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MATEMATICAS I PARA PRINCIPIANTES1014

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COMPENDIO DE MATEMATICAS I PARA ESTUDIANTES DE ADMINISTRACION PUBLICA DE LA ESAP PASTO NARINO

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MATEMATICAS I PARA PRINCIPIANTES1014

  1. 1. MATEMATICAS 1 Página 1 de 90
  2. 2. MATEMATICAS 1 Página 2 de 90
  3. 3. MATEMATICAS 1 Página 3 de 90 TABLA DE CONTENIDO OBJETIVO...........................................................................................................................................................................6 1. LOGICA...........................................................................................................................................................................7 CONCEPTO......................................................................................................................................................7 ENUNCIADOS Y CONECTIVAS .........................................................................................................................9 TABLAS DE VERDAD........................................................................................................................................9 NEGACIÓN .................................................................................................................................................10 CONJUNCIÓN.............................................................................................................................................10 DISYUNCIÓN..............................................................................................................................................11 CONDICIONAL............................................................................................................................................11 BICONDICIONAL.........................................................................................................................................12 OTRAS FORMULACIONES EQUIVALENTES DE LA PROPOSICIÓN CONDICIONAL ..........................................14 PROPOSICIÓN RECÍPROCA Y PROPOSICIÓN CONTRA RECÍPROCA .............................................................17 OTRAS PROPOSICIONES BICONDICIONAL.....................................................................................................19 2. CONJUNTOS................................................................................................................................................................21 CONCEPTO ....................................................................................................................................................21 CONJUNTOS FINITOS.....................................................................................................................................22 CONJUNTOS INFINITOS .................................................................................................................................22 POR EXTENSION............................................................................................................................................22 POR COMPRENSION ......................................................................................................................................23 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS..............................................................................................................23 UNIÓN ............................................................................................................................................................23 INTERSECCIÓN ..............................................................................................................................................24 DIFERENCIA O COMPLEMENTO RELATIVO....................................................................................................24 DIFERENCIA SIMÉTRICA ................................................................................................................................25 COMPLEMENTACIÓN .....................................................................................................................................27 3. FUNCIONES Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS.........................................................................................................29 CONCEPTO ....................................................................................................................................................29
  4. 4. MATEMATICAS 1 Página 4 de 90 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA ..............................................................................33 ECUACION DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES.................................................................................34 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS.......................................................................38 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS............................................................................44 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO .............................................................................................................45 SOLUCIONA EJERCICIOS JUSTIFICANDO SUS RESPUESTAS........................................................................50 DESIGUALDADES CON UNA VARIABLE ..........................................................................................................50 PARABOLA .....................................................................................................................................................53 CLASES DE PARABOLAS................................................................................................................................53 HIPERBOLA ....................................................................................................................................................56 TIPOS DE HIPERBOLAS..................................................................................................................................56 FUNCIÓN EXPONENCIAL................................................................................................................................62 ECUACIONES EXPONENCIALES.....................................................................................................................68 FUNCIÓN LOGARÍTMICA.................................................................................................................................69 PROCESO DE CÁLCULO DE UN LOGARTIMO ................................................................................................70 PROPIEDADES ...............................................................................................................................................73 LOGARITMOS DECIMALES .............................................................................................................................74 LOGARITMOS NEPERIANOS...........................................................................................................................75 CAMBIO DE BASE...........................................................................................................................................75 ANTILOGARITMO............................................................................................................................................76 COLOGARITMO ..............................................................................................................................................76 ECUACIONES LOGARÍTMICAS........................................................................................................................77 SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS.................................................................................................78 4. LIMITES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS..............................................................................................................80 CONCEPTO DE LÍMITE....................................................................................................................................80 PROPIEDADES DE LÍMITES ............................................................................................................................81 DESARROLLA LIMITES USANDO PROPIEDADES............................................................................................83 5. DERIVADA....................................................................................................................................................................84 CONCEPTO ....................................................................................................................................................84 DERIVADA DE UNA POTENCIA, SUMA Y RESTA .............................................................................................85 DERIVADA DE UN PRODUCTO .......................................................................................................................86
  5. 5. MATEMATICAS 1 Página 5 de 90 DERIVADA DE UN COCIENTE .........................................................................................................................87 LA DERIVADA (MÁXIMOS Y MÍNIMOS) ............................................................................................................88
  6. 6. MATEMATICAS 1 Página 6 de 90 OBJETIVO Desarrollar competencias lógico matemáticas, como base para la toma de decisiones, la comunicación y la planificación como herramientas de análisis que permitan algunas aplicaciones de la matemática en la administración y la economía, especialmente las que se refieren a la maximización de beneficios, la eficiencia de los procesos, y la minimización de los costos.
  7. 7. MATEMATICAS 1 Página 7 de 90 1. LOGICA CONCEPTO Todos aspiramos a poder razonar y argumentar sin error y con corrección. Desde antiguo el hombre aspira a poseer un mecanismo que le permita comprender lo que se le dice, averiguar si lo que se le dice es correcto y, sobre todo, averiguar si el cómo se le transmite algo sigue reglas que permitan confiar en la coherencia de lo que se le comunica. Lógica es una palabra que tiene como raíz el vocablo griego “logos” cuyo significado es “palabra”, “idea” o “razón”. Por tanto, podemos definir Lógica como la ciencia que se plantea estudiar formas de razonamiento válidas. Según la Academia de la Lengua “Lógica” es la disciplina que estudia la estructura, fundamento y uso de las expresiones del conocimiento humano. C.L. Chang la define como “el estudio de los métodos y principios del razonamiento humano en todas sus posibles formas”. Presentamos aquí una pequeña reseña histórica de la lógica. El primer sistema de lógica de predicados se debe a Aristóteles (s. IV a. C.), quien trato de identificar las formas del razonamiento humano, para tratar de crear criterios para discernir en las discusiones filosóficas. Esta línea, que se conoce como lógica clásica (de aplicación a la filosofía), fue seguida por otros pensadores. Además fue aprovechada por Santo Tomas de Aquino (s. XIII) como vehículo de discusiones teológicas. La siguiente etapa comienza en el s. XVII donde la Lógica matemática o Lógica simbólica comienza a perfilarse con Leibniz quien expresó su deseo de extender la aplicación de la lógica a las matemáticas. Su ambición era encontrar un procedimiento de comprobación de teoremas, sin embargo no pudo cumplir su propósito. Durante los siguientes 150 años ningún matemático le dio importancia a los estudios de Leibniz
  8. 8. MATEMATICAS 1 Página 8 de 90 pero a finales del siglo XIX, la lógica matemática se constituyó como ciencia con los trabajos de Boole y Fregge. El primero desarrollo un modelo algebraico de la lógica proposicional y Fregge formalizó la lógica de predicados, desarrollando un lenguaje formal e introduciendo el concepto de cuantificadores. En esta misma época tenemos que mencionar a Augustus de Morgan, quien formulo una herramienta fundamental del cálculo lógico como es la ley de dualidad de la conjunción y la disyunción (leyes de Morgan). El comienzo del siglo XX supuso un auge de la lógica, Russell con la ayuda de Whitehead se propuso mostrar que la aritmética era una extensión de la lógica, para contestar al desafío que Hilbert hizo sobre la axiomatización de las matemáticas. Sin embargo, Gödel en 1936 contestaba negativamente a este desafío. La tercera época de la lógica comienza con la aparición de los ordenadores. Los ordenadores estaban resolviendo problemas en muchos campos y era natural que se pretendiera utilizarlos para demostrar automáticamente los teoremas. Esta nueva época ha producido mucho resultados en el campo de las aplicaciones prácticas como la elaboración de estrategias de programación que aprovecharon los conocimientos de la lógica. También se elaboraron lenguajes de programación especialmente adecuados a la programación lógica, como por EJEMPLO el Prolog. Hoy en día, la lógica proposicional, que es la que estudiaremos en este capítulo, tiene una importancia singular dada su aplicación en los llamados "circuitos lógicos" de uso en la electrónica y la informática. La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una representación simple del lenguaje, nos permite representar y manipular sentencias sobre el mundo que nos rodea. La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales, por EJEMPLO Y (AND), O (OR). Este mecanismo determina la veracidad de una sentencia compleja, analizando los valores de veracidad asignados a las sentencias simples que la forman. Los puntos que relacionan la lógica y la informática se pueden resumir en: Los ordenadores están diseñados para mecanizar trabajos intelectuales. Cuando pretendemos que el ordenador realice por si solo razonamientos entramos en la parte de la informática conocida como “inteligencia artificial”, para esto necesitamos formalizar los razonamientos, y de esto se ocupa la Lógica. Además, Lógica y programación también se relacionan. Los programas cada vez son más complejos, menos fiables y más difíciles de mantener. Para solucionarlo se pretende que ellos mismos determinen las acciones necesarias para resolver un problema y no que estos programas constituyan una serie de instrucciones que le digan al ordenador como resolver dicho problema. Así, un lenguaje mediante el cual podamos plantear los problemas de forma rigurosa es la Lógica. Por otra parte, el soporte tecnológico principal de los ordenadores es los circuitos de conmutación o circuitos lógicos cuyo nombre se debe a tener en común con la Lógica el modelo matemático conocido como “Álgebra de Boole” Finalmente, uno de los pilares de la informática es el estudio matemático de los lenguajes, y la Lógica puede ser considerada como uno. Por otra parte, las ciencias experimentales se basa en la observación de la naturaleza y utilizan un razonamiento de tipo inductivo para poder formular teorías generales (de las observaciones particulares se extraen conclusiones generales que posibilitan predecir resultados de futuros experimentos). Las matemáticas
  9. 9. MATEMATICAS 1 Página 9 de 90 siguen un modelo deductivo de razonamiento. A partir de una colección de verdades (axiomas) se obtiene, mediante reglas correctas de deducción, mas hechos verdaderos (teoremas). El objeto de la lógica es estudiar las condiciones generales de validez de estas deducciones, o demostraciones. ENUNCIADOS Y CONECTIVAS La lógica, o al menos la lógica matemática, consiste en examinar las reglas de deducción con precisión matemática. Para obtener esta precisión primero tenemos que hacer inequívoco el lenguaje que usemos, y esto lo conseguimos utilizando un lenguaje simbólico donde los símbolos tengan significados y usos precisos. Dada una frase en castellano, en primer lugar, podemos observar si se trata de una frase simple (un sujeto + un predicado) o de una frase compuesta (formada a partir de frases simples por medio de algún término de enlace (conectiva)): En segundo lugar, vamos a suponer que todas las frases simples pueden ser verdaderas o falsas. Ahora bien, en castellano hay frases que no son ni verdaderas, ni falsas (exclamaciones, ordenes, preguntas), por tanto, tenemos que usar otro término, hablaremos de enunciados o proposiciones (sentencias que pueden ser verdaderas o falsas). Así, distinguimos entre enunciados simples (atómicos) o enunciados compuestos (moleculares). Denotamos los enunciados simples por letras mayúsculas A, B, C, D. Para construir enunciados compuestos introducimos símbolos para las conectivas o nexos de unión: CONECTIVAS SIMBOLOS no. A - A A y B A ∧ B A o B A V B Si A, entonces B A→B A si, y solo si B A↔B Llamaremos esqueleto lógico de un enunciado compuesto al resultado de simbolizar dicho enunciado. Nótese que un “esqueleto lógico” puede ser común a varios enunciados diferentes. Esto nos permite analizar las deducciones, pues una deducción tiene que ver con las formas del enunciado, y no con su significado. Por tanto, estudiamos formas enunciativas y no enunciados particulares. Denotaremos con letras minúsculas p, q, r, a las variables de enunciado que designan enunciados simples arbitrarios. Estas variables nos permitirán describir las propiedades que poseen los enunciados y las conectivas. Como todo enunciado es verdadero o falso, una variable de enunciado tomará uno u otro de entre estos dos valores de verdad: V (verdadero) o F (falso). TABLAS DE VERDAD Para definir con precisión el significado de los símbolos que representan las distintas conectivas, debemos conocer con precisión el significado de dichas conectivas. Consideremos una a una todas las conectivas:
  10. 10. MATEMATICAS 1 Página 10 de 90 NEGACIÓN Sea A un enunciado, denotaremos por -A a su negación. Si A toma el valor verdadero (falso resp.) entonces - A tomará el valor falso (verdadero resp.) siendo irrelevante el significado de A. Esto se puede describir mediante la tabla de verdad p -p V F F V Negación ( - ). La forma enunciativa -p permite simbolizar un enunciado del tipo: no p; no es cierto que p; es falso que p. CONJUNCIÓN Sean A y B dos enunciados, denotamos por A ∧B a la conjunción de ambos. Su tabla de verdad depende de los valores de verdad que toman A y B. p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F Conjunción (∧). La forma enunciativa p ∧q, simboliza enunciados de la forma: p y q; p pero q; p no obstante q; p sin embargo q.
