1.
2019
FAKHARI Ayyoub

2.
2
INTRODUCTION
Plan
ALGORITHME DUET
ALGORITHME ESPRIT
Combinant DUET & ESPRIT
SIMULATIONS EXPÉRIMENTALES
1
2
3
4
5
CONCLUSION6

3.
1.
INTRODUCTION
3
La séparation des sources aveugle avec les méthodes DUET et DESPRIT a reçu beaucoup
d'attention en raison de ses applications potentielles sur le traitement du signal:
Télécommunication
Systèmes d'amélioration de la parole
Ingénierie biomédicale

4.
4
Mélanges - Séparations

5.
5
Mélanges
 Instantanés : Système de mélange dans le domaine temporel est une matrice 𝑨 ∈ 𝑹 𝑵∗𝑴
x(t) = A s(t)
 Convolutifs : Système de mélange dans le domaine temporel est un ensemble de filtres
𝒉 = [𝒉 (𝟎) , . . . , 𝒉 (𝑳 − 𝟏)] où 𝒉(𝒍) = [𝒉 𝒎𝒏] ; 𝟏 ≤ 𝒎 ≤ 𝑴 , 𝟏 ≤ 𝒏 ≤ 𝑵 :
x(t)= 𝑳=𝟎
𝑳−𝟏
𝒉 𝒍 𝒔(𝒕 − 𝒍)
 Instantanés : Système de mélange dans le domaine temporel est une matrice 𝑨 ∈ 𝑹 𝑵∗𝑴
x(t) = A s(t)
 Convolutifs : Système de mélange dans le domaine temporel est un ensemble de filtres
𝒉 = [𝒉 (𝟎) , . . . , 𝒉 (𝑳 − 𝟏)] où 𝒉(𝒍) = [𝒉 𝒎𝒏] ; 𝟏 ≤ 𝒎 ≤ 𝑴 , 𝟏 ≤ 𝒏 ≤ 𝑵 :
x(t)= 𝑳=𝟎
𝑳−𝟏
𝒉 𝒍 𝒔(𝒕 − 𝒍)

6.
6
Mélanges
𝑺 𝟏 𝑺 𝟐 𝑺 𝟑 𝑺 𝟐
𝑺 𝟏𝑺 𝟏
𝒙 𝟏
𝒙 𝟐
𝒙 𝟑
𝒙 𝟏
𝒙 𝟐
𝒙 𝟑
anéchoïques échogènes

7.
7
Séparation
 Déterminée :
Nombre de sources à estimer est égale au nombre de microphones N = M
 Sur-déterminée :
Nombre de sources à estimer est inférieur au nombre de microphones N < M
 Sous-déterminée :
Nombre de sources à estimer est supérieur au nombre de microphones N > M
 Déterminée :
Nombre de sources à estimer est égale au nombre de microphones N = M
 Sur-déterminée :
Nombre de sources à estimer est inférieur au nombre de microphones N < M
 Sous-déterminée :
Nombre de sources à estimer est supérieur au nombre de microphones N > M

8.
2.
ALGORITHME DUET
8

9.
9
DUET
L’algorithme DUET ( Degenerate Unmixing Estimation Technique )
permet de démixter un nombre arbitraire de signaux de source vocale pour seulement
2 mélanges anéchoïques des signaux , à condition que ces signaux soient W-disjoint orthogonal.

10.
10
DUET
DUET utilise deux mélanges (M=2) : 𝒙 𝟏 𝒕 𝒆𝒕 𝒙 𝟐 𝒕
𝑿 𝟏 (𝝎)
𝑿 𝟐(𝝎)
=
𝟏 … 𝟏
𝜶 𝟏 𝒆−𝒋𝝎𝜹 𝟏 … 𝜶 𝑵 𝒆−𝒋𝝎𝜹 𝑵
𝑨 𝟏 𝝎 𝑺 𝟏 𝝎
.
.
.
𝑨 𝑵(𝝎)𝑺 𝑵(𝝎)
+
𝑽 𝟏 𝝎
𝑽 𝟐(𝝎)
 𝑨 𝒏 𝝎 = 𝒂 𝒏 𝒆−𝒊𝝎𝒅 𝒏
 𝒅 𝒏 et 𝒂 𝒏 : 𝒔𝒐𝒏t l'atténuation et le retard subis par le nième signal lorsqu'il se propage au 1er capteur,
 𝜶 𝒏 et 𝜹 𝒏 ∶sont l'atténuation et le retard subis par le nième signal se déplace entre deux capteurs adjacents,
 𝑽 𝟏 𝝎 𝐞𝐭 𝑽 𝟐 𝝎 : sont des termes de bruit distribués indépendamment et de manière identique.

