Lượng giác

1. LTĐH Phương trình lượng giác
Cung Liên Kết
Cung hơn kém 2π: α và (α ± 2π) Cung hơn kém π: α và (α ± π)
• sin (α ± k2π) = sin α • cos (α ± k2π) = cos α • sin (α ± π) = − sin α • cos
π
2
+ α = − sin α
• tan (α ± k2π) = tan α • cot (α ± k2π) = cot α • tan (α ± π) = tan α • cot (α ± π) = cot α
Cung đối nhau: α và −α Cung bù nhau: α và π − α
• cos(−α) = cos α • sin(−α) = − sin α • sin(π − α) = sin α • cos(π − α) = − cos α
• tan(−α) = − tan α • cot(−α) = − cot α • tan(π − α) = − tan α • cot(π − α) = − cot α
Cung phụ nhau: α và
π
2
− α Cung hơn
π
2
: α và
π
2
+ α
• sin
π
2
− α = cos α • cos
π
2
− α = sin α • sin
π
2
+ α = cos α • cos
π
2
+ α = − sin α
• tan
π
2
− α = cot α • cot
π
2
− α = tan α • tan
π
2
+ α = − cot α • cot
π
2
+ α = − tan α
Công Thức Lượng Giác Cơ Bản
• sin2
x + cos2 x = 1 ⇔
sin2
x = 1 − cos2
x
cos2
x = 1 − sin2
x
• tan x cot x = 1 ⇔ tan x =
1
cot x
⇔ cot x =
1
tan x
• tan x =
sin x
cos x
⇔ sin x = tan x. cos x • cot x =
cos x
sin x
⇔ cos x = cot x. sin x
•1 + tan2 x =
1
cos2 x
⇔ cos2 x =
1
1 + tan2 x
•1 + cot2 x =
1
sin2
x
⇔ sin2
x =
1
1 + cot2 x
Công Thức Cộng Công Thức Nhân Đôi
• sin (a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b • sin 2α = 2 sin α cos α
• cos (a ± b) = cos a cos b sin a sin b • cos 2α =



cos2
α − sin2
α
2 cos2
α − 1
1 − 2 sin2
α
• tan (a ± b) =
tan a ± tan b
1 tan a tan b
• tan 2α =
2 tan α
1 − tan2 α
Công Thức Hạ Bậc Công Thức Tính Theo t = tan
α
2
• sin2
α =
1 − cos 2α
2
• sin α =
2t
1 + t2
• cos2 α =
1 + cos 2α
2
• cos α =
1 − t2
1 + t2
• tan2 α =
1 − cos 2α
1 + cos 2α
• tan α =
2t
1 − t2
Công Thức Nhân Ba Công Thức Hạ Bậc Ba
• sin 3x = 3 sin x − 4 sin3
x • sin3
x =
3 sin x − sin 3x
4
• cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x • cos3 x =
3 cos x + cos 3x
4
Công Thức Biến Tổng Thành Tích Công Thức Biến Tích Thành Tổng
• sin x + sin y = 2 sin
x + y
2
cos
x − y
2
• sin a cos b =
1
2
[sin (a + b) + sin (a − b)]
• sin x − sin y = 2 cos
x + y
2
sin
x − y
2
• cos a cos b =
1
2
[cos (a + b) + cos (a − b)]
• cos x + cos y = 2 cos
x + y
2
cos
x − y
2
• sin a sin b = −
1
2
[cos (a + b) − cos (a − b)]
• cos x − cos y = −2 sin
x + y
2
sin
x − y
2
• sin x ± cos x =
√
2 sin x ±
π
4
Công Thức Lượng Giác Khác
• cot x + tan x =
2
sin 2x
• cot x − tan x = 2 cot 2x
• tan x + tan y =
sin (x + y)
cos x cos y
• tan x − tan y =
sin (x − y)
cos x cos y
• cot x + cot y =
sin(y + x)
sin x sin y
• cot x − cot y =
sin(y − x)
cos x cos y
• cot x + tan y =
cos(x − y)
sin x cos y
• cot x − tan y =
cos(x + y)
sin x cos y
ThS. Phan Thanh Tâm 0907 99 11 60 Trang 1

