Trigonometria 6

Trigonometria 6

UNIDAD III
Conociendo los valores
máximos y mínimos
Padre de la Trigonometría moderna y creador de la circunferencia trigonométrica.
Leonhard Euler (1707–1783), matemático suizo, fundó la trigonometría moderna e introdujo la notación
actual de las funciones trigonométricas. También popularizó el uso de la letra griega p, introdujo el uso
de la función exponencial y descubrió su relación con las funciones trigonométricas, demostrando de una
manera muy simple las propiedades básicas de la trigonometría.
Comunicación matemática
•	 Reconocer el valor máximo y mínimo valor de las líneas trigo-
nométricas.
Resolución de problemas
•	 Resolver problemas en la circunferencia trigonométrica y de-
mostrar expresiones con las líneas trigonométricas.
Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas
•	 Representar las líneas trigonométricas en la circunferencia tri-
gonométrica.
UNIDAD VI
Razonamiento Matemático
95
1
Trigonometría
Unidad VI
Central: 619-8100
Circunferencia trigonométrica
Conceptos básicos
Conceptos previos
1.	 Arco orientado
	 Es la trayectoria descrita por un punto al desplazarse sobre una curva, en un determinado sentido. Estos
arcos poseen un origen y un extremo.
a
B
A
b
Q
P
Para "a": 	 B ⇒ origen
	A ⇒ extremo
Para "b": 	 P ⇒ origen
	Q ⇒ extremo
2.	 Circunferencia canónica
	 Es aquella circunferencia cuyo centro es el origen del sistema cartesiano. Estas circunferencias, en la
geometría analítica, poseen una ecuación de la forma:
	
x2 + y2 = r2
	 Donde "r" es el radio de la circunferencia.
	 Ejemplos:
3
y
x
(0; –3)
(3; 0)
(0; 3)
(–3; 0)
x2 + y2 = 9
•	 Completar:
	
2
y
x
( ; )
( ; )
( ; )
( ; )
x2 + y2 = 4
3.	 Arco en posición normal
	 Son arcos orientados determinados en una circunferencia canónica; con origen en el semieje positivo
de las abscisas como el punto "A", mostrado en el gráfico adjunto. Los arcos en posición normal pue-
den ser generados en sentido antihorario (positivos) o en sentido horario (negativos).
96
Circunferencia trigonométrica I
TRILCE
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www.trilce.edu.pe
	 Ejemplo:
r
y
x
A'
M
B'
B
A
N
a
q
•	 "a" ∧ "q" son arcos en posición normal.
•	 "a": positivo; "q": negativo.
•	 "M" y "N": extremos de los arcos "a" y " q",
respectivamente.
Circunferencia trigonométrica
Es aquella circunferencia canónica cuyo radio es igual a la unidad del sistema. Se pueden notar las siguientes
características:
y
x
M
B'
B(0; 1)
A(1; 0)
N
a
q
(– 1; 0)
(0; – 1)
C.T.
O
rad
q
A'
	 A: Origen de arcos
	M ∧ N: Extremos de arcos
		
:( )
:( )
+
−
θ
α
)
	 B: Origen de complementos de arcos
	 A': Origen de suplementos de arcos
	 B': Anónimo.
Además; se cumple que: ∠AOM (en rad) = AM (numéricamente); y debido a esta observación se cumple:
R.T.(q rad) = R.T.(q)
sen
p
2
rad = sen
p
2
tan2rad = tan2
Es decir, con esta propiedad fundamental es posible calcular las razones trigonométricas de cualquier
número real, siempre y cuando esta se encuentre definida.
Líneas trigonométricas
Son segmentos de medida positiva o negativa que van a representar el valor numérico de una razón
trigonométrica.
1.	 L. T. Seno
	 Es el segmento determinado por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado hacia
el eje de abscisas.
Razonamiento Matemático
97
1
Trigonometría
Unidad VI
Central: 619-8100
	 En el gráfico, tenemos que:
y
x
A' A
M
B'
N
a
q
b
C.T.
O
B
S
P
T R
MR = sena (+)
NT = senb (+)
PS = senq (–)
Debe notarse además que la L.T. seno puede ser trazada
para cualquier arco "q", verificándose así que:
– 1 ≤ senq ≤ 1
(senq)máx = 1
(senq)mín = – 1
2.	 L. T. Coseno
	 Es el segmento determinado por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado hacia
el eje de ordenadas.
	 En el gráfico, tenemos que:
y
x
A' A
M
B'
N
a
q
b
C.T.
O
B
S
P T
R
MS = cosa (+)
NR = cosb (–)
PT = cosq (–)
Debe notarse además que la L.T. coseno puede ser
trazada para cualquier arco "q", verificándose así que:
– 1 ≤ cosq ≤ 1
(cosq)máx = 1
(cosq)mín = – 1
Observación:
En algunos casos habrá necesidad de ubicar arcos
cuya medida sea un número entero y se recomienda,
en esos casos, tener en cuenta la siguiente C.T.:
y
x
1,57
1
2
3
4
5
6
0
3,14
6,28
4,71
También, si queremos representar de manera
genérica los arcos que se ubican en "A", "B", A' o
B' tendremos:
(4n + 1)
p
2
y
x
B
B'
A' A
(2n + 1)p 2np
(4n + 3)
p
2
Ubicados en: ("n" ∈ )
A: 2np A': (2n+1)p
B: (4n + 1)
p
2
B': (4n + 3)
p
2
98
Circunferencia trigonométrica I
TRILCE
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Ejemplo:
	 Si nos preguntasen para que valor de "q" se cumple senq = 0; tendríamos que decir:
y
x
A' A
B'
B
q
senq Para que: senq = 0
"q" debe ser arco en posición normal ubicando
su posición terminal en A o en A', luego:
q = np, (n ∈ )
3.	 L. T. Tangente
	 Para determinar la línea trigonométrica tangente se traza una recta numérica tangente a la C.T. justo en
el origen de arcos, luego se prolonga el radio que pasa por el extremo del arco considerado hasta que
se corte con la recta anterior. El segmento que va desde "A" hasta el punto de corte anterior, se llama
tangente del arco considerado.
	 En el gráfico, tenemos que:
y
x
A' A
B'
B
q
a
b
M
S
Q
T
AT = tanq(+)
AS = tana(–)
AQ= tanb (–)
Note que para arcos con extremos en B' y B la L.T.
tangente no está definida; por eso la tangente no se
define para arcos de la forma:
(2n + 1)
p
2
; n ∈
Además:
– ∞< tanq < + ∞
No tiene máximo ni mínimo conocido.
Razonamiento Matemático
99
1
Trigonometría
Unidad VI
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Síntesis teórica
q
C
O S
B
M
A
A'
B'
T
x
y
MS = sena CM = cosq AT = tanq
[– 1; 1] [– 1; 1] IR
Problemas resueltos
1.	 Con la ayuda de una circunferencia trigonométrica, señala la expresión de mayor valor:
a)	 sen50º	 b)	 sen70º	 c)	 sen140º	 d)	 sen210º	 e)	 sen300º
Resolución:
Graficamos una C.T. y ubicamos en ella los
arcos mencionados; luego trazamos la línea
trigonométrica seno correspondiente a cada uno
de ellos y notamos que:
sen210º y sen300º: (–)
sen 50º; sen70º y sen140º: (+)
Como piden el mayor, solo comparamos entre los
positivos (el ¿por qué? es obvio), y notamos que el
mayor es sen70º.
y
x
C.T.
50º
70º
300º
210º
140º
100
Circunferencia trigonométrica I
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2.	 Con la ayuda de una C.T., señala la expresión de menor valor:
a)	 sen20º	 b)	 sen110º	 c)	 sen220º	 d)	 sen250º	 e)	 sen340º
	 Resolución:
	 Graficamos una C.T. y ubicamos los arcos mencionados, luego trazamos la línea trigonométrica seno
correspondiente a cada uno y notamos que:
	 sen20º y sen110º: (+)
	 sen220º; sen250º y sen340º: (–)
	 Como piden el menor, comparamos entre los negativos; y notamos que el más negativo es "sen250º",
por lo tanto el menor es: sen250º.
y
x
20º
340º
250º
220º
110º
Observación: note que sen110º con sen250º; y
sen20º con sen340º son simétricamente opuestos.
3.	 Señala la expresión de mayor valor entre:
a)	 cos10º	 b)	 cos50º	 c)	 cos140º	 d)	 cos240º	 e)	 cos300º
	 Resolución:
	 Graficando en la C.T. y ubicando los arcos correspondientes, notamos que las líneas trigonométricas
coseno de estos arcos cumplen: cos10º; cos50º y cos300º: (+)
	 cos140º y cos240º: (–)
	 Comparando entre los positivos, notamos que el mayor es: cos10º
y
x
50º
300º
240º
140º
10º
A
Observación: note que cos240º y cos300º son
simétricamente opuestos.
Razonamiento Matemático
101
1
Trigonometría
Unidad VI
Central: 619-8100
4.	 Señala la expresión de menor valor entre:
a)	 cos70º	 b)	 cos130º	 c)	 cos160º	 d)	 cos220º	 e)	 cos310º
	 Resolución:
Graficando en la C.T. los arcos mencionados, trazamos las
líneas trigonométricas coseno correspondiente y notamos
que:
cos70º y cos310º: (+)
cos130º; cos160º y cos220º: (–)
Comparando entre los negativos, notamos que el más
negativo, es decir, el menor es: cos160º.
y
x
70º
310º
220º
130º
160º
A
1.	 Representar: sen140º
	
