1. Cuando se le hacen pruebas a un sistema dinámico se obtiene la respuesta que tiene este ante esas pruebas en particular. Los resultados en el dominio del tiempo de las pruebas realizadas sobre un sistema se pueden utilizar para: - Aproximar su función de transferencia (Identificación). - Evaluar el desempeño del sistema (Evaluación). En cualquiera de los dos aspectos es necesario tener en claro los parámetros de la respuesta temporal y su significado dentro de la teoría de control. Parámetros de la respuesta temporal: G(s) X(s) Y(s) Σ X(s) G(s) H(s) + - Y(s)

2. Para poder Identificar o Evaluar un sistema dinámico a partir de su respuesta temporal se requiere tener en cuenta el tipo de prueba y los parámetros a considerar. Primeramente veamos los tipos de pruebas que se utilizan en sistemas de control: Entrada Escalón unitario Cambio Instantáneo en la Posición del valor deseado. Entrada Rampa unitaria Cambio a Velocidad Constante del valor deseado. Entrada Parábola Cambio en la Aceleración del valor deseado. Entrada Senoidal unitaria Solo se usa en el estudio frecuencial Parámetros de la respuesta temporal:

3. El otro aspecto importante de la respuesta temporal es el conjunto de parámetros típicos, estos dependen de la combinación de la naturaleza en si del sistema dinámico y el tipo de prueba (ya mencionados). En cuanto a la naturaleza del sistema dinámico se tiene que: Una FT típica tiene una forma de respuesta temporal típica para cada tipo de prueba, con lo que a partir de una se obtiene la otra y viceversa. Por tanto es necesario recordar la forma de la función de transferencia típica de sistemas de control, tanto en lazo abierto, como en lazo cerrado, según el orden y tipo de sistema. El orden del sistema lo dará el numero de polos que posea la FT. El tipo de sistema lo dará el numero de polos en el origen que posea la FT. Parámetros de la respuesta temporal:

4. El estudio de la respuesta temporal se divide en: - Régimen transitorio o transiente. Intervalo de tiempo desde que ocurre el primer cambio en el valor deseado, hasta que la amplitud de la salida se desvía mas de ± 5% del valor estacionario (criterio de Tss=4 τ ) o mas de ±2% del valor estacionario (criterio de Tss=5 τ ). Parámetros de la respuesta temporal:

5. El estudio de la respuesta temporal se divide en: - Régimen estacionario o permanente o estado estable. Intervalo de tiempo desde que termina el régimen transitorio hasta el tiempo que dure el estudio. Parámetros de la respuesta temporal: Orden del sistema 1er Orden 2do Orden Sobre impulso Valor deseado Tiempo de levantamiento Tiempo de retardo Tiempo de Sobre Impulso Tiempo de estabilización Valor estacionario Error

6. Parámetros importantes de la respuesta temporal en régimen transitorio: Parámetros de la respuesta temporal: Orden del sistema 1er Orden 2do Orden Sobre impulso Valor deseado Tiempo de levantamiento Tiempo de retardo Tiempo de Sobre Impulso Tiempo de estabilización Valor estacionario

7. Parámetros importantes de la respuesta temporal en régimen transitorio: Tiempo de retardo Tr: es el tiempo que trascurre desde el primer cambio en el valor deseado hasta que la amplitud de la salida alcanza el 50% del valor en estado estable. Tiempo de levantamiento Td: el tiempo de levantamiento es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%. Para sistemas sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%. Tiempo de Sobre Impulso Tp: es el tiempo en el que ocurre el mayor sobre impulso Tiempo de Estabilización Tss: es el tiempo que trascurre desde el primer cambio en el valor deseado hasta que la amplitud de la salida no varia mas de ±5% o mas de ±2% de su valor estacionario, según el criterio que se quiera usar. Parámetros de la respuesta temporal:

