Trigonometria 5

Trigonometria 5

UNIDAD III
UNIDAD V
¡Reduciendo es más fácil...!
Al comparar un taxi y un bus se observa que el tamaño es importante para facilitar un buen desplazamiento.
Si se reduce el parque automotor sería más fácil evitar la congestión vehicular en las principales avenidas
de Lima. De igual modo, al reducir la magnitud de los ángulos es más fácil encontrar el valor de sus
razones trigonométricas.
Comunicación matemática
•	 Reconocer y relacionar los valores numé-
ricos de las R.T. de ángulos no agudos.
Resolución de problemas
•	 Resolver problemas donde se aplican to-
dos los casos de reducción.
Aplicación de la matemática a situaciones
cotidianas
•	 Demostrar expresiones donde se debe re-
ducir ángulos al primer cuadrante.
82
Reducción al primer cuadrante I
TRILCE
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Reducción al primer
cuadrante I
Conceptos básicos
Definición
Es el procedimiento mediante el cual se determinan las razones trigonométricas de un ángulo no agudo,
en función de un agudo.
"a": no agudo "b": agudo
R.T.(a) R.T.(b)
Casos
1.	 Ángulos positivos mayores de 90º y menores que 360º
	 Si tenemos que calcular: R.T.(q), usamos el siguiente criterio:
Si: q ∈ IIC ⇒ R.T.(q) = ± R.T.(180º – q)
Si: q ∈ IIIC ⇒ R.T.(q) = ± R.T.(q – 180º)
Si: q ∈ IVC ⇒ R.T.(q) = ± R.T.(360º – q)
El signo (±) dependerá del ángulo original "q" y de la R.T. pedida. Por ejemplo, calculemos:
• sen 120º
123 = +sen(180º – 120º) = sen60º ⇒ sen120° = 3
2
IIC
• tan 240º
123 = +tan(240º – 180º) = tan60º ⇒ tan240° = 3
IIIC
• tan 300º
123 = – tan(360º – 300º) = – tan60º ⇒ tan300° = – 3
IVC
• sen 210º
123 = – sen(210º – 180º) = –sen30º ⇒ sen210° = –
1
2
IIIC
• cos 150º
123 = – cos(180º – 150º) = –cos30º ⇒ cos150° = – 3
2
IIC
• sec 225º
123 = – sec(225º – 180º) = – sec45º ⇒ sec225° = – 2
IIIC
• cos 315º
123 = +cos(360º – 315º) = cos45º ⇒ cos315° = 2
2
IVC
2.	 Ángulos mayores que 360º
	 Si tenemos que calcular: R.T. (q) > 360º, usamos el siguiente criterio:
R.T.(q) R.T.(a)
q 360° ↓
α q Residuo: a
	 Esto es posible porque "q" y "a" van a resultar ángulos coterminales.
Razonamiento Matemático
83
1
Trigonometría
Unidad V
Central: 619-8100
	 Por ejemplo, calculemos:
•	 sen 1500º = ??
1500° 360°
sen1500º = sen60º ⇒ sen1500° = 3
2
1440° 4
60°
•	 cos1200º = ??
1200° 360° cos 1200° = cos120º = – cos(180º – 120°)
⇒ cos 1200° = – cos60° ⇒ cos 1200° = –
1
2
1080° 3
120°
3.	 Ángulos negativos
En este caso aplicamos:
sen(–q) = – senq csc(–q) = – cscq
cos(–q) = cosq sec(–q) = secq
tg(–q) = –tgq ctg(–q) = – ctgq
	 Por ejemplo:
•	 cos(– 60°) = cos60° =
1
2
•	 sen(– 30°) = – sen30° = –
1
2
•	 tan(– 45°) = – tan45° = –1
Síntesis teórica
84
Reducción al primer cuadrante I
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Problemas resueltos
1.	 Calcular el valor de: E =
sen300°
tan315°
	 Resolución:
sen
IVC
678
300° = – sen(360º – 300º) = – sen60° = – 3
2
		 IVC
	 	 6
7
8
	 Además:	 tan315º = – tan(360º – 315º) = – tan45º = – 1
	
Reemplazando: E =
– 3
2
– 1
⇒ E = 3
2
2.	 Si: cos10º = a, ¿a qué es igual: E = sen100º.cos190º?
	 Resolución:
sen
IIC
678
100° = sen(180º – 100º) = sen80° = cos10° = a
cos
IIIC
678
190° = –cos(190º – 180º) = – cos10° = – a
	 Reemplazando: E = (cos10º)(– cos10º) ⇒ E = – a2
3.	 Simplificar: E = (k – 1) sen450º + (k + 1)cos900º
	 Resolución:
450° 360°
360° 1
90° Residuo
900° 360°
720° 2
180° Residuo
⇒ sen450º = sen90º = 1 ⇒ cos900º = cos180º = – 1
	 Reemplazando en "E":
	 E = (k – 1)(1) + (k +1)(–1) ⇒ E = k – 1 – k – 1 ⇒ E = – 2
4.	 Calcular: E =
sen(– 120°)
tan(– 135°)
	 Resolución:
sen(– 120°) = – sen
IIC
678
120° = – sen(180º – 120º) = – (+ sen60°) = – 3
2
tan(– 135°) = – tan
IIC
678
135° = – tan(180º – 135º) = – (– tan45°) = + 1
	