B
A
A'
B'
x
y
C.T.
2.	 Representar: cos220º
	
B
A
A'
B'
x
y
C.T.
3.	 Representar: tan310º
	
B
A
A'
B'
x
y
C.T.
4.	 Hallar: AP
	
B
A
A'
B'
x
y
C.T.
P
q
5.	 Hallar: BQ
	
B
A
A'
B'
x
y
C.T. Q a
6.	 Hallar: MN
	
B
A
A'
B'
x
y
C.T.
M N
q
Aplica lo comprendido
10x
5
50
102
Circunferencia trigonométrica I
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1.	 Indica si es verdadero (V) o falso (F) según co-
rresponda:
I.	 sen40° < sen100°
II.	 sen200° > sen290°
a)	VV	 b)	VF	 c)	FV		
d)	 FF	 e)	 No se puede precisar
2.	 Indica si es verdadero (V) o falso (F) según co-
rresponda:
I.	 cos70° > cos340°
II.	 cos100° < cos190°
a)	VV	 b)	VF	 c)	FV		
d)	 FF	 e)	 No se puede precisar
3.	 Indica si es verdadero (V) o falso (F) según co-
rresponda:
I.	 tan40° > tan260°
II.	 tan160° < tan330°
a)	VV	 b)	VF	 c)	FV		
d)	 FF	 e)	 No se puede precisar
4.	 Indica si es verdadero (V) o falso (F) según co-
rresponda:
I.	 sen10º > cos10º		
II.	 sen200º > cos200º		
a)	VV	 b)	VF	 c)	FV		
d)	 FF	 e)	 No se puede precisar
5.	 Indica si es verdadero (V) o falso (F) según co-
rresponda:
I.	 sen160º – cos160º < 0
II.	 sen160º + cos160º > 0
a)	VV	 b)	FF	 c)	VF 		
d)	 FV	 e)	 F; no se puede precisar
6.	 Indica con "V" lo verdadero y con "F" lo falso,
según corresponda:
I.	 |sen200º| > |sen290º|		
II.	 |cos100º| > |cos250º|		
III.	 |tan100º| < |tan340º|		
a)	VVV	 b)	VFV	 c)	VFF		
d)	FFV	 e)	FFF
7.	 Indica si es verdadero (V) o falso (F), según co-
rresponda:
I.	 |cos200º| > |sen200°|		
II.	 |sen100º| > |cos100º|		
III.	 |cos300º| = |sen300º|		
a)	VVV	 b)	VFF	 c)	VVF 		
d)	FVF	 e)	FFF
8.	 Si: p < x1 < x2 <
3p
2
, indique si es verdadero
(V) o falso (F) según corresponda.
I.	 senx1 > senx2
II.	 cosx1 > cosx2
III.	 tanx1 < tanx2
a)	VVV	 b)	VFV	 c)	FVF		
d)	FFV	 e)	VFF
9.	 En la C.T. mostrada, hallar: PB.
	
P
M
x
y
q B
A
A’
B’
a)	 1 + senq	 b)	 1 – senq	 c)	senq – 1	
d)	2senq – 1	 e)	 1 – cosq
10.	En la C.T. mostrada, hallar: PA'
	
P
x
y
q
B
A
A’
B’
a)	 1 – cosq	 b)	 1 + cosq	 c)	cosq – 1 	
d)	 1 + senq	 e)	 1 – senq
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Razonamiento Matemático
103
1
Trigonometría
Unidad VI
Central: 619-8100
11.	En la C.T. mostrada, calcular el área del triángu-
lo sombreado.
	
a
O x
y
a)	 sena
2 	
b)	– sena
2 	
c)	 cosa
2 		
d)
	
– cosa
2 	
e)
	
sena + cosa
2
12.	En la C.T. mostrada, hallar el área sombreada.
	
q
B
A
A’
B’
a)	–
3
2
senq	 b)	–
3
4
senq	c)	
3
2
cosq		
d)	
3
4
cosq	e)	
3
2
(cosq – senq)	
13.	En la C.T. mostrada, hallar el área sombreada.
	
x
y
q B
A
A’
B’
a)	
1
2
senq(1 + 2cosq)	b)	
1
2
senq(1 + cosq)	
c)	
1
2
senq(1 – 2cosq)	d)	
1
2
senq(1 – cosq)	
e)	
1
2
senq(cosq – 1)
14.	En la C.T. mostrada, hallar el área de la región
sombreada.
	
x
y
q
B
A
A’
B’
a)	
1
2
senq(1 – cosq)	b)	
1
2
senq(1 + cosq)	
c)	
1
2
cosq(1 – senq)	 d)	–
1
2
cosq(1 – senq)	
e)	–
1
2
senqcosq
15.	En la C.T. mostrada, hallar el área de la región
sombreada.
	