11.
11
DUET
Cas sans bruit
les N coefficients de canal 𝑨 𝟏 𝝎 , . . ., 𝑨 𝒏 𝝎 , peut être absorbé par les N sources, c’est-à-dire, 𝑨 𝒏 𝝎 𝑺 𝒏 𝝎 → 𝑺 𝒏 𝝎 :
𝑿 𝟏 (𝝎)
𝑿 𝟐(𝝎)
=
𝟏
𝜶 𝒏 𝒆−𝒋𝝎𝜹 𝒏
𝑺 𝒏(𝝎)
𝜶 𝒏 et 𝜹 𝒏 ∶sont l'atténuation et le retard subis par le nième signal se déplace entre deux capteurs adjacents,

12.
12
DUET
Propriété W-disjoint orthogonale (WDO) peut être formulée de manière suivant :
𝑺 𝒏 𝝉, 𝝎 𝑺𝒍 𝝉, 𝝎 = 𝟎 ∀ 𝝉, 𝝎 ; n≠l
La représentation temps-fréquence du signal Sn(t) est donnée par la transformée de Fourier fenêtrée :
𝑺 𝒏 𝝉, 𝝎 = −∞
+∞
𝑾 𝒕 − 𝝉 𝑺 𝒏 𝒕 𝒆−𝒋𝝎𝒕
𝒅𝒕
W (t) est une fonction de fenêtre
Propriété W-disjoint orthogonale (WDO) peut être formulée de manière suivant :
𝑺 𝒏 𝝉, 𝝎 𝑺𝒍 𝝉, 𝝎 = 𝟎 ∀ 𝝉, 𝝎 ; n≠l
La représentation temps-fréquence du signal Sn(t) est donnée par la transformée de Fourier fenêtrée :
𝑺 𝒏 𝝉, 𝝎 = −∞
+∞
𝑾 𝒕 − 𝝉 𝑺 𝒏 𝒕 𝒆−𝒋𝝎𝒕
𝒅𝒕
W (t) est une fonction de fenêtre
Propriété W-disjoint orthogonale (WDO) peut être formulée de manière suivant :
𝑺 𝒏 𝝉, 𝝎 𝑺𝒍 𝝉, 𝝎 = 𝟎 ∀ 𝝉, 𝝎 ; n≠l
La représentation temps-fréquence du signal Sn(t) est donnée par la transformée de Fourier fenêtrée :
𝑺 𝒏 𝝉, 𝝎 = −∞
+∞
𝑾 𝒕 − 𝝉 𝑺 𝒏 𝒕 𝒆−𝒋𝝎𝒕
𝒅𝒕
W (t) est une fonction de fenêtre

13.
13
DUET
les paramètres d'atténuation et de retard pour la nième source peuvent être déterminés par :
𝜶 𝒏 =
𝑿 𝟐(𝝎)
𝑿 𝟏(𝝎)
et 𝜹 𝒏 = −
𝟏
𝝎
𝑿 𝟐(𝝎)
𝑿 𝟏(𝝎)
Dans le domaine temps-fréquence l’expression précédente donnés par :
𝜶 𝒏 =
𝑿 𝟐(𝝎,𝝉)
𝑿 𝟏(𝝎,𝝉)
et 𝜹 𝒏 = −
𝟏
𝝎
𝑿 𝟐(𝝎,𝝉)
𝑿 𝟏(𝝎,𝝉)
les paramètres d'atténuation et de retard pour la nième source peuvent être déterminés par :
𝜶 𝒏 =
𝑿 𝟐(𝝎)
𝑿 𝟏(𝝎)
et 𝜹 𝒏 = −
𝟏
𝝎
𝑿 𝟐(𝝎)
𝑿 𝟏(𝝎)
Dans le domaine temps-fréquence l’expression précédente donnés par :
𝜶 𝒏 =
𝑿 𝟐(𝝎,𝝉)
𝑿 𝟏(𝝎,𝝉)
et 𝜹 𝒏 = −
𝟏
𝝎
𝑿 𝟐(𝝎,𝝉)
𝑿 𝟏(𝝎,𝝉)
les paramètres d'atténuation et de retard pour la nième source peuvent être déterminés par :
𝜶 𝒏 =
𝑿 𝟐(𝝎)
𝑿 𝟏(𝝎)
et 𝜹 𝒏 = −
𝟏
𝝎
𝑿 𝟐(𝝎)
𝑿 𝟏(𝝎)
Dans le domaine temps-fréquence l’expression précédente donnés par :
𝜶 𝒏 =
𝑿 𝟐(𝝎,𝝉)
𝑿 𝟏(𝝎,𝝉)
et 𝜹 𝒏 = −
𝟏
𝝎
𝑿 𝟐(𝝎,𝝉)
𝑿 𝟏(𝝎,𝝉)

14.
3.
Algorithme ESPRIT
14

15.
15
Méthode ESPRIT
Estime les directions d'arrivées des signaux par rapport à une translation d'un système de capteur.
c
Vise à trouver les N angles d'arrivée de N signaux à bande étroite non corrélés
𝑺 𝟏 𝒕 , 𝑺 𝟐 𝒕 , … , 𝑺 𝒏(𝒕) à l’aide de mélanges de capteurs anéchoïques 𝑴 ≥ 𝑵 à partir d’un
réseau linéaire uniforme.

16.
16
Principe d’ESPRIT
Repose sur deux sous-réseaux de capteurs. Chaque élément du premier sous-réseau est déplacé dans l'espace à partir
de l'élément correspondant du deuxième sous-réseau par le même vecteur de déplacement.
𝒙 𝟏 𝒕
𝒙 𝟐 𝒕
𝒙 𝟏 𝒕
𝒙 𝟐 𝒕
M = m / 2 m / 2 < M < m-1
𝒙 𝟏 𝒕
𝒙 𝟐 𝒕
M = m-1
M 2 1m-1

17.
17
Etapes Principaux d’Algorithme ESPRIT
M mélanges à bande étroite x1(t), . . ., xM(t) de fréquence centrale ω0 sont échantillonnés
aux K points temporels adjacents t1 , . . ., tK
Etape 2
La décomposition de la matrice de covariance spatiale en valeurs singulières
est calculée :
Ȓ 𝒁𝒁 = 𝒁𝒁 𝑯
𝒁 =
𝒙 𝟏 𝒕 𝟏 … 𝒙 𝟏 𝒕 𝑲
⋮ ⋱ ⋮
𝒙 𝑴−𝟏 𝒕 𝟏 … 𝒙 𝑴−𝟏 𝒕 𝑲
𝒙 𝟐 𝒕 𝟏 … 𝒙 𝟐 𝒕 𝑲
⋮ ⋱ ⋮
𝒙 𝑴 𝒕 𝟏 … 𝒙 𝑴 𝒕 𝑴
=
𝑬 𝟏
𝑬 𝟐
Les N paramètres de mélange sont estimés via une décomposition en
valeurs propres:
𝝓 𝟏 𝝎 𝟎 , … , 𝝓 𝑵 𝝎 𝟎 = 𝒆𝒊𝒈𝒔{𝑬 𝟏
𝒕
𝑬 𝟐
Etape 3
Etape 1

18.
18
Limitations d'ESPRIT
 L’autre limite d’ESPRIT est qu’elle exige que le nombre de mélanges M > N
 L'implémentation initiale d'ESPRIT se limitait aux signaux à bande étroite

19.
4.
Combinant DUET & ESPRIT  DESPRIT
19

20.
20
Combinant DUET et ESPRIT
estime le retard (de manière équivalente l’angle d’arrivée) et l’atténuation de N signaux WDO, éventuellement large bande, lorsqu’ils
traversent un réseau de paires de capteurs de type ESPRIT à l’aide de deux mélanges anéchoïques ou plus dans le domaine
temps-fréquence.
L’algorithme DESPRIT
Ces estimations sont utilisées pour générer un histogramme à deux dimensions qui est pondéré par la puissance des
estimations de source correspondant au point temps-fréquence.
Une fois les N paramètres de mélange identifiés, la démixtion est réalisée par inversion de matrice
à chaque point temps-fréquence avec la matrice de démixtion correspondant aux pics les plus
proches du paramètre estimé pour ce point temps-fréquence.

21.
21
Types de combinaison DESPRIT
On a trois types de combinaison entre DUET-ESPRIT :
1. Hard DESPRIT : Extension de DUET a Multicanal M ≥ 2
2. Soft DESPRIT : WDO affaiblie
3. Echoic DESPRIT : Mélange échogène

22.
22
Hard DESPRIT

23.
23
Hard DESPRIT
Technique hard DESPRIT utilisée pour le traitement des mélanges M > 2, mais suppose toujours au plus
une source active à tout point temps-fréquence et le modèle de mélange anéchoique.
La matrice de covariance spatiale temps-fréquence peut être définie comme :
𝑹 𝒛𝒛 = 𝑬{𝒁 𝝎, 𝝉 𝒁 𝑯
(𝝎, 𝝉
𝒁 𝝎, 𝝉 =
)𝑿 𝟏(𝝎, 𝝉
⋮
)𝑿 𝑴−𝟏(𝝎, 𝝉
)𝑿 𝟐(𝝎, 𝝉
⋮
)𝑿 𝑴(𝝎, 𝝉
Par conséquent la décomposition de la matrice de covariance RZZ en valeur singulière est calculé :
𝑹 𝒁𝒁 =
𝑬 𝟏
𝑬 𝟐
𝑬 𝟏
𝑯
𝑬 𝟐
𝑯

24.
24
Hard DESPRIT
Lorsque l’opérateur d’attente est approché en utilisant une estimation instantanée, 𝝋 𝒏(ω, τ) est donné par
Dans le cas M = 2, cette expression correspond à l’étape d’estimation du paramètre DUET
∅ 𝒏 𝝎, 𝝉 = )𝒙 𝟏(𝝎, 𝝉 𝒕 )𝒙 𝟐(𝝎, 𝝉 ∀ 𝝎, 𝝉 ∈ 𝜴 𝒏
𝒙 𝟏 𝝎, 𝝉 = )𝑿 𝟏 𝝎, 𝝉 , … , 𝑿 𝑴−𝟏(𝝎, 𝝉 𝑻
𝒙 𝟐 𝝎, 𝝉 = )𝑿 𝟐 𝝎, 𝝉 , … , 𝑿 𝑴(𝝎, 𝝉 𝑻

25.
25
Soft DESPRIT

26.
26
Soft DESPRIT
La technique Soft DESPRIT utilisée pour le traitement des mélanges M > 2, et permet
également à plusieurs sources d'être actives à un point de temps-fréquence donné. Et le
mélange anéchoïque
Cette hypothèse WDO affaiblie permet aux signaux source de se chevaucher dans le domaine temps-fréquence.
𝑺 𝒏 𝟏
𝝎, 𝝉 × ⋯ × 𝑺 𝒏 𝒌
𝝎, 𝝉 = 𝟎
Soft DESPRIT est une implémentation de DESPRIT sous une hypothèse WDO affaiblie :
La matrice de covariance spatiale peut être approximée comme :
𝑹 𝒁𝒁 ≈
𝟏
𝟐𝒌 + 𝟏
𝒌=−𝑲
𝒌=𝑲
)𝒁(𝝎, 𝝉 + 𝒌∆𝑻 )𝒁(𝝎, 𝝉 + 𝒌∆𝑻 𝑯

27.
27
Soft DESPRIT
Conformément à l’algorithme ESPRIT , les paramètres de mélange estimés sont donnés par :
𝝓 𝟏 𝝎, 𝝉 , … , 𝝓 𝑴 𝝎, 𝝉 = 𝒆𝒊𝒈𝒔{𝑬 𝟏
𝒕
𝑬 𝟐
𝐸1 =
𝑥1 𝜔, 𝜏1 … 𝑥1 𝜔, 𝜏 𝐾
⋮ ⋱ ⋮
𝑥 𝑀−1 𝜔, 𝜏1 … 𝑥 𝑀−1 𝜔, 𝜏 𝐾
𝐸2 =
𝑥2 𝜔, 𝜏1 … 𝑥2 𝜔, 𝜏 𝐾
⋮ ⋱ ⋮
𝑥 𝑀 𝜔, 𝜏1 … 𝑥 𝑀 𝜔, 𝜏 𝐾

28.
28
Echoic DESPRIT

29.
29
Echoic DESPRIT
L'extension écho DESPRIT s'appuie sur M > 2 mélanges pour démixter jusqu'à [M/2] ≥ P sources de
chaque point de fréquence, et permet également à plusieurs sources d'être actives à un point de
temps-fréquence donné.
Estimation des paramètres de mélange de signaux sources cohérents
Le modèle de mélange échogène part du principe qu'un signal source 𝑺 𝒏(𝒕) se propage sur des
chemins échogènes distincts 𝑷 𝒏 au réseau de capteurs. Afin de démixter avec succès des mélanges d'écho,
il s'ensuit qu'une étape d'estimation de paramètre doit permettre la cohérence des signaux source.