Reemplazando: E =
– 3
2
1
⇒ E = – 3
2
Razonamiento Matemático
85
1
Trigonometría
Unidad V
Central: 619-8100
Aplica lo comprendido
10 x
5
50
1.	 Calcular: sen150º
2.	 Calcular: cos240º
3.	 Calcular: C = 2sec(– 60º) . csc(– 53º)
4.	 Calcular: sen1830º
5.	 Hallar "x" en:
3x.sec233º + tan315º=x.cot(– 45º) + 3 sec1860º
Aprende más...
1.	 Calcular: sen150º
a)	
1
2
	 b)	–
1
2
	c)	
3
2
		
d)	– 3
2
	 e)	1
2.	 Calcular: tan300º
a)	 3
3
	 b)	– 3
3
	c)	
3		
d)	– 3	 e)	–1
3.	 Señala el valor de: K = tan315º . sec300º
a)
	
1
2	
b)	–
1
2	
c)	 2 		
d)	 – 2	 e)
	
2
2
4.	 Señala el valor de: K = tan150º . sen315º
a)
	
6
4 	
b)
	
– 6
4 	
c)	 6
6 		
d)	– 6
6
	 e)	– 2
4
5.	 Calcular: E =
sen120° + cos240° + tan150°
cot240° – sen210° – cos330°
a)	 0	 b)	 1	 c)	 –1		
d)	 2	 e)	 – 2
6.	 Calcular: tan1485º
a)	1	 b)	–1	 c)
	
1
2		
d)	–
1
2	
e)
	
2
2
7.	 Calcular: cos2400º
a)	1	 b)	– 3
2
	c)	
1
2		
d)
	
–
1
2	
e)
	
3
2
8.	 Calcular: D = sec1860º . tan3645º
a)	 0	 b)	 1	 c)	 –1		
d)	2	 e)	–2
9.	 Calcular: sec(–30º)
a)	 2	 b)	 – 2	 c)	 2 3
3
		
d)	– 3 3
2
	 e)	– 2 3
3
10.	Calcular: M = tan(– 45º) + sec(– 60º)
a)	 0	 b)	 1	 c)	 – 1 		
d)	 2	 e)	 – 2
11.	Calcular: L = tan(– 120º) . cos(– 300º)
a)	 3
2
	 b)	–
1
2
	c)	
1
2
		
d)	– 3
2
	 e)	– 2
2
12.	Calcular: E =
cos240° + sen150° – tan217°
tan120° – cot(– 30°) – sen300°
a)	–
3
2	
b)	1	 c)	–1
		
d)	– 3
2 	
e)	–2
13.	Si: cos20º = a, ¿a qué es igual "P"?
	 P = cos200º . sen290º
a)	a	 b)	– a	 c)	a2		
d)	 – a2	 e)	 – 2a2
86
Reducción al primer cuadrante I
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14.	Simplificar:
	 E =
sen(– 120°).cos(– 210°) + sec(– 300°)
tan(– 135°) + sec(– 225°) + sec(– 315°)
a)	–2	 b)	–3	 c)	1		
d)	 2,75	 e)	 –1
15.	Reducir:
F = cos(cos40º + cos140º) + sen(sen70º + sen290º)
a)	 1	 b)	 –1	 c)	 0		
d)
	
1
2	
e)	–
1
2
16.	Reducir:
F = cos(cos20º + cos160º) + sec(tan20º + tan160º)
a)	 1	 b)	 –1	 c)	 0		
d)	2	 e)	–2
¡Tú puedes!
1.	 Señala el equivalente de tan2001º, utilizando un ángulo del IVC.
a)	 tan321º	 b)	 tan339º	 c)	 – tan339º	 d)	 tan(– 39º)	 e)	 tan291º
2.	 Calcular: E = cos51º + cos52º + cos53º + ... + cos5179º + cos5180º
a)	 1	 b)	 0	 c)	 –1	 d)	 –
1
2	
e)
	
1
2
3.	 Calcular: C =
2014
S {sen(– 1)kq}
k = 1
a)	 2010	 b)	 2010senq	 c)	 2014senq	 d)	 – 2014senq	 e)	 0
4.	 Del gráfico, determine: P =
3sen
a – b
3
+ sena + senb
6cos
a – b
6
+ cosa + cosb
x
y
b
a
a)	–
1
2	
b)	–
1
3	
c)	–
1
4	
d)
	
1
2	
e)
	
1
3
5.	 Si: f(n) = sen40nº . cos60nº + tan20nº, determine:
f(3)
f(6)
a)	
1
2	
b)	–
1
2	
c)	
1
3	
d)
	
–
1
3	
e)
	
–
1
6
17.	Calcular:
	
H = cos
p
30
+ cos
2p
30
+ cos
3p
30
+ ... + cos
29p
30
a)	 –2	 b)	 0	 c)	 1		
d)	2	 e)	–1
18.	Calcular:
	
