1. Precálculo
Semana 3

2. Precálculo
Modelamiento de ecuaciones lineales
Costo, Ingreso y Utilidad

3. Los cálculos para la
determinación de las
soluciones de ecuaciones
se hacen utilizando
algoritmos que los
fabricantes introducen en
los programas internos
de las computadoras y
esto hace que tengamos
soluciones con gran
rapidez, pero……..

4. ¿ Sabe usted de alguna
computadora que pueda
plantear problemas?
A los profesionales se
nos contrata por nuestra
capacidad para plantear
situaciones que muchas
veces son problemas.

5. Para modelar un problema usando ecuaciones se recomienda
seguir los siguientes pasos:
1. Leer detenidamente el enunciado del mismo para entenderlo
cabalmente.
2. Asignar una variable a lo que se trata de determinar
3. Describir numéricamente lo que el enunciado literal va
informando
4. Tratar de usar la menor cantidad de variables cuando se
relacionen cantidades o en general, datos
5. Formar la ecuación que describa la relación objetiva entre los
aspectos mencionados (muchas veces es pasar del lenguaje
escrito al lenguaje algebraico) .
Sugerencias para el planteamiento de
problemas

6. Aplicación: análisis del punto de equilibrio
Caso: Empresa petrolera

7. Una empresa dedicada a la explotación y venta de petróleo ha
encontrado un nuevo yacimiento en el norte del país. Los
costos fijos que debe afrontar la empresa ascienden a $380 000
mensuales (en ese monto está incluida la recuperación de la
inversión inicial). Adicionalmente, el costo de producir un barril
de petróleo es de $50 y el precio de venta está a $100 el barril:
a)¿Para qué nivel de producción mensual la empresa alcanzará su
punto de equilibrio? ( en el punto de equilibrio la empresa no
gana ni pierde).
b)¿Con qué nivel de producción la empresa alcanzará una utilidad
de un millón de dólares mensuales?

8. La solución de este problema hay que verla en etapas. En primer
lugar debemos definir la variable que vamos a utilizar. Sea
x el número de barriles de petróleo producidos y vendidos.
Es necesario, además, considerar que el costo total de
producción es la suma del costo fijo y el costo variable.
( Costo Total = CF + CV)
Los costos fijos son aquellos que no dependen de la
cantidad producida, mientras que los costos variables si
dependen de la cantidad producida.
El costo variable se puede calcular multiplicando el costo
unitario de producción o costo variable unitario por el
número de unidades producidas ( CV = CU.x )

9. En nuestro caso CF = $380000 y CU = $50. Por lo tanto el costo
total C estará dado por: C = 380000 + 50 x .
Por otro lado el ingreso resulta de multiplicar el precio de venta
unitario por el número de unidades producidas y vendidas.
Por lo tanto: I = px .
En nuestro caso, p = $ 100 y entonces: I = 100x
Finalmente, la utilidad es la diferencia entre el ingreso y el costo total.
( U = I – C)
En nuestro caso, U = 100x – (380000 + 50x)
U = 50x – 380000

10. El punto de equilibrio se presenta cuando el ingreso iguala al costo
total : I = C. Es equivalente a decir que la utilidad es cero.
Para la pregunta a) hacemos U = 0.
Esto es, U = 50 x – 380000 = 0 y entonces x = 7600 barriles.
Esta cantidad también es llamada volumen mínimo de producción.
Para la pregunta b) hacemos U =1 000000
Entonces 50 x – 380000= 1000000 obteniéndose un nivel de
producción de 27600 barriles.

11. Ejercicios
1.
Coloqué cierta cantidad de dinero en la Bolsa de Valores.
En el primer mes gane el 20%; en el segundo mes, perdí
el 30% de lo que tenía y en el tercer mes gané el 10 % de
lo que entonces tenía, quedándome con $ 5544. ¿Cuánto
dinero coloqué inicialmente?
Rpta $ 6000

12. Un fabricante de maletas es proveedor de tres
mayoristas (A, B y C). La producción de un día es de
160 maletas y debe enviar al mayorista A el triple
de las maletas que le envía a B, mientras que a C,
80 maletas menos de las que envía a A y a B
juntos. ¿Cuántas maletas envía a C?
2.
Rpta. 40 maletas