M
x
y
q B
A
A’
B’
a)	
1
2
senq
1 + cosq
	b)	
1
2
senq
1 – cosq
	c)	
senq
1 + cosq
	
d)	
senq
1 – cosq
	e)	
– cosq
1 + secq
16.	En la C.T. mostrada, hallar el área sombreada.
	
x
y
q
O
B
A
A’
B’
T
a)	 senq – tanq
2 	
b)	 cosq – tanq
2 	
c)	 senq + tanq
2 	
d)
	
cosq + tanq
2 	
e)
	
senq + cosq – tanq
2
17.	Señale la expresión de menor valor:
a)	sen1	 b)	sen2	 c)	sen3		
d)	 sen4	 e)	 sen5
104
Circunferencia trigonométrica I
TRILCE
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Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas
18.	En una exposición sobre la circunferencia trigonométrica un alumno expuso acerca de la representa-
ción de la línea seno y otro sobre la línea coseno. Al escuchar la explicación y el análisis de los alum-
nos, el profesor quedó impresionado y los premió con 20 de nota. Pero en ese instante, un alumno
llamado "Starky" formuló dos preguntas:
•	 ¿En qué cuadrante el seno y el coseno tienen el mismo signo?
•	 ¿En qué cuadrante el seno y el coseno son crecientes?, justifícala.
¡Tú puedes!
1.	 Señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
I.	 cos(cos20º) > cos(cos50º)
II.	 cos(cos100º) > cos(cos130º)
a)	 VV	 b)	 VF	 c)	 FV	 d)	 FF	 e)	 No se puede		
									determinar
2.	 En la C.T. mostrada, hallar: B'Q.
a)	 1 + senq – cosq	 b)	 1 – senq – cosq	
c)	 1 – senq + cosq	 d)	 1 + senq + cosq	
e)	senq – cosq
Q
45º
q B
y
A x
A’
B’
3.	 Señala "V" o "F", según corresponda:
I.	 Si:
1
3
< a < b <
1
2
⇒ sen
1
a
> sen
1
b
II.	 Si: –
p
2
< a < b < 0 ⇒ |cos |a|+
p
2 |> |cos |b|+
p
2 |
III.	 Si: 0 < a <
p
4
⇒ |sena – cosa| = cosa – sena
a)	FFF	 b)	VVV	 c)	FVF	 d)	FVV	 e)	FFV
4.	 En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada:
a)	senq(1 – cosq)	b)
	
senq(1 – cosq)
2 			
c)	cosq(1 + senq)	d)
	
cosq(1 – senq)
2 			
e)
	
cosq(1 + senq)
2
N
q
B
y
x
A
A’
B’
Razonamiento Matemático
105
1
Trigonometría
Unidad VI
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Practica en casa
18:10:45
1.	 Indica verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda:
I.	 sen20º > sen70º
II.	 sen200º > sen250º
2.	 Indica verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda:
I.	 cos10º > cos50º
II.	 cos230º < cos260º
3.	 Indica verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda:
I.	 tan70º > tan50º
II.	 tan140º > tan160º
4.	 Indica verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda:
I.	 sen20º > cos20º
II.	 cos250º < sen250º
5.	 Indica verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda:
I.	 sen100º < cos100º
II.	 cos300º > sen300º
6.	 Indica verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda:
I.	 sen290º – cos290º > 0
II.	 sen290º + cos290º < 0
7.	 Si: 3p
2
< x1 < x2 < 2p, indique si es verdadera
(V) o falsa (F) según corresponda:
I.	 senx1 > senx2
II.	 cosx1 < cosx2
III.	 tanx1 < tanx2
8.	 En la C.T. mostrada, hallar PA.
	
a
P
x
y
B
A
A'
B'
9.	 En la C.T. mostrada, hallar BP.
	
q
P
x
y
B
A
A’
B’
10.	En la C.T. mostrada, hallar el área de la región
sombreada.
q
x
y
A'
B
B'
A
11.	En la C.T. mostrada, calcular el área del triángu-
lo sombreado.
	
b
x
y
12.	En la C.T. mostrada, hallar el área de la región
sombreada.
	
b
x
y
A'
B
B'
A
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Circunferencia trigonométrica I
13.	En la C.T. mostrada, calcular la longitud del seg-
mento "PD".
	
a
P
D
O
y
14.	¿Cuál es el menor número?
	 sen1; sen2; sen3; sen4; sen5
15.	¿Cuál es el mayor número?
	 cos1; cos2; cos3; cos4; cos5
106
TRILCE
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Razonamiento Matemático
107
2
Trigonometría
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Circunferencia
trigonométrica II
Conceptos básicos
Resumen teórico (representación de las líneas seno y coseno)
	
1
– 1
x
y
P
B
M
A
A’
B’
senq
q1
q2
q3 q4
	
q2
1
– 1
y
Q
B
M
A'
B'
cosq q1
q3
q4
A
x
	
MP = senq
	
MQ = cosq
Variaciones
q → 0 →
p
2
p
2
→ π p →
3p
2
3p
2
→ 2p
senq 0 → 1 1 → 0 0 → – 1 – 1 → 0
cosq 1 → 0 0 → – 1 – 1 → 0 0 → 1
De donde:
–1 ≤ senq ≤ 1 ∧ –1 ≤ cosq ≤ 1
– 1 1
0 x
108
Circunferencia trigonométrica II
TRILCE
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Problemas resueltos
1.	 Señale la variación de: C = 2senx + 3 (x ∈ )
a)	 [1; 5]	 b)	 [2; 6]	 c)	 [1; 5〉	d)	
〈1; 5〉	e)	
〈1; 5]
Resolución:
	 En este caso, notamos que x ∈ : – 1 ≤ senx ≤ 1, tratemos de formar la expresión: C = 2senx + 3
Como:
	 – 1 ≤	senx	 ≤ 1
	 – 2 ≤	2senx	 ≤ 2	 (multiplicando × 2)
	1 ≤	 2senx + 3	 ≤ 5	 (sumando 3)
	 	 14243
		 C
 1 ≤ C ≤ 5 ó C ∈ [1; 5]
2.	 Señale la extensión de: C = 4 – 3cos b (b ∈ )
a)	 [1; 8]	 b)	 〈1; 7]	 c)	 [1; 5]	 d)	 [1; 7]	 e)	 〈0; 6]
Resolución:
En la expresión: C = – 3cosb + 4
Como:
	 – 1 ≤	cosb	 ≤ 1	 (b ∈ )
	3 ≥	 – 3cosb	 ≥ – 3	 (multiplicando × (– 3))
	7 ≥	– 3cosb + 4	 ≥ 1	 (sumando 4)
	 	 14243
		 C
		