H = sen
p
30
+ sen
2p
30
+ sen
3p
30
+ ... + sen
59p
30
a)	 –2	 b)	 0	 c)	 1		
d)	2	 e)	–1
Razonamiento Matemático
87
1
Trigonometría
Unidad V
Central: 619-8100
1.	 Calcular: csc210º
2.	 Calcular: cot330°
3.	 Calcular: sen1830º
4.	 Calcular: cot3990º
5.	 Calcular: cos(–45º)
6.	 Calcular: tan(–240°)
7.	 Calcular el valor de: E =
sen(– 120°)
tan(– 135°)
8.	 Calcular el valor de: E = sec135º . csc150º
9.	 Calcular el valor de:
E = cos150º – sen240º + tan300º
10.	Calcular el valor de: M =
2cos300° – sen2120°
2tan135°
11.	Simplificar:
	 E =
sec(– 120°).sen(– 210°) + sec(– 240°)
cot(– 135°) + sen(– 225°) + sen(– 135°)
12.	Calcular: tan1920° . cot36135º
13.	Si: cos50º = k, ¿a qué es igual "E"?
	
E =
sen140°cos130°
csc320°
14.	Reducir: P=
4
S {n.cos[(– 1)nq]}
n = 1
15.	Hallar: L =
7
S {sen[(– 1)nq]}
n = 1
Practica en casa
18:10:45
88
Reducción al primer cuadrante II
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Reducción al primer
cuadrante II
Conceptos básicos
Definición
En este capítulo se resolverán casos más genéricos que en los capítulos anteriores, en los que solo nos
limitamos a calcular valores en los diferentes cuadrantes.
1.	 Reducción de: R.T. ap
b
; a > 2b
	 Se procede de la siguiente manera:
	
Residuo
↓
R.T.
ap
b
R.T.
rp
b
a 2b
r q
↓
Residuo
	 Ejemplos:
Calculemos:
•
	
sen
1743p
2
1743 4
14 435
23
3
	
sen
1743p
2
= sen
3p
2
= – 1
•
	
cos
3273p
4
3273 8
73 409
1
	
cos
3273p
4
= cos
1p
4
= 2
2
2.	 Reducción de: R.T. (90º . n ± q), n ∈ .
	 Vamos a distinguir cuatro situaciones básicas:
• n = 1: R.T. (90º ± q) • n = 2: R.T. (180º ± q)
• n = 3: R.T. (270º ± q) • n = 4: R.T. (360º ± q)
Apliquemos el siguiente criterio:
R.T.(
90°
270° ± q) = ± Co – R.T.(q) R.T.(
180°
360° ± q) = ± R.T.(q)
El signo ( ± ) dependerá de la R.T. pedida y del cuadrante al que pertenece el ángulo original.
Razonamiento Matemático
89
2
Trigonometría
Unidad V
Central: 619-8100
• sen (90º + q)
14243
= + cosq
IIC
• tan (270º + q)
14243
= – cotq
IVC
• sec (270º – q)
14243
= – cscq
IIIC
• cot (90º + q)
1
4
2
4
3
= – tanq
IIC
• tan
p
2
+ q = – cotq
123
IIC
• tan (180º + q)
14243
= + tanq
IIIC
• cos (180º – q)
14243
= – cosq
IIC
• cot (360º – q)
14243
= – cotq
IVC
• sen(360º + q)
14243
= + senq
IC
• csc (p + q)
123
= – cscq
IIIC
	
¡Ojo!: siendo "q" agudo
90º + q
180º – q
90º – q
360º + q
180º + q
270º – q
270º + q
360º – q
Problemas resueltos
1.	 Simplificar: E =
tan(270° + x)
cot(180° + x)
	 Resolución:
tan (270º + x)
14243
= – cotx; además: cot (180º + x)
14243
= + cotx
IVC IIIC
	
Reemplazando: E =
– cotx
+ cotx
⇒ E = – 1
2.	 Simplificar: A =
tan
p
2
– x sec(p – x)sen
3p
2
+ x
cot(2p – x)
	 Resolución:
	 Recordar que: p <> 180º
	Luego:
tan
p
2
– x = + cotx
123
IC
sec (p – x) = – secx
123
IIC
sen
3p
2
+ x = – cosx
123
IVC
cot (2p – x) = – cotx
123
IVC
Ejemplos:
90
Reducción al primer cuadrante II
TRILCE
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	 Reemplazando:
	
A =
(cotx)(– secx)(– cosx)
– cotx
=
1
6447448
(cotx)(– secx)(– cosx)
(– cotx)
⇒ E = –1
3.	 En un triángulo ABC, reducir: E = tan(A + 2B + C).cot(A + C)
	 Resolución:
	 Por ser triángulo ABC ⇒ A + B + C = 180º
	 Luego: 	 tan(A + 2B + C) = tan(A + B + C + B) = tan(180º + B) = + tanB
		 cot(A + C) = cot(A + B + C – B) = cot(180º – B) = – cotB
	 Reemplazando: E = (+ tanB) (– cotB) ⇒ E = – 1
Aplica lo comprendido
10 x
5
50
1.	 Hallar el equivalente de: sen(180° + q)
2.	 Hallar el equivalente de: tan(270° – x)
3.	 Reducir:
E = sen(180° + x) + sen(180° – x) + tan(90° + x)
4.	 Reducir: M = tan(180° – x) . sen(90° + x)
5.	 Si: a + q = p, simplificar: A = sena . cscq
Aprende más...
1.	 Calcular: sen
47p
4
a)
	
