΄ = π π 2π π π£π 2 π£π = 2 1.4 β 106 π π π π = 2 1.4 β 106 1.6 β 10β19 1.67 β 10β27 ππ = π. πππππ β ππ π π/πππ Ejercicio 15. La figura de abajo muestra una placa conductora de espeso W y dos lΓ‘minas dielΓ©ctricas, todas muy grandes (infinitas), se muestra una vista lateral. La placa conductora tiene carga uniformemente distribuida en sus dos superficies, π π΄ππππ, las lΓ‘minas dielΓ©ctricas tiene carga uniformemente distribuida de densidades π π¨ y π π©. Determine la magnitud y la direcciΓ³n del campo elΓ©ctrico en el punto A W = 3cm. π π¨ = βπ. π ππͺ/π π π π© = +π. π ππͺ/π π π π΄ππππ = +π. π ππͺ/π π πΈπ΄ = π πππ‘ππ π0 πΆππππ ππππ π’π πππππ’ππ‘ππ β ππ΄ 2π0 β π π΅ 2π0 πΆππππ ππππ π’π ππππ Γ©ππ‘ππππ πΈπ΄ = 2 β 10β3 8.85 β 10β12 β 2.5 β 10β3 2 8.85 β 10β12 β 7.5 β 10β3 2 8.85 β 10β12 π¬ π¨ = βπ. πππ β ππ π π π΅/πͺ
- 26. FΓSICA C ESPOL 26 ERICK CONDE Ejercicio 16. La figura de abajo muestra tres planos, todas de Γ‘reas muy grandes. Las dos placas delgadas (lΓ‘minas) estΓ‘n hechos de material aislante y tienen carga uniformemente distribuidas de densidades π π¨ y π π© respectivamente. La placa metΓ‘licas tiene ancho W, y esta inicialmente descargada. π π = π ππ π π = ππ ππ πΎ = π ππ π π¨ = βπ. π ππͺ/π π π π© = +π. π ππͺ/π π π π΄ππππ = π a) ΒΏCuΓ‘l es la magnitud del campo elΓ©ctrico π¬ π¨ en el origen (el punto marcado con A en el origen)? b) ΒΏCuΓ‘l es el signo de la densidad superficial de carga π, sobre la superficie izquierda de la placa metΓ‘lica? c) Calcule la diferencia de potencial elΓ©ctrico entre las lΓ‘minas no conductoras, esto es, entre (x = π π) y (x = π π) Para a) πΈ π = ππ΄ 2π0 β π π΅ 2π0 πΈ π = 1 2π0 ππ΄ β π π΅ = 10β6 2 8.85 β 10β12 2.5 β 7.5 π¬ πΉ = βπ. ππ β ππ π π π΅/πͺ Para b) Entran en negativas y salen de las positivas β΄ π¬π ππππππππ πΈπππππ’ππ‘ππ = π π0 β π = πΈ π π0 = 0.28 β 106 8.85 β 10β12 π = π. πππ β ππβπ πͺ/π π Para c) πΈ π = β ππ΄ 2π0 β π π΅ 2π0 = β 10β6 2 8.85 β 10β12 2.5 + 7.5 πΈ π = β0.56 β 106 π/πΆ β πΈ π = 0.56 β 106 π/πΆ ππ΅ > ππ΄ β ππ΅ β ππ΄ = +πΈ π π ππ΅ β ππ΄ = 0.56 β 106 0.12 β π½ π© β π½ π¨ = π. πππ β ππ π π½
- 27. FΓSICA C ESPOL 27 ERICK CONDE CAPACITANCIA Ejercicio 1. Suponga que todos los capacitores se encuentran descargados antes de ensamblar el circuito. Si definimos el potencial en el alambre inferior como cero. Determine el valor del potencial π½ π en el punto b indicado en la figura. 1 πΆ5 = 1 πΆ1 + 1 πΆ4 = πΆ4+πΆ1 πΆ4 πΆ1 πΆ4 = πΆ2 + πΆ3 πΆ5 = 5 6 π’πΉπΆ4 = 5 π’πΉ πΆ5 = π π β π = ππΆ5 = 12 5 6 = 10 π’πΆ Ξπ2 = π πΆ4 = 10 5 π = 10 π’πΆ Ξπ2 = 2 π Ξπ = ππ β π = 2 ππ β π = 2 π½ π = π π½ Ejercicio 2. Seis capacitores idΓ©nticos de 5Pf de capacitancia son conectados a una baterΓa de 9 voltios como se muestra en el diagrama. Calcule la diferencia de potencial elΓ©ctrico entre los puntos A y B marcados en el circuito. Determine la energΓa total almacenada en los seis capacitores.