13. El dueño de una librería ha hecho efectiva tres
facturas:
En la primera le han descontado S/.35 , debido
a que tenia una rebaja del 10% ; en la segunda,
S/.42, lo cual representa el 7% de su valor, y en
la tercera, S/.36, con una rebaja del 15%.
Determinar el pago total que realizó el librero.
3.
Rpta. S/. 1077

14. 4. Se hicieron dos inversiones por un total de 8 800 u.m.
Al cabo de un año estas inversiones produjeron
1 326 u.m. Si una parte se invirtió al 14% y la otra al
16%, ¿cuánto se invirtió al 14%?
4 100 u.m.Rpta:

15. 5. Jaime compró acciones de la compañía ABC el
día lunes. Las acciones subieron 15% el día martes
y bajaron 15% el día miércoles. Si vendió las
acciones al finalizar el día miércoles en $9 775,
¿cuánto pago por ellas el día lunes?
$10 000Rpta:

16. Enrique recibe una herencia de $50 000. Su asesor
financiero le aconseja invertir en tres fondos: A
(mercados de valores), B (acciones selectas) y C (acciones
de alta tecnología).
El asesor financiero estima que el fondo A rendirá 5% el
año próximo, el fondo B dará 9% y el fondo C, 16%.
6.
Enrique desea un rendimiento total en el primer año de
$4 000 y para evitar un riesgo excesivo decide invertir en
el fondo A el triple de lo que invierte en C. ¿Cuánto debe
invertir en cada fondo?
Rpta. En A, $30000; en B y C, $10000 c/u.

17. 7. Supongamos que los consumidores comprarán q
unidades de un cierto producto al precio de
dólares la unidad. ¿ Cuál es el número de unidades
que debe venderse para que el ingreso por ventas
sea 2 510 dólares?
Rpta: 1620 artículos
80
( +1,5)
q

18. 8. En una fábrica se produce q artículos. El costo de la
mano de obra es de 2,7q y el costo de los materiales es
de 1,8q. Los costos fijos ascienden a $7 500. ¿Cuántos
artículos se deben vender para que la utilidad de la
fábrica sea $21 000, si el precio unitario de cada artículo
es $14 ?
Rpta: 3000 artículos

19. El costo total diario ( en u.m.) de producir q sillas está dado
por
9.
a) Si cada silla se vende a 6 u.m., ¿ cuál es el punto de equilibrio?
b) Si el precio de venta se incrementa a 8,5u.m., ¿ cuál
es el nuevo punto de equilibrio?
c) Si se sabe que cierto día se venderán 200 sillas,
¿ qué precio como mínimo deberá fijarse con la finalidad de
garantizar que no haya pérdidas?
Rpta a) 160 sillas; b) 80 sillas; c) 5,5 u.m.

20. Cuando cierta empresa fabrica 5 000 artículos, los costos
totales son de $150 000, los costos fijos de producción
de esta empresa son de $35 000 y el precio de venta de
dicho artículo es 30% más que el costo unitario de
producción. Determine:
a) La ecuación de costo total.
b) La ecuación de Ingreso.
10
c) El número de unidades que se debe producir y vender para
obtener una utilidad del 20% del costo total
Rpta a) C = 23q+35000 b) I =29,9q c) Aprox. 18261 unidades

21. 11.
Un empresario se dedica a la producción y venta de
maletines. Sus costos fijos son de 2ab soles por mes, siendo
su costo variable de 0,5b soles por unidad. El empresario
debe producir y vender 8a unidades para alcanzar el
equilibrio. Encuentre el precio de venta en términos de a y
b.
Rpta 0,75b soles

22. Una empresa ha determinado que su producto A tiene costos
fijos de producción de $23 000 y costos variables de $12 por
unidad; de otro lado, los costos fijos de su producto B
ascienden a $15 000 y se sabe que la fabricación de 100
unidades de este último tiene un costo total de $17 000.
12.
Si la empresa decide producir el doble de unidades de A que
de B, ¿cuántas unidades de A deberá producir para que el
costo de este represente el 125% del costo del otro
producto? Rpta 8500 unidades