2. LTĐH Phương trình lượng giác
I.Phương trình lượng giác cơ bản
sin x = sin α ⇔
x = α + k2π
x = π − α + k2π
(k ∈ Z)
sin x = 0 ⇔ x = kπ
sin x = 1 ⇔ x =
π
2
+ k2π
cos x = cos α ⇔
x = α + k2π
x = −α + k2π
(k ∈ Z)
sin x = −1 ⇔ x = −
π
2
+ k2π
cos x = 0 ⇔ x =
π
2
+ kπ
tan x = tan α ⇔ x = α + kπ(k ∈ Z) cos x = 1 ⇔ x = kπ(k ∈ Z)
cot x = cot α ⇔ x = α + kπ(k ∈ Z) cos x = −1 ⇔ x = π + k2π
II.Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:






a sin2
x + b sin x + c = 0
a cos2
x + b cos x + c = 0
a tan2
x + b tan x + c = 0
a cot2
x + b cot x + c = 0
Cách giải: Đặt t =





sin x
cos x
tan x
cot x





. Phương trình trở thành at2 + bt + c = 0
Chú ý:
1. Nếu đặt t =
sin x
cos x
. Điều kiện −1 ≤ t ≤ 1
2. Ta có thể giải trực tiếp mà không nhất thiết đặt ẩn phụ
III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: a sin x + b cos x = c(1)
Điều kiện có nghiệm a2 + b2 ≥ c2
Chia hai vế của phương trình cho
√
a2 + b2 : (1) ⇔
a
√
a2 + b2
sin x +
b
√
a2 + b2
cos x =
c
√
a2 + b2
Đặt



cos α =
a
√
a2 + b2
sin α =
b
√
a2 + b2
(1) ⇔ sin (x + α) =
c
√
a2 + b2
Chú ý: Điều kiện (1) có nghiệm: a2 + b2 ≥ c2
IV. PT đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx: a sin2
x + b sin x cos x + c cos2 x = d
• TH1: cos x = 0 ⇔ x =
π
2
+ kπ. Chú ý: sin2
x = 1
Thế vào phương trình kiểm tra x =
π
2
+ kπ có là nghiệm phương trình?
• TH2: cos x = 0 chia hai vế của phương trình cho cos2 x, dẫn tới việc giải phương trình:
a tan2 +b tan x + c = d 1 + tan2 x
V. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:a (sin x ± cos x) + b sin x cos x + c = 0
Đặt t = sin x ± cos x =
√
2 sin x ±
π
4
, ĐK: t ∈ [−
√
2,
√
2]
⇒ t2 = 1 ± 2 sin x cos x ⇔ sin x cos x = ±
t2 − 1
2
Phương trình trở thành: at + b ±
t2 − 1
2
+ c = 0
VI. Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx:
a tan2 x + cot2 x + b(tan x ± cot x) + c = 0
a tan2 x + cot2 x + b(tan x + cot x) + c = 0 (1) a tan2 x + cot2 x + b(tan x − cot x) + c = 0 (2)
Đặt t = tan x + cot x =
2
sin 2x
Đặt t = tan x − cot x = −2 cot 2x
Điều kiện: t ∈ (−∞, −2] ∪ [2, +∞) Điều kiện: t ∈ RI
⇒ t2 = tan2 x + cot2 x + 2 ⇒ t2 = tan2 x + cot2 x − 2
(1) ⇔ a(t2 − 2) + bt + c = 0 (2) ⇔ a(t2 + 2) + bt + c = 0
ThS. Phan Thanh Tâm 0907 99 11 60 Trang 2

