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1 teoria de exponentes

Teoría de exponentes

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1 teoria de exponentes

  1. 1. ÁLGEBRA Concepto : Es aquella parte de las matemáticas que se encarga del estudio de las cantidades en su forma más general posible. Estudia además a las diferentes operaciones algebraicas en los diferentes conjuntos de números, para su estudio emplea números y letras. CONJUNTOS NUMÉRICOS Los conjuntos de números que usaremos son: 1. Números Naturales ( N) { } ,2,12,,,,3,2,1 nnnN −= Presenta dos subconjuntos importantes Números pares { }Nnn ∈= /2 Números impares { }Nnn ∈−= /12 2. Números Enteros (Z) Presenta dos subconjuntos importantes { } ,3,2,1,0,1,2,3, −−−=Z { },4,3,2,1=+ Z { },3,2,1 −−−=− Z { }0∪∪= −+ ZZZ OBS: { }00 ∪= ++ ZZ 3. Números Racionales (Q) { }0,;// ≠∈∧== nZnmnmxxQ 4. Números Irracionales ( I ) { }0,;// ≠∈∧≠== nZnmnmxxIQC Se caracteriza por tener parte decimal no periódica con infinitas cifras decimales. Se pueden dividir en dos grupos: a) Irracionales Algebraicos. ...6457513110,27 ...4142135623,12 = = b) Números trascendentes. ∏ = 3,1415926535...(Número pi) e =2,7182818284...(Base del logaritmo Neperiano) 5. Números Reales(R) Es el conjunto de todos los números racionales e irracionales IQR ∪= 6. Números Complejos(C) { }RbabiaC ∈∧+= / Se distinguen los complejos de la forma “a” denominados complejos reales y los de la forma “bi” (b≠ 0) denominados imaginarios puros. Podemos esquematizar los conjuntos de Números de la siguiente manera. RECTA NÚMERICA: Si a los puntos de una recta le corresponden un único número real y a cada número real le hacemos corresponder un único punto de la recta, entonces decimos que dicha recta es la Recta Numérica LEY DE EXPONENTES En general las leyes de exponentes se cumplen en el conjunto de los números complejos (C).En particular estudiaremos dichas leyes en el conjunto de números reales (R), es decir que las letras que aparecen en cada ley representan a números reales. Para su estudio definamos las operaciones de Potenciación y radicación. POTENCIACIÓN Notación: Ej.:
  2. 2. ÁLGEBRA MDSA UNI-UNMSM 2003-1 • 642.2.2.2.2.22 6 6 ==  veces Es la potencia 6Ta de 2 • (-3)4 =(-3)(-3)(-3)(-3)=81 Es la potencia 4Ta de (-3) •  vecesπ π 8...8.8.88 ≠ , no tiene sentido pues π ∉N LEYES QUE RIGEN A LOS EXPONENTES 1. Multiplicación de Potencias de bases iguales nmnm aaa + =. Ej. 15128368128368 6732732 9375375 523232 .... 555.5.5 222.2 aaaaaaa xxxxx mmmmm ==∗ ==∗ ==∗ ==∗ +−−+−− +−− −+− ++++++ 2. División de Potencias de Bases iguales nm n m a a a − = Ej.: 2)5(7 5 7 6)3(3 3 3 4 2242 2202 538 3 8 6422 2 2 81)3( )3( )3( −−−− − − −−+ − + − − − ==∗ ===∗ =−= − − ∗ ==∗ aa a a xx x x mm m m x x 3. Exponente Cero 10 =a donde a≠0 Ej. ,1)532( 1)( 110 0 05 0 ≠−+∗ =∗ =∗ x no tiene sentido calcular oo ,es indeterminado 4. Exponente negativo n n a a 1 =− ,donde a≠0 Ej. 3 5 5 3 42 4 2 1 3 3 5,0 2 1 2 1 a b b a ba b a x x =∗ =∗ ==∗ =∗ − − − − − 5. Potencia de un producto. nnn baba =× )( Ej. 1 6 6 6 )2.3( 6 23 33)3( )( 2222 555 ===∗ ==∗ =∗ x x x x x xx xxx baab 6. Potencia de un Cociente. n n n b a b a =)( donde b≠0 Ej. 4 4 4 )( y x y x =∗ 125 27 5 3 ) 5 3 ( 4) 2 8 ( 2 8 3 3 3 ==∗ ==∗ nn n n 7. Potencia Negativa de un Cociente. n n nn a b a b b a ==− )()( Ej. 287) 1 4 () 1 3 () 1 2 () 4 1 () 3 1 () 2 1 ( 1255) 1 5 () 5 1 ( 4 25 2 5 ) 2 5 () 5 2 ( 432432 333 2 2 22 =++=++∗ ===∗ ===∗ −−− − − 8. Potencia de Potencia. mnnm aa =)( 48