- 28. FΓSICA C ESPOL 28 ERICK CONDE 1 πΆ4 = 1 πΆ1 + 1 πΆ3 = πΆ3 + πΆ1 πΆ3 πΆ1 πΆ4 = 10(10) 10 + 10 β πΆ4 = 5ππΉ πΆ5 = πΆ4 πΆ2 πΆ4 + πΆ2 = 5(10) 5 + 10 πΆ5 = 10 3 ππΉ πΆ5 = π 9π β π = πΆ59π = 9 10 3 β π = 30 π’πΆ πΆ4 = π Ξπππ β Ξπππ = π πΆ4 = 30 5 β π«π½ ππ = π π½ π πππ‘ππ = 1 2 πΆ5 π2 = 1 2 10 3 β 10β12 9 2 πΌ π»ππππ = π. ππ β ππβππ π± Ejercicio 3. Encuentre: a) La capacitancia equivalente entre los puntos a y b para el grupo de capacitores conectados, como se indica en la figura si πͺ π = π. π ππ , πͺ π = ππ. π ππ , πͺ π = π. π ππ b) Si π½ ππ= 60 voltios, ΒΏCuΓ‘l es la energΓa almacenada en πͺ π? Para a) 1 πΆ4 = 1 πΆ1 + 1 πΆ2 = πΆ1 + πΆ2 πΆ1 πΆ2 πΆ4 = 5(10) 5 + 10 β πΆ4 = 10 3 π’πΉ πΆ5 = πΆ2 + πΆ2 β πΆ5 = 20 π’πΉ πΆ6 = πΆ4 + πΆ3 + πΆ4 = 2 10 3 + 2 β πΆ6 = 26 3 π’πΉ πΆ7 = πΆ7 πΆ5 πΆ7 + πΆ5 = 26/3 (20) 26/3 + 20 β πͺ π = πͺ ππ = πππ ππ ππ
- 29. FΓSICA C ESPOL 29 ERICK CONDE Para b) π3 = 1 2 πΆ3 βππΆ3 2 πΆ7 = π πππ β π = πΆ7 πππ = 260 43 60 β π = 15600 43 π’πΆ πΆ6 = π βππΆ6 β βππΆ6 = π πΆ6 = (15600/43) (26/3) β βππΆ6 = βππΆ3 = 1800 43 (π) π3 = 1 2 2 β 10β3 1800 43 2 β πΌ π = π. πππ π± Ejercicio 4. Un condensador esfΓ©rico, formado por dos esferas conductores, de radios r y R, se carga a una diferencia de potencial π½ π. Enseguida, se introduce entre las esferas un dielΓ©ctrico lΓquido de constante k, hasta llenar la mitad del volumen interior. a) ΒΏCΓ³mo estΓ‘n conectados los dos condensadores? Explique por que b) Encuentre la capacitancia equivalente del condensadores c) Determine el cabio en la energΓa electroestΓ‘tica del sistema, debida a la introducciΓ³n del dielΓ©ctrico. Para a) Tienen la misma diferencia de potencial β΄ π¬ππππ ππππππππ ππ ππ ππππππππ Para b) Capacitancia de condensador esfΓ©rico de radio interior a y radio exterior b πΆ = ππ πΎπ(πβπ) ; πΎπ= constante elΓ©ctrica πΆππ = πΆ1 + πΆ2 πΆππ = ππ πΎπ(π β π) + ππ πΎπ(π β π) π πͺ ππ = ππ π² π(π β π) π + π π
- 30. FΓSICA C ESPOL 30 ERICK CONDE Para c) π = 1 2 πΆπ2 π0 = 1 2 πΆπ0 2 = 1 2 ππ πΎπ (π β π) π0 2 (π΄ππ‘ππ ππ πππ‘ππππ’πππ ππ ππππΓ©ππ‘ππππ) ππ = 1 2 πΆππ ππ 2 = 1 2 ππ πΎπ (π β π) π + 1 π0 π 2 (π·ππ ππ’ππ ππ πππ‘ππππ’πππ ππ ππππΓ©ππ‘ππππ) β΄ πΌ π > πΌ π Ejercicio 5. Dos capacitores son conectados a una baterΓa como se muestra en la figura. Los capacitores son idΓ©nticos. La ΓΊnica diferencia es que el espacio entre sus placas esta en vacΓo (k = 1) en el