  11. 11. MATEMATICAS 1 Página 11 de 90 DISYUNCIÓN Sean A y B dos enunciados. En castellano tenemos dos usos distintos para la disyunción “o”, elegimos “A o B o ambos” para nuestra disyunción que denotamos por A v B. Su tabla de verdad será: p Q p v q V V V V F V F V V F F F Disyunción (∨ ). La forma enunciativa p ∨ q simboliza enunciados de la forma: p o q; al menos p o q. CONDICIONAL Sean A y B dos enunciados. Denotaremos por A→B para representar el enunciado “A implica B” o “si A entonces B”. Ahora el castellano no nos ayudará a construir una tabla de verdad. p Q p→q V V V V F F F V V F F V Condicional (→). La forma enunciativa p → q simboliza enunciados de la forma: si p entonces q; si p, q; p implica q; p solo si q; p suficiente para q; q si p; q necesario para p; q cuandoquiera que p;
  12. 12. MATEMATICAS 1 Página 12 de 90 q siempre que p; no p a menos que q. En lenguaje matemático A→B quiere decir que si A es verdadero, necesariamente B es verdadero o lo que es igual que es imposible que B sea un enunciado falso y A sea verdadero. No obstante, la dificultad está en asignar el valor de verdad V en el caso en el que p toma el valor F. Nótese que en matemáticas este tipo de enunciados no nos dicen nada a partir de la falsedad de A. BICONDICIONAL Sean A y B dos enunciados. Denotamos el enunciado “A si y sólo si B” o “A equivale a B” por A↔B. p Q p↔q V V V V F F F V F F F V Bicondicional (↔). p ↔ q denota enunciados de la forma: p si y sólo si q; p necesario y suficiente para q Estas tablas también pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos, como: no, o, y, si…entonces, sí y sólo si, respectivamente. La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento. Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema. Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1 (uno) a una proposición cierta y 0 (cero) a una proposición falsa. Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada. P -P 1 0 0 1
  13. 13. MATEMATICAS 1 Página 13 de 90 Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes. P Q P v Q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Conjunción: Solamente si las componentes de la conjunción son ciertas, la conjunción es cierta. P Q P ∧ Q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. De la verdad no se puede seguir la falsedad. P Q P → Q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Bicondicional: El bicondicional solamente es cierto si sus componentes tienen el mismo valor de verdad. P Q P ↔ Q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
  14. 14. MATEMATICAS 1 Página 14 de 90 OTRAS FORMULACIONES EQUIVALENTES DE LA PROPOSICIÓN CONDICIONAL De acuerdo a las definiciones anteriores y sus tablas de verdad podemos realizar las siguientes actividades: Obsérvese que si p → q es verdad no puede deducirse prácticamente nada sobre los valores de verdad de p y q ya que pueden ser ambas verdad, ambas falsas o la primera falsa y la segunda verdad. Ahora bien, si el condicional p → q es falso, entonces podemos asegurar que p es verdadera y q falsa. Otras formulaciones equivalentes de la proposición condicional p → q son: “p solo si q” “q si p” “p es una condición suficiente para q” “q es una condición necesaria para p” “q se sigue de p” “q a condición de p” “q es una consecuencia lógica de p” “q cuando p” Analizaremos con detalle cada uno de los cuatro casos que se presentan en la tabla de verdad. ANTECEDENTE Y CONSECUENTE VERDADEROS En este caso parece evidente que el condicional “si p, entonces q” se evalúe como verdadero. Por EJEMPLO, “Si como mucho, entonces engordo” Es una sentencia que se evalúa como verdadera en el caso de que tanto el antecedente como el consecuente sean verdaderos. Ahora bien, obsérvese que ha de evaluarse también como verdadero un condicional en el que no exista una relación de causa entre el antecedente y el consecuente. Por EJEMPLO, el condicional “Si García Lorca fue un poeta, entonces Gauss fue un matemático” Ha de evaluarse como verdadero y no existe relación causal entre el antecedente y el consecuente. Es por esta razón que no hay que confundir el condicional con la implicación lógica. “García Lorca fue un poeta implica que Gauss fue un matemático” Es una implicación falsa desde el punto de vista lógico. Más adelante estudiaremos la implicación lógica.
  15. 15. MATEMATICAS 1 Página 15 de 90 ANTECEDENTE VERDADERO Y CONSECUENTE FALSO En este caso parece natural decir que el condicional se evalúa como falso. Por EJEMPLO, supongamos que un político aspirante a Presidente del Gobierno promete: “Si gano las elecciones, entonces bajaré los impuestos” Este condicional ser falso solo si ganando las elecciones, el político no baja los impuestos. A nadie Se le ocurriría reprochar al político que no ha bajado los impuestos si no ha ganado las elecciones. Obsérvese que el hecho de que p sea verdadero y, sin embargo, q sea falsa viene, en realidad, a refutar la sentencia p → q, es decir la hace falsa. ANTECEDENTE FALSO Y CONSECUENTE VERDADERO Nuestro sentido común nos indica que el condicional p → q no es, en este caso, ni verdadero ni falso. Parece ilógico preguntarse por la veracidad o falsedad de un condicional cuando la condición expresada por el antecedente no se cumple. Sin embargo, esta respuesta del sentido común no nos sirve, estamos en lógica binaria y todo ha de evaluarse bien como verdadero, bien como falso, es decir, si una sentencia no es verdadera, entonces es falsa y viceversa. Veamos que en el caso que nos ocupa, podemos asegurar que el condicional no es falso. En efecto, como dijimos anteriormente, p → q es lo mismo que afirmar que “p es una condición suficiente para q” Es decir, p no es la única condición posible, por lo cual puede darse el caso de que q sea verdadero siendo p falso. O sea, la falsedad del antecedente no hace falso al condicional y si no lo hace falso, entonces lo hace verdadero. Por EJEMPLO, “Si estudio mucho, entonces me canso” ¿Qué ocurriría si no estudio y, sin embargo, me cansara? Pues que la sentencia no sería invalida, ya que no se dice que no pueda haber otros motivos que me puedan producir cansancio. ANTECEDENTE Y CONSECUENTE FALSOS La situación es parecida a la anterior. La condición p no se verifica, es decir, es falsa, por lo que el consecuente q puede ser tanto verdadero como falso y el condicional, al no ser falso, será verdadero. Obsérvese, anecdóticamente, que es muy frecuente el uso de este condicional en el lenguaje coloquial, cuando se quiere señalar que, ante un dislate, cualquier otro está justificado.
  16. 16. MATEMATICAS 1 Página 16 de 90 “Si tú´ eres programador, entonces yo soy el dueño de Microsoft” EJEMPLO. Sean p, q y r las proposiciones “El número N es par”, “La salida va a la pantalla” y “Los resultados se dirigen a la impresora”, respectivamente. Enunciar las formulaciones equivalentes de las siguientes proposiciones. a) q → p. b) -q → r c) r → (p ∨ q) Solución a) q→ p  Si la salida va a la pantalla, entonces el número N es par.  La salida ira a la pantalla, solo si el número N es par.  El número N es par si la salida va a la pantalla.  Una condición suficiente para que el número N sea par es que la salida vaya a la pantalla.  Una condición necesaria para que la salida vaya a la pantalla es que el número N sea par. b) -q → r  Si la salida no va a la pantalla, entonces los resultados se dirigen a la impresora.  La salida no va a la pantalla solo si los resultados se dirigen a la impresora.  Los resultados se dirigen a la impresora si la salida no va a la pantalla.  Una condición suficiente para que los resultados se dirijan a la impresora es que la salida no vaya a la pantalla.  Una condición necesaria para que la salida no vaya a la pantalla es que los resultados se dirijan a la impresora. c) r → (p ∨ q)  Si los resultados se dirigen a la impresora, entonces el número N es par o la salida va a la pantalla.  Los resultados se dirigen a la impresora solo si el número N es par o la salida vaya a la pantalla.  El número N es par o la salida va a la pantalla si los resultados se dirigen a la impresora.  Una condición suficiente para que el número N sea par o la salida vaya a la pantalla es que los resultados se dirijan a la impresora.  Una condición necesaria para que los resultados se dirijan a la impresora es que el número N sea par o que la salida vaya a la pantalla. EJEMPLO. Sean las proposiciones p: Está nevando. q: Iré a la ciudad. r: Tengo tiempo.
  17. 17. MATEMATICAS 1 Página 17 de 90 a). Escribir, usando conectivos lógicos, una proposición que simbolice cada una de las afirmaciones siguientes: a.1) Si no está nevando y tengo tiempo, entonces iré a la ciudad. a.2) Iré a la ciudad solo si tengo tiempo. a.3) No está nevando. a.4) Está nevando, y no iré a la ciudad. b) Enunciar las afirmaciones que se corresponden con cada una de las proposiciones siguientes: b.1) q ↔ (r ∧ -p) b.2) r ∧ q b.3) (q → r) ∧ (r → q) b.4) -(r ∨ q) Solución a) Escribimos en forma simbólica las afirmaciones propuestas. a.1) (-p ∧ r) → q a.2) q → r a.3) -p a.4) p ∧ -q b) Escribimos en forma de afirmaciones las proposiciones. b.1) Iré a la ciudad si, y solo si tengo tiempo y no está nevando. b.2) Tengo tiempo e iré a la ciudad. b.3) Iré a la ciudad si y sólo si tengo tiempo. b.4) Ni tengo tiempo, ni iré a la ciudad. PROPOSICIÓN RECÍPROCA Y PROPOSICIÓN CONTRA RECÍPROCA Proposición Recíproca. Dada la proposición condicional p→ q, su recíproca es la proposición, también condicional, q→ p Por EJEMPLO, la recíproca de “Si la salida no va a la pantalla, entonces los resultados se dirigen a la impresora” será “Si los resultados se dirigen a la impresora, entonces la salida no va a la pantalla”. Proposición Contra recíproca. Dada la proposición condicional p→ q, su contra recíproca es la proposición, también condicional, -q→-p Por EJEMPLO, la contra recíproca de la proposición “Si María estudia mucho, entonces es buena estudiante” es “Si María no es buena estudiante, entonces no estudia mucho”. EJEMPLO. Escribir la recíproca y la contra recíproca de cada una de las afirmaciones siguientes: a) Si llueve, no voy.