3. LTĐH Phương trình lượng giác
1. Một vài ví dụ cơ bản
Ví dụ 1.
√
2 cot 5x −
π
8
= 0
⇔ 5x −
π
8
=
π
2
+ kπ ⇔ x = π +
kπ
5
Ví dụ 2.
√
3 tan(3x +
3π
5
) = 0
⇔ 3x +
3π
5
= kπ ⇔ x = −
π
5
+
kπ
3
Ví dụ 3. 2 sin x − 1 = 0
⇔ sin x =
1
2
= sin
π
6
⇔



x =
π
6
+ k2π
x =
5π
6
+ k2π
Ví dụ 4. 2 cos x −
√
3 = 0
cos x =
√
3
2
= cos
π
6
⇔ x = ±
π
6
+ k2π
Ví dụ 5. 2 cos x +
π
3
+ 1 = 0
2 cos x +
π
3
+ 1 = 0 ⇔ cos x +
π
3
= −
1
2
= cos
2π
3
⇔



x +
π
3
=
2π
3
+ k2π
x +
π
3
= −
2π
3
+ k2π
⇔


x =
π
3
+ k2π
x = −π + k2π
Ví dụ 6. sin 2x +
π
3
= −
√
2
2
⇔



2x +
π
3
= −
π
4
+ k2π
2x +
π
3
=
5π
4
+ k2π
⇔



x = −
7π
24
+ kπ
x =
11π
24
+ kπ
Ví dụ 7. 2cos2x +
√
3 cos x = 0
⇔


cos x = 0
cos x = −
√
3
2
= cos
5π
6
⇔



x =
π
2
+ kπ
x = ±
5π
6
+ k2π
Ví dụ 8. −2sin2
x + 3 sin x − 1 = 0
⇔


sin x = 1
sin x =
1
2
= sin
π
6
⇔






x =
π
2
+ k2π
x =
π
6
+ l2π
x =
5π
6
+ l2π
Ví dụ 9. 2cot2x − 5 cot x + 3 = 0
⇔


cot x = 1
cot x =
3
2
⇔



x =
π
4
+ kπ
x = arccot
3
2
+ kπ
Ví dụ 10. sin 5x + cos 5x = −
√
2
⇔
1
√
2
sin 5x +
1
√
2
cos 5x = −1 ⇔ sin 5x +
π
4
= −1
5x +
π
4
= −
π
2
+ k2π ⇔ x = −
3π
20
+
k2π
5
Ví dụ 11.
√
3 sin 3x − cos 3x = 2
⇔
√
3
2
sin 3x −
1
2
cos 3x = 1 ⇔ sin 3x −
π
6
= 1
⇔ 3x −
π
6
=
π
2
+ k2π ⇔ x =
2π
9
+
k2π
3
Ví dụ 12.
√
3 sin 3x − cos 3x = 2 sin x
⇔
√
3
2
sin 3x −
1
2
cos 3x = sin x
⇔ sin 3x −
π
6
= sin x
⇔


3x −
π
6
= x + k2π
3x −
π
6
= π − x + k2π
⇔



x =
π
12
+ kπ
x =
7π
24
+ k
π
2
Ví dụ 13. sin 3x −
√
3 cos 3x =
√
3 sin x − cos x
⇔
1
2
sin 3x −
√
3
2
cos 3x =
√
3
2
sin x −
1
2
cos x
⇔ sin 3x −
π
3
= sin x −
π
6
⇔


3x −
π
3
= x −
π
6
+ k2π
3x −
π
3
= π − x +
π
6
+ k2π
⇔



x =
π
12
+ kπ
x =
3π
8
+ k
π
2
Ví dụ 14. sin2
x + sin 2x + 2cos2x = 2 (1)
TH1: cos x = 0 ⇔ x =
π
2
+ kπ
(1) ⇒ 1 = 2(vô lí).
Vậy x =
π
2
+ kπ không là nghiệm của pt
TH2: cos x = 0
(1) ⇔ tan2 x + tan x + 2 = 2(1 + tan2 x)
⇔ tan2 x − tan x = 0
tan x = 0
tan x = 1
⇔