caso de πͺ π y una lamina dielΓ©ctrica (k > 1) en el caso de πͺ π a) Compare las cargas sobre el capacitor πͺ π y sobre le capacitor πͺ π b) Compare las magnitudes del campo elΓ©ctrico entre las placas de los capacitores c) Compare la diferencia de potencial entre las placas de los capacitores Para a) πΆ1 = πΆ1 ; πΆ2 = ππΆ2 ; π1 = π2 = π πΆ1 = π1 π ; πΆ2 = π2 π π1 = πΆ1 π ; π2 = πΎπΆ1 π πΈ π > πΈ π Para b) πΈ1 = βππ ; πΈ2 = πΈπππππ’ππ‘ππ β πΈ ππππ Γ©ππ‘ππππ π¬ π > π¬ π Para c) π1 = π2 = π El circuito estΓ‘ conectado en paralelo β΄ π½ π = π½ π
- 31. FΓSICA C ESPOL 31 ERICK CONDE Ejercicio 6. Dos placas metΓ‘licas paralelas y cargadas de Γ‘rea A separadas por una distancia d. A = 0.2 π π d = 0.03 m Β‘) Un conductor de espesor d/2 es insertado entre las placas como se muestra abajo. La capacitancia total a) Se incrementa b) Disminuye c) No cambia πΆ1 = π0 π΄ π = π0 π΄ (π/4) ; πΆ2 = π0 π΄ π = π0 π΄ (π/4) 1 πΆ ππ = 1 πΆ1 + 1 πΆ2 β πΆππ = πΆ1 πΆ2 πΆ1+πΆ2 πΆππ = π0 π΄ (π/4) β π0 π΄ (π/4) π0 π΄ (π/4) + π0 π΄ (π/4) = 2π0 π΄ π πΆππ = 2 8 β 85 β 10β12 (0.2) 0.03 β πΆππ = 1.18 β 10β10 (πΉ) πΊπ ππππππππππ ii) El conductor es reemplazado con un dielΓ©ctrico de espesor d/2 y constante k = 5, como se muestra. ΒΏCuΓ‘l es la capacitancia total del sistema? a) πͺ = π. ππ β ππβππ π b) πͺ = π. ππ β ππβππ π c) πͺ = π. ππ β ππβππ π d) πͺ = π. ππ β ππβππ π e) πͺ = π. ππ β ππβππ π πΆππ = πΆ1 πΆ πΆ1 + πΆ = 2πΎπ΄π0/π 2π΄π0/π 2π0 π΄ π + 2ππ0 π΄ π = 4ππ0 2 π΄2 2π0 π΄π2(π + 1) = 2ππ0 π΄ π(π + 1) πΆππ = 2(5) 8 β 85 β 10β12 (0.2) 0.03(5 + 1) β πͺ ππ = π. ππ β ππβππ π
- 32. FΓSICA C ESPOL 32 ERICK CONDE RESISTENCIA Ejercicio 1. El siguiente circuito contiene 7 resistores idΓ©nticos de resistencia R = 10Ξ© y una baterΓa de voltaje πΊ = πππ½. Todos los resistores tienen resistencia de 10 ohmios. a) Calcule la caΓda de voltaje a travΓ©s de πΉ π b) ΒΏCuΓ‘l es la corriente a travΓ©s de πΉ π? Para a) 1 π 8 = 1 π 3 + 1 π 4 = π 3+π 4 π 3 π 4 β π 8 = π 3 π 4 π 3+π 4 = 10(10) 10+10 β π 8 = 5πΊ π 9 = π 5 + π 6 + π 7 = 10 + 10 + 10 β π 9 = 30πΊ π 10 = π 8 + π 2 β π 10 = 15πΊ π = πΌπ β πΌ9 = π π 9 = 18 30 β πΌ9 = 0.6 π΄ πΌ9 = πΌ6 = πΌ5 = πΌ7 π5 = πΌ9 π 5 = 0.6 10 β π½ π = π π½ Para b) πΌ10 = π π 10 = 18 15 β πΌ10 = 1.2 π΄ πΌ10 = πΌ8 = πΌ2 ; π8 = πΌ8 π 8 = 1.2 5 β π8 = 6π π8 = π3 = π4 ; πΌ4 = π4 π 4 = 6 10 β π° π = π. π π¨ Ejercicio 2. Una tΓpica tostadora elΓ©ctrica