  18. 18. MATEMATICAS 1 Página 18 de 90 b) Me quedaré, solo si tú te vas. c) Si tienes cien pesetas, entonces puedes comprar un helado. d) No puedo completar la respuesta si no me ayudas. Solución Escribiremos la recíproca y la contra recíproca de varias formas. a) Si llueve, no voy. Recíproca.  Si no voy, entonces llueve.  Llueve si no voy.  Una condición necesaria para no ir es que llueva.  Una condición suficiente para que llueva es no ir. Contra recíproca.  Si voy, entonces no llueve.  Voy solo si no llueve.  Es necesario que no llueva, para que vaya.  Es suficiente que vaya para que no llueva. b) Me quedaré solo si te vas. Recíproca.  Si te vas, entonces me quedaré.  Me quedaré, si te vas.  Una condición necesaria para que te vayas, es quedarme.  Una condición suficiente para quedarme es que te vayas. Contra recíproca.  Si no te vas, entonces no me quedaré.  No me quedaré si no te vas.  Es suficiente que no te vayas, para no quedarme. c) No puedo completar la respuesta si no me ayudas. Recíproca.  Si no puedo completar la respuesta, entonces no me ayudas.
  19. 19. MATEMATICAS 1 Página 19 de 90 Contra recíproca.  Si puedo completar la respuesta, entonces me ayudas.  Puedo completar la respuesta solo si me ayudas.  Es necesario que ayudes para poder completar la respuesta. OTRAS PROPOSICIONES BICONDICIONAL Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta: “p si y solo si q”, se le llama “proposición bicondicional” y se nota por: p ↔ q La interpretación del enunciado es: p solo si q y p solo si q, o lo que es igual si p, entonces q y si q, entonces p; es decir, (p → q) ∧ (q → p) Luego la proposición bicondicional p ↔ q es verdadera únicamente en caso de que ambas proposiciones, p y q, tengan los mismos valores de verdad. Obsérvese que la proposición condicional p → q, se enunciaba Si p, entonces q Siendo una formulación equivalente, Una condición necesaria para p es q y la proposición condicional q → p, se enunciaba Si q, entonces p Siendo una formulación equivalente, Una condición suficiente para p es q Por tanto, una formulación equivalente de la proposición bicondicional en estos términos, seria: Una condición necesaria y suficiente para p es q EJEMPLO. Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triángulo T siendo c la longitud mayor. El enunciado T es rectángulo si, y solo si a2 + b2 = c2 Puede expresarse simbólicamente como p ↔ q Donde p es la proposición “T es rectángulo” y q la proposición “a2 + b2 = c2”. Observemos lo siguiente: La proposición anterior afirma dos cosas
  20. 20. MATEMATICAS 1 Página 20 de 90 1. Si T es rectángulo, entonces a2 + b2 = c2, o también, Una condición necesaria para que T sea rectángulo es que a2 + b2 = c2 2. Si a2 + b2 = c2, entonces T es rectángulo o también, Una condición suficiente para que T sea rectángulo es que a2 + b2 = c2 Consecuentemente, una forma alternativa de formular la proposición dada es, Una condición necesaria y suficiente para que T sea rectángulo es que a2 + b2 = c2 TALLER COMPLEMENTARIO Simbolizar completamente las proposiciones siguientes, utilizando los símbolos correspondientes a cada término de enlace. Indicar las proposiciones simples sustituidas por cada letra mayúscula. 1) En el hemisferio sur, julio no es un mes de verano. 2) Si dos pulsaciones se atraviesan, continúan conservando la forma original. 3) O Jaime no es puntual o Tomas llega tarde. 4) Ni Antonio ni Ana estudian en la universidad. 5) O Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Jaime es tesorero. 6) Si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo y su rey está sobre el cuadro rojo. 7) A la vez, si este cuadro es negro, entonces, aquel cuadro es rojo y su rey está sobre el cuadro rojo. 8) Patinaremos sí y sólo si el hielo no es demasiado delgado.
  21. 21. MATEMATICAS 1 Página 21 de 90 2. CONJUNTOS CONCEPTO El concepto de conjunto es el más primitivo y fundamental de la estructura matemática que, no estrictamente lo definen como: una lista, colección o clase de objetos bien definidos considerados como una sola unidad, en donde los objetos que pertenecen al conjunto se llama miembro o elemento de él. Se llama conjuntos a:  Un listado de alumnos del grado once.  Una familia.  Los alumnos de una institución educativa.  Los libros de una biblioteca.  Al sistema planetario. A los conjuntos es costumbre designarlos con letras mayúsculas, mientras que para los elementos se utiliza letras minúsculas encerrado entre llaves { }. Además si se toma una parte de elementos de un conjunto se lo llama subconjunto, o sea un conjunto que está incluido en otro; que también se designará con letras mayúsculas. Así:  El conjunto de las letras vocales se puede escribir como. A = { a, o, u, e, i }  El conjunto múltiplos de 3 comprendidos entre 1 y 20. B = {3, 6, 9, 12, 18} En general los conjuntos se dividen en dos.  Conjuntos finitos.
  22. 22. MATEMATICAS 1 Página 22 de 90  Conjuntos infinitos. CONJUNTOS FINITOS Un conjunto es finito o infinito contable si está vacío o tiene elementos fácilmente contables, dando como resultado un número positivo. Se puede considerar como conjuntos, a los:  Días de un mes.  Alumnos de la Universidad de Nariño.  Libros de la biblioteca del CESMAG.  Candidatos a ser presidentes de Colombia.  Niños de un barrio. CONJUNTOS INFINITOS Un conjunto es infinito o no contable cuando, NO se puede contar u obtener su valor con exactitud: Pueden ser considerados como conjuntos infinitos a:  Peces de un lago.  Arboles de una montaña.  Estrellas del universo.  Niños de Colombia.  Habitantes del departamento de Nariño. Cuando un conjunto es bastante grande pero se puede contar o llegar a obtener un resultado lo más cercano posible al valor verdadero, se lo denomina conjunto infinito contable, así:  Las casas de la ciudad de Bogotá.  El ganado vacuno de un departamento.  Estudiantes universitarios de Colombia.  Estudiantes del grado once de la Ciudad de Pasto. Los conjuntos se pueden especificar de dos maneras: POR EXTENSION Consiste en escribir todos los elementos, separados por comas y encerrarlos en llaves: A={a, o, u, e, i} B={3, 6, 9 12, 18} C={Alejandra, Marcela, Daniela, Jimena, David}
  23. 23. MATEMATICAS 1 Página 23 de 90 POR COMPRENSION Consiste en dar una propiedad común a todos los elementos del conjunto y encerrarlos en llaves; esta propiedad debe ser muy precisa; la deben cumplir todos los elementos del conjunto y solamente los elementos del conjunto. A = { Los números naturales } A = { x/x es un número natural } B = { Los números dígitos } B = { x/x es dígito } OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Al igual que en aritmética se puede realizar las cuatro operaciones que son suma, resta, multiplicación y división; mediante los conjuntos se puede realizar algunas operaciones que son utilizadas para determinar las correspondientes probabilidades, ellas son:  Unión.  Intersección.  Diferencia.  Diferencia simétrica.  Complemento. UNIÓN Si se tiene dos o más conjuntos, la unión o reunión de éstos será otro conjunto que está conformado por los elementos de éstos o uno de ellos, matemáticamente se puede expresar, figura es 1. A B=C={ x : x  A o xB } A B FIGURA 1 unión de conjuntos Sea A, el conjunto formado por los libros de física del grado diez y sea B el conjunto de libros de física del grado once. La unión de estos será otro conjunto equivalente a sumar los del grado diez y once. La unión puede se puede dar entre dos o más conjuntos.
  24. 24. MATEMATICAS 1 Página 24 de 90 A = {libros de física del grado diez} B = {libros de física del grado once} A B = C = {Libros de física para secundaria} Si se toma un informe para secundaria está conformada por diferentes asignaturas que constituyen los elementos; éstas a su vez se agrupan por áreas y la unión de éstas conforma el informe. INTERSECCIÓN La intersección de dos o más conjuntos, es el conjunto que está conformado por los elementos comunes que pertenecen a cada uno de los conjuntos, matemáticamente la representación para dos conjuntos es: A B=C={ x : x A y x  B } Si se cumple que A B=φ, se dice que los conjuntos son disyuntos, o sea que no existe intersección, y se puede representar gráficamente, ver Figura 2 A  B FIGURA 2. Intersección de conjuntos EJEMPLO. Un curso está constituido por U=21 estudiantes y conforman dos equipos; al de Básquet (B) pertenecen 10 y 14 al de voleibol (V): entonces el conjunto de estudiantes que juegan basket y voleibol será (C), ver Figura 3. U=21 B V = (B V) - U B V = (10 + 14) - 21 B V=24- 21 = 3 = C V  B FIGURA 3. Intersección de conjuntos DIFERENCIA O COMPLEMENTO RELATIVO Si se tiene dos conjuntos, sean A y B se llama diferencia o complemento relativo de A con respecto a B; al conjunto de elementos que pertenece a A y no a B, que matemáticamente se escribe: C = 311 7
  25. 25. MATEMATICAS 1 Página 25 de 90 A-B=C={ x : x  A  x  B } Si se escribe en proceso inverso se tendrá: B-A=D={ x : x  B  x  A } Dando como resultado los conjuntos C y D que son dos conjuntos diferentes, al menos que los dos sean vacíos. Su representación gráfica está en la Figura 4 FIGURA 4. Diferencia de conjuntos EJEMPLO. Si se considera el caso anterior, que consta de un grupo de U=21 estudiantes en donde el grupo B=10 juegan básquet y el grupo V=14 juegan voleibol; se puede hallar: U - V, No juegan voleibol pero sí basket. U - B, No juegan básquet pero sí voleibol. Reemplazando sus valores numéricos, se tiene: U – V = 21 – 14 = 7 Juegan únicamente básquet U – B = 21 – 10 = 11 Juegan únicamente Voleibol V + B – U = Juegan básquet y Voleibol 14+10-21=3 DIFERENCIA SIMÉTRICA La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es la unión de los elementos de A y B; sin tener en cuenta los elementos que pertenecen a la intersección, matemáticamente se expresa: A-B B-A U-B=11 U-V=7
  26. 26. MATEMATICAS 1 Página 26 de 90 A  B=C=(x : x  A  x  B) o (x : x  A  x  B) A  B=C=(A-B) (B-A) A  B=C=(A B)-(A B) Su representación gráfica se presenta en la Figura 5. FIGURA .5 diferencia simétrica Sean los conjuntos: A = {1, 3, 6, 9, 12} y B = {5, 9, 12, 15, 20}. Se puede hallar: A  B = (A - B) (B - A) A-B = (1, 3, 6) B-A = (5, 15, 20) A  B=(1,3,6) (5,15,20)={1,3,5,6,15,20} Graficando se tiene la Figura 6 FIGURA 6 Diferencia simétrica La diferencia simétrica consiste en la unión de dos conjuntos menos la intersección; éste concepto es utilizado en el desarrollo de las probabilidades. A-B B-A A B 1,3,6 5,15,20 A-B B-A
  27. 27. MATEMATICAS 1 Página 27 de 90 COMPLEMENTACIÓN Esta operación se efectúa sobre cada una de las partes del universo. Siendo A cualquier parte del universo U, su complemento se denota de diferentes maneras, así: Ac CA A'. El conjunto complementario de un conjunto A. es el conjunto de todos los individuos que pertenecen al universo y no pertenecen al conjunto A. Simbólicamente se puede escribir: Ac = CA = A' = { x / x  U  x  A } TALLER COMPLEMENTARIO 1. Dados los conjuntos: P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; Q = {2, 3, 4, 6, 8}; R = {1, 2, 3, 9, 11, 12}. Calcular: A. P-Q B. Q-P C. P-(Q-R) D. (P-Q)-R E. (P Q R)-(P Q R) F. (P Q) R G. (P Q) (P R) H. P  Q I. Q  R J. P  R 2. Dados los conjuntos: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} UNIVERSO; A = {0, 1, 2, 4, 5}; B = {2, 4, 6, 8}; C = {0, 1, 3, 5, 6}; D = { 2 }. Calcular: A. A' B. B' C. A B D. (A B)' E. A-B F. B-A G. A-C H. A'-C' I. A-(B C) J. A-(B-C) K. A D L. A-D M. A-D' N. (A-D)' O. (B C)-D P. (B C)-A' Q. (A C)-N R. N-A, N-B S. N-(A B C D) T. A  B U. A  C V. B  C 3. Sean los conjuntos      gedbCgfedcBdcbaA ,,,y,,,,,,,  Determine: A. BA  B. AB  C. BC  D. BCA  )( E. )( CBA 
  28. 28. MATEMATICAS 1 Página 28 de 90 F. )()( CABA  4. Sea   aaE , . Diga cuales de las proposiciones de más abajo son verdaderas: A. Ea B.   Ea  C. Ea  D.   Ea  E. E F. E 5. Si A = { 1, 2, 4, 5 } y B = { 3, 5 } .Determine el conjunto B - A . 6. Si A = { a, b, c, d, e } , B = { b, c, e } y C = { a, e }, entonces. Cuál es el conjunto: ( A ∩ B ) - C ? A - B = ? 7. Si A = { a, b, c, d, e } , B = { b, c, e } y C = { a, e }, entonces ¿ Cuál es el conjunto ( A ∩ B ) - C ? 8. Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4 } ; B = { 2, 4, 5 } ; C = {3, 5, 7 }. Señale que operación deberá efectuarse para que el resultado sea el conjunto { 3, 5 } 9. ¿Cuál es la intersección del Conjunto H = {0,1,2} y el Conjunto vacío ?