 C ∈ [1; 7]
3.	 Sabiendo que: q ∈ IIC; señale la variación de: L = 3senq – 1
a)	 〈0; 3〉	b)	
〈– 1; 3〉	c)	
〈– 1; 2〉	d)	
〈0; 2〉	e)	
〈– 1; 1〉
Resolución:
1
0
x
y
Como:
q ∈ IIC	 ⇒ 0 <	 senq	 < 1
	 0 <	 3senq	 < 3	 (multiplicando × 3)
	 ⇒ 0 – 1 <	 3senq – 1	 < 3 – 1	 (restando 1)
	 	 14243
		L
 – 1 < L < 2
Razonamiento Matemático
109
2
Trigonometría
Unidad VI
Central: 619-8100
4.	 Sabiendo que: q ∈ IIIC; señale la variación de: M = 2 – 3cosq.
a)	 〈2; 6〉	b)	
〈3; 5〉	c)	
〈2; 5〉	d)	
〈1; 6〉	e)	
〈2; 4〉
Resolución:
– 1
0
x
y
Como:
q ∈ IIIC	 ⇒ – 1 <	 cosq	 < 0
	 (– 3)(– 1) >	 – 3cosq	 > –3(0)
	 3 >	 – 3cosq	 > 0
	 2 + 3 >	 2 – 3cosq	 > 2 + 0
	 	 14243
		M
	 5 >	 M	 > 2
 2 < M < 5
5.	 Sabiendo que: p
6
≤ a < p, señale la variación de: L = 4sena + 1.
a)	 [1; 5]	 b)	 〈1; 5]	 c)	 〈1; 5〉	 d)	 [2; 5]	 e)	 〈2; 5]
Resolución:
Trabajando en el intervalo correspondiente a "a", tenemos:
Mayor valor (sena) = 1
Menor valor (sena) = 0 (no lo toma)
1
0
y
1
2
p
6
x
0 < sena ≤ 1
0 < 4sena ≤ 4
0 + 1 < 4sena + 1 ≤ 4 + 1
14243
L
1 < L ≤ 5
 L ∈ 〈1; 5]
Aplica lo comprendido
10 x
5
50
•	 Siendo a ∈ , hallar la variación de:
1.	 T = 3sena – 1
2.	 R = 4cosa + 3
3.	 J = 1 – 2sena
4.	 Si: q ∈ IIC, determine la variación de:
A = 2senq – 3
5.	 Si: b ∈ , hallar la suma entre el máximo y mí-
nimo valor de: D = 5cosb + 2
110
Circunferencia trigonométrica II
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe
1.	 Señale la variación de: C=7sena + 1 (a ∈ )
a)	 [– 6; 8]	 b)	 [– 7; 7]	 c)	 [– 5; 8]		
d)	 [– 7; 9]	 e)	 [– 5; 9]
2.	 Señale la variación de: M=3–5sena (a ∈ )
a)	 [– 3; 5]	 b)	 [– 2; 7]	 c)	 [–2; 8]		
d)	 [– 7; 3]	 e)	 [– 4; 7]
3.	 Señale la variación de: N=6cosq – 3 (q ∈ )
a)	 [– 6; 6]	 b)	 [– 6; 3]	 c)	 [– 3; 6]		
d)	 [– 9; 3]	 e)	 [– 3; 9]
4.	 Señale la variación de: M=3 – 2cosa (a ∈ )
a)	 [1; 5]	 b)	 [2; 5]	 c)	 [3; 5]		
d)	 [4; 5]	 e)	 [5; 5]
5.	 Sume el máximo y mínimo valor de:
	 F = 3sena + 2 (a ∈ )
a)	 2	 b)	 0	 c)	 4		
d)	 – 5	 e)	 5
6.	 Calcular el mínimo valor de "k" para que la
igualdad exista:
	
senq =
2 – 5k
3
a)	1	 b)
	
1
3	
c)
	
1
2		
d)
	
1
5	
e)	–
1
5
7.	 Si: f ∈ IIIC; señale la extensión de: E = 3cosf + 1
a)	 〈– 1; 2〉	b)	
〈1; 2〉	c)	
〈– 2; 3〉	
d)	 〈– 2; 1〉	e)	
〈2; 3〉
8.	 Si: f ∈ IVC; señale la extensión de:
	 E = 2senf + 3
a)	 〈– 3; 2〉	b)	
〈1; 3〉	c)	
〈– 2; 3〉 	
d)	 〈– 1; 1〉	e)	
〈0; 5〉
9.	 Si: b ∈ IIC; señale la extensión de: E=3 – senb.
a)	 〈2; 3〉	b)	
〈– 5; 7〉	c)	
〈– 5; 1〉	
d)	 〈2; 5〉	e)	
〈– 6; 4〉
10.	Si: q ∈ IIIC, calcular todos los valores enteros de
"E" para que la siguiente igualdad sea posible:
	
E = 7senq – 5
2
a)	 {– 3; – 4}	 b)	 {– 4; – 5}		
c)	 {– 3; – 4; – 5}	 d)	 {– 3; – 5}		
e)	 {– 2; – 3; – 4; – 5}
11.	Si: q ∈ p
4
; p ; señale la variación de:
	 A = 4senq – 1
a)	 [1; 2]	 b)	 [1; 3]	 c)	 [– 1; 2]		
d)	 [– 1; 3]	 e)	 〈– 1; 3]
12.	 Si: q ∈ p
3
; p ; señale la variación de: 		
C = 3 – 4cosq
		
a)	 〈– 3; 5]	 b)	 〈– 1; 3]	 c)	 〈1; 7〉	 	
d)	 [1; 7〉	 e)	 [– 1; 3〉
13.	Si: q ∈ p
3
; 4p
3
; señale la variación de:
	 A = 4cosq + 3
a)	 [– 1; 5[	 b)	 [1; 3[	 c)	 [–2; 3[		
d)	 [– 3; 1[	 e)	 [– 4; 3[
14.	Señale la variación de: H = 3sen2x – 2
a)	 [2; 1]	 b)	 [– 2; 1]	 c)	 [– 1; 3]		
d)	 [– 3; 1]	 e)	 [– 2; – 1]
15.	Señale la variación de: H = 5 – 4cos2x
a)	 [1; 2]	 b)	 [1; 3]	 c)	 [1; 4]		
d)	 [1; 5]	 e)	 [1; 6]
16.	Señale la extensión de: B = cos2x – 6 cosx
a)	 [– 5; 7]	 b)	 [– 7; 5]	 c)	 [– 3; 7]		
d)	 [– 7; 3]	 e)	 [– 5; 3]
17.	Señale la extensión de: B = sen2x + 4senx.
a)	 [– 1; 5]	 b)	 [– 2; 5]	 c)	 [– 3; 5]		
d)	 [– 5; 3]	 e)	 [– 5; 2]
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Razonamiento Matemático
111
2
Trigonometría
Unidad VI
Central: 619-8100
Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas
18.	En una competencia deportiva, alumnos de la UNI, San Marcos y Católica, demostraron sus cualidades
en varias disciplinas, y obtienen promedios regidos bajo las siguientes leyes:
UNI: A(x) =(3 sen x + 20)%
San Marcos: B(x) = (25cos2x – 3)%
Católica: C(x) = (sen2x + 2senx + 3)2%
Si los tres obtuvieron puntajes máximos:
a)	 ¿Quién ganó la competencia?
b) ¿Qué equipo quedó último?
c)	 ¿Cuál es la diferencia porcentual entre el 1º y el 2º puesto?
¡Tú puedes!
1.	 ¿Cuál es el máximo valor de: K = sen(2cosx + 1)?
a)	
sen1	b)	
cos1	c)	
sen2	d)	
sen3	e)	
1
2.	 Señale la variación de: T
senx
senx
2
3 1
=
+
+
a)	 3; 2
5 	
b)	 –2; 2
5 	
c)
	
–3; 3
5 	
d)
	
–3; 4
7 	
e)
	
2; 4
3
3.	 Señale la extensión de: M = 2senx + |senx| + 1
a)	 [0; 1]	 b)	 [0; 2]	 c)	 [0;3]	 d)	 [0; 4]	 e)	 [1; 3]
4.	 En la C.T. mostrada: q ∈ 2p
3
; 5p
6
, ¿cuál es la variación del área de la
región sombreada?
a)
	