x =
π
4
+ kπ
x = kπ
Ví dụ 15. 2(sin x + cos x) + sin x cos x = −2 (1)
Đặt t = sin x + cos x =
√
2 sin x +
π
4
.
Điều kiện: t ∈ [−
√
2;
√
2]
⇒ sin x cos x =
t2 − 1
2
(1) ⇔ 2t +
t2 − 1
2
= −2 ⇔ t2 + 4t + 3 = 0
⇔
t = −1
t = −3 (loại)
⇔ sin x +
π
4
= −
√
2
2
= sin −
π
4
⇔


x +
π
4
= −
π
4
+ k2π
x +
π
4
= π +
π
4
+ k2π
⇔


x = −
π
2
+ k2π
x = π + k2π
Ví dụ 16. (tan2 x + cot2 x) + tan x + cot x = 0
Đặt t = tan x + cot x =
2
sin 2x
Điều kiện: t ∈ (−∞, −2] ∪ [2, +∞)
⇒ t2 = tan2 x + cot2 x + 2
(1) ⇔ (t2 − 2) + t = 0 ⇔
t = 1
t = −2
⇔
sin 2x = 2
sin 2x = −1
x =
π
2
+ kπ
ThS. Phan Thanh Tâm 0907 99 11 60 Trang 3

4. 2. Phương trình lượng giác cơ bản LTĐH Phương trình lượng giác
2. Phương trình lượng giác cơ bản
2.1 sin3
x + cos3 x = 2(sin5
x + cos5 x)
2.2
sin x + sin 2x + sin 3x
cos x + cos 2x + cos 3x
=
√
3
2.3 tan2 x =
1 + cos x
1 − cos x
2.4 tan 2x − tan 3x − tan 5x = tan 2x. tan 3x. tan 5x
2.5 cos
4
3
x = cos2 x
2.6 2
√
2 sin x +
π
4
=
1
sin x
+
1
cos x
2.7 2 tan x + cot 2x =
√
3 +
2
sin 4x
2.8 3 tan 3x + cot 2x = 2 tan x +
2
sin 4x
2.9 sin2
x + sin2
2x + sin2
3x = 2
2.10
sin 2x
1 + sin x
+ 2 cos x = 0
2.11
sin x. cot 5x
cos 9x
= 1
2.12 3 tan 6x −
2
sin 8x
= 2 tan 2x − cot 4x
2.13 2 sin 3x(1 − 4 sin2
x) = 1
2.14 tan2 x =
1 + cos x
1 − sin x
2.15 cos3 x. cos 3x + sin3
x. sin 3x =
√
2
4
2.16 cos3 x − 4 sin3
x − 3 cos x sin2
x + sin x = 0
2.17 sin4
x + cos4 x = 1 − 2 sin 2x
2.18 sin 3x −
π
4
= sin 2x. sin x +
π
4
2.19 tan4 x + 1 =
(2 − sin2
x) sin 3x
cos4 x
2.20 tan x + cos x − cos2 x = sin x 1 + tan
x
2
tan x
3. Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
3.21 sin 4x = tan x
3.22 sin4
x + sin4
x +
π
4
+ sin4
x −
π
4
=
9
8
3.23 tan x + cot x = 4
3.24
sin x 3
√
2 − 2 cos x − 2 sin2
x − 1
1 − sin 2x
= 1
3.25 4 cos3 x + 3
√
2 sin 2x = 8 cos 8x
3.26
1
cos x
+
1
sin 2x
=
2
sin 4x
3.27 sin 2x +
√
2 sin x −
π
4
= 1
3.28
√
2(2 sin x − 1) = 4(sin x − 1) − cos 2x +
π
4
−
sin 2x −
π
4
3.29 cos
4x
3
= cos2 x
3.30 tan
x
2
cos x + sin 2x = 0
3.31 1 + 3 tan x = 2 sin 2x
3.32 cot x = tan x + 2 tan 2x
3.33 2 cos2 3x
5
+ 1 = 3 cos
4x
5
3.34 3 cos 4x − 2 cos3 x = 1
3.35 2 cos
3x
2
+ 1 = 3 cos 2x
3.36 cos x + tan
x
2
= 1
3.37 3 tan 2x − 4 tan 3x = tan2 3x. tan 2x
3.38 cos x. cos 4x + cos 2x. cos 3x + cos2 4x =
3
2
3.39 cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4 =
3
2
3.40 sin 4x = tan x
3.41 cos6 x + sin6
x =
13
8
cos2 2x
3.42 sin
3π
10
−
x
2
=
1
2
sin
π
10
+
3x
2
ThS. Phan Thanh Tâm 0907 99 11 60 Trang 4