  29. 29. MATEMATICAS 1 Página 29 de 90 3. FUNCIONES Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS CONCEPTO En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por EJEMPLO el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, T = d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente. El concepto de función matemática o simplemente función, es sin duda, el más importante y utilizado en Matemáticas y en las demás ramas de la Ciencia. No fue fácil llegar a él y muchas mentes muy brillantes han dedicado enormes esfuerzos durante siglos para que tuviera una definición consistente y precisa. El estudio de las propiedades de las funciones está presente en todo tipo de fenómenos que acontecen a nuestro alrededor. Así, podemos nombrar fenómenos sociales relacionados con crecimientos demográficos, con aspectos económicos, como la inflación o la evolución de los valores bursátiles, con todo tipo de fenómenos físicos, químicos o naturales, como la variación de la presión atmosférica, la velocidad y la aceleración, la gravitación universal, las leyes del movimiento, la función de onda de una partícula a escala cuántica, la desintegración de sustancias radiactivas o la reproducción de especies vegetales y animales. Casi
  30. 30. MATEMATICAS 1 Página 30 de 90 todo es susceptible de ser tratado a través del planteamiento y estudio de una o varias funciones que gobiernan los mecanismos internos de los procesos en todas las escalas y niveles. Otra cosa bien distinta y mucho más difícil, es determinar cuáles son las funciones que intervienen en cada proceso en concreto. Esta, en suma, es la tarea de los científicos: descubrir la dinámica rectora de cada fenómeno y expresarla en términos de una función. Función es una aplicación es una ley de asignación entre dos conjuntos, que pueden ser numéricos o no. Usaremos la flecha → para indicar el sentido de la aplicación, es decir, cuál es el conjunto origen y cuál el destino. Lo denotaremos: f : X →Y Con ello queremos expresar que la aplicación f asocia o relaciona los elementos de X (origen) con los elementos de Y (destino). En el siglo XVII, Gottfrid Wilhelm Leibiniz, uno de los inventores del cálculo, introdujo el término función en el vocabulario matemático. El concepto de función es uno de los más básicos en todas las matemáticas y esencial para el estudio el estudio del cálculo. En forma breve, una función es un tipo especial de la relación de entrada-salida que expresa como como una cantidad (la salida) depende de otra (la entrada). Por ejemplo, cuando se invierte dinero a alguna tasa de interés, el interés I (la salida) depende del tiempo t (entrada) que el dinero este invertido. Para expresar esta dependencia, decimos que I es una función de t. las relaciones funcionales como esta en general es especificada por una fórmula que muestra lo que debe hacerse con la entrada para determinar la salida. Por EJEMPLO. Suponiendo que el valor presente (P) de $10.000.000 se invierte en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés simple mensual (i) del 6% durante un tiempo t; los intereses se podrá calcular mediante: I = P. i . t I = 10.000.000(0.06) t Hallar los intereses durante a) 3 meses b) 6 meses c) 9 meses y c) 12meses. Tiempo t (meses) 3 6 9 12 Interés I ($) 1.800.000 3.600.000 5.400.000 7.200.000 En la tabla anterior para la entrada de 3 meses la salida es $1.800.000, para la entrada de 6 meses la salida es $ 3.600.000 La expresión I = P. i . t, indica una norma específica que consiste en multiplicar las tres variables P, i, t. La norma asigna a cada entrada de tiempo t exactamente un número de salida I, llamado interés. Definición. Una función es una regla que asigna a cada número de entrada exactamente un número de salida. Al conjunto de números de entrada a los cuales se aplica la regla se le llama el dominio de la función. El conjunto de salida es llamado rango.
  31. 31. MATEMATICAS 1 Página 31 de 90 Para la función de interés I, el número de entrada t, no puede ser negativo ya que el tiempo negativo no tiene sentido. Así que el dominio consiste en todos los números no negativos; esto es, todo t ≥ 0 y el rango los intereses I mayores igual a cero I ≥ 0. Analizar el domino para: a) Y = X + 2 b) Y = X - 5 c) Y = √2 − 1 d) Y = √ − 3 e) Y = f) Y = g) Y = GRAFICAS EN COORDENADAS RECTANGULARES. Un sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas) nos permite especificar y localizar puntos en un plano. También proporciona una manera geométrica para representar ecuaciones en dos variables, así como funciones. En un plano se trazan dos rectas de números reales, llamadas ejes de coordenadas, perpendiculares entre si y de modo que sus orígenes coincidan. Su punto de intersección es llamado origen del sistema de coordenadas. A la recta horizontal se denomina eje X y la vertical el eje Y. La distancia unitaria sobre el eje X no es la misma sobre el eje Y. El plano sobre el cual están los ejes de coordenadas es llamado plano de coordenadas rectangulares o, simplemente plano X Y. Todo punto en él puede ser etiquetado para indicar su posición. Para etiquetar por ejemplo el punto P trazamos líneas perpendiculares al eje X y al eje Y que pasen por el punto P. Ubicar las siguientes parejas de valores en un plano cartesiano para caso.
  32. 32. MATEMATICAS 1 Página 32 de 90 a) (5, 9), (-9, 5), (-7, -10), (8, -9) b) (15, 6), (-10, 8), (-9, -15), (12, -10) c) (-10, 6), (9, -8), (-13, -5), (14, 9) d) (9, 9), (-9, 9), (-7, -7), (9, -9) Intercepción y gráficas. Una intercepción X de la gráfica de una ecuación X y en Y, es el punto donde la gráfica interseca o corta al eje X. Una intercepción Y es el punto donde la gráfica interseca al eje Y. Para encontrar las intercepciones X de la gráfica de una ecuación en X y Y, primero hacemos Y = 0 y resolvemos, para X, la ecuación resultante. Para encontrar las intercepciones Y, hacemos X = 0 y resolvemos para Y. EJEMPLO: Determinar las intercepciones X y Y de la gráfica de Y = 2X + 6 y además trazar la gráfica asignándole valores positivos y negativos incluyendo el cero. Solución: Si Y = 0, entonces 0 = 2X + 6, o sea que X = -3 Así la intercepción X es ( - 3, 0) Si X = 0, entonces Y = 2*0 + 6 = 6 De modo que la intercepción Y es (0, 6). X -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Y -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Grafiando se tiene: 1 2 3 4 5 6 7 X-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 Y -1 -2 -3 -4 -5 -6 Intercepción (0, 6) Intercepción (-3, 0)
  33. 33. MATEMATICAS 1 Página 33 de 90 Hallar la intercepciones de la gráfica de cada ecuación además intente realizar sus graficas correspondientes; con base en sus graficas identifique cual es dominio y el rango. a) Y = X b) Y = 3X − 5 c) Y = X d) Y = X e) X = −3Y f) 2X + Y − 2 = 0 g) Y = X + 2 h) Y = 3 − 2X i) Y = j) Y = X − 9 k) X + Y = 1X Intente graficar cada función y determine su dominio y rango. También determine las intercepciones. a) Y = 4 − b) Y = 5 − 2 c) Y = X − 4X + 1 d) Y = X + 2X − 8 e) Y = X(2 − X) f) Y = g) Y = h) Y = − ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones. Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices. Cuando el número de variables es mayor que el de las ecuaciones, por lo general existen muchas soluciones. Por EJEMPLO, X+Y=0. En este caso, el número de soluciones es ilimitado. Si el número de variables es menor que el de las ecuaciones, por lo general, no existe solución, porque con frecuencia existen ecuaciones contradictoras comprendidas en el sistema dado. Por EJEMPLO, 2X = 0, y 5X = 1. Si el número de variables es igual al de las ecuaciones, tenemos una mejor oportunidad de obtener una solución única para el sistema.