  3. 3. ÁLGEBRA MDSA UNI-UNMSM 2003-1 Ej. [ ] 124).3(43 605.4.3543 105.252 )( )( 22)2( −−− ==∗ ==∗ ==∗ xxx xxx OBS: [ ]{ } mnrs srnm aa =).(. RADICACIÓN Es una operación donde a partir de dos cantidades: índice y radicando; se obtiene otra cantidad llamada raíz que cumple con la siguiente identidad. Ej. 162216 125)5(5125 322232 44 33 55 =⇔=∗ −=−⇔−=−∗ =⇔=∗ 9. Raíz de una Potencia. n p p nn p aaa == Ej. 43 12 3 123 4 48 3 4 48 25 10 5 10 xxxxx xxx ====∗ ==∗ OBS: srnmm n s r aa ... = 10. Raíz de un Producto. nnn baab = Ej. 6322433224332 555 525 255 105 2510 =×==×∗ ==∗ yxyxyx 11. Raíz de un Cociente. 0, ≠= b b a b a n n n Ej. 5 2 625 16 625 16 4 4 4 7 4 5 35 5 20 5 35 20 ==∗ ==∗ y x y x y x EJERCICIOS NIVEL I 1. Si: 84 4.2=n Hallar el valor de: 5 nM = A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 16 2. Reducir 12 9 27 1 −− −       −=B A) 1 B) 2 C) –3 D) –1 E) –27 3. Reducir: [ ]212 3 4 3 )4(2 )8(4 n n A − − = A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 16 4. Simplificar: 294 336 30.14.15 80.35.21 =B A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 7 5. Reducir: Nn ∈ 3 24 2.2 2.22 + ++ − = n nn C A) 2 1 B) 2 C) 4 D) 4 1 E) 8 1 6. Reducir: 0≠x 33753 254223222 ))()()()(( )()()())(( xxxxx xxxxx D = A) 4 x B) 5 x C) 6 x D) 7 x E) 18 x 7. Reducir: 49
  4. 4. ÁLGEBRA MDSA UNI-UNMSM 2003-1 8 4 22 222         =E A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16 8. simplificar: 496 27 8 4 9 3 2                   =H A) 1 B) 3 2 C) 2 3 D) 6 E) 6 6 9. Efectuar: 6 642332 )5(16)3(832 −++−+−+−=L A) 3 B) –3 C) 8 D) –10 E) 6 10. Calcule (U.N.I), si: [ ] UU NINU =−== −−− − ;)4(;16 416 124 A) 16 B) 8 C) 32 D) 1 E) 2 NIVEL II 11. Al reducir: [ ] 0,,;)(7 ) 2 1 ( ) 4 1 (473122 >− zyxzyyxx Se obtiene un término semejante a: cba zyx21 Según ello hallar: ca b M + = A) 0,3 B) 0,2 C) 1 D) 3 1 E) 0 12. Calcular el valor de: 2 1 323 ) 3 1 ( 9 2 )2,0(2) 2 1 ( − −−−       ++=C A) 8 B) 6 C) 8 1 D) 6 1 E) 1 13. Reducir: ∞+++ ∞+ =   222 7772 α A) 2 3 B) 3 2 C) 3 D) 2 E) 1 14. Si se cumple que: )0,,(; > + = + = + cba ac c cb b ba a Reducir: a b c acb xxx 32 =β 0≠x A) x B) 5 x C) 2 x D) 3 x E) 4 x 15. Simplificar: ( ) ( ) 0; ≠= − −− − − xxx x x x x x x x x δ A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) –1 16. Reducir: 2 4 2 33 812793     =λ A) 1 B) 2 C) 3 D) 9 E) 27 17. Reducir: ( ) 0; 11 1 12 2 ≠         = +− −− xx x x x x x ω A) 2 x B) x x C) x x D) 1 E) x 18. Halle “x” de: n nn nx nx = +1 A) n B) n n C) n n D) 1+n n n E) n n 2 19. Que valor de “x” satisface: 4 16 2 84 2 625.125125.5 ++− = xxxx A) 22 B) 5 C) 17 D) 5 22 E) 22 5 20. Calcular: 52 +x a partir de : 62 24 813 = x 50