8. Parámetros importantes de la respuesta temporal en régimen transitorio: Orden del sistema: En la curva de la respuesta al escalón se puede determinar si el sistema objeto de estudio es de primer orden o de orden superior. Si la respuesta inicia casi como una recta, el sistema es de 1er orden. Si tiene una curva de subida lenta, el sistema es de 2do orden. Valor deseado: es el valor de amplitud que tiene la curva de entrada para todo el intervalo de tiempo que dure la prueba. OJO: no siempre el valor final de la respuesta transitoria es igual al valor deseado. Valor estacionario: es la amplitud que tiene la salida en régimen transitorio Sobre Impulso Mpt: es la diferencia algebraica entre el valor de amplitud máxima que alcanza la respuesta transitoria y el valor estacionario. Se expresa en %, tomando como referencia el valor estacionario de la respuesta del sistema. Parámetros de la respuesta temporal:

9. Un aspecto muy importante del la respuesta transitoria es la forma. El parámetro que describe la forma de la respuesta transitoria es el factor de amortiguamiento relativo ζ . Factor de amortiguamiento relativo ζ: es el coseno del Angulo que define al par de polos que tiene la FT. ζ = 0 significa que los polos son imaginarios puros, el sistema es críticamente estable u oscilatorio puro 0< ζ < 1 significa que los polos son complejos no puros, el sistema es estable y subamortiguado y tiene sobre impulso ζ = 1 significa que los polos son reales e iguales, el sistema es críticamente amortiguado y sin sobre impulso ζ > 1 significa que los polos son reales y diferentes, el sistema es sobre amortiguado Parámetros de la respuesta temporal:

10. El parámetro fundamental de la respuesta en régimen permanente es el error. Error estacionario ess: es la diferencia algebraica entre el valor deseado y el valor estacionario de la salida. Se expresa en % tomando como referencia el valor deseado. Para determinar el error estacionario a partir de la FT es necesario aplicar el teorema del valor final de la transformada de Laplace, así como considerar el tipo de sistema según el numero de polos en el origen (integradores) y el tipo de señal de prueba. NOTA: para facilitar esto, hay una tabla resumen de fácil memorización. Parámetros de la respuesta temporal:

11. Aplicando el teorema del valor final se obtiene: Error de posición: Error de velocidad: Error de posición: Error de aceleración: Parámetros de la respuesta temporal: Asumiendo H(s)=1, se tiene:

12. En un sistema de control digital la respuesta transitoria se afecta debido al T empleado, aunque los parámetros de interés son los mismos que en el TC, sus valores dependerán del tiempo de muestreo T que se emplee. De ahí que la selección del T es de sumo cuidado cuando se diseñe un sistema de control digital, pero si solo se trata el análisis de uno existente, es necesario verificar que el T sea el más adecuado. En general, el T afecta los parámetros de desempeño en forma directa, a menor T menor valores de los parámetros de desempeño y el sistema se parece más al sistema en TC, mientras que a mayor T los valores pueden aumentar tanto que hagan al sistema digital inestable a pesar que el sistema Tc lo sea. Parámetros de la respuesta temporal:

13. Sea la FTLA del sistema en estudio de la forma: donde el térmno (z-1) corresponde a un integrador discreto. Según el valor de N se dice: N=0 sistema tipo 0 N=1 sistema tipo 1 N=2 sistema tipo 2 Determinar el tipo de sistema tiene especial interés ya que permite adelantar como será el error en estado estable del sistema. Parámetros de la respuesta temporal:

14. Los parámetros de error en estado estable tanto en tiempo continuo como en tiempo discreto tienen el mismo significado e importancia. Los tipos de error de interés son los debido a las siguientes entradas: Escalón unitario: r(t)=U(t) --> Rampa unitaria: r(t)=tU(t) --> Parábola: r(t)= --> Parámetros de la respuesta temporal:

15. Parámetros de la respuesta temporal:

16. Parámetros de la respuesta temporal:

17. Parámetros de la respuesta en frecuencia: En la práctica el desempeño de un sistema de control se mide mediante pruebas y análisis de la respuesta en el tiempo, sin embargo, el estudio en el dominio de la frecuencia resulta útil si tomamos en consideración que las pruebas en este caso son más fáciles de desarrollar, ya que se resumen a excitar el sistema objeto de estudio a una señal forzante de tipo senoidal pero a diferentes frecuencias. Como todos los sistemas aquí considerados son LTI se cumple que la salida de un sistema ante una entrada senoidal de frecuencia F, amplitud A x y fase θ es otra señal senoidal de frecuencia F pero con amplitud y fase diferentes. G(s) X(s) Y(s) Φ A y