  34. 34. MATEMATICAS 1 Página 34 de 90 TALLER COMPLEMENTARIO Encontrar la solución para cada uno de los casos siguientes 1) 2X = 6 2) 2X-3 =6+X 3) 3X + 5 = 5X – 13 4) 5(7 − X) = 31 – X 5) 4X + 1 = 12X – 3 6) 2(2X - 3) = 6 + X 7) 3(4X + 7) = 4X – 25 8) 7X + 15 = 3(3X − 7) 9) 4(2 − 3X) = −2X – 27 10) 3(2X + 5) − 2(4 + 4X ) = 7 11) 6X − 8 = 4(−2X + 5) 12) 3(2X − 2) = 2(3X + 9) 13) 24 − (X + 3) = 12 + 2(9 − 2X ) 14) 7X + 13 − 7X = 17 − 3X 15) 4(X-10)= -6(2-X)-6X 16) 2(X+1)-3(X-2) = X +6 17) 23X + 4X − 13 = 7X + 4X – 5 18) 9 − 2(X + 4) − 10(25 − X + 4) = 5−3X−4(X+1) 19) 1 2 3 6 1     XX 20)  19()42 4 3  XX 21) 9 5 36 5 4 1      XXX 22) 6 7 14 45 3 42 7 13 XXXX       23) 2 3 7 5    XX 24) 2 5 3 4    XX 25)  23 4 3 4 1 4 3 3 16 32 8 1 6                XX XX 26)   X XXX X 3 12 35 3 2 2 3 122         27) X X X               1 3 2 1 3 2 ECUACION DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de las ecuaciones lineales de dos variables es Y = B + A*X SOLUCION ECUACION GENERAL DE LA RECTA En el estudio del álgebra se hizo un estudio de la ecuación de primer grado con dos variables X e Y, independientes y dependientes respectivamente, que al representar sus parejas de puntos en el plano cartesiano forma una recta. Una línea recta es un lugar geométrico de puntos, de tal manera que tomando dos puntos diferentes P2(X2, Y2) y P1(X1, Y1) le permite calcular una constante llamada pendiente (A) por medio de la siguiente fórmula: Cálculo de la pendiente (incremento) A. = Ecuación general de la recta Y = B + A*X Cálculo de la ecuación de una recta Y = A(X – X1) + Y1
  35. 35. MATEMATICAS 1 Página 35 de 90 Dónde: ( B ) Valor de la ordenada cuando la abscisa (X) toma el valor cero, (A) pendiente de la recta que puede tomar dos signos:  Positivo cuando la función es creciente figura 1  Negativo cuando la función es decreciente figura 2. En éste trabajo la ecuación de la recta que se utilizará es la siguiente: Y = B + A*X Dónde: A y B son coeficientes numéricos a calcular que pueden tomar signos positivos y negativos, A representa a la pendiente de la recta y B valor de la ordenada para X igual a cero. En matemáticas tanto X e Y pueden tomar diferentes asignaciones. Si X es tiempo Y podrá ser: tala de bosques, nacimientos de niños, defunciones, inmigración del campo a la ciudad, solicitud de ingreso a un plantel educativo, aumento de población, construcción de vivienda, etc. Al tomar las variables anteriores en una ecuación se puede obtener una relación lineal o no, el caso lineal es motivo de estudio durante ésta unidad. TALLER COMPLEMENTARIO I. Construir la gráfica para las siguientes expresiones lineales; asignándolo valores positivos, negativos y cero a la variable X para encontrar los valores de Y; una vez obtenido los valores de las dos variables llevar al plano cartesiano para obtener los puntos y luego unirlos para obtener la gráfica. a) 252XY  b) 252X-Y  c) 25-2XY  d) 252X-Y  e) 14X 3 7 Y  f) 10X 4 9 -Y  FIGURA 1 A positiva FIGURA 2 A negativa
  36. 36. MATEMATICAS 1 Página 36 de 90 g) 40X 5 6 -Y  h) 040X 2 13 -Y  i) 025-12X-2Y  j) 024-18X-6Y-  k) 2421X-7Y  l) 08032X-8Y  m) 025-5Y-4X-  n) 060-3Y9X-  o) 060-15Y-14X  p) 3x + y = 4 q) 2x - y = 5 r) 6x – 3y = 1 s) 4x + 2y = 10 t) 3y - 5 = 0 u) x = 3 2 y + 3 v) 4x - 3y - 7 = 0 w) 5x – 2y + 10 = 0 x) 1 4 x - 1 2 y = 1 Escriba la ecuación de la recta con la pendiente A y la ordenada al origen B, dadas. a. A = 2, B = 3 b. A = -2, B = 1 c. A = 1, B = 1 d. A = -1, B = 2 e. A = 0, B = 5 f. A = 0, B = -5 g. A = 1 2 , B =3 h. A =  1 2 , B = 2 i. A = 1 4 , B = -2 Escriba en la forma general la ecuación de la recta que pasa por el punto dado con la pendiente indicada. a) (3, 4); A = 2 b) (2, 3); A = 1 c) (1, -2); A = 0 d) (-2, 3); A = 4 e) (-3, 5); A = -2 f) (-3, 5); A = 0 g) (8, 0); A =  2 3 h) (2, 1); A = 1 2 i) (-6,-3); A = 4 3 j) (0, 0); A = 5 k) ( 3 4 , 2 5 ); A = 1 l) ( 2 , - 2 ); A = 10 Escriba la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos dados, en la forma Y = B +AX a) (-1, 2), (2, -1) b) (2, 3), (3, 2) c) (1, 1), (-1, -1) d) (3, 0), (0, -3) e) (3, -4), (0, 0) f) (-1, -13), (-8, 1) g) ( 1 2 , 7), (-4,  3 2 ) h) (10, 27), (12, 27) i) ( 2 , 4 2 ), (3 2 , -10 2 ) II. Hallar la ecuación de la función lineal (recta) cuando se conocen dos puntos: Aplicaciones 1. En el año de 2008 la producción de un producto de la región es de 118.680 toneladas y en el año 2013 se
  37. 37. MATEMATICAS 1 Página 37 de 90 registró una producción de122.480 toneladas. Según estos datos encontrar: a) El incremento de producción anual o pendiente (A) b) La ecuación de la recta para este caso c) La producción para los años: 2006 hasta el 2016. d) Realizar la gráfica con los datos del literal C. 2. En el año de 2008 la producción de un producto de la región es de 122.480 toneladas y en el año 20129 se registró una producción de118.680 toneladas. Según estos datos encontrar: a) El incremento de producción anual o pendiente (A) b) La ecuación de la recta para este caso c) La producción para los años: 2005 hasta el 2015. d) Realizar la gráfica con los datos del literal C. III. La ecuación de la recta cuando se conoce la pendiente(A) y el valor de un punto P. Aplicaciones 3. Se conoce que el incremento en una empresa es de 64 toneladas por año; si en el año 2010 la producción es de 7300 toneladas: Hallar a) La ecuación de función lineal b) La producción para los años de 2008 hasta el 2016 c) La gráfica para este caso. 4. Se conoce el incremento de una población en una región X es de 57 personas por año; además en el año 2009 la población es de 12500 hb: Hallar a) La ecuación de la función lineal. b) La población para los años de 2007 hasta el 2016 c) La gráfica para este caso. 5. La producción de papa en el año 2008 fue de 150.000 toneladas, en el año 2015 fue de 198.000 toneladas; encontrar: a) La ecuación que representa a este caso b) La producción para los años 2006, 2007, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016 c) La gráfica, que representa 6. En una población Z, en año 2009 los nacimientos de niños fueron de 18950 y en el año de 2012 el número de niños nacidos fue de 15950. Hallar a) La ecuación que representa a este caso b) En número de nacimientos para los años 2006, 2007, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 1016 c) La gráfica que representa d) Qué puede concluir?
  38. 38. MATEMATICAS 1 Página 38 de 90 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS Suponiendo que se tiene dos ecuaciones como las siguientes; se debe analizar sus coeficientes y se puede encontrar tres aspectos muy importantes que son:  El sistema tiene solución única: En este caso las dos rectas se cortan en un punto, llamado punto de intersección.  No tiene solución: En este caso las rectas son paralelas entre sí; por lo tanto no se cortan  Tiene más de una solución: Cuando las dos rectas están superpuestas entre sí. aX + bY = c 1 dX + eY = f 2 a) e b d a  Entonces tiene solución única b) e b d a  f c  Entonces no tiene solución c) e b d a  f c  Entonces tiene más de una solución Al buscar la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales se debe tener en cuenta que: Es importante insistir en que la solución de un sistema es una pareja de valores. Es decir la solución son dos números reales, uno de ellos es el valor de una de las incógnitas (la 'X' en la mayoría de los ejercicios) y el otro el valor de la otra (normalmente la 'Y'). Es un error muy frecuente el que alumnos como vosotros den por terminado el ejercicio al encontrar el valor de la primera incógnita. Cada uno de los métodos que vamos a ver a continuación debe dar el mismo resultado aplicado al mismo sistema. Si no es así es que hay algún error en el proceso, por lo tanto se debe buscar el error. MÉTODOS a) Método de igualación b) Método de sustitución c) Método de reducción. d) Método gráfico. e) Método de determinantes
  39. 39. MATEMATICAS 1 Página 39 de 90  MÉTODO DE IGUALACIÓN. El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita Y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera: X322Y  3 1X4 Y   Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí. 5X13X6514XX)322(2 3 1X4 X322Y    Una vez obtenido el valor de la incógnita X, se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la Y. La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar X después de averiguar el valor de la Y.  MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema: 22Y3X  1Y3-4X  En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita Y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación. X322Y  El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita Y en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la X. 5=X5 13 65 X6513X1-66-X1319X66-4X1X)322(3-4X 
  40. 40. MATEMATICAS 1 Página 40 de 90 Al resolver la ecuación obtenemos el resultado X = 5, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos Y = 7, con lo que el sistema queda ya resuelto.  MÉTODO DE REDUCCIÓN. Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. Por ejemplo, en el sistema: 53Y2X  46Y5X  No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por -2 para poder cancelar la incógnita Y. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así: -106Y-X4)53Y2(2X-  Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita Y ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita Y: 6X 46Y5X -106Y-X4    6X  El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita X en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de Y es igual a: 3 17 Y   MÉTODO GRÁFICO. Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión 2. El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos: 1. Se despeja la incógnita (Y) en ambas ecuaciones.
  41. 41. MATEMATICAS 1 Página 41 de 90 2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes. 3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. 4. En este último paso hay tres posibilidades:  Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (X,Y). "Sistema compatible determinado".  Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado».  Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. EJEMPLO. Para resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico debemos del sistema: + = − + = Debemos seguir las siguientes etapas: Primero, se despeja la incógnita y para escribirlo en la forma de una ecuación principal, como sigue: ∶ = – + ∶ = – Segundo. Para trazar las rectas, se asignan dos valores distintos a X, Y se calcula el correspondiente valor de Y, en cada caso. Y = –3X + 4 X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Y 13 10 7 4 1 -2 -5 -8 -11 14 Y = 2X – 1 X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Y -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 Tercero. Se marcan estos los puntos en el plano cartesiano. Luego, se traza la recta que pasa por estos puntos, y se repite el procedimiento para la otra ecuación. En este caso, en la primera ecuación, Si X = 0, entonces Y = 4, esto corresponde al punto A(0, 4). Si X = 2, entonces Y = –2, que corresponde al punto B(2,–2). De la misma manera, en la segunda ecuación, Si X = 0, entonces Y = –1; esto corresponde al punto C(0, –1).
  42. 42. MATEMATICAS 1 Página 42 de 90 Si X = 2, entonces Y = 3, que corresponde al punto D(2, 3). Con esto se pueden graficar ambas rectas como lo muestra el siguiente grafico Las rectas se intersecan en el punto E(1, 1). Entonces, X = 1, Y = 1 es solución del sistema. EJEMPLO. Para resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico: Despejamos y en las dos ecuaciones. + = → = − − = → = – a) Dando valores a x, formamos una tabla de valores para cada una de las dos ecuaciones. Y = 6 – X X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Y = X – 2 X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Y -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 b) Representamos estos puntos sobre un sistema de ejes. Puede ocurrir uno de los siguientes casos:  Si las rectas no se cortan, es decir, son paralelas, el sistema es incompatible, no tiene solución.
  43. 43. MATEMATICAS 1 Página 43 de 90  Si las rectas se cortan en un punto, el sistema tiene solución única. Decimos que es compatible determinado.  Si las dos rectas coinciden, esto es, son la misma, el sistema tiene infinitas soluciones. Es un sistema compatible indeterminado. En nuestro caso, las rectas se cortan en el punto (4, 2). La solución del sistema es X = 4 e Y = 2.  MÉTODO DE DETERMINANTES: para bdae bfce ed ba ef bc X    bdae cdaf ed ba fd ca Y    Como ejemplo vamos a resolver el sistema: + = − + = Calculamos primero la X: aX + bY = c dX + eY = f
  44. 44. MATEMATICAS 1 Página 44 de 90 2 3 6 12 410 )1(12.1 4.12.5 21- 11 24 15 X        Ahora calculamos la Y: 3 3 9 12 54 )1(12.1 )1(54.1 21- 11 41- 51 Y        Con lo que tenemos podemos decir que la solución al sistema, es: X = 2, Y = 3 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS TALLER COMPLEMENTARIO Utilizando dos de los métodos anteriores hallar la solución del sistema de ecuaciones; identificando si tiene solución única, no tiene solución o tiene múltiples soluciones para los siguientes casos X+6Y=27 7X-3Y=9 3X-2Y=-2 5X+8Y=-60 9X+16Y=7 4Y-3X=0 14X-11Y=-29 13Y-8X=30 15X-11Y=-87 -12X-5Y=-4 6X-18Y=-85 24X-5Y=-5 6X-5Y=-9 4X+3Y=13 7X-15Y=1 -1X-6Y=8 3X-4Y=41 11X+6Y=47 9X+11Y=-14 6X-5Y=-34 10X-3Y=36 2X+5Y=-4 11X-9Y=2 13X-15Y=-2 18X+5Y=-11 12X+11Y=31 9X+7Y=-4 11X-13Y=-48
  45. 45. MATEMATICAS 1 Página 45 de 90 1X-1Y=1 1X+1Y=7 1X-2Y=10 2X+3Y=-8 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Las ecuaciones de segundo grado son de la forma: Ax2 + bx + c = 0, con a diferente de 0 1. Identificación de coeficientes: Al empezar con las ecuaciones de segundo grado, resulta complicado identificar los coeficientes a, b y c. Sin embargo, es muy fácil. Presta atención a los siguientes EJEMPLOS. En las siguientes ecuaciones de segundo grado identifica los coeficientes a, b y c: Las ecuaciones como las a), b), c) y d), se dice que son completas porque ninguno de sus coeficientes es cero. Las ecuaciones como la, e) y la f), se dice que son incompletas porque alguno de sus coeficientes es cero. (Nota: el coeficiente ' a' nunca puede ser cero pues si lo fuera, la ecuación no sería de segundo grado) 2. Tipos de ecuaciones de segundo grado: Una ecuación de segundo grado puede ser completa o incompleta. En el siguiente cuadro puede verse claramente la clasificación de ecuaciones de segundo grado.