1
2	
b)	–
1
2	
c)
	
2
2 		
d)	– 2
2 	
e)	1
2.	 Calcular: cos
209p
6
a)
	
1
2	
b)	–
1
2	
c)
	
3
2 		
d)	– 3
2 	
e)	 2
2
3.	 Señale el equivalente de: sen(360° – x).
a)	– secx	 b)	secx	 c)	–senx		
d)	 senx	 e)	 – cosx
4.	 Señale el equivalente de: cot(90° + x).
a)	– cotx	 b)	cotx	 c)	tanx		
d)	 – tanx	 e)	 cosx
5.	 Reducir: E = sen(180° + x) + cos(270° + x)
a)	 – 2senx	 b)	 2senx	 c)	 0 		
d)	 – 2cosx	 e)	 2cosx
6.	 Simplificar: M =
tan(p + x) . cos(p – x)
sen(2p – x)
a)	1	 b)	– 1	 c)	tan2x 		
d)	 – tan2x	 e)	cot2x
7.	 Reducir:
	 M =
sec(180° + q)
csc(90° + q)
+
sen(270° + f)
cos(360° – f)
a)	 – 2	 b)	 2	 c)	 0		
d)	 1	 e)	 – 1
8.	 Simplificar: Q =
sen(270° + x) + cos(90° + x)
cos(360° + x) + sen(180° – x)
a)	 0	 b)	 – 1	 c)	 1		
d)	tanx	 e)	cotx
Razonamiento Matemático
91
2
Trigonometría
Unidad V
Central: 619-8100
9.	 Reducir:
K = tan(180º + q) . cot(270º + q) . tan(360º – q)
a)	tanq	 b)	 – tanq	 c)	tan3q		
d)	 – tan3q	 e)	 – tan2q
10.	 Si: x + y = 180º; y + z = 270º (y ≠ 90°; z ≠ 90°)
	
Calcular: A =
senx
seny
+
tany
cotz
a)	 0	 b)	 1	 c)	 – 1		
d)	 2	 e)	 – 2
11.	Si: x + y = 180° (x ≠ p; y ≠ p), simplificar:
	
D =
senx
seny
+
3csc2y
csc2x
a)	4	 b)	1	 c)	2		
d)	 – 2	 e)	 – 1
12.	En un triángulo ABC, simplificar:
	
D =
sen(A + B)
senC
+ tan(A + B + 2C).cot(A + B)
a)	 1	 b)	 –1	 c)	 0		
d)	2	 e)	–2
13.	En un triángulo ABC, reducir:
	 E = senA + sen(B + C) + sen(A + B + C)
a)	 0	 b)	 2senA	 c)	 – 2senA	
d)	 – 1	 e)	 1
14.	Del gráfico, calcular: tana
	 a
1 2
45º
a)	3	 b)	–3	 c)
	
3
2		
d)	–
3
2	
e)	–
2
3
15.	Del gráfico, hallar: tanq. (ABCD es un cuadra-
do)
	
q
C
A
B
37º
D
a)	
1
2
	 b)	4	 c)
	
–
1
4		
d)	
1
4	
e)	– 4
Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas
16.	Un profesor de trigonometría realiza una sana competencia entre sus seis alumnos más destacados
y les pide a cada uno que sume las razones trigonométricas de los ángulos (90º + x), (180º + x),
(270º + x) y (360º + x). Al primer alumno le pidió sumar los senos, al segundo los cosenos, al tercero
las tangentes y así sucesivamente.
	 ¿Obtuvieron los mismos resultados?
	 ¿Cuántos no obtuvieron el mismo resultado?
¡Tú puedes!
1.	 Simplificar: C =
sen(133p + q)cot 145
p
2
– q
tan(321p + q)cos 1351
p
2
+ q
a)	1	 b)	–1	 c)	senq	 d)	tan2q	 e)	 – tan2q
92
Reducción al primer cuadrante II
TRILCE
Colegios
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Practica en casa
18:10:45
2.	 Siendo: x – y = p; reducir: C =
1 + sen(senx) + sen(seny)
1 – cos(cosx) + cos(cosy)
a)	 1	 b)	 0	 c)	 –1	 d)	 2	 e)	
1
2
3.	 Reducir: C =
4
S
n = 1
nsen n
p
2
+ q
a)	senq + cosq	 b)	2(senq + cosq)	c)	2(senq – cosq)	 d)	4(senq – cosq)	 e)	 0
4.	 En el análisis matemático se define:
n
P
k = 1
ak = a1. a2 . a3 ... . an. Reducir: C =
5
P
n = 1
ntan
np
2
+ x
a)	 120	 b)	 120tanx	 c)	 – 120tanx 	 d)	 120cotx	 e)	 – 120cotx
5.	 Si se sabe que el área "S" de un triángulo está
determinado por:
	 S =
mn
2
senq
C
A
B
m
S
n
q
	 En el cuadrado ABCD, señala el equivalente de:
J =
senb
senq a
b
q
C
A B
D
a)	sena	 b)	–sena	 c)	cosa	 d)	–cosa	 e)	csca
1.	 Calcular: tan251p
3
2.	 Calcular: sec5417p
3.	 Calcular: cos327p
4
4.	 Señale el equivalente de: sen(360° + x)
5.	 Señale el equivalente de: sec(360° – x)
6.	 Señale el equivalente de: cos(270° + x)
7.	 Señale el equivalente de:
	 C = 2sen(270º + x) + cos(180º – x)
8.	 Reducir: M = cos(90° – x) . csc(180° + x)
9.	 Reducir: M =
sen(180° + x)
cos(270° + x)
+
tan(360° – x)
cot(90° – x)
Razonamiento Matemático
93
2
Trigonometría
Unidad V
Central: 619-8100
10.	Reducir:
A = sen(90° + b) . sec(180° + b) . tan(270° – b)
11.	Simplificar:E=
tan(270° + x) + cot(90° + x)
cot(180° + x) + tan(360° + x)
12.	En un triángulo ABC, reducir:
	 E = tgA + tg(B + C) + tg(A + B + C)
13.	Si: x + y = 180º, reducir:
	 A = senx.cscx + 4 tanx.coty
14.	En un triángulo ABC, simplifique:
	 M =
senA + sen(B + C)
cos(B + C)
csc(2A + B + C)
15.	Del gráfico, calcular: tanq
	 q
1
3
37º
C
A B

