CFRD simplified sequence for Mazar Hydroelectric Project
Certamen 3 calculo
1. UNIVERSIDAD CAT´OLICA DE LA SANT´ISIMA CONCEPCI´ON
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEM´ATICA Y F´ISICA APLICADAS (DMFA)
CERTAMEN N◦ 3 (PAUTA)
C´ALCULO III
(IN 1009 C)
1. Problema (15 puntos) Sea f : R3 → R, la funcion de
2. nida por
f(x; y; z) = x2z + y2z +
2
3
z3 − 4x − 4y − 10z + 1:
(a) Determine la naturaleza de todos los puntos crticos de la funcion f.
(b) Muestre que f no alcanza ni maximo ni mnimo absoluto en R3.
Soluci´on
Para la funcion f(x; y; z) = x2z +y2z +
2
3
z3 −4x−4y −10z +1, tenemos que:
(a) Dom(f) = R3 es un conjunto abierto, por tanto, los extremos relativos son local-
izados en los puntos criticos y caracterizados por criterio de la segunda derivada.
Asi,
fx = 2xz − 4, fy = 2yz − 4, fz = x2 + y2 + 2z2 − 10
– Si fx = 0, entonces 2xz − 4 = 0, luego x =
2
z
.
– Si fy = 0, entonces 2yz − 4 = 0, luego y =
2
z
.
– Si fz = 0, entonces x2 + y2 + 2z2 − 10 = 0
Las soluciones de las igualdades anteriores son los puntos
P1(2; 2; 1), P2(−2;−2;−1), P3(1; 1; 2), y P4(−2;−1;−1)
(04 Pts.)
La matriz Hessiana de f es dada por:
Hessf(x; y; z) =
fxx fxy fxz
fyx fyy fyz
fzx fzy fzz
⇒ Hessf(x; y) =
2z 0 2x
0 2z 2y
2x 2y 4z
Haciendo Δ1 = fxx, Δ2 =
35. – Para P1(2; 2; 1), Δ1 = 2 0, Δ2 = 4 0 y Δ3 = −48 0 por
tanto P1 es un punto de silla.
– Para P2(−2;−2; 1), Δ1 = −2 0, Δ2 = 4 0 y Δ3 = 48 0,
por tanto P2 es un punto de silla.
– Para P3(1; 1; 2), Δ1 = 4 0, Δ2 = 16 0 y Δ3 = 96 0, por
tanto P3 es un punto de mnimo relativo.
– Para P4(−1;−1;−2), Δ1 = −4 0, Δ2 = 16 0 y Δ3 = −96
0 por tanto P4 es un punto de maximo relativo.
(04 Pts.)
(b) La funcion f no tiene maximos, ni mnimos absolutos en R3, pues no es una
funcion acotada. En efecto, si z = 0, y = 0, entonces tenemos que
f(x; 0; 0) = −4x + 1;
luego
lim
x→−∞
f(x; 0; 0) = +∞; lim
x→+∞
f(x; 0; 0) = −∞:
(03 Pts.)
2. Problema (15 puntos) Sea C la curva de interseccion de las super
36. cies
x2 + y2 = 1 y x + y + z = 1
(a) Encontrar los puntos de maximo y de mnimo absoluto de la funcion
f(x; y; z) = x2 + y2 + z2 sobre la curva C
(b) Deducir cual es el punto de C mas alejado del origen.
Soluci´on.
(a) En este caso la funcion de Lagrange es
L(x; y; z; ;
41. = 0 (3)
x2 + y2 − 1 = 0 (4)
x + y + z − 1 = 0 (5)
(04 Pts.)
Restando (1) y (2) se obtiene ( + 1)(x − y) = 0, es decir, = −1 o x = y.
Reemplazando = −1 en (1) resulta que
42. = 0 y sustituyendo este valor
en (3), encontramos que z = 0. Sustituyendo este valor en (5) y usando (4)
nos da x = 0, y = 1 x = 1 e y = 0.
2
43. Ahora, si x = y usando (4) y (5) encontramos x = ±
√
2
2 y z = 1 − 2x =
1 ∓
√
2.
As, los puntos crticos de f son P1 = (0; 1; 0), P2 = (1; 0; 0), P3 =
(√
2
2 ;
√
2
2 ; 1 −
)
√
2
y P4 =
(
−
√
2
2 ;−
√
2
2 ; 1 +
)
.
√
2
(06 Pts.)
Luego,
√
2 ; f(P4) = 4 + 2
f(P1) = 1 ; f(P2) = 1 ; f(P3) = 4 − 2
√
2:
Por lo tanto, el nico punto de maximo absoluto es P4 y los puntos de mnimo
absoluto son P1 y P2.
(03 Pts.)
(b) Si P es un punto sobre la curva C, notando que su distancia al origen es
d(P; 0) =
√
x2 + y2 + z2 = f2(x; y; z)
se obtiene por a) que el punto mas alejado del origen es P2 =
(
−
√
2
2 ;−
√
2
2 ; 1 +
)
.
√
2
(02 Pts.)
3. Problema (15 puntos) Sea Ω la region acotada por x + y = 1; x + y = 4;
x − y = −1; x − y = 1. Calcular:
∫ ∫
Ω
(x + y)2 ex−yd(x; y)
Soluci´on.
Considerando el cambio de variable (x; y) = T (u; v) dado por u = x+y, v = x−y
obtenemos que x = 1
2(u + v), y = 1
2(u − v), con lo cual
T es una funcion de clase C1(R2)
T es una aplicacion lineal con kernel(T ) = {(0; 0; 0)}, luego T es biunivoca.
El jacobiano de T
JT =
@(x; y)
@(u; v)
=
55. 4
1
=
21
2
(e − e−1):
(09 Pts.)
4. Problema (15 puntos )
(a) Usando integrales dobles, veri
56. que que el volumen de un cilindro de radio basal
a y altura h es a2h.
(b) Determinar el volumen de la region del primer octante encerrada por el cilindro
x2 = 4 − z y el plano 4x + 3y = 12.
Soluci´on
(a) Si consideramos el cilindro centrado en el origen y de radio a, entonces la ecuacion
del cilindro es x2+y2 = a2 con 0 ≤ z ≤ h. As el volumen del cilindro es dado
por:
V (cilindro) =
∫ ∫
Ω
f(x; y)dA
donde Ω = {(x; y) ∈ R2 : x2 + y2 = a}; f(x; y) = h. Usando coordenadas
polares tenemos que:
V (cilindro) =
∫ ∫
Ω
f(x; y)dA
=
∫ a
0
∫ 2
0
hrddr
= 2h
∫ a
0
rdr
= hr2
