Gobierno Bolivariano de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Unidad Politécnica territorial del estado Lara Andrés Eloy Blanco
Plano Numérico. (Distancia. Punto
Medio. Ecuaciones y trazado de
circunferencias, Parábolas, elipses,
hipérbola. Representar gráficamente las
ecuaciones de las cónicas).
Integrante:
Carlos Camacaro
CI: 12.850.973
Sección: 0163
Ciudad Guayana 2023

Plano Numérico o Cartesiano
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano,
a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan
en un punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en
el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras
geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las
cuales forman parte de la geometría analítica. El nombre del plano cartesiano se
debe al filósofo y matemático francés René Descartes, quien fue el creador de la
geometría analítica y el primero en utilizar este sistema de coordenadas.
Distancia entre dos puntos
Es igual a la longitud del segmento que los une. Por lo tanto, en matemáticas, para
determinar la distancia entre dos puntos diferentes se deben calcular los cuadrados
de las diferencias entre sus coordenadas y luego hallar la raíz de la suma de dichos
cuadrados.
Es decir, la fórmula que sirve para calcular qué distancia hay entre dos puntos
diferentes en el plano cartesiano es la siguiente:
Dadas las coordenadas de dos puntos distintos:

La fórmula de la distancia entre dos puntos es:
Esta fórmula proviene del módulo de un vector. De hecho, lo que estamos
haciendo con esta fórmula en realidad es calcular el módulo del vector que
queda determinado por los dos puntos en cuestión.
Por otro lado, en geometría analítica la demostración de la fórmula de la
distancia entre dos puntos también se puede hacer a partir del teorema de
Pitágoras:
El teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la hipotenusa de un
triángulo rectángulo es equivalente a la suma de los cuadrados de sus
catetos, por lo tanto:
Y para obtener la fórmula solo tenemos que despejar la distancia entre los 2
puntos:
Finalmente, cabe destacar que, si estuviéramos trabajando con puntos de 3
coordenadas, la fórmula de la distancia entre dos puntos en el espacio (en
R3) sería la misma pero añadiendo la coordenada Z:

¿Qué es el punto medio?
El punto medio es un punto que se ubica exactamente en la mitad de un segmento
de línea que une a dos puntos. Por ejemplo, si es que tenemos dos puntos y los
unimos con un segmento de línea, el punto medio se ubicará en la mitad de ese
segmento y será equidistante a ambos puntos.
En el siguiente diagrama tenemos los puntos A y B, los cuales están unidos por
un segmento. El punto C es el punto medio, ya que está exactamente en la mitad
del segmento. Para calcular la ubicación del punto medio, simplemente tenemos
que medir la longitud del segmento y dividir por 2.
Un punto medio puede ser calculado solo cuando tenemos a un segmento que une
a dos puntos, ya que tiene una ubicación definida. El punto medio no puede ser
calculado para una línea o un rayo, ya que una línea tiene dos extremos que se
extienden indefinidamente y un rayo tiene un extremo que se extiende
indefinidamente.
La fórmula para el punto medio de un segmento es derivada usando las
coordenadas de los puntos extremos del segmento. El punto medio es igual a la
mitad de la suma de las coordenadas en x de los puntos y a la mitad de las
coordenadas en y de los puntos.
Entonces, si es que tenemos los puntos A y B con las coordenadas A=(x1,y1
) y B=(x2,y2), la fórmula del punto medio es:
Fórmula del punto medio

Ecuaciones para el trazado de una circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo llamado centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y
es respecto a éste que trabajamos).
Determinación de una circunferencia
Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:
a) Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
b) El centro y el radio.
c) El centro y un punto en ella.
d) El centro y una recta tangente a la circunferencia.
También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los
puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro.
Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia
(la ecuación de la circunferencia).
Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano
Cartesiano ) diremos que —para cualquier punto, P (x, y) , de una circunferencia
cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r ─, la ecuación ordinaria es
(x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
¿Qué significa esto?
En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada
con un centro definido (coordenadas) en el Plano Cartesiano y con radio conocido
la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como
una ecuación matemática.

Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de
cualquier punto (P) sobre la circunferencia, equidistante del centro un radio (r). Y
que la a y la b (o la h y la k, según se use) corresponderán a las coordenadas del
centro de la circunferencia C(a, b).
Nota importante:
Los ejercicios sobre esta materia pueden hacerse en uno u otro sentido.
Es decir, si nos dan la ecuación de una circunferencia, a partir de ella podemos
encontrar las coordenadas de su centro y el valor de su radio para graficarla o
dibujarla.
Y si nos dan las coordenadas del centro de una circunferencia y el radio o datos
para encontrarlo, podemos llegar a la ecuación de la misma circunferencia.
Cuadrado del binomio
Aquí haremos una pausa para recordar el cuadrado del binomio ya que es muy
importante para lo que sigue:
El binomio al cuadrado de la forma (a ─ b) 2 podemos desarrollarlo como
(a ─ b) (a ─ b) o convertirlo en un trinomio de la forma
a 2 ─ 2ab + b 2.
Sigamos nuestro razonamiento sobre la ecuación
(x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
(Que en forma matemática representa una circunferencia).
De la ecuación ordinaria a la ecuación general
Si en esta ecuación ordinaria ─cuyo primer miembro (lado izquierdo) está formado
por la suma de dos cuadrados de binomio─, eliminamos los paréntesis
Así podemos expresarla
Donde:
(d) Distancia CP = r
y
Fórmula que elevada al cuadrado nos da
(x ─ a) 2
+ (y ─ b) 2
= r 2
También se usa como
(x ─ h) 2 + (y ─ k) 2 = r 2

desarrollando dichos binomios, pasamos todos los términos al primer miembro y la
igualamos a cero, tendremos:
x 2 ─ 2ax + a 2 + y 2 ─ 2by + b 2 ─ r 2 = 0 ecuación que ordenada sería
x 2 + y 2 ─ 2ax ─ 2by + a 2 + b 2 ─ r 2 = 0
Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes asignaciones:
─ 2a = D,
─ 2b = E,
a 2 + b 2 ─ r 2 = F
la ecuación quedaría expresada de la forma:
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 conocida como Ecuación General de la Circunferencia, la
cual debe cumplir las siguientes condiciones para serlo:
No existe término en xy
Los coeficientes de x 2 e y 2 son iguales.
Si D = ─ 2a entonces
Si E = ─ 2b entonces
Si F = a 2 + b 2 ─ r 2 entonces
Además, otra condición necesaria para que una ecuación dada represente una
circunferencia es que:
a 2 + b 2 ─ F > 0
(a 2 + b 2 ─ F debe ser mayor que cero)
Nota:
Para simplificar la ecuación general de la circunferencia (x 2 + y 2 ─ 2ax ─ 2by + a 2 +
b 2 ─ r 2 = 0) algunos textos o docentes utilizan otra convención y hacen:
─ 2a = A,
─ 2b = B,
a 2 + b 2 ─ r 2 = C para tener finalmente
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 que es lo mismo que x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
A modo de recapitulación

Si conocemos las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia, podemos
construir su ecuación ordinaria, y si operamos los binomios cuadrados que la
conforman, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia.
Ecuación reducida de la circunferencia
Volviendo a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2, debemos consignar
que si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0, 0) la
ecuación queda reducida a:
( x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
(x ─ 0) 2 + (y ─ 0) 2 = r 2
x 2 + y 2 = r 2
Ecuaciones para el trazado de una parábola
La parábola, expresada como una ecuación, cuenta con una serie de elementos o
parámetros que son básicos para su descripción, y son:
Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje
de simetría).
Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en
dos brazos y pasa por el vértice.
Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en
el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.
Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del
vértice y fuera de los brazos de la parábola.
Distancia focal (p): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice
y foco, así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).
Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la
parábola.
Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco.
Lado recto (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
Para ilustrar las definiciones anteriores, veamos la siguiente gráfica de una
parábola:

Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen
Primeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su
vértice esté en el origen (coordenadas (0, 0) del Plano Cartesiano) , y según esto,
tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una es característica.
Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en
el origen, su eje focal o de simetría coincide con el eje de las X (abscisas) y que
está orientada (se abre) hacia la derecha. Por definición, sabemos que, en una
parábola la distancia entre un punto “P” (no confundir con el “parámetro
p” ), cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco “F” será igual a la distancia entre
la directriz (D) y dicho punto, como vemos en la figura:
De lo anterior resulta:
(trazo PD igual al trazo PF)
El trazo PD nace en el punto (x, y) y termina en el punto (–p, y) y podemos usar la
fórmula para calcular distancia entre dos puntos:

El trazo PF nace en el punto (x, y) y termina en el punto (p, 0) , y también podemos
usar la fórmula para calcular la distancia entre ellos:
Sustituyendo en la expresión de distancias resulta:
Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene:
(x + p) 2 = (x – p) 2 + y 2
x 2 + 2px + p 2 = x 2 – 2px + p 2 + y 2
x 2 + 2px + p 2 – x 2 + 2px – p 2 = y 2
Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión, se obtiene: y 2 = 4px

Ecuaciones para el trazado de una elipse
Esta ecuación describe una elipse en coordenadas cartesianas. Si el centro de la
elipse О está al principio del sistema de coordenadas y ej eje mayor está en abscisa,
entonces la elipse se describe con la siguiente ecuación:
1 =
x2
+
y2
a2 b2
Si el centro de la elipse О está desplazado al punto con coordenadas (xo, yo),
entonces la ecuación es:
1 =
(x - xo)2
+
(y - yo)2
a2 b2
Ecuación paramétrica de la elipse:
{
x = a cos α
де 0 ≤ α < 2π
y = b sin α
La elipse se define como una línea curva cerrada tal que la suma de las distancias
a dos puntos fijos, F y F', llamados focos, es constante.
Elipse
Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la suma de
las distancias desde cualquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos
denominados focos (F y F') es siempre la misma.
Ten en cuenta que para cualquier punto de la elipse siempre se cumple que:
Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P al foco F y al
foco F' respectivamente.

Ecuación de eje mayor horizontal centrada en un punto cualquiera P(x0,y0)
La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal viene dada por:
Donde:
 x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la elipse
 a : Semieje de abcisas
 b : Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b ⩽ a.
Ecuación de eje mayor vertical centrada en un punto cualquiera P(x0,y0)
La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es vertical viene dada por:
Donde:
 x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la elipse
 a : Semieje de abscisas
 b: Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b > a.

Ecuaciones para el trazado de una hipérbola
Una hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el que
la diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y F', es siempre
constante.
Hipérbola
Las líneas azules constituyen lo que se conoce como una hipérbola. Observa sus
focos F y F'. Estos puntos son muy importantes ya que la diferencia de la distancia
entre cada punto P(x,y) y estos puntos es siempre constante.
Por tanto, debes tener en cuenta que para cualquier punto de la hipérbola
siempre se cumple que:
d(P,F)-d(P,F1)= 2.a
Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P de la hipérbola al
foco F y al foco F' respectivamente. Y donde 2a es una constante
Ecuación de la hipérbola
De manera general podemos encontrarnos dos tipos de hipérbolas, aquellas en las
que el eje focal se encuentra horizontal o vertical. De este modo podemos definir
dos tipos de ecuaciones.
Hipérbola de eje focal horizontal centrada en un punto P(x0,y0) cualquiera
La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal viene dada por:

Donde:
 x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la hipérbola
 a : Semieje real
 b : Semieje imaginario
Determinar la ecuación de la hipérbola centrada en el punto P(2,1) cuya distancia
focal es 10 y la distancia entre sus vértices A es 8.
Hipérbola de eje focal vertical centrada en un punto P(x0,y0) cualquiera
La ecuación de una hipérbola de eje focal vertical viene dada por:
Donde:
 x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la hipérbola
 a : Semieje real
 b : Semieje imaginario
Hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen

La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen viene
dada por:
Donde:
 a : Semieje real
 b : Semieje imaginario
Hipérbola de eje focal vertical centrada en el origen
La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen viene
dada por:
Donde:
 a : Semieje real
 b : Semieje imaginario