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  • 1. UNIDAD III UNIDAD V ¡Reduciendo es más fácil...! Al comparar un taxi y un bus se observa que el tamaño es importante para facilitar un buen desplazamiento. Si se reduce el parque automotor sería más fácil evitar la congestión vehicular en las principales avenidas de Lima. De igual modo, al reducir la magnitud de los ángulos es más fácil encontrar el valor de sus razones trigonométricas. Comunicación matemática • Reconocer y relacionar los valores numé- ricos de las R.T. de ángulos no agudos. Resolución de problemas • Resolver problemas donde se aplican to- dos los casos de reducción. Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas • Demostrar expresiones donde se debe re- ducir ángulos al primer cuadrante.
  • 2. 82 Reducción al primer cuadrante I TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Reducción al primer cuadrante I Conceptos básicos Definición Es el procedimiento mediante el cual se determinan las razones trigonométricas de un ángulo no agudo, en función de un agudo. "a": no agudo "b": agudo R.T.(a) R.T.(b) Casos 1. Ángulos positivos mayores de 90º y menores que 360º Si tenemos que calcular: R.T.(q), usamos el siguiente criterio: Si: q ∈ IIC ⇒ R.T.(q) = ± R.T.(180º – q) Si: q ∈ IIIC ⇒ R.T.(q) = ± R.T.(q – 180º) Si: q ∈ IVC ⇒ R.T.(q) = ± R.T.(360º – q) El signo (±) dependerá del ángulo original "q" y de la R.T. pedida. Por ejemplo, calculemos: • sen 120º 123 = +sen(180º – 120º) = sen60º ⇒ sen120° = 3 2 IIC • tan 240º 123 = +tan(240º – 180º) = tan60º ⇒ tan240° = 3 IIIC • tan 300º 123 = – tan(360º – 300º) = – tan60º ⇒ tan300° = – 3 IVC • sen 210º 123 = – sen(210º – 180º) = –sen30º ⇒ sen210° = – 1 2 IIIC • cos 150º 123 = – cos(180º – 150º) = –cos30º ⇒ cos150° = – 3 2 IIC • sec 225º 123 = – sec(225º – 180º) = – sec45º ⇒ sec225° = – 2 IIIC • cos 315º 123 = +cos(360º – 315º) = cos45º ⇒ cos315° = 2 2 IVC 2. Ángulos mayores que 360º Si tenemos que calcular: R.T. (q) > 360º, usamos el siguiente criterio: R.T.(q) R.T.(a) q 360° ↓ α q Residuo: a Esto es posible porque "q" y "a" van a resultar ángulos coterminales.
  • 3. Razonamiento Matemático 83 1 Trigonometría Unidad V Central: 619-8100 Por ejemplo, calculemos: • sen 1500º = ?? 1500° 360° sen1500º = sen60º ⇒ sen1500° = 3 2 1440° 4 60° • cos1200º = ?? 1200° 360° cos 1200° = cos120º = – cos(180º – 120°) ⇒ cos 1200° = – cos60° ⇒ cos 1200° = – 1 2 1080° 3 120° 3. Ángulos negativos En este caso aplicamos: sen(–q) = – senq csc(–q) = – cscq cos(–q) = cosq sec(–q) = secq tg(–q) = –tgq ctg(–q) = – ctgq Por ejemplo: • cos(– 60°) = cos60° = 1 2 • sen(– 30°) = – sen30° = – 1 2 • tan(– 45°) = – tan45° = –1 Síntesis teórica
  • 4. 84 Reducción al primer cuadrante I TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Problemas resueltos 1. Calcular el valor de: E = sen300° tan315° Resolución: sen IVC 678 300° = – sen(360º – 300º) = – sen60° = – 3 2 IVC 6 7 8 Además: tan315º = – tan(360º – 315º) = – tan45º = – 1 Reemplazando: E = – 3 2 – 1 ⇒ E = 3 2 2. Si: cos10º = a, ¿a qué es igual: E = sen100º.cos190º? Resolución: sen IIC 678 100° = sen(180º – 100º) = sen80° = cos10° = a cos IIIC 678 190° = –cos(190º – 180º) = – cos10° = – a Reemplazando: E = (cos10º)(– cos10º) ⇒ E = – a2 3. Simplificar: E = (k – 1) sen450º + (k + 1)cos900º Resolución: 450° 360° 360° 1 90° Residuo 900° 360° 720° 2 180° Residuo ⇒ sen450º = sen90º = 1 ⇒ cos900º = cos180º = – 1 Reemplazando en "E": E = (k – 1)(1) + (k +1)(–1) ⇒ E = k – 1 – k – 1 ⇒ E = – 2 4. Calcular: E = sen(– 120°) tan(– 135°) Resolución: sen(– 120°) = – sen IIC 678 120° = – sen(180º – 120º) = – (+ sen60°) = – 3 2 tan(– 135°) = – tan IIC 678 135° = – tan(180º – 135º) = – (– tan45°) = + 1 Reemplazando: E = – 3 2 1 ⇒ E = – 3 2