  46. 46. MATEMATICAS 1 Página 46 de 90 Vamos a empezar por resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas. Los métodos de resolución son distintos según que sea b=0 ó c=0. 3. Resolución de la ecuación incompleta 3.1 La ecuación aX2 + c = 0. Para resolver: 1. Despejamos X2 2. Tomamos la raíz cuadrada de ambos miembros. 3.2 La ecuación aX2 + bX = 0. Para resolver: 1. Extraemos factor común 2. Igualamos a cero cada factor. Veamos ahora casos concretos de resolución de ecuaciones de los dos tipos. EJEMPLO: Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
  47. 47. MATEMATICAS 1 Página 47 de 90 4. Resolución de la ecuación completa Para hallar el valor de X que satisface la igualdad, usamos una fórmula cuya justificación no vamos a ver. Nuestro interés es sólo comprobar que la fórmula funciona:
  48. 48. MATEMATICAS 1 Página 48 de 90 Esta fórmula parece complicada pero el uso nos hará ver que no lo es tanto. Sobre la fórmula es preciso hacer algunas apreciaciones: 1. En la fórmula aparece el término ' – b'. Esto significa que se cambia el signo del coeficiente b. No cambiar este signo es uno de los errores más frecuentes al aplicar esta fórmula. 2. En la fórmula aparece el símbolo '±'. Quizá sea la primera vez que ves este símbolo. Esto significa que se toman los dos valores de la raíz, el positivo y el negativo. En vez de escribir dos veces la misma expresión una con signo más y otra con signo menos, se escribe así para economizar. Para que lo veas más claro, escribiremos las dos soluciones: 3. Número de soluciones: Según que la expresión que está dentro de la raíz sea mayor que cero, igual a cero o menor que cero, se distinguen tres casos. La expresión de dentro de la raíz 'b2 – 4ac' se llama discriminante de la ecuación. De esta forma, tenemos: Si b2 – 4ac > 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones: a cabb X 2 ..42 1   a cabb X 2 ..42 1   Si b2 – 4ac = 0, solo hay una solución: a b XX 2 21   Si b2 – 4ac < 0, no es posible calcular la raíz cuadrada acb 42  el radicando es negativo Veamos ahora EJEMPLOS de resolución de ecuaciones completas: Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) X2 – 4X + 3 = 0 SOLUCION: b) X2 – 6X + 9 = 0
  49. 49. MATEMATICAS 1 Página 49 de 90 SOLUCION: c) X2 + X +1 = 0 SOLUCION: d) 4X2 + 4X + 1 = 0 SOLUCION: e) 6X2 –X –1 = 0 SOLUCION: f) 2X2 –3X + 3 = 0 SOLUCION:
  50. 50. MATEMATICAS 1 Página 50 de 90 SOLUCIONA EJERCICIOS JUSTIFICANDO SUS RESPUESTAS DESIGUALDADES CON UNA VARIABLE Usamos los símbolos de una desigualdad son: <, >, ≤, ≥; para representar la idea de que dos cantidades NO son iguales; estos leen: a) Menor que, b) Mayor que, c) Menor o igual que, d) Mayor o igual que.  Estas expresiones se conocen como inecuaciones o desigualdades.  Las inecuaciones o desigualdades algebraicas, contienen una o más variables.  Resolver una desigualdad implica encontrar TODAS sus soluciones.  El conjunto solución contiene todos los valores que satisfacen la desigualdad. EJEMPLO. Hallar la solución para la siguiente desigualdad. 2X + 5 > 11 Si se sustituye X con el valor 5,la inecuación lee 2(5) + 5 > 11 Simplifica a 15 > 11,que es un enunciado verdadero; este resultado es una solución de la desigualdad. El valor encontrado para X = 5, el resultado es 15 > 11, no es único, existen valores para X que se puede
  51. 51. MATEMATICAS 1 Página 51 de 90 cumplir o no la desigualdad Si se sustituye X con el valor 2,la inecuación lee 2(2) + 5 > 11, su resultado es 9 > 11; este resultado no cumple con la condición y así, podemos encontrar una gran cantidad de valores para X que cumplen y no. Para hallar los diferentes valores de X que debe cumplir con la condición se debe resolver la desigualdad: 2X + 5 > 11 2X > 11 – 5 2X > 6 3 6 >X X>2 Este resultado significa que se cumple con la condición únicamente para los valores de X mayores a 2. Su representación gráfica es la siguiente: La solución va desde los valores mayores que 2 hasta el infinito. (2, ∞). Soluciones y desigualdades Una desigualdad puede tener una infinidad de soluciones. Por ejemplo,el conjunto de todas las soluciones de la desigualdad 2 < X < 5 consiste de todos los números reales entre 2 y 5,sin incluir ni el 2 ni el 5. Llamamos a este conjunto un intervalo abierto y lo denotamos (2,5). La gráfica del intervalo abierto (2,5) es el conjunto de todos los puntos en la recta numérica que yacen entre X= 2 y X = 5,sin incluir los extremos. Ilustramos: Intervalos Las soluciones de la desigualdad 2 ≤ X ≤ 5 Incluyen X = 2 y X = 5 ,y se denotan [2,5] ,un intervalo cerrado.
  52. 52. MATEMATICAS 1 Página 52 de 90 Aquí se muestra la gráfica de este intervalo cerrado Tipos de intervalos La tabla muestra otros tipos de desigualdades,que consideraremos: INTERVALO DESIGUALDAD GRAFICA 1. (a, b) a< X <b 2. [a, b] a≤ X ≤b 3. [a, b) a≤ X <b 4. (a, b] a< X ≤b TALLER COMPLEMENTARIO Resuelva las siguientes desigualdades lineales y represente el conjunto solución en notación de intervalo y gráficamente. 1) 512X  2) X-21X2  3) 4X34  4) 4X-5X)3(2  5) X)-4(11)-X(3  6) 2X314  7) 52X)-3(32  8) 2 3 1X 2 1  9) 4X)-(1 2 1  10) X52 3 3-X  11) X)3(25 3 1 -X4  12) 2 X5 2X- 3 1   13) 2 3 2-X 2 3  14) 5X2 3 1 2  15) 4 2 1-X3 5    16) 32X 3 1 1  17) 2 X5 3 X 4 1   18) 2 4X-2 2X5  19) X22 3 1-X6  20) 151X37  21) 51X2  22) 2XX21 
  53. 53. MATEMATICAS 1 Página 53 de 90 23) -52-X1-X3  24) 4-3X2-X1  25) 3X1-X3X2  LA PARABOLA Ya hemos visto que una parábola es una función cuya fórmula es una ecuación de segundo grado: Y =aX2 + bx + c Eje de simetría: en general, un eje de simetría de una función o de una figura cualquiera es una recta que divide a la figura en dos partes iguales de manera que si doblamos el papel por dicha recta, las dos partes de la figura se superponen. Es decir, el eje de simetría actúa como un espejo. Observa la imagen adjunta (es un dibujo de Escher) y marca algún eje de simetría. En una parábola, el eje de simetría es la recta vertical que la parte en dos. En el eje, distinguimos el vértice de la parábola que es el punto mínimo (o máximo) CLASES DE PARABOLAS PARÁBOLAS DE LA FORMA y = ax2 + c (no hay término en x, b = 0) TALLER: a) Observa las parábolas del dibujo, halla la ecuación, el vértice y el eje de simetría: b) En los mismos ejes, dibuja y = 2x2 , y = 2x2 + 3 ¿Cuál será el eje de simetría de estas parábolas? ¿Y el vértice? c) En una parábola de la forma y = ax2 + c ¿Cuál será el eje de simetría y el vértice?
  54. 54. MATEMATICAS 1 Página 54 de 90 PARÁBOLAS DE LA FORMA y = (x+p)2 TALLER: Repite lo mismo (ecuación, eje y vértice) en las parábolas del dibujo Dibuja en estos ejes Y = (x + 2)2 y halla el vértice y el eje de simetría ¿Cuál será el eje de simetría y el vértice de la parábola Y = (x + p)2 PARÁBOLAS EN GENERAL y = ax2 + bx + c En estos casos, la obtención de la ecuación a partir de la gráfica es más complicada. Encuentra el eje de simetría y el vértice. Obtención del vértice: Hay un truco para obtener el vértice si te dan la ecuación de la parábola y = ax2 + bx + c. Haces x = -b/2a y sustituyes en la ecuación, obteniendo un punto que será el vértice. EJEMPLO. Si la parábola es Y = X2 - 4X - 5, El vértice será X = -(-4)/2·1= 2 y Sustituyendo Y = 22 - 4·2 - 5 = - 9 Por tanto el vértice es el punto (2,-9) Hallar el vértice, el eje de simetría y hacer su respectiva representación: a) Y = X2 + 6X - 4 b) Y = 2X2 - 8X + 2
  55. 55. MATEMATICAS 1 Página 55 de 90 CORTES DE UNA FUNCIÓN CON LOS EJES DE COORDENADAS TALLER. Representa las siguientes rectas y parábolas y halla, gráficamente, los puntos de corte con los ejes de coordenadas. a) Y = 2X - 6 b) Y = X2 - 4 c) Y = -4X + 8 d) Y = 2X2 - 8 e) Y = X2 + 6X - 4 f) Y = 2X + 1 g) Y = X2 + 9 h) Y = (X - 3)2 i) Y = X2 - 2X - 3 j) Y = 3X + 2 k) Y = X2 + 3X + 2 l) Y = X2 + X + 1 m) Y = 2X2 + 2 n) Y = 2X2 – 2 o) Y = - 2X2 + 2 p) Y = - 2X2 - 2 q) Y= - X2 + 3X + 4 r) Y=X2 + 3X + 4 s) Y=X2 - 6X + 8 Para encontrar los cortes con los ejes de las funciones anteriores (analíticamente), se hace x = 0 e y = 0. TALLER. CORTES DE UNA RECTA Y UNA PARÁBOLA Hacer las gráficas para encontrar los respectivos cortes de: a) Y = X2 + 1 y la recta Y = -X + 1 b) Y = X2 + 3 e Y =1 c) Y =X2 + 3 e Y =3 d) Y = X2 e Y = 4 CORTES DE DOS PARÁBOLAS ¿Cuántos cortes tendrán dos parábolas? Trata de poner ejemplos de todas las posibilidades que se te ocurran. TALLER: Hallar los puntos de corte de las parábolas 1) Y = X2 + 9 e Y = 2X2 2) Y = X2 + 9 e Y = X2 3) Y = X2 - 3 e Y = 5X2 – 3 4) Y = X2 - 6X + 1 e Y = X2 - 2X - 3,
  56. 56. MATEMATICAS 1 Página 56 de 90 LA HIPERBOLA Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva. Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes. Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas. TIPOS DE HIPERBOLAS HIPERBOLA DE LA FORMA: X K f(x)Y  Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa sus graficas pueden ser de la siguiente forma:
  57. 57. MATEMATICAS 1 Página 57 de 90 Son las más sencillas de construir y representar: Sus asíntotas son los ejes. El centro de la hipérbola, es el punto donde se cortan las asíntotas, en este caso es el origen. EJEMPLO: Al graficar la expresión siguiente se obtiene la gráfica que se presenta a continuación: X 2 f(x)Y  A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación. HIERPOBOLA DE LA FORMA: a X K f(x)Y  El centro de la hipérbola es: ( 0 , a ) Para este caso se pueden presentar dos casos que depende del signo que tome a, así: S i a > 0, la gráfica se desplaza hacia arriba a unidades.