3
4
; 2 + 3
4 	
b)
	
4
3
; 5 + 3
4 	
c)
	
4
3
; 2 + 3
2 			
d)
	
4
3
; 3 + 3
2 	
e)
	
4
3
; 3 + 5
2
O x
y
q B
A
A’
B’
5.	 En la C.T. mostrada; señale la variación del área de la región sombrea-
da: q ∈ – 5p
6
; – 2p
3
a)
	
1
2
;
3
3 	
b)
	
3
3
; 3
	
c)
	
3
2
; 3
			
d)
	
1
4
;
3
4 	
e)
	
3
6
;
3
2
O x
y
q
B
A
A’
B’
T
112
Circunferencia trigonométrica II
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe
Practica en casa
18:10:45
1.	 Señale la variación de: C = 3senf + 1 (f ∈ )
2.	 Señale la variación de: C=7sena – 5 (a ∈ )
3.	 Señale la variación de: N = 5cosq – 1 (q ∈ ).
4.	 Señale la variación de: M = 3 – 2cosb (b ∈ )
5.	 Sume el máximo y mínimo valor de:
	 G = 8 – 5senb (b ∈ )
6.	 Calcular el máximo valor de "a" para que la
igualdad sea posible:
	
cosa =
4a – 3
7
7.	 Señale la extensión de: C = 4cosf + 1 (f ∈ IIC)
8.	 Si: b ∈ IIC; señale la extensión de: E = 5 – 4cosb
9.	 Si: q ∈ IC, señale la extensión de: A = 4senq – 1.
10.	Si: q ∈ IVC, calcular todos los valores enteros
de "E" para que la siguiente igualdad exista:
	
E = 6cosq + 7
3
11.	Si: f ∈ p
3
; p , señale la variación de:	
C = 4senf + 1.
12.	Si: a ∈ 〈30°; 120º〉, señale la extensión de:
	 P = 3sena + 5
13.	Si: 37º < q <60º, calcular la extensión de:
	 E = 20cosq + 7
14.	Si: 120º < q <240º, calcular el mínimo valor
de: E = 2cosq + 5
15.	Si: 300º < a < 330º ⇒ a < cosa < b, calcu-
lar el valor de (a – b)