  • 5. Razonamiento Matemático 85 1 Trigonometría Unidad V Central: 619-8100 Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Calcular: sen150º 2. Calcular: cos240º 3. Calcular: C = 2sec(– 60º) . csc(– 53º) 4. Calcular: sen1830º 5. Hallar "x" en: 3x.sec233º + tan315º=x.cot(– 45º) + 3 sec1860º Aprende más... 1. Calcular: sen150º a) 1 2 b) – 1 2 c) 3 2 d) – 3 2 e) 1 2. Calcular: tan300º a) 3 3 b) – 3 3 c) 3 d) – 3 e) –1 3. Señala el valor de: K = tan315º . sec300º a) 1 2 b) – 1 2 c) 2 d) – 2 e) 2 2 4. Señala el valor de: K = tan150º . sen315º a) 6 4 b) – 6 4 c) 6 6 d) – 6 6 e) – 2 4 5. Calcular: E = sen120° + cos240° + tan150° cot240° – sen210° – cos330° a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) – 2 6. Calcular: tan1485º a) 1 b) –1 c) 1 2 d) – 1 2 e) 2 2 7. Calcular: cos2400º a) 1 b) – 3 2 c) 1 2 d) – 1 2 e) 3 2 8. Calcular: D = sec1860º . tan3645º a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) –2 9. Calcular: sec(–30º) a) 2 b) – 2 c) 2 3 3 d) – 3 3 2 e) – 2 3 3 10. Calcular: M = tan(– 45º) + sec(– 60º) a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 e) – 2 11. Calcular: L = tan(– 120º) . cos(– 300º) a) 3 2 b) – 1 2 c) 1 2 d) – 3 2 e) – 2 2 12. Calcular: E = cos240° + sen150° – tan217° tan120° – cot(– 30°) – sen300° a) – 3 2 b) 1 c) –1 d) – 3 2 e) –2 13. Si: cos20º = a, ¿a qué es igual "P"? P = cos200º . sen290º a) a b) – a c) a2 d) – a2 e) – 2a2
  • 6. 86 Reducción al primer cuadrante I TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe 14. Simplificar: E = sen(– 120°).cos(– 210°) + sec(– 300°) tan(– 135°) + sec(– 225°) + sec(– 315°) a) –2 b) –3 c) 1 d) 2,75 e) –1 15. Reducir: F = cos(cos40º + cos140º) + sen(sen70º + sen290º) a) 1 b) –1 c) 0 d) 1 2 e) – 1 2 16. Reducir: F = cos(cos20º + cos160º) + sec(tan20º + tan160º) a) 1 b) –1 c) 0 d) 2 e) –2 ¡Tú puedes! 1. Señala el equivalente de tan2001º, utilizando un ángulo del IVC. a) tan321º b) tan339º c) – tan339º d) tan(– 39º) e) tan291º 2. Calcular: E = cos51º + cos52º + cos53º + ... + cos5179º + cos5180º a) 1 b) 0 c) –1 d) – 1 2 e) 1 2 3. Calcular: C = 2014 S {sen(– 1)kq} k = 1 a) 2010 b) 2010senq c) 2014senq d) – 2014senq e) 0 4. Del gráfico, determine: P = 3sen a – b 3 + sena + senb 6cos a – b 6 + cosa + cosb x y b a a) – 1 2 b) – 1 3 c) – 1 4 d) 1 2 e) 1 3 5. Si: f(n) = sen40nº . cos60nº + tan20nº, determine: f(3) f(6) a) 1 2 b) – 1 2 c) 1 3 d) – 1 3 e) – 1 6 17. Calcular: H = cos p 30 + cos 2p 30 + cos 3p 30 + ... + cos 29p 30 a) –2 b) 0 c) 1 d) 2 e) –1 18. Calcular: H = sen p 30 + sen 2p 30 + sen 3p 30 + ... + sen 59p 30 a) –2 b) 0 c) 1 d) 2 e) –1
  • 7. Razonamiento Matemático 87 1 Trigonometría Unidad V Central: 619-8100 1. Calcular: csc210º 2. Calcular: cot330° 3. Calcular: sen1830º 4. Calcular: cot3990º 5. Calcular: cos(–45º) 6. Calcular: tan(–240°) 7. Calcular el valor de: E = sen(– 120°) tan(– 135°) 8. Calcular el valor de: E = sec135º . csc150º 9. Calcular el valor de: E = cos150º – sen240º + tan300º 10. Calcular el valor de: M = 2cos300° – sen2120° 2tan135° 11. Simplificar: E = sec(– 120°).sen(– 210°) + sec(– 240°) cot(– 135°) + sen(– 225°) + sen(– 135°) 12. Calcular: tan1920° . cot36135º 13. Si: cos50º = k, ¿a qué es igual "E"? E = sen140°cos130° csc320° 14. Reducir: P= 4 S {n.cos[(– 1)nq]} n = 1 15. Hallar: L = 7 S {sen[(– 1)nq]} n = 1 Practica en casa 18:10:45