  58. 58. MATEMATICAS 1 Página 58 de 90 EJEMPLO: Asignando valores positivo y negativos a la expresión siguiente se obtiene la correspondiente: 3 X 2 f(x)Y  El centro de la hipérbola es: ( 0 , 3 ) Si a < 0; se la gráfica desplaza hacia abajo a unidades: EJEMPLO: Asignando valores tanto positivos como negativos a la variable X se obtendrá la grafica correspondiente: 3 X 2 f(x)Y  El centro de la hipérbola es: ( 0 , - 3 )
  59. 59. MATEMATICAS 1 Página 59 de 90 HIPERBOLA DE LA FORMA: bX K f(x)Y   El centro de la hipérbola es: (- b , 0 ) En este caso también se pueden presentar dos casos: Si b > 0, la gráfica se desplaza a la izquierda b unidades. EJEMPLO: Asignando valores tanto positivos como negativos a la variable X se obtendrá la gráfica correspondiente: 3X 2 f(x)Y   El centro de la hipérbola es: ( - 3 , 0 ) Si b < 0, se desplaza a la derecha b unidades. EJEMPLO: Asignando valores tanto positivos como negativos a la variable X se obtendrá la gráfica correspondiente: 3X 2 f(x)Y  
  60. 60. MATEMATICAS 1 Página 60 de 90 El centro de la hipérbola es: ( 3 , 0 ) HIPERBOLA DE LA FORMA: a bX K f(x)Y    El centro de la hipérbola es: ( - b , a ) EJEMPLO: Asignando valores tanto positivos como negativos a la variable X se obtendrá la gráfica correspondiente: 4 3X 2 f(x)Y    El centro de la hipérbola es: ( 3 , 4 ).
  61. 61. MATEMATICAS 1 Página 61 de 90 HIPÉRBOLA DE LA FORMA: dcX baX f(x)Y    Para estos casos hay necesidad de dividir y expresarlo de la siguiente manera: a bX K f(x)Y    Su representación gráfica es una hipérbola de centro ( - b ,a ) y de asíntotas paralelas a los ejes. EJEMPLO: Si obtengo la siguiente expresión, debo transformar en otra realizando la división. 1X 53X f(x)Y    Al hacer la división se puede expresar de otra forma de tal manera que permita con facilidad encontrar el centro correspondiente dado por ( - b ,a ) EJEMPLO: Ahora si asignamos valores tanto positivos como negativos a la variable X y realizando las operaciones se obtendrá la gráfica correspondiente: 3 1X 2 f(x)Y    El centro de la hipérbola es: ( - 1 , 3 ).
  62. 62. MATEMATICAS 1 Página 62 de 90 TALLER COMPLEMENTARIO Elaborar las siguientes gráficas, identificar las asíntotas y el centro de la hipérbola para los siguientes casos: 1) X 5 f(x)Y  2) X 4 f(x)Y  3) 2 X 6 f(x)Y  4) 2 X 6 f(x)Y  5) 3 X 2 f(x)Y  6) 3 X 2 f(x)Y  7) 2X 8 f(x)Y   8) 3X 2 f(x)Y   9) 3X 2 f(x)Y   10) 3 2X 2 f(x)Y    11) 3 2-X 2 f(x)Y  12) 4 3X 2 f(x)Y    13) 52X 14X f(x)Y    14) 5 4X 2 f(x)Y    15) 1X 53X f(x)Y    16) 62X 43X f(x)Y    17) 4X 62X f(x)Y    18) 3 1X 2 f(x)Y    LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Concepto Al bombardear un átomo de uranio con neutrones, su núcleo se divide en dos núcleos más livianos,
  63. 63. MATEMATICAS 1 Página 63 de 90 liberando energía y 3 neutrones. Bajo ciertas condiciones, es decir, si existe una masa crítica de uranio, se inicia una reacción en cadena: cada uno de los neutrones liberados choca al núcleo de otro átomo, al que dividen en dos núcleos, liberando en cada colisión gran cantidad de energía y tres neutrones, y así sucesivamente, como muestra la figura. Si construimos una tabla de valores para la función que relaciona la cantidad de neutrones liberados en cada choque, con el número de choque y al choque, o momento inicial, con el neutrón que bombardea el primer átomo y lo graficamos, obtenemos: X: Nº de choque Y= Cantidad de neutrones 0 1 = 30 1 3 = 31 2 9 = 32 3 27 = 33 4 81 = 34 . . X 3X Construir la gráfica. Una función es exponencial si se expresa de la forma Y = k aX . Siendo a un número real positivo distinto de 1 y k un número real distinto de cero (k ≠ 0).a se denomina base y k, coeficiente de la función exponencial proviene de que la variable figura en el exponente. Analizaremos ahora la función Y= aX, donde (k = 1) Para ello graficaremos la siguiente función: Y=2X X Y=2X -4 2-4 = 1/16 -3 2-3 = 1/8 -2 2-2 = 1/4 -1 2-1 = 1/2 0 20 = 1 1 21 = 2 2 22 = 4 3 23 = 8 Graficando se obtiene una función que es creciente y pasa por el punto (0,1), que es la ordenada al origen.
  64. 64. MATEMATICAS 1 Página 64 de 90 Al tener asíntota en el eje de las abscisas, la función no tiene raíces. Qué pasará ahora con la función Y = 2-X X Y = 2 -X -4 2-(-4) = 16 -3 2-(-3) = 8 -2 2-(-2) = 4 -1 2-(-1)1 = 2 0 20 = 1 1 2 - 1 = 1/2 2 2 - 2 = 1/4 3 2 - 3 = 1/8 Como puedes observar, la función ahora es decreciente, pero manteniéndose las mismas características del dominio, imagen, ordenada al origen y asíntota horizontal. Es decir que ambas son simétricas con respecto al eje de las ordenadas
  65. 65. MATEMATICAS 1 Página 65 de 90 Analizar el comportamiento de las gráficas: Y = 2X, Y = 3X, x Y        2 3 Graficando se obtiene: X Y = 2X Y = 3X x Y        2 3 -3 2-3 = 1/8 3-3 = 1/27 27 8 2 3 3        -2 2-2 = 1/4 3-2 = 1/9 9 4 2 3 2        -1 2-1 = 1/2 3-1 = 1/3 3 2 2 3 1        0 20 = 1 30 = 1 1 2 3 0       1 2 1 = 2 3 1 = 3 2 3 2 3 1       2 2 2 = 4 3 2 = 9 4 9 2 3 2       3 2 3 = 8 3 3 = 27 8 27 2 3 3      
  66. 66. MATEMATICAS 1 Página 66 de 90 Los gráficos de las funciones de la forma Y= aX , con a > 1 tienen características comunes:  Las curvas tienen la misma ordenada al origen y es el punto (0; 1).  Las curvas son crecientes, y crecen tanto más rápido cuanto mayor sea la base.  La curva no corta al eje de las abscisas, o sea que tiene la misma asíntota y esta es y = 0 Que consideraciones podemos hacer si la base está comprendida entre 0 y 1, es decir 0 < a < 1. Veamos los siguientes gráficos Los gráficos de las funciones de la forma Y = aX, con 0 < a <1 tienen características comunes:  Las curvas tienen la misma ordenada al origen y es el punto (0; 1).  Las curvas son decrecientes, y decrecen tanto más rápido cuanto menor sea la base.  La curva no corta al eje de las abscisas, o sea que tiene la misma asíntota y esta es y = 0 Gráfico de funciones de la forma Y= k⋅ aXcon a > 1 y k > 0 Estudiaremos que influencia tiene el coeficiente de la función exponencial (k), en la función Y = 2x , con k igual a: 5; 2; ½. Para ello haremos la siguiente tabla X Y = 2X Y = 5 * 2X Y = 2 * 2X X 2 2 1 =Y       -3 2-3 = 1/8 5/8 2/8 1/16 -2 2-2 = 1/4 5/4 2/4 1/8 -1 2-1 = 1/2 5/2 2/2 1/4
  67. 67. MATEMATICAS 1 Página 67 de 90 0 20 = 1 5 2 1/2 1 2 1 = 2 10 4 1 2 2 2 = 4 20 8 2 3 2 3 = 8 40 16 4 Graficando, obtenemos Si analizamos este gráfico, veremos que  Las curvas cortan al eje de las ordenadas en el punto (0;k), o sea es la ordenada al origen  Las curvas son decrecientes, y decrecen tanto más rápido cuanto menor sea la base.  La variable y toma todos los valores positivos,  Las curvas no cortan al eje de las abscisas, es decir no tienen raíces reales; cuan- do los valores positivos de x aumentan, los correspondientes valores de y se acercan a cero, pero no alcanzan nunca ese valor. TALLER Analizar el siguiente caso; las funciones exponenciales y hacer sus gráficos para Y = k a X con k < 0, cuando k toma los valores de: -1, -2 y -4. Analizar la función exponencial de la forma Y = a(X-C), por medio de las siguientes funciones exponenciales: Y = 2(X + 2), Y = 2(X - 1), y su función genérica Y = 2X. La función exponencial de la forma Y= aX + b, con su función genérica Y = aX, por medio de las siguientesfuncionesexponenciales: Y = 2X + 3; Y = 2X - 1, y su función genérica Y = 2X.
