3. ANGULO .-Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice. ELEMENTOS DE UN ANGULO: LADO LADO VÉRTICE Medida del Angulo convexo Medida del Angulo cóncavo O A B
4. 0º < < 180º 0º < < 90º CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA a) ÁNGULO CONVEXO a.1) ÁNGULO AGUDO
6. = 90º + = 180º CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
7. CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Son congruentes Puede formar más ángulos Un lado común
8. 01. Ángulos alternos internos: m 3 = m 5; m 4 = m 6 02. Ángulos alternos externos: m 1 = m 7; m 2 = m 8 03. Ángulos conjugados internos: m 3+m 6=m 4+m 5=180° 04. Ángulos conjugados externos: m 1+m 8=m 2+m 7=180° 05. Ángulos correspondientes: m 1 = m 5; m 4 = m 8 m 2 = m 6; m 3 = m 7 ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE 1 2 3 4 5 6 7 8
9. + + = x + y 01.- Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas. PROPIEDADES DE LOS ANGULOS x y
13. El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”. 90 - { ( ) - ( ) } = ( ) 180° - X 90° - X 90° - X 2 90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X 2X = 180° X = 90° RESOLUCIÓN Problema Nº 01 La estructura según el enunciado: Desarrollando se obtiene: Luego se reduce a:
14. La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos. Sean los ángulos: y + = 80° Dato: = 80° - ( 90° - ) = 2 Reemplazando (1) en (2): ( 90° - ) = 2 ( 80° - ) 90° - = 160° -2 = 10° - = 70°-10° = 60° Problema Nº 02 RESOLUCIÓN Dato: Diferencia de las medidas Resolviendo ( 1 ) ( 2 ) = 70°
15. La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos. Sean los ángulos: y ( 90° - ) ( 90° - ) = 130° + ( 180° - ) ( 180° - ) = 10° - Resolviendo: (1) y (2) + = 50° - = 10° 2 = 60° = 30° = 20° Problema Nº 03 RESOLUCIÓN Del enunciado: Del enunciado: + = 50° ( 1 ) - = 10° ( 2 ) (+)
16. Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB. De la figura: = 60° - 20° Luego: X = 40° - 20° = 40° X = 20° Problema Nº 04 RESOLUCIÓN A B O C M 60° 20° X
17. La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB. ( + X) ( - X) = 30º 2X=30º X = 15° Problema Nº 05 RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado Del enunciado: AOB - OBC = 30° - Luego se reemplaza por lo que Se observa en la gráfica A O B C X ( - X) M
18. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la m AOC = m BOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. De la figura: 2 + = 90° + 2 = 90° 2 + 2 + 2 = 180° + + = 90° X = + + X = 90° Problema Nº 06 RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado A C B D M N X ( + )
19. Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X” Problema Nº 07 80° 30° X m n
20. 2 + 2 = 80° + 30° Por la propiedad Propiedad del cuadrilátero cóncavo Reemplazando (1) en (2) 80° = 55° + X X = 25° RESOLUCIÓN + = 55° (1) 80° = + + X (2) 80° 30° X m n
21. Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X” Problema Nº 08 5 4 65° X m n
22. Por la propiedad: 4 + 5 = 90° = 10° Ángulo exterior del triángulo 40° 65° X = 40° + 65° X = 105° RESOLUCIÓN 5 4 65° X m n
23. Problema Nº 01 Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X” 2 x m n 2
24. 3 + 3 = 180° + = 60° Ángulos entre líneas poligonales X = + X = 60° RESOLUCIÓN x Ángulos conjugados internos 2 x m n 2