  • 8. 88 Reducción al primer cuadrante II TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Reducción al primer cuadrante II Conceptos básicos Definición En este capítulo se resolverán casos más genéricos que en los capítulos anteriores, en los que solo nos limitamos a calcular valores en los diferentes cuadrantes. 1. Reducción de: R.T. ap b ; a > 2b Se procede de la siguiente manera: Residuo ↓ R.T. ap b R.T. rp b a 2b r q ↓ Residuo Ejemplos: Calculemos: • sen 1743p 2 1743 4 14 435 23 3 sen 1743p 2 = sen 3p 2 = – 1 • cos 3273p 4 3273 8 73 409 1 cos 3273p 4 = cos 1p 4 = 2 2 2. Reducción de: R.T. (90º . n ± q), n ∈ . Vamos a distinguir cuatro situaciones básicas: • n = 1: R.T. (90º ± q) • n = 2: R.T. (180º ± q) • n = 3: R.T. (270º ± q) • n = 4: R.T. (360º ± q) Apliquemos el siguiente criterio: R.T.( 90° 270° ± q) = ± Co – R.T.(q) R.T.( 180° 360° ± q) = ± R.T.(q) El signo ( ± ) dependerá de la R.T. pedida y del cuadrante al que pertenece el ángulo original.
  • 9. Razonamiento Matemático 89 2 Trigonometría Unidad V Central: 619-8100 • sen (90º + q) 14243 = + cosq IIC • tan (270º + q) 14243 = – cotq IVC • sec (270º – q) 14243 = – cscq IIIC • cot (90º + q) 1 4 2 4 3 = – tanq IIC • tan p 2 + q = – cotq 123 IIC • tan (180º + q) 14243 = + tanq IIIC • cos (180º – q) 14243 = – cosq IIC • cot (360º – q) 14243 = – cotq IVC • sen(360º + q) 14243 = + senq IC • csc (p + q) 123 = – cscq IIIC ¡Ojo!: siendo "q" agudo 90º + q 180º – q 90º – q 360º + q 180º + q 270º – q 270º + q 360º – q Problemas resueltos 1. Simplificar: E = tan(270° + x) cot(180° + x) Resolución: tan (270º + x) 14243 = – cotx; además: cot (180º + x) 14243 = + cotx IVC IIIC Reemplazando: E = – cotx + cotx ⇒ E = – 1 2. Simplificar: A = tan p 2 – x sec(p – x)sen 3p 2 + x cot(2p – x) Resolución: Recordar que: p <> 180º Luego: tan p 2 – x = + cotx 123 IC sec (p – x) = – secx 123 IIC sen 3p 2 + x = – cosx 123 IVC cot (2p – x) = – cotx 123 IVC Ejemplos:
  • 10. 90 Reducción al primer cuadrante II TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Reemplazando: A = (cotx)(– secx)(– cosx) – cotx = 1 6447448 (cotx)(– secx)(– cosx) (– cotx) ⇒ E = –1 3. En un triángulo ABC, reducir: E = tan(A + 2B + C).cot(A + C) Resolución: Por ser triángulo ABC ⇒ A + B + C = 180º Luego: tan(A + 2B + C) = tan(A + B + C + B) = tan(180º + B) = + tanB cot(A + C) = cot(A + B + C – B) = cot(180º – B) = – cotB Reemplazando: E = (+ tanB) (– cotB) ⇒ E = – 1 Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Hallar el equivalente de: sen(180° + q) 2. Hallar el equivalente de: tan(270° – x) 3. Reducir: E = sen(180° + x) + sen(180° – x) + tan(90° + x) 4. Reducir: M = tan(180° – x) . sen(90° + x) 5. Si: a + q = p, simplificar: A = sena . cscq Aprende más... 1. Calcular: sen 47p 4 a) 1 2 b) – 1 2 c) 2 2 d) – 2 2 e) 1 2. Calcular: cos 209p 6 a) 1 2 b) – 1 2 c) 3 2 d) – 3 2 e) 2 2 3. Señale el equivalente de: sen(360° – x). a) – secx b) secx c) –senx d) senx e) – cosx 4. Señale el equivalente de: cot(90° + x). a) – cotx b) cotx c) tanx d) – tanx e) cosx 5. Reducir: E = sen(180° + x) + cos(270° + x) a) – 2senx b) 2senx c) 0 d) – 2cosx e) 2cosx 6. Simplificar: M = tan(p + x) . cos(p – x) sen(2p – x) a) 1 b) – 1 c) tan2x d) – tan2x e) cot2x 7. Reducir: M = sec(180° + q) csc(90° + q) + sen(270° + f) cos(360° – f) a) – 2 b) 2 c) 0 d) 1 e) – 1 8. Simplificar: Q = sen(270° + x) + cos(90° + x) cos(360° + x) + sen(180° – x) a) 0 b) – 1 c) 1 d) tanx e) cotx