puede generar 1200 watts en su resistencia (elemente calefactor) cuando se conecta a una fuente de 120 voltios. El elemento calefactor es un alambre delgado de nicromio de 4 metros de longitud y secciΓ³n transversal de 0.33 ππ π π = πΌπ ; π = ππΌ β π = π π π = π2 π β π = π2 π π = π π π΄ β π2 π = π π π΄ β π = π΄π2 ππ = 0.33 β 10β6 120 2 1200(4) π = π. π β ππβπ π΄π
- 33. FΓSICA C ESPOL 33 ERICK CONDE Ejercicio 3. Si nosotros incrementamos la longitud del alambre de nicromio del problema anterior (manteniendo el voltaje y el Γ‘rea constante). ΒΏQuΓ© sucederΓa con la potencia por el elemento calefactor? π = π2 π ; β π = π΄ ππ β π2 β ππππ π‘πππ‘π β΄ πΊΓ πππππππ ππππππππ , πππππππ πππππππππππ, ππππππππ ππ ππππππππ π ππππππ π π ππππππππ Ejercicio 4. Cuando dos resistores idΓ©nticos son conectados en paralelo entre los terminales de una baterΓa, la potencia entregada por la baterΓa es de 10 watts. Si estos resistores fueran conectados en serie entre los terminales de la misma baterΓa, ΒΏCuΓ‘l serΓa ahora la potencia entregada por la baterΓa? π ππ = π 2 ; π0 = π2 π ππ β π0 = 2π2 π β 10 = 2π2 π β 5 = π2 π π ππ = 2π ; ππ = π2 π ππ β ππ = π2 2π β 2ππ = π2 π β 2ππ = 5 β π· π = π. π πΎ Ejercicio 5. Se desea colocar un foco con resistencia R intercalΓ‘ndolo en el circuito mostrado abajo. Se requiere que le foco experimente el mΓ‘ximo brillo, mΓ‘ximo potencia disipada. ΒΏEn donde se deberΓa intercalar el foco. a) En serie con la fuente πΊ π b) En serie con la fuente πΊ π c) Entre los puntos a y b Ξππ 1 = ππ΄ β ππ΅ β Ξππ 1 = 6 β β6 = 12π πΌ1 = Ξππ 1 π 1 = 12 10 β πΌ1 = 1.2 π΄ πΌ2 = ππ2 π 2 = 6 10 β πΌ2 = 0.6 π΄ πΌ3 = ππ2 π 3 = 6 12 β πΌ2 = 0.5 π΄ πΌ πππ‘ππ = 1.2 + 0.6 + 0.5 = 2.3 π΄ β΄ π¬π πππππ πππ ππ ππππππ πΊ π
- 34. FΓSICA C ESPOL 34 ERICK CONDE Ejercicio 6. La baterΓa πΊ π tiene un valor de 20 voltios. El valor de πΊ π no es especificado. El valor de esta fuente se ajusta de tal forma que no fluya corriente a travΓ©s de ella. Las cuatro resistencias son iguales pero sus valores no son especificados. a) Si 20 W son disipados en πΉ π ΒΏCuΓ‘nta potencia es disipada en πΉ π? b) Encuentre el valor de πΊ π de tal forma que no fluya corriente a travΓ©s de esta baterΓa. Para a) π 5 = π 2 π ππ = 2π + π 2 = 5 2 π π = πΌπ β πΌ = π π ππ = 20 (5/2)π β πΌ = 8 π π3 = πΌπ 3 = 8 π π β π3 = 8π π3 = π2 π 3 β 20 = 64 π β π = 16 5 πΊ π5 = πΌ5 π 5 = 8 π π 2 β π5 = 4π π 2 = π ; π2 = π5 = 4π π2 = π2 2 π 2 = 42 (16/5) β π· π = π πΎ Para b) Ξππ 6 = ππ΄ β ππ΅ Ξππ 6 = π1 β +π2 β Ξππ 6 = π1 β π2 πΌ = Ξππ 6 π 6 = π1 β π2 π 6 Para que no fluya corriente a travΓ©s de π2, las corrientes tienen que ser iguales 2π2 π = π1 β π2 2π β 4π2 = π1 β π2 β 5π2 = π1 5π2 = 20 β πΊ π = π π½