5. LTĐH Phương trình lượng giác
4. Phương trình bậc nhất theo sin, cos: a sin u + b cos u = c (a, b ∈ RI )
4.43 2
√
2(sin x + cos x) cos x = 3 + cos 2x
4.44 (2 cos x − 1)(sin x + cos x) = 1
4.45 2 cos 2x =
√
6(cos x − sin x)
4.46 3 sin x = 3 −
√
3 cos x
4.47 2 cos 3x +
√
3 sin x + cos x = 0
4.48 cos x +
√
3 sin x = sin 2x + cos x + sin x
4.49 cos x +
√
3 sin x =
3
cos x +
√
3 sin x + 1
4.50 sin x + cos x = cos 2x
4.51 4 sin3
x − 1 = 3 sin x −
√
3 cos 3x
4.52 3 cos x + 4 sin x +
6
3 cos x + 4 sin x + 1
= 6
4.53 cos 7x cos 5x −
√
3 sin 2x = 1 − sin 7x sin 5x
4.54 4(sin4
x + cos4 x) +
√
3 sin 4x = 2
4.55 cos2 x −
√
3 sin 2x = 1 + sin2
x
4.56 4 sin 2x − 3 cos 2x = 3(4 sin x − 1)
4.57 2 sin 2x − cos 2x = 7 sin x + 2 cos x − 4
4.58 sin 2x − cos 2x = 3 sin x + cos x − 2
4.59 tan x − sin 2x − cos 2x = −4 cos x +
2
cos x
4.60
2 −
√
3 cos x − 2 sin2 x
2
−
π
4
2 cos x − 1
= 1
5. Phương trình đối xứng
5.61 1 + cos3 x − sin3
x = sin x
5.62 cos3 x + cos2 x + 2 sin x − 2 = 0
5.63 cos 2x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x)
5.64 cot x − tan x = sin x + cos x
5.65 sin3
x − cos3 x = sin x − cos x
5.66 1 + tan x = sin x + cos x
5.67 sin 2x +
√
2 sin x −
π
4
= 1
5.68 sin 2x − 12(sin x + cos x) + 12 = 0
5.69
sin x + cos x
sin 2x + 1
= 1
5.70
1 − cos 2x
1 + cos 2x
=
1 − cos3 x
1 − sin3
x
5.71 5(sin x+cos x)+sin 3x−cos 3x = 2
√
2(2+sin 2x)
5.72 1 + sin x + cos x + sin 2x + 2 cos 2x = 0
5.73 sin2
x cos x − cos 2x + sin x = cos2 x sin x + cos x
5.74 cos2 x + sin3
x + cos x = 0
5.75 4 sin3
x − 1 = 3 sin x −
√
3 cos 3x
5.76 sin x + sin2
x + cos3 x = 0
5.77 −1 + sin3
x + cos3 x =
3
2
sin 2x
5.78 3(cot x − cos x) − 5(tan − sin x) = 2
5.79 2 sin3
x − sin x = 2 cos3 x − cos x + cos 2x
5.80 tan2 x 1 − sin3
x + cos3 x − 1 = 0
6. Phương trình đẳng cấp
6.81 cos3 x + sin x − 3 sin2
x cos x = 0
6.82 sin2
x(tan x + 1) = 3 sin x(cos x − sin x) + 3
6.83 2 cos2 x + cos 2x + sin 2x = 0
6.84 tan2 x =
1 − cos3 x
1 − sin3
x
6.85 sin3
x − 5 sin2
x cos x − 3 sin x cos2 x + 3 cos3 x = 0
6.86 cos3 x + sin x − 3 sin2
x cos x = 0
6.87 1 + tan x = 2
√
2 sin x
6.88 sin3
x + cos3 x = sin x − cos x
6.89 sin3
x = 5 sin2
x cos x + 3 sin x cos2 x − 3 cos3 x
6.90 3 tan2 x−tan x+
3(1 + sin x)
cos2 x
−8 cos2 π
4
−
x
2
= 0
ThS. Phan Thanh Tâm 0907 99 11 60 Trang 5