18. Para el análisis en el dominio de la frecuencia se tiene: x(t) = A x sen( ω 0 t) Será nuestra señal de entrada forzante que usaremos como prueba al variar ω 0 y anotar su respuesta tendrá la forma: y(t) = A y sen( ω 0 t + θ) En Laplace: Y(s) = X(s) G(s) Como solo nos interesa la respuesta senoidal pura, hacemos s=jω y queda Y(jω) = X(jω) G(jω) Y(jω) = |Y(jω)| <Y(jω) donde |Y(jω)| = |X(jω)| |G(jω)| y <Y(jω) = <X(jω) + <G(jω) Parámetros de la respuesta en frecuencia: G(s) X(s) Y(s) Φ A y

19. Por simplicidad, el análisis de la respuesta en frecuencia se lleva a cabo por métodos gráficos principalmente mediante: - Diagramas de Bode - Diagramas de Nyquist - Diagramas de Nichols - Diagramas de Magnitud y Fase Además de estos gráficos se puede trabajar con tablas numéricas de la respuesta en frecuencia otganizados así: Frecuencia (Hz o rad/s) Ganancia ( adimensional o dB) Fase (º) El gráfico más utilizado en ingeniería de control es el diagrama de Bode y se prefiere la utilización de herramientas computacionales como MATLAB y SCILAB para su contrucción exacta, por lo que lo más importante de aprender es su análisis e interpretación. Parámetros de la respuesta en frecuencia:

20. Especificaciones en el dominio de la frecuencia: Pico de resonancia M r . Es el valor máximo de |M (jω)|. Frecuencia de Resonancia ω r . Es la frecuencia en la que ocurre el M r . Ancho de Banda BW. Es la frecuencia en la cual |M (jω)| cae al 70.7% de su valor en ω=0, si se trabaja en dB es cuando cae a –3dB. Este parámetro permite tener una idea de la respuesta en el tiempo, si BW es grande entonces el tiempo de levante es corto ya que las componentes de frecuencia más alta posiblen son aceptadas. Parámetros de la respuesta en frecuencia:

21. Especificaciones en el dominio de la frecuencia: Razón de corte. Es la pendiente con que cae |M (jω)|, generalmente se expresa en dB/década. Este parámetro nos da información sobre que tan “selectiva” es la respuesta a frecuencias altas. Veremos que M r ω r BW los parámetros de la respuesta en frecuencia están muy ligados a ζ W n T r los parámetros de la respuesta en el tiempo. Cruce de Ganancia ω g . Es el punto en el que la curva de magnitud corta con 0 dB. Cruce de Fase ω p . Es el punto en el que la curva de fase corta con –180º. Parámetros de la respuesta en frecuencia:

22. Diagramas de Bode. Son un par de gráficos para un mismo sistema, uno para la magnitud en dB y otro para la fase en grados, ambos generalmente tienen su eje horizontal en escala logarítmica de ω. dB = 20 log 10 ( |M (jω)|) Con este artilugio los productos de magnitudes se suman y los cocientes se restan Parámetros de la respuesta en frecuencia:

23. Los diagramas de Bode son quizá la representación más sencilla y útil de la respuesta en frecuencia de un sistema, de estas curvas resulta muy simple extraer los parámetros de la respuesta, analizar la estabilidad y otras consideraciones que veremos a continuación. Parámetros de la respuesta en frecuencia:

24. Respuesta en frecuencia de un sistema de 2do orden. La FT de un sistema de 2do orden en forma general es: ω n 2 G(s) = --------------------------- ζ factor de amortiguamiento y ω n frecuencia natural s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 Ya sabemos que: Si 0 < ζ < 1 el sistema es subamortiguado (polos complejos conjugados) Si ζ = 1 el sistema es críticamente amortiguado (polos dobles reales) Si ζ > 1 el sistema es sobreamortiguado (polos reales) ω r = ω n 1 – 2 ζ 2 BW = ω n (1 – 2 ζ2) + ζ4 – 4 ζ2 + 2 1 M r = ---------------------- 2 ζ 1 – ζ 2 Parámetros de la respuesta en frecuencia:

25. Parámetros de la respuesta en frecuencia:

26. Parámetros de la respuesta en frecuencia:

27. Parámetros de la respuesta en frecuencia: