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Analyse Numérique Chapitre 1: Équations Non Linéiares

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Analyse Numérique Chapitre 1: Équations Non Linéiares

  1. 1. ANALYSE NUMÉRIQUE Chapitre I ÉQUATIONS NON LINÉAIRES
  2. 2. EXERCICES DE RÉVISIONS: ANALYSE NUMÉRIQUE-CHAPITRE I Équation Non Linéaire Une équation à une inconnue x est dite non linéaire si elle est de la forme f(x) = 0 où: la fonction f(x) est non linéaire, c’est-à-dire n’est pas de la forme de ax + c: Une solution r de l’équation f(x)=0 est dite de multiplicité m si f(r)=f0 (r)=...f(m 1) (r)=0; f(m) (r) 6= 0. Une équation f(x) = 0 possède une solution sur un intervalle [a; b] lorsque f(x) est dé…nie et continue sur [a; b] et f(a)f(b) < 0: Si de plus f0 (x)>0 ou f0 (x)<0 8x 2 [a; b] : la solution est unique. Méthode de la Bissection (ou Dichotomie) Pour trouver la solution de l’équation f(x) = 0 dans un intervalle donné [a; b] par cette méthode avec un critère d’arrêt et le nombre maximum d’itérations N; refaire les étapes ci-dessous au plus N fois: 1. Poser xm = a+b 2 : 2. Si jb aj 2jxmj < ; la solution est xm. Sinon continuer*. 3. Si f(a)f(xm)<0; poser b=xm et retourner à 1. Si f(b)f(xm)<0; poser a=xm et retourner à 1. Le nombre d’itérations nécessaires pour atteindre une précision " donnée est N > lnjb aj ln " ln 2 1: Méthode des Points Fixes Pour utiliser cette méthode, il faut transformer l’équation f(x) = 0 en une équation de la forme x = g(x). Pour trouver alors la solution (appelée point …xe) de x = g(x) avec un critère d’arrêt ; le nombre maximum d’itérations N; et une valeur initiale x0; refaire les étapes ci-dessous au plus N fois: 1. Poser xn+1 = g(xn): 2. Si jxn+1 xnj jxn+1j < ; la solution est xn+1: Sinon continuer*. 3. Remplacer xn par xn+1 et retourner à 1. Cette méthode s’applique (converge et possède une solution unique) lorsque: 8x 2 [a; b]; g(x) 2 [a; b]: Et g0 (x) est dé…nie et continue. Et 9k < 1 tel que 8x 2 [a; b]; jg0 (x)j 6 k. Si jg0 (r)j < 1 et jg00 (r)j 6= 0; la méthode est convergente à l’ordre 1. jg0 (r)j indique la rapidité. Si jg0 (r)j = 0 et jg00 (r)j 6= 0; la méthode est convergente à l’ordre 2. (convergence quadratique)...etc. Le nombre d’itérations nécessaires pour atteindre une précision " donnée est N > ln((1 k)") lnjb aj ln k : Si la méthode est convergente à l’ordre 1, la méthode de Ste¤enson suivante accélère la convergence: 1. Poser x1 = g(x0) et x2 = g(x1) et xA = x0 (x1 x0)2 x2 2x1+x0 : (Extrapolation d’Aitken) 2. Si jxA x0j jxAj < ; la solution est xA: Sinon continuer*. 3. Remplacer x0 par xA et retourner à 1. Méthode de Newton (ou Newton-Raphson) Soit f(x) une fonction continue et deux fois continûment dérivable sur [a; b]: Pour trouver la solution de l’équation f(x) = 0 par cette méthode avec un critère d’arrêt ; le nombre maximum d’itérations N; et une valeur initiale x0, refaire les étapes ci-dessous au plus N fois: 1. Poser xn+1 = xn f(xn) f0(xn) : 2. Si jxn+1 xnj jxn+1j < ; la solution est xn+1: Sinon continuer*. 3. Remplacer xn par xn+1 et retourner à 1. Si f(a)f(b)<0; f0 (x) 6= 0; f00 (x)<0 ou f00 (x)>0, f(x0)f00 (x0)>0, alors la méthode converge pour x0. Si f(a)f(b)<0; f0 (x) 6= 0; f00 (x)60 ou f00 (x)>0; jf(a)j jf0(a)j et jf(b)j jf0(b)j <jb aj, elle converge 8x0 2 [a; b]: Sa convergence est en général quadratique mais lorsque m > 1 elle est seulement linéaire (d’ordre 1.) Méthode de la Sécante Pour trouver la solution de l’équation f(x) = 0 par cette méthode avec un critère d’arrêt ; le nombre maximum d’itérations N; et les valeurs initiales x0 et x1, refaire les étapes ci-dessous au plus N fois: 1. Poser xn+1 = xn (xn xn 1)f(xn) f(xn) f(xn 1) : 2. Si jxn+1 xnj jxn+1j < ; la solution est xn+1: Sinon continuer*. 3. Remplacer xn 1 par xn et xn par xn+1 et retourner à 1. * Le critère d’arrêt est parfois dé…ni aussi par jb aj 2 < ; ou bien jxn+1 xnj < ; ou bien jf(xn+1)j < : F . H A M M A D http://exerev.yolasite.com - http://sites.google.com/site/exerev

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