6. 7. Lượng giác trong các đề tuyển sinh cao đẳng, đại học LTĐH Phương trình lượng giác
7. Lượng giác trong các đề tuyển sinh cao đẳng, đại học
Giải các phương trình sau
1. sin 3x −
√
3 cos 3x = 2 sin 2x CĐ-08
2. (1 + 2 sin x)2 cos x = 1 + sin x + cos x CĐ-09
3. 4 cos
5x
2
cos
3x
2
+ 2(8 sin x − 1) cos x = 5 CĐ-10
4. cos 4x + 12 sin2
x − 1 = 0 CĐ-11
5. 2 cos 2x + sin x = sin 3x CĐ-12
6. 5 sin x +
cos 3x + sin 3x
1 + 2 sin 2x
= cos 2x + 3 A-02
7. sin2
3x − cos2 4x = sin2
5x − cos2 6x B-02
8. cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0 D-02
9. cot x − 1 =
cos 2x
1 + tan x
+ sin2
x −
1
2
sin 2x A-03
10. cot x − tan x + 4 sin 2x =
2
sin 2x
B-03
11. sin2 x
2
−
π
4
tan2 x − cos2 x
2
= 0 D-03
12. 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan2 x B-04
13. (2 cos x − 1) (2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x D-04
14. cos2 3x. cos 2x − cos2 x = 0 A-05
15. 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0 B-05
16. cos4 x + sin4
x + cos x −
π
4
sin 3x −
π
4
−
3
2
= 0
D-05
17.
2 cos6 x + sin6
x − sin x cos x
√
2 − 2 sin x
= 0 A-06
18. cot x + sin x 1 + tan x tan
x
2
= 4 B-06
19. cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0 D-06
20. 1 + sin2
x cos x + 1 + cos2 x sin x = 1 + sin 2x
A-07
21. 2 sin2
2x + sin 7x − 1 = sin x B-07
22. sin
x
2
+ cos
x
2
2
+
√
3 cos x = 2 D-07
23.
1
sin x
+
1
sin x −
3π
2
= 4 sin
7π
4
− x A-08
24. sin3
x−
√
3 cos3 x = sin x cos2 x−
√
3 sin2
x cos xB-08
25. 2 sin x (1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x D-08
26.
(1 − 2 sin x) cos x
(1 + 2 sin x) (1 − sin x)
=
√
3 A-09
27. sin x + cos x sin 2x +
√
3 cos 3x = 2 cos 4x + sin3
x
B-09
28.
√
3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0 D-09
29.
(1 + sin x + cos 2x) sin x +
π
4
1 + tan x
=
1
√
2
cos x A-10
30. (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0 B-10
31. sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0 D-10
32.
1 + sin 2x + cos 2x
1 + cot2 x
=
√
2 sin x sin 2x A-11
33. sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos xB-11
34.
sin 2x + 2 cos x − sin x − 1
tan x +
√
3
= 0 D-11
35.
√
3 sin 2x + cos 2x = 2 cos x − 1 A-12
36. 2(cos x +
√
3 sin x) cos x = cos x −
√
3 sin x + 1B-12
37. sin 3x + cos 3x − sin x + cos x =
√
2 cos 2x D-12
ThS. Phan Thanh Tâm 0907 99 11 60 Trang 6