  68. 68. MATEMATICAS 1 Página 68 de 90 Hacer las gráficas para los siguientes casos: 1) Y = 2X x Y        2 1 2) Y = 3X x Y        3 1 3) Y = 4X x Y        4 1 4) Y = 10X x Y        10 1 ECUACIONES EXPONENCIALES Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones exponenciales: 1. ax - a7 = 0 2. a2x = a8 3. ax+3 - a8 = 0 4. ax-5 = a 5. b7-x = b3 6. b3-x = b6 7. 3x = 1 8. 2x-1 = 1 9. 43-x = 4 10. p5-x = p 11. qx+1 = q 12. m8x-5 = m5x+7 13. cx · cx-3 = c9 14. m3x = m18 15. a5x-3 = a14+5x · a8x+7 16. bx-1 · bx+1 = b8 17. (m5)x = m15 18. (ax-1)x-7 = (ax+1)x+3 19. (a5x+1)5 = (a7x-1)7 · (ax-6)9 20. 4x = 64 21. 5x = 125 22. 9x = 81 23. 3-x = 9 24. 6-x = 1 25. 6x = 1/36 26. 5x = 1/125 27. 2x+1 = 0,25 28. 2x-3 = 1/8 29. 8) 4 1 ( x  30. 343 7 1 x       31. 32 4 1 x       32. 3264x 1  33. 816x 2  34. 216x 2  35. 927x 2  36. x8 5x 8 1 x          37. 5x3 3x5 aa   38. 5x24 5x13 aa   39. 6 7x3 5x3 aa  40. 4 5x3 3x2 bb   41. 6 436 3x74 5x a:aa   42. 3x x2x2 2 3 8 · 4 3             
  69. 69. MATEMATICAS 1 Página 69 de 90 43. x1 3x2 3 3 1         44. (25x-3)6 : (1252-3x)2 = 625 45. 8 1 2· 4 1 4x 1x3         46. 813 5x2  47. (2x)x = 16 48.   27 1 3 4xx   49. (5x)x-2 = 25x 50. 324x  51. 16 1 2 3 x  52. 102x-1 – 10x = 0 53. 0366 2x32x3   54. (0,25)x+1 = (0,125)x-1 Respuestas: 1) 7 2) 4 3) 5 4) 6 5) 4 6) –3 7) 0 8) 1 9) 2 10) 4 11) 0 12) 4 13) 6 14) 6 15) –3 16) 4 17) 3 18) 1/3 19) 2 20) 3 21) 3 22) 2 23) –2 24) 0 25) –2 26) –3 27) –3 28) 0 29) –3/2 30) –3 31) –5/2 32) 6/5 33) 8/3 34) 8 35) 3 36) 14 37) 9 38) –5 39) 10 40) 3/5 41) 7 42) –3 43) 2 44) 26/15 45) –3/5 46) 3 47) 2 48) 3 y 1 49) 0 y 4 50) 5/4 51) –12 52) 1 53) 4/9 54) 5 FUNCIÓN LOGARÍTMICA A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación. Los Logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando Logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes. Definición: Se llama Logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número; se expresa de la siguiente manera:
  70. 70. MATEMATICAS 1 Página 70 de 90 Logax = b <=> ab = x Que se lee: "el Logaritmo en base a del número x es b”, o también: "el número b se llama Logaritmo del número x respecto de la base a “. Como podemos ver, un Logaritmo no es otra cosa que un exponente, hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con Logaritmos. La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de Logaritmos. La potencia ab para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0. Es la función inversa de la función exponencial. La operación Logaritmación (extracción de Logaritmos, o tomar Logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del Logaritmo como el número x son positivos, (siendo, además, a distinto de 1) PROCESO DE CÁLCULO DE UN LOGARTIMO Al contrario de las ecuaciones de la actividad anterior, en este caso no es posible poner 5 como potencia entera de 2, por este motivo no es posible calcular directamente el valor de x. A continuación, se calcula el valor de x de una manera, pero no es la única forma de hacerlo.
  71. 71. MATEMATICAS 1 Página 71 de 90 En primer lugar, se sitúa la potencia 2x = 5 dentro de las potencias enteras de 2, es decir: ... 2-2 2-1 20 21 22 2x 23 24 ... ... 0’25 0’5 1 2 4 5? 8 16 ... Esta tabla proporciona una primera aproximación a la respuesta: x tiene que estar entre 2 y 3 puesto que 5 lo está entre 4 y 8. Por lo tanto, se tendrá que buscar las cifras decimales a, b, c, etc del número x = 2’abcdef..... Para encontrar las cifras decimales, una opción es ir probando distintas cifras hasta dar con la buscada. Para obtener la cifra a; se puede, por ejemplo, comenzar a probar a partir de 2’5: 22.5 = 5.656854... ; 22.4 = 5.278031... ; 22.3 = 4.924577... Ya está, la cifra a tiene que ser 3. Claro, si 22.3 es menor que 5 pero 22.4 es mayor que 5 habrá que deducir que x vale 2.3bcdef... Ahora para calcular la cifra b, se procede de modo anáLogo: 22.31 = 4.958830...; 22.32 = 4.993322...; 22.33 = 5.028053... Por lo tanto, la cifra b es 2. A continuación, se busca la cifra c: 22.321 = 4.998784...; 22.322 = 5.000249... De donde deducimos que la cifra c es 1. Ya se tiene que x = 2.321...; el procedimiento anterior se puede reiterar las veces que se necesite para Lograr la precisión que se desee alcanzar. LA PRESION ATMOSFERICA La presión atmosférica disminuye a medida que nos alejamos de la superficie terrestre. Al nivel del mar es de 1 atmósfera, pero, aproximadamente, por cada kilómetro que se asciende su valor es 0.9 veces la existente un kilómetro más abajo. Forma una tabla de valores que exprese esta situación.
  72. 72. MATEMATICAS 1 Página 72 de 90 Altura sobre el nivel del mar (km) Presión atmosférica (atmósferas) Al nivel del mar 1 1 0,9 2 0.92 = 0,81 3 0.93 = 0,729 4 0.94 = 0,656 5 0.95 = 0,590 6 0.96 = 0,531 ... ... x 0.9x Veamos ahora el problema inverso: ¿A qué altura se encontrará un globo sonda que marca en un barómetro 0.325 atmósferas? Si representamos por x la altura, tendremos que resolver la ecuación: 0.325 = 0.9x. Para obtener una solución aproximada podemos prolongar la tabla y vemos que el globo se encontrará entre 10 y 11 km sobre el nivel del mar. Altura sobre el nivel del mar (km) Presión atmosférica (atmósferas) 8 0.98 = 0.43047 9 0.99 = 0.38742 10 0.910 = 0.34868 11 0.911 = 0.31381 12 0.912 = 0.28243 El valor exacto de x se define como el Logaritmo en base 0.9 de 0.325, lo que escribimos del siguiente modo: 25.0log 9.0X De lo anterior se deduce que: x x 9.0325.0325.0log 9.0  Nota. La extraña palabra Logaritmo fue introducida a finales del siglo XVI por el matemático inglés John Naiper (1550 - 1617).
  73. 73. MATEMATICAS 1 Página 73 de 90 Cuando la base a = 10, se llaman Logaritmos decimales y se expresan simplemente por Log en vez de Log10 Cuando la base” a = número e”, se llaman Logaritmos neperianos y se expresan simplemente por “ln” en vez de Loge PROPIEDADES LOGARITMO DE LA BASE A UNA POTENCIA. Es igual al exponente o potencia. EL LOGARITMO DE LA BASE. Es siempre 1: EL LOGARITMO DE 1. Es 0 en cualquier base. LOGARITMO DE UN PRODUCTO. Es igual a la suma de los Logaritmos de los factores. EJEMPLOS: a) Log 50 + Log 20 = Log (50 · 20) = Log 1000 = 3. b) 875061,3477121,2397940,1300log25log)300·25log(  c) xx log8log8log  . d) )3log( 3 )3)(3( log 3 9 log)3log()9log( 2 2        x x xx x x xx LOGARTIMO DE UN COCIENTE. Es igual al Logaritmo del numerador menos el Logaritmo del denominador.
  74. 74. MATEMATICAS 1 Página 74 de 90 EJEMPLOS: a) 602060,1301030,2698970,0200log5log 200 5 log  b) 250log 8 2000 log8log2000log  c)    12log35log 12 35 log 2 2    xxx x xx d)     )3log( 3 )3)(3( log 3 9 log3log9log 2 2        x x xx x x xx LOGARITMO DE UNA POTENCIA. Es igual al exponente por el Logaritmo de la base. EJEMPLOS: a) Log 128 = 8 · Log 12 = 8 · 1,079181 = 8,633448. b) 892790,478125log5log5log7 7  . c) xx log8log 8  ; 8log8log xx  d)    2log52log 252  xx LOGARTIMO DE UNA RAIZ n. Es igual al Logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz. EJEMPLO: a) 5Log = b) 18Log = c) 32Log = d) 2Log = e) 1000Log = LOGARITMOS DECIMALES Se llaman Logaritmos decimales o vulgares a los Logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.
  75. 75. MATEMATICAS 1 Página 75 de 90 Ejemplo: Logaritmo cantidades decimales Logaritmo de una potencia Resultado Log 1 = Log 100 = 0 Log 10 = Log 101 = 1 Log 100 = Log 102 = 2 Log 1000 = Log 103 = 3 Log 10000 = Log 104 = 4 = Log 10000….n = Log 10n = n LOGARITMOS NEPERIANOS Se llaman Logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los Logaritmos que tienen por base el número e = 2.718281828... NLoge eLog NLog b b LnX Resultado 5Loge  eLog 5Log 01 01 Ln5 1.609438 01Loge  eLog 01Log 01 01 Ln10 2.302585 51Loge  eLog 51Log 01 01 Ln15 2.708050 02Loge  eLog 02Log 01 01 Ln20 2.995732 52Loge  eLog 25Log 01 01 Ln25 3.218876 03Loge  eLog 03Log 01 01 Ln30 3.41197 53Loge  eLog 53Log 01 01 Ln35 3.555348 CAMBIO DE BASE
  76. 76. MATEMATICAS 1 Página 76 de 90 Dónde: bd es la base deseada; normalmente las más usadas son: la base 10 o la base e; de la cual disponemos en las calculadoras científicas. Como en las calculadoras científicas las teclas que hay para calcular Logaritmos son de base 10 o base el número e, la fórmula que nos permita calcular cualquier Logaritmo con la calculadora: En nuestro caso cambiaremos a base 10 ó e: EJEMPLO 321928.2 30103.0 69897.0 2log 5log 52log  ó 321928.2 6931471.0 6094379.1 2ln 5ln 52log  ANTILOGARITMO Es el número que corresponde a un Logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del Logaritmo de un número. Es decir, consiste en elevar la base al número resultado EJEMPLO. a) AntiLog34 = 34 = 81 b) AntiLog23 = 23 = 8 c) AntiLog3-2 = 3-2 = 1/9 d) AntiLog4/53 = (4/5)3 = 64/125 COLOGARITMO
  77. 77. MATEMATICAS 1 Página 77 de 90 Se llama coLogaritmo de un número N al Logaritmo de su recíproco. EJEMPLO: a) CoLog525 = Log51/25 = -2 ó CoLog525 = -Log525 = -2 b) CoLog28 = -Log28 = -3 c) CoLog21/8 = -Log21/8 = 3 ECUACIONES LOGARÍTMICAS Aquella ecuación en la que la incógnita aparece sometida a la operación de Logaritmación. La igualdad de los Logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolución de ecuaciones Logarítmicas, también se llama "tomar antiLogaritmos"). Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los Logaritmos antes enunciadas, en orden inverso, simplificando y realizando transformaciones oportunas. Las ecuaciones Logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece como la base o el argumento de un Logaritmo. Para resolverlas utilizamos las propiedades de los Logaritmos hasta conseguir que en ambos lados de la igualdad nos aparezca un único Logaritmo con la misma base e igualamos los argumentos. EJEMPLO. 1) Log x + Log 5 = 2 2) Log x + Log(x + 3) = 2Log(x + 1) Soluciones Log X + Log 5 = 2 Log 5X = Log 102 5X = 100 X = 20 2. Log X + Log(X + 3) = 2Log(X + 1) Log X(X + 3) = Log(X + 1)2
  78. 78. MATEMATICAS 1 Página 78 de 90 X(X + 3) = (X + 1)2 X2 + 3X = X2 + 2X + 1 X = 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Se llaman sistemas de ecuaciones Logarítmicas a los sistemas de ecuaciones en los que la/s incógnita/s está sometida a la operación Logaritmo. Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los Logaritmos para realizar transformaciones convenientes. Características:  Para a>1 Los números menores que 1 tienen Logaritmo negativo. Los números mayores que 1 tienen Logaritmo positivo.  Para 0<a<1 Los números menores que 1 tienen Logaritmo positivo. Los números mayores que 1 tienen Logaritmo negativo. TALLER. 1. Halla el valor de x en las siguientes ecuaciones: a) 3log6 x b) 5,2log5 x c) 2,03log7 x d) 4log x e) ln x = 3,2 f) f) x      32 1 log2 g) g) x8log7 h) h) x4log16 [sol] a) 216; b) 55,9; c) 0,226; d) 0,0001; e) 24,53; f) –5; g) 1,0686; h) 1/2 2. Resuelve: a) x140log6  b) 2100logx  c) 7x8log2  d) 16)1x2(log4 2  [sol] a) 2,7580; b) 10 1 ; c) 16; d) 15/2. 3. Utilizando la fórmula del cambio de base, halla: a) Log 2 100 b) Log 5 500

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