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Trigonometria 6

  • 1. UNIDAD III Conociendo los valores máximos y mínimos Padre de la Trigonometría moderna y creador de la circunferencia trigonométrica. Leonhard Euler (1707–1783), matemático suizo, fundó la trigonometría moderna e introdujo la notación actual de las funciones trigonométricas. También popularizó el uso de la letra griega p, introdujo el uso de la función exponencial y descubrió su relación con las funciones trigonométricas, demostrando de una manera muy simple las propiedades básicas de la trigonometría. Comunicación matemática • Reconocer el valor máximo y mínimo valor de las líneas trigo- nométricas. Resolución de problemas • Resolver problemas en la circunferencia trigonométrica y de- mostrar expresiones con las líneas trigonométricas. Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas • Representar las líneas trigonométricas en la circunferencia tri- gonométrica. UNIDAD VI
  • 2. Razonamiento Matemático 95 1 Trigonometría Unidad VI Central: 619-8100 Circunferencia trigonométrica Conceptos básicos Conceptos previos 1. Arco orientado Es la trayectoria descrita por un punto al desplazarse sobre una curva, en un determinado sentido. Estos arcos poseen un origen y un extremo. a B A b Q P Para "a": B ⇒ origen A ⇒ extremo Para "b": P ⇒ origen Q ⇒ extremo 2. Circunferencia canónica Es aquella circunferencia cuyo centro es el origen del sistema cartesiano. Estas circunferencias, en la geometría analítica, poseen una ecuación de la forma: x2 + y2 = r2 Donde "r" es el radio de la circunferencia. Ejemplos: 3 y x (0; –3) (3; 0) (0; 3) (–3; 0) x2 + y2 = 9 • Completar: 2 y x ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) x2 + y2 = 4 3. Arco en posición normal Son arcos orientados determinados en una circunferencia canónica; con origen en el semieje positivo de las abscisas como el punto "A", mostrado en el gráfico adjunto. Los arcos en posición normal pue- den ser generados en sentido antihorario (positivos) o en sentido horario (negativos).
  • 3. 96 Circunferencia trigonométrica I TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Ejemplo: r y x A' M B' B A N a q • "a" ∧ "q" son arcos en posición normal. • "a": positivo; "q": negativo. • "M" y "N": extremos de los arcos "a" y " q", respectivamente. Circunferencia trigonométrica Es aquella circunferencia canónica cuyo radio es igual a la unidad del sistema. Se pueden notar las siguientes características: y x M B' B(0; 1) A(1; 0) N a q (– 1; 0) (0; – 1) C.T. O rad q A' A: Origen de arcos M ∧ N: Extremos de arcos :( ) :( ) + − θ α ) B: Origen de complementos de arcos A': Origen de suplementos de arcos B': Anónimo. Además; se cumple que: ∠AOM (en rad) = AM (numéricamente); y debido a esta observación se cumple: R.T.(q rad) = R.T.(q) sen p 2 rad = sen p 2 tan2rad = tan2 Es decir, con esta propiedad fundamental es posible calcular las razones trigonométricas de cualquier número real, siempre y cuando esta se encuentre definida. Líneas trigonométricas Son segmentos de medida positiva o negativa que van a representar el valor numérico de una razón trigonométrica. 1. L. T. Seno Es el segmento determinado por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado hacia el eje de abscisas.
  • 4. Razonamiento Matemático 97 1 Trigonometría Unidad VI Central: 619-8100 En el gráfico, tenemos que: y x A' A M B' N a q b C.T. O B S P T R MR = sena (+) NT = senb (+) PS = senq (–) Debe notarse además que la L.T. seno puede ser trazada para cualquier arco "q", verificándose así que: – 1 ≤ senq ≤ 1 (senq)máx = 1 (senq)mín = – 1 2. L. T. Coseno Es el segmento determinado por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado hacia el eje de ordenadas. En el gráfico, tenemos que: y x A' A M B' N a q b C.T. O B S P T R MS = cosa (+) NR = cosb (–) PT = cosq (–) Debe notarse además que la L.T. coseno puede ser trazada para cualquier arco "q", verificándose así que: – 1 ≤ cosq ≤ 1 (cosq)máx = 1 (cosq)mín = – 1 Observación: En algunos casos habrá necesidad de ubicar arcos cuya medida sea un número entero y se recomienda, en esos casos, tener en cuenta la siguiente C.T.: y x 1,57 1 2 3 4 5 6 0 3,14 6,28 4,71 También, si queremos representar de manera genérica los arcos que se ubican en "A", "B", A' o B' tendremos: (4n + 1) p 2 y x B B' A' A (2n + 1)p 2np (4n + 3) p 2 Ubicados en: ("n" ∈ ) A: 2np A': (2n+1)p B: (4n + 1) p 2 B': (4n + 3) p 2
  • 5. 98 Circunferencia trigonométrica I TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Ejemplo: Si nos preguntasen para que valor de "q" se cumple senq = 0; tendríamos que decir: y x A' A B' B q senq Para que: senq = 0 "q" debe ser arco en posición normal ubicando su posición terminal en A o en A', luego: q = np, (n ∈ ) 3. L. T. Tangente Para determinar la línea trigonométrica tangente se traza una recta numérica tangente a la C.T. justo en el origen de arcos, luego se prolonga el radio que pasa por el extremo del arco considerado hasta que se corte con la recta anterior. El segmento que va desde "A" hasta el punto de corte anterior, se llama tangente del arco considerado. En el gráfico, tenemos que: y x A' A B' B q a b M S Q T AT = tanq(+) AS = tana(–) AQ= tanb (–) Note que para arcos con extremos en B' y B la L.T. tangente no está definida; por eso la tangente no se define para arcos de la forma: (2n + 1) p 2 ; n ∈ Además: – ∞< tanq < + ∞ No tiene máximo ni mínimo conocido.
  • 6. Razonamiento Matemático 99 1 Trigonometría Unidad VI Central: 619-8100 Síntesis teórica q C O S B M A A' B' T x y MS = sena CM = cosq AT = tanq [– 1; 1] [– 1; 1] IR Problemas resueltos 1. Con la ayuda de una circunferencia trigonométrica, señala la expresión de mayor valor: a) sen50º b) sen70º c) sen140º d) sen210º e) sen300º Resolución: Graficamos una C.T. y ubicamos en ella los arcos mencionados; luego trazamos la línea trigonométrica seno correspondiente a cada uno de ellos y notamos que: sen210º y sen300º: (–) sen 50º; sen70º y sen140º: (+) Como piden el mayor, solo comparamos entre los positivos (el ¿por qué? es obvio), y notamos que el mayor es sen70º. y x C.T. 50º 70º 300º 210º 140º
  • 7. 100 Circunferencia trigonométrica I TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe 2. Con la ayuda de una C.T., señala la expresión de menor valor: a) sen20º b) sen110º c) sen220º d) sen250º e) sen340º Resolución: Graficamos una C.T. y ubicamos los arcos mencionados, luego trazamos la línea trigonométrica seno correspondiente a cada uno y notamos que: sen20º y sen110º: (+) sen220º; sen250º y sen340º: (–) Como piden el menor, comparamos entre los negativos; y notamos que el más negativo es "sen250º", por lo tanto el menor es: sen250º. y x 20º 340º 250º 220º 110º Observación: note que sen110º con sen250º; y sen20º con sen340º son simétricamente opuestos. 3. Señala la expresión de mayor valor entre: a) cos10º b) cos50º c) cos140º d) cos240º e) cos300º Resolución: Graficando en la C.T. y ubicando los arcos correspondientes, notamos que las líneas trigonométricas coseno de estos arcos cumplen: cos10º; cos50º y cos300º: (+) cos140º y cos240º: (–) Comparando entre los positivos, notamos que el mayor es: cos10º y x 50º 300º 240º 140º 10º A Observación: note que cos240º y cos300º son simétricamente opuestos.