30.
30
Echoic DESPRIT
M mélange x1(t), . . ., xM (t) sont utilisés pour construire les matrices :
𝑬 𝟏 =
𝒙 𝟏 𝒕 … 𝒙 𝑴/𝟐 𝒕
⋮ ⋱ ⋮
𝒙 𝑴/𝟐 𝒕 … 𝒙 𝑴−𝟏 𝒕
𝑬 𝟐 =
𝒙 𝟐 𝒕 … 𝒙 𝑴/𝟐 +𝟏 𝒕
⋮ ⋱ ⋮
𝒙 𝑴/𝟐 +𝟏 𝒕 … 𝒙 𝑴 𝒕
Les estimations des paramètres de mélange M / 2 sont obtenues via une décomposition en valeurs
propres :
𝝓 𝟏 𝝎 𝟎 , … , 𝝓 𝑴 𝟐 𝝎 𝟎 = 𝒆𝒊𝒈𝒔{𝑬 𝟐 𝑬 𝟏
𝒕

31.
5.
SIMULATIONS EXPÉRIMENTALES
31

32.
32
Expériences de mélange synthétique
Extension Hard DESPRIT

33.
33
Extension Hard DESPRIT
Nombres des sources vocaux 5
Durée (seconde ) 3.75
Fréquence d'échantillonnage ( KHz) 16
Nombre de mélange 3
Espace entre des microphones (Cm) 20
Paramètres de mélange (α1,. . . , α5 ) (1.06, 0.78, 0.87, 1.15, 0.93)
Paramètres de mélange (δ1,. . . , δ5 ) (0.24, 0.29, 0.5, -0.85, 0.17)
Expérience

34.
34
Extension Hard DESPRIT
Résultats

35.
35
Extension Hard DESPRIT
Résultats

36.
36
Expériences de mélange synthétique
Extension Soft DESPRIT

37.
37
Extension soft DESPRIT
Nombres des sources vocaux 5
Nombre de mélange 2 , 3 et 4
Durée (seconde ) 1.7
Fréquence d'échantillonnage ( KHz) 16
Espace entre des microphones (Cm) 20
Paramètres de mélange (α1,. . . , α5 ) (-0.45, 0.87, 0.32, -0.92, -0.11)
paramètres de mélange (δ1,. . . , δ5 ) (0.24, 0.29, 0.5, -0.85, 0.17)
Expérience

38.
38
Extension soft DESPRIT
M=2 M=3 M=4
Histogrammes Soft DESPRIT :
L’axe des x avec les unités -2,5 ≤ δ ≤ 2,5 échantillons
et l’axe des ordonnées avec des unités −2,5 ≤ log (α) ≤ 2,5.
Résultats

39.
39
Expériences de mélange synthétique
Extension Echoic DESPRIT

40.
40
Extension Echoic DESPRIT
2,5 secondes
16 kHz
20 cm
20 cm
20 cm
20 cm
20 cm
Expérience

41.
41
Extension Echoic DESPRIT
les paramètres de mélange (α1,1, α1,2, α1,3) , (α2,1, α2,2) (1.84, 1.48, 0.81) , (1.09, 0.55)
les paramètres de mélange (δ1,1, δ1,2, δ1,3) , (δ2,1, δ2,2) (−0.09 , ‐0.9, 0.33) , (‐0.45, 0.86)
Expérience

42.
42
Extension Echoic DESPRIT
Résultats

43.
43
Extension Echoic DESPRIT
Résultats

44.
44
DUET, Hard DESPRIT, Soft DESPRIT et Echoic DESPRIT
Expériences réelles

45.
20 cm
20 cm
20 cm
45
Expériences réelles
Hard DESPRIT, Soft DESPRIT et Echoic DESPRIT
20 cm
DUET

46.
46
Expériences réelles
DUET Hard DESPRIT
Soft DESPRIT Echoic DESPRIT

47.
47
6.
CONCLUSION
Trois extensions ont été proposées, toutes combinant la méthode DUET et la technique d'estimation
de la direction d'arrivée ESPRIT :
Hard DESPRIT
Soft DESPRIT
Echoic DESPRIT

48.
MERCI!
Questions?
Master Traitement de Signal et Apprentissage Automatique