- 35. FΓSICA C ESPOL 35 ERICK CONDE Ejercicio 7. Un capacitor esfΓ©rico es construido de placas metΓ‘licas y concΓ©ntricas, de radios πΉπππ y πΉ πππ respectivamente. El espacio entre las placas esta inicialmente lleno de aire. Una baterΓa es conectada a las dos placas como se muestra en la figura, estableciΓ©ndose una diferencia de potencial βπ½ πππππΓπ entre ella. Como resultado, cargas iguales de signos opuestos +Q y βQ aparecen sobre las placas. πΉπππ = π ππ πΉ πππ = π ππ βπ½ πππππΓπ = π π²π½ a) Calcule la magnitud de la carga Q sobre las placas. b) Si el potencial elΓ©ctrico se define como cero en el infinito, ΒΏCuΓ‘l es la magnitud del potencial V en un punto ubicado a 3 cm desde el centro de la esfera. c) Si el espacio entre las placas esfΓ©ricas se llena con un material dielΓ©ctrico de constante dielΓ©ctrica k = 5, mientras se mantiene constante el voltaje de la baterΓa, determine la magnitud de la carga Q sobre las placas. d) Suponga ahora que le espacio entre las placas esfΓ©ricas es cubierto en su totalidad con un material cuya resistividad es π = ππ π π΄π, determine el valor de la corriente entre las placas del capacitor (sugerencia determine el valor de la resistencia del material colocado entre las placas del capacitor) Para a) πΆ = π Ξπ ; πΆ = ππ πΎπ(π β π) π Ξπ = π πππ‘ π ππ₯π‘ πΎπ(π ππ₯π‘ β π πππ‘ ) β π = Ξπ π πππ‘ π ππ₯π‘ πΎπ (π ππ₯π‘ β π πππ‘ ) = 7 β 103 0.05 (0.08) 9 β 109 (0.08 β 0.05) πΈ = π. ππππ ππͺ Para b) Ξπ = β πΈππ β Ξπ = β πΈ(βππ) Ξπ = πΈππ π π β β ππ β πβ = πΈ1 ππ π ππ₯π‘ β πππππ πππππππππ ππ ππππ + πΈ2 ππ π πππ‘ π ππ₯π‘ + πΈ3 ππ π π π πππ‘ ππππππ ππ πππππππ ππ ππππ ππ = πΈ2 ππ π πππ‘ π ππ₯π‘ = ππ πππ‘ β ππ ππ₯π‘ β ππ = βππππ‘ππ Γπ β π½ π = π π²π½
- 36. FΓSICA C ESPOL 36 ERICK CONDE Para c) π = π πππ‘ π ππ₯π‘ πΎπ(π ππ₯π‘ β π πππ‘ ) βππππ‘ππ Γπ β πΈ = π. ππππ ππͺ Para d) π = π π π΄ ; π β π ππ = π ππ π΄ = π ππ 4ππ2 ππ = π 4π ππ π2 π ππ₯π‘ π πππ‘ β π = π 4π β 1 π π πππ‘ π ππ₯π‘ = 104 4π β 1 0.08 + 1 0.05 β π = 5.968 πΎπΊ πΌ = βππππ‘ππ Γπ π = 7 β 103 5.968 β 103 β π° = π. ππ π¨