  • 8. Razonamiento Matemático 101 1 Trigonometría Unidad VI Central: 619-8100 4. Señala la expresión de menor valor entre: a) cos70º b) cos130º c) cos160º d) cos220º e) cos310º Resolución: Graficando en la C.T. los arcos mencionados, trazamos las líneas trigonométricas coseno correspondiente y notamos que: cos70º y cos310º: (+) cos130º; cos160º y cos220º: (–) Comparando entre los negativos, notamos que el más negativo, es decir, el menor es: cos160º. y x 70º 310º 220º 130º 160º A 1. Representar: sen140º B A A' B' x y C.T. 2. Representar: cos220º B A A' B' x y C.T. 3. Representar: tan310º B A A' B' x y C.T. 4. Hallar: AP B A A' B' x y C.T. P q 5. Hallar: BQ B A A' B' x y C.T. Q a 6. Hallar: MN B A A' B' x y C.T. M N q Aplica lo comprendido 10x 5 50
  • 9. 102 Circunferencia trigonométrica I TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe 1. Indica si es verdadero (V) o falso (F) según co- rresponda: I. sen40° < sen100° II. sen200° > sen290° a) VV b) VF c) FV d) FF e) No se puede precisar 2. Indica si es verdadero (V) o falso (F) según co- rresponda: I. cos70° > cos340° II. cos100° < cos190° a) VV b) VF c) FV d) FF e) No se puede precisar 3. Indica si es verdadero (V) o falso (F) según co- rresponda: I. tan40° > tan260° II. tan160° < tan330° a) VV b) VF c) FV d) FF e) No se puede precisar 4. Indica si es verdadero (V) o falso (F) según co- rresponda: I. sen10º > cos10º II. sen200º > cos200º a) VV b) VF c) FV d) FF e) No se puede precisar 5. Indica si es verdadero (V) o falso (F) según co- rresponda: I. sen160º – cos160º < 0 II. sen160º + cos160º > 0 a) VV b) FF c) VF d) FV e) F; no se puede precisar 6. Indica con "V" lo verdadero y con "F" lo falso, según corresponda: I. |sen200º| > |sen290º| II. |cos100º| > |cos250º| III. |tan100º| < |tan340º| a) VVV b) VFV c) VFF d) FFV e) FFF 7. Indica si es verdadero (V) o falso (F), según co- rresponda: I. |cos200º| > |sen200°| II. |sen100º| > |cos100º| III. |cos300º| = |sen300º| a) VVV b) VFF c) VVF d) FVF e) FFF 8. Si: p < x1 < x2 < 3p 2 , indique si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. senx1 > senx2 II. cosx1 > cosx2 III. tanx1 < tanx2 a) VVV b) VFV c) FVF d) FFV e) VFF 9. En la C.T. mostrada, hallar: PB. P M x y q B A A’ B’ a) 1 + senq b) 1 – senq c) senq – 1 d) 2senq – 1 e) 1 – cosq 10. En la C.T. mostrada, hallar: PA' P x y q B A A’ B’ a) 1 – cosq b) 1 + cosq c) cosq – 1 d) 1 + senq e) 1 – senq Aprende más...
  • 10. Razonamiento Matemático 103 1 Trigonometría Unidad VI Central: 619-8100 11. En la C.T. mostrada, calcular el área del triángu- lo sombreado. a O x y a) sena 2 b) – sena 2 c) cosa 2 d) – cosa 2 e) sena + cosa 2 12. En la C.T. mostrada, hallar el área sombreada. q B A A’ B’ a) – 3 2 senq b) – 3 4 senq c) 3 2 cosq d) 3 4 cosq e) 3 2 (cosq – senq) 13. En la C.T. mostrada, hallar el área sombreada. x y q B A A’ B’ a) 1 2 senq(1 + 2cosq) b) 1 2 senq(1 + cosq) c) 1 2 senq(1 – 2cosq) d) 1 2 senq(1 – cosq) e) 1 2 senq(cosq – 1) 14. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. x y q B A A’ B’ a) 1 2 senq(1 – cosq) b) 1 2 senq(1 + cosq) c) 1 2 cosq(1 – senq) d) – 1 2 cosq(1 – senq) e) – 1 2 senqcosq 15. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. M x y q B A A’ B’ a) 1 2 senq 1 + cosq b) 1 2 senq 1 – cosq c) senq 1 + cosq d) senq 1 – cosq e) – cosq 1 + secq 16. En la C.T. mostrada, hallar el área sombreada. x y q O B A A’ B’ T a) senq – tanq 2 b) cosq – tanq 2 c) senq + tanq 2 d) cosq + tanq 2 e) senq + cosq – tanq 2 17. Señale la expresión de menor valor: a) sen1 b) sen2 c) sen3 d) sen4 e) sen5
  • 11. 104 Circunferencia trigonométrica I TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 18. En una exposición sobre la circunferencia trigonométrica un alumno expuso acerca de la representa- ción de la línea seno y otro sobre la línea coseno. Al escuchar la explicación y el análisis de los alum- nos, el profesor quedó impresionado y los premió con 20 de nota. Pero en ese instante, un alumno llamado "Starky" formuló dos preguntas: • ¿En qué cuadrante el seno y el coseno tienen el mismo signo? • ¿En qué cuadrante el seno y el coseno son crecientes?, justifícala. ¡Tú puedes! 1. Señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. cos(cos20º) > cos(cos50º) II. cos(cos100º) > cos(cos130º) a) VV b) VF c) FV d) FF e) No se puede determinar 2. En la C.T. mostrada, hallar: B'Q. a) 1 + senq – cosq b) 1 – senq – cosq c) 1 – senq + cosq d) 1 + senq + cosq e) senq – cosq Q 45º q B y A x A’ B’ 3. Señala "V" o "F", según corresponda: I. Si: 1 3 < a < b < 1 2 ⇒ sen 1 a > sen 1 b II. Si: – p 2 < a < b < 0 ⇒ |cos |a|+ p 2 |> |cos |b|+ p 2 | III. Si: 0 < a < p 4 ⇒ |sena – cosa| = cosa – sena a) FFF b) VVV c) FVF d) FVV e) FFV 4. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada: a) senq(1 – cosq) b) senq(1 – cosq) 2 c) cosq(1 + senq) d) cosq(1 – senq) 2 e) cosq(1 + senq) 2 N q B y x A A’ B’
  • 12. Razonamiento Matemático 105 1 Trigonometría Unidad VI Central: 619-8100 Practica en casa 18:10:45 1. Indica verdadero (V) o falso (F) según corres- ponda: I. sen20º > sen70º II. sen200º > sen250º 2. Indica verdadero (V) o falso (F) según corres- ponda: I. cos10º > cos50º II. cos230º < cos260º 3. Indica verdadero (V) o falso (F) según corres- ponda: I. tan70º > tan50º II. tan140º > tan160º 4. Indica verdadero (V) o falso (F) según corres- ponda: I. sen20º > cos20º II. cos250º < sen250º 5. Indica verdadero (V) o falso (F) según corres- ponda: I. sen100º < cos100º II. cos300º > sen300º 6. Indica verdadero (V) o falso (F) según corres- ponda: I. sen290º – cos290º > 0 II. sen290º + cos290º < 0 7. Si: 3p 2 < x1 < x2 < 2p, indique si es verdadera (V) o falsa (F) según corresponda: I. senx1 > senx2 II. cosx1 < cosx2 III. tanx1 < tanx2 8. En la C.T. mostrada, hallar PA. a P x y B A A' B' 9. En la C.T. mostrada, hallar BP. q P x y B A A’ B’ 10. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. q x y A' B B' A 11. En la C.T. mostrada, calcular el área del triángu- lo sombreado. b x y 12. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. b x y A' B B' A
  • 13. www.trilce.edu.pe Circunferencia trigonométrica I 13. En la C.T. mostrada, calcular la longitud del seg- mento "PD". a P D O y 14. ¿Cuál es el menor número? sen1; sen2; sen3; sen4; sen5 15. ¿Cuál es el mayor número? cos1; cos2; cos3; cos4; cos5 106 TRILCE Colegios