  • 11. Razonamiento Matemático 91 2 Trigonometría Unidad V Central: 619-8100 9. Reducir: K = tan(180º + q) . cot(270º + q) . tan(360º – q) a) tanq b) – tanq c) tan3q d) – tan3q e) – tan2q 10. Si: x + y = 180º; y + z = 270º (y ≠ 90°; z ≠ 90°) Calcular: A = senx seny + tany cotz a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 e) – 2 11. Si: x + y = 180° (x ≠ p; y ≠ p), simplificar: D = senx seny + 3csc2y csc2x a) 4 b) 1 c) 2 d) – 2 e) – 1 12. En un triángulo ABC, simplificar: D = sen(A + B) senC + tan(A + B + 2C).cot(A + B) a) 1 b) –1 c) 0 d) 2 e) –2 13. En un triángulo ABC, reducir: E = senA + sen(B + C) + sen(A + B + C) a) 0 b) 2senA c) – 2senA d) – 1 e) 1 14. Del gráfico, calcular: tana a 1 2 45º a) 3 b) –3 c) 3 2 d) – 3 2 e) – 2 3 15. Del gráfico, hallar: tanq. (ABCD es un cuadra- do) q C A B 37º D a) 1 2 b) 4 c) – 1 4 d) 1 4 e) – 4 Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. Un profesor de trigonometría realiza una sana competencia entre sus seis alumnos más destacados y les pide a cada uno que sume las razones trigonométricas de los ángulos (90º + x), (180º + x), (270º + x) y (360º + x). Al primer alumno le pidió sumar los senos, al segundo los cosenos, al tercero las tangentes y así sucesivamente. ¿Obtuvieron los mismos resultados? ¿Cuántos no obtuvieron el mismo resultado? ¡Tú puedes! 1. Simplificar: C = sen(133p + q)cot 145 p 2 – q tan(321p + q)cos 1351 p 2 + q a) 1 b) –1 c) senq d) tan2q e) – tan2q
  • 12. 92 Reducción al primer cuadrante II TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Practica en casa 18:10:45 2. Siendo: x – y = p; reducir: C = 1 + sen(senx) + sen(seny) 1 – cos(cosx) + cos(cosy) a) 1 b) 0 c) –1 d) 2 e) 1 2 3. Reducir: C = 4 S n = 1 nsen n p 2 + q a) senq + cosq b) 2(senq + cosq) c) 2(senq – cosq) d) 4(senq – cosq) e) 0 4. En el análisis matemático se define: n P k = 1 ak = a1. a2 . a3 ... . an. Reducir: C = 5 P n = 1 ntan np 2 + x a) 120 b) 120tanx c) – 120tanx d) 120cotx e) – 120cotx 5. Si se sabe que el área "S" de un triángulo está determinado por: S = mn 2 senq C A B m S n q En el cuadrado ABCD, señala el equivalente de: J = senb senq a b q C A B D a) sena b) –sena c) cosa d) –cosa e) csca 1. Calcular: tan251p 3 2. Calcular: sec5417p 3. Calcular: cos327p 4 4. Señale el equivalente de: sen(360° + x) 5. Señale el equivalente de: sec(360° – x) 6. Señale el equivalente de: cos(270° + x) 7. Señale el equivalente de: C = 2sen(270º + x) + cos(180º – x) 8. Reducir: M = cos(90° – x) . csc(180° + x) 9. Reducir: M = sen(180° + x) cos(270° + x) + tan(360° – x) cot(90° – x)
  • 13. Razonamiento Matemático 93 2 Trigonometría Unidad V Central: 619-8100 10. Reducir: A = sen(90° + b) . sec(180° + b) . tan(270° – b) 11. Simplificar:E= tan(270° + x) + cot(90° + x) cot(180° + x) + tan(360° + x) 12. En un triángulo ABC, reducir: E = tgA + tg(B + C) + tg(A + B + C) 13. Si: x + y = 180º, reducir: A = senx.cscx + 4 tanx.coty 14. En un triángulo ABC, simplifique: M = senA + sen(B + C) cos(B + C) csc(2A + B + C) 15. Del gráfico, calcular: tanq q 1 3 37º C A B