  5. 5. ÁLGEBRA MDSA UNI-UNMSM 2003-1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 NIVEL III 21. Calcular el valor de E: 13 1815 7118 53 2257545 × ×× =E A) 115 B) 225 C) 625 D) 25 E) 75 22. Calcular el valor de “B” : 2/1123 10 23 4 5 2 3 1         +      +      +      = −−− B A) 5 B) 7 C) 8 D) 6 E)4 23. Determine el valor de E 111 543 32 1 16 1 8 1 −−− −−−       −+      +      −=E A) –2 B) –1 C) 0 D) 2 E) ½ 24. si: radx ∞+++= 303030 Determinar 3 3 3 radxxxE ∞+++=  A) 2 B) φ C) 4 D) 0 E) 3 25. Resolver: 314 9 3 1 =−x x A) 3 B) 2 C) 1/3 D) 1 E) ½ 26. Hallar “n” en: 81 39 812433 = − − nn nn A) 9 B) 3 C) 2 D) 81 E) 4 27.Si: Nn ∈ y además 81 veces81 veces10 360360360 81 81.81.81 = +++        nnn Calcule: 12 +n A) 20 B) 10 C) 40 D) 30 E) 15 28.Si se cumple que: 75 55555 55555 3 ..5.4.3.2 )3.(.12.9.6.3 = n n   Calcule: 1+n A) 0 B) 1 C) 10 D) 2 E) 4 29. Si: xpxnxmx mpn === Reducir: pnm m p p n n m A )()()(= A) 1 B) x2 C) x3 D) x E ) 2 30. Si: 56222 21 =++ ++ xxx Halle: +      +      ++= 32 555 1 xxx M A) 2/5 B) 5/2 C) 5 D) 2 E) 7 NIVEL IV 31. Determinar la veracidad o falsedad de las proposiciones: I) nn xxNnRx 22 )(: =−∈∧∈∀ II) 1212 )(: ++ −=−∈∧∈∀ nn xxNnRx III) 0: 2 ≥∈∀ xRx IV) 33 : RxRx ∈∈∀ 32. Simplificar: 7 7 8 21 12 14 4 7721 12 22595 3515 −−− ++ ++ A) 15 B) 15 C) 5 D) 10 E) 5 33. Si Nn ∈ , Simplificar: n n nn 8 8 2.881 88 88 + ++ 51
  6. 6. ÁLGEBRA MDSA UNI-UNMSM 2003-1 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 34. Si: + ∈Zzyx ,, , tal que : 2≥− xy . Calcular el valor más simple de: xy yxxy xyxyyx xyyx xyyx− ++ + + .. .. 22 A) x B) y C) xy D) x y E) y x 35. Indicar el valor de x ; tal que: 3 553 5 3 = x x x A) 3 B) 3 C) 5 3 D) 27 E) 9 36. Siendo 1>x ,calcular el valor de “P”, en: xxxxx p =........... A) 2 B) 3 C) 4 D) ½ E) 1/3 37. Señale el valor de “x” que cumple : 15 2 1 2 1 2 1 2 1 321 =+++ +++ xxxx A) –1 B) –2 C) –3 D) –4 E) –5 38. Calcular el valor aproximado de: 3 ...222834 − A) –1 B) –2 C) –3 D) –4 E) –5 39. El valor de “x” que verifica: 1 9 3 − =x x es: A) 3 1 B) 9 1 C) 27 1 D) 81 1 E) 243 1 40. Si nmnm =+ Calcular el valor de: nm m nn m 22 22 + + A) 2 B) 4 1 C) 4 D) 8 1 E) 2 1 41. A partir de: y yx yx = 1 )2( ; calcular el valor numérico de: xyy xxy 25 42 − + A) 1 B) 2 1 C) 4 1 D) 5 1 E) 8 1 52
  7. 7. ÁLGEBRA MDSA UNI-UNMSM 2003-1 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 34. Si: + ∈Zzyx ,, , tal que : 2≥− xy . Calcular el valor más simple de: xy yxxy xyxyyx xyyx xyyx− ++ + + .. .. 22 A) x B) y C) xy D) x y E) y x 35. Indicar el valor de x ; tal que: 3 553 5 3 = x x x A) 3 B) 3 C) 5 3 D) 27 E) 9 36. Siendo 1>x ,calcular el valor de “P”, en: xxxxx p =........... A) 2 B) 3 C) 4 D) ½ E) 1/3 37. Señale el valor de “x” que cumple : 15 2 1 2 1 2 1 2 1 321 =+++ +++ xxxx A) –1 B) –2 C) –3 D) –4 E) –5 38. Calcular el valor aproximado de: 3 ...222834 − A) –1 B) –2 C) –3 D) –4 E) –5 39. El valor de “x” que verifica: 1 9 3 − =x x es: A) 3 1 B) 9 1 C) 27 1 D) 81 1 E) 243 1 40. Si nmnm =+ Calcular el valor de: nm m nn m 22 22 + + A) 2 B) 4 1 C) 4 D) 8 1 E) 2 1 41. A partir de: y yx yx = 1 )2( ; calcular el valor numérico de: xyy xxy 25 42 − + A) 1 B) 2 1 C) 4 1 D) 5 1 E) 8 1 52

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