  • 14. Razonamiento Matemático 107 2 Trigonometría Unidad VI Central: 619-8100 Circunferencia trigonométrica II Conceptos básicos Resumen teórico (representación de las líneas seno y coseno) 1 – 1 x y P B M A A’ B’ senq q1 q2 q3 q4 q2 1 – 1 y Q B M A' B' cosq q1 q3 q4 A x MP = senq MQ = cosq Variaciones q → 0 → p 2 p 2 → π p → 3p 2 3p 2 → 2p senq 0 → 1 1 → 0 0 → – 1 – 1 → 0 cosq 1 → 0 0 → – 1 – 1 → 0 0 → 1 De donde: –1 ≤ senq ≤ 1 ∧ –1 ≤ cosq ≤ 1 – 1 1 0 x
  • 15. 108 Circunferencia trigonométrica II TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Problemas resueltos 1. Señale la variación de: C = 2senx + 3 (x ∈ ) a) [1; 5] b) [2; 6] c) [1; 5〉 d) 〈1; 5〉 e) 〈1; 5] Resolución: En este caso, notamos que x ∈ : – 1 ≤ senx ≤ 1, tratemos de formar la expresión: C = 2senx + 3 Como: – 1 ≤ senx ≤ 1 – 2 ≤ 2senx ≤ 2 (multiplicando × 2) 1 ≤ 2senx + 3 ≤ 5 (sumando 3) 14243 C 1 ≤ C ≤ 5 ó C ∈ [1; 5] 2. Señale la extensión de: C = 4 – 3cos b (b ∈ ) a) [1; 8] b) 〈1; 7] c) [1; 5] d) [1; 7] e) 〈0; 6] Resolución: En la expresión: C = – 3cosb + 4 Como: – 1 ≤ cosb ≤ 1 (b ∈ ) 3 ≥ – 3cosb ≥ – 3 (multiplicando × (– 3)) 7 ≥ – 3cosb + 4 ≥ 1 (sumando 4) 14243 C C ∈ [1; 7] 3. Sabiendo que: q ∈ IIC; señale la variación de: L = 3senq – 1 a) 〈0; 3〉 b) 〈– 1; 3〉 c) 〈– 1; 2〉 d) 〈0; 2〉 e) 〈– 1; 1〉 Resolución: 1 0 x y Como: q ∈ IIC ⇒ 0 < senq < 1 0 < 3senq < 3 (multiplicando × 3) ⇒ 0 – 1 < 3senq – 1 < 3 – 1 (restando 1) 14243 L – 1 < L < 2
  • 16. Razonamiento Matemático 109 2 Trigonometría Unidad VI Central: 619-8100 4. Sabiendo que: q ∈ IIIC; señale la variación de: M = 2 – 3cosq. a) 〈2; 6〉 b) 〈3; 5〉 c) 〈2; 5〉 d) 〈1; 6〉 e) 〈2; 4〉 Resolución: – 1 0 x y Como: q ∈ IIIC ⇒ – 1 < cosq < 0 (– 3)(– 1) > – 3cosq > –3(0) 3 > – 3cosq > 0 2 + 3 > 2 – 3cosq > 2 + 0 14243 M 5 > M > 2 2 < M < 5 5. Sabiendo que: p 6 ≤ a < p, señale la variación de: L = 4sena + 1. a) [1; 5] b) 〈1; 5] c) 〈1; 5〉 d) [2; 5] e) 〈2; 5] Resolución: Trabajando en el intervalo correspondiente a "a", tenemos: Mayor valor (sena) = 1 Menor valor (sena) = 0 (no lo toma) 1 0 y 1 2 p 6 x 0 < sena ≤ 1 0 < 4sena ≤ 4 0 + 1 < 4sena + 1 ≤ 4 + 1 14243 L 1 < L ≤ 5 L ∈ 〈1; 5] Aplica lo comprendido 10 x 5 50 • Siendo a ∈ , hallar la variación de: 1. T = 3sena – 1 2. R = 4cosa + 3 3. J = 1 – 2sena 4. Si: q ∈ IIC, determine la variación de: A = 2senq – 3 5. Si: b ∈ , hallar la suma entre el máximo y mí- nimo valor de: D = 5cosb + 2
  • 17. 110 Circunferencia trigonométrica II TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe 1. Señale la variación de: C=7sena + 1 (a ∈ ) a) [– 6; 8] b) [– 7; 7] c) [– 5; 8] d) [– 7; 9] e) [– 5; 9] 2. Señale la variación de: M=3–5sena (a ∈ ) a) [– 3; 5] b) [– 2; 7] c) [–2; 8] d) [– 7; 3] e) [– 4; 7] 3. Señale la variación de: N=6cosq – 3 (q ∈ ) a) [– 6; 6] b) [– 6; 3] c) [– 3; 6] d) [– 9; 3] e) [– 3; 9] 4. Señale la variación de: M=3 – 2cosa (a ∈ ) a) [1; 5] b) [2; 5] c) [3; 5] d) [4; 5] e) [5; 5] 5. Sume el máximo y mínimo valor de: F = 3sena + 2 (a ∈ ) a) 2 b) 0 c) 4 d) – 5 e) 5 6. Calcular el mínimo valor de "k" para que la igualdad exista: senq = 2 – 5k 3 a) 1 b) 1 3 c) 1 2 d) 1 5 e) – 1 5 7. Si: f ∈ IIIC; señale la extensión de: E = 3cosf + 1 a) 〈– 1; 2〉 b) 〈1; 2〉 c) 〈– 2; 3〉 d) 〈– 2; 1〉 e) 〈2; 3〉 8. Si: f ∈ IVC; señale la extensión de: E = 2senf + 3 a) 〈– 3; 2〉 b) 〈1; 3〉 c) 〈– 2; 3〉 d) 〈– 1; 1〉 e) 〈0; 5〉 9. Si: b ∈ IIC; señale la extensión de: E=3 – senb. a) 〈2; 3〉 b) 〈– 5; 7〉 c) 〈– 5; 1〉 d) 〈2; 5〉 e) 〈– 6; 4〉 10. Si: q ∈ IIIC, calcular todos los valores enteros de "E" para que la siguiente igualdad sea posible: E = 7senq – 5 2 a) {– 3; – 4} b) {– 4; – 5} c) {– 3; – 4; – 5} d) {– 3; – 5} e) {– 2; – 3; – 4; – 5} 11. Si: q ∈ p 4 ; p ; señale la variación de: A = 4senq – 1 a) [1; 2] b) [1; 3] c) [– 1; 2] d) [– 1; 3] e) 〈– 1; 3] 12. Si: q ∈ p 3 ; p ; señale la variación de: C = 3 – 4cosq a) 〈– 3; 5] b) 〈– 1; 3] c) 〈1; 7〉 d) [1; 7〉 e) [– 1; 3〉 13. Si: q ∈ p 3 ; 4p 3 ; señale la variación de: A = 4cosq + 3 a) [– 1; 5[ b) [1; 3[ c) [–2; 3[ d) [– 3; 1[ e) [– 4; 3[ 14. Señale la variación de: H = 3sen2x – 2 a) [2; 1] b) [– 2; 1] c) [– 1; 3] d) [– 3; 1] e) [– 2; – 1] 15. Señale la variación de: H = 5 – 4cos2x a) [1; 2] b) [1; 3] c) [1; 4] d) [1; 5] e) [1; 6] 16. Señale la extensión de: B = cos2x – 6 cosx a) [– 5; 7] b) [– 7; 5] c) [– 3; 7] d) [– 7; 3] e) [– 5; 3] 17. Señale la extensión de: B = sen2x + 4senx. a) [– 1; 5] b) [– 2; 5] c) [– 3; 5] d) [– 5; 3] e) [– 5; 2] Aprende más...
  • 18. Razonamiento Matemático 111 2 Trigonometría Unidad VI Central: 619-8100 Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 18. En una competencia deportiva, alumnos de la UNI, San Marcos y Católica, demostraron sus cualidades en varias disciplinas, y obtienen promedios regidos bajo las siguientes leyes: UNI: A(x) =(3 sen x + 20)% San Marcos: B(x) = (25cos2x – 3)% Católica: C(x) = (sen2x + 2senx + 3)2% Si los tres obtuvieron puntajes máximos: a) ¿Quién ganó la competencia? b) ¿Qué equipo quedó último? c) ¿Cuál es la diferencia porcentual entre el 1º y el 2º puesto? ¡Tú puedes! 1. ¿Cuál es el máximo valor de: K = sen(2cosx + 1)? a) sen1 b) cos1 c) sen2 d) sen3 e) 1 2. Señale la variación de: T senx senx 2 3 1 = + + a) 3; 2 5 b) –2; 2 5 c) –3; 3 5 d) –3; 4 7 e) 2; 4 3 3. Señale la extensión de: M = 2senx + |senx| + 1 a) [0; 1] b) [0; 2] c) [0;3] d) [0; 4] e) [1; 3] 4. En la C.T. mostrada: q ∈ 2p 3 ; 5p 6 , ¿cuál es la variación del área de la región sombreada? a) 3 4 ; 2 + 3 4 b) 4 3 ; 5 + 3 4 c) 4 3 ; 2 + 3 2 d) 4 3 ; 3 + 3 2 e) 4 3 ; 3 + 5 2 O x y q B A A’ B’ 5. En la C.T. mostrada; señale la variación del área de la región sombrea- da: q ∈ – 5p 6 ; – 2p 3 a) 1 2 ; 3 3 b) 3 3 ; 3 c) 3 2 ; 3 d) 1 4 ; 3 4 e) 3 6 ; 3 2 O x y q B A A’ B’ T
  • 19. 112 Circunferencia trigonométrica II TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Practica en casa 18:10:45 1. Señale la variación de: C = 3senf + 1 (f ∈ ) 2. Señale la variación de: C=7sena – 5 (a ∈ ) 3. Señale la variación de: N = 5cosq – 1 (q ∈ ). 4. Señale la variación de: M = 3 – 2cosb (b ∈ ) 5. Sume el máximo y mínimo valor de: G = 8 – 5senb (b ∈ ) 6. Calcular el máximo valor de "a" para que la igualdad sea posible: cosa = 4a – 3 7 7. Señale la extensión de: C = 4cosf + 1 (f ∈ IIC) 8. Si: b ∈ IIC; señale la extensión de: E = 5 – 4cosb 9. Si: q ∈ IC, señale la extensión de: A = 4senq – 1. 10. Si: q ∈ IVC, calcular todos los valores enteros de "E" para que la siguiente igualdad exista: E = 6cosq + 7 3 11. Si: f ∈ p 3 ; p , señale la variación de: C = 4senf + 1. 12. Si: a ∈ 〈30°; 120º〉, señale la extensión de: P = 3sena + 5 13. Si: 37º < q <60º, calcular la extensión de: E = 20cosq + 7 14. Si: 120º < q <240º, calcular el mínimo valor de: E = 2cosq + 5 15. Si: 300º < a < 330º ⇒ a < cosa < b, calcu- lar el valor de (a – b)