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Formulaire de thermodynamique


                                20 novembre 2009


1     Constantes
    R Constante des gaz parfaits R = 8, 314J.mol−1 .K −1
    NA Nombre d’Avogradro NA = 6, 0231023 mol´cules
                                                e
    G Constante gravitationnelle
    h : constante de Plank
    c : vitesse de la lumi`re
                          e
    k ou kB : constante de Boltzmann


2     Grandeurs
    Variables thermodynamiques : p, V , T
    Fonctions d’´tat : U , H, F et G
                e
    Grandeurs extensives (d´pendent de la quantit´ de mati`re) : m, V , U , H, F , G
                             e                   e         e
    Grandeurs intensives (ind´pendantes de la quantit´ de mati`re) : p, T
                               e                     e        e

2.1    Unit´s
           e
    1 bar = 105 Pa et 10bar = 1MPa
    1Pa = 1N.m−2
    1 cal = 4, 815J
    0◦ C = 273, 15K
    1 atm = 1, 01 bar


3     Formules de base
3.1    Premier principe de la thermodynamique
    Syst`me ferm´ :
        e       e


                                  ∆U = Q + W
                                dU = dQ + dW

    Syst`me ouvert :
        e

                            ∆U + ∆Ec + ∆Ep = W + Q

3.2    Pression

                                              F
                                       p=
                                              S

3.3    Travail

                                     dW = F dl
    W en J, F en N, l en m.


                                          1
3.4    Puissance

                                                 dU
                                          P =
                                                 dT

4     Chaleur
4.1    Chaleur sensible

                                         dQ = mcdT
c la chaleur massique en cal.g-1.◦ C-1

4.2    Chaleur latente

                                          Q = mL
L la chaleur latente de vaporisation en cal.kg-1

4.3    Formules de Clapeyron


                                dQ = mcv dT + ldV
                                dQ = mcp dT + hdp

    cv = chaleur massique ` volume constant
                          a
    cp = chaleur massique ` pression constante
                          a

4.4    Coefficients de Clapeyron
    l=p
    h = −V

4.5    Relation de Mayer

                                             ∂U           ∂H
                             cp − cv = T
                                             ∂T       v   ∂T   p


4.6    Chaleurs molaires
    cmassique telle que Q = mcmassique (Tf − Ti )
    cmolaire telle que Q = ncmolaire (Tf − Ti )


                                  dQ = ncv dT + ldV
                              dQ = ncp dT + h(n)dp

    D´finition des chaleurs molaires (d´riv´es partielles) :
     e                                e e


                                            ∂U
                                   cv =
                                            ∂T    v
                                            ∂H
                                   cp =
                                            ∂T    p




                                             2
5     ´
      Energie interne
5.1     Vitesse moyenne de l’agitation d’une mol´cule monoato-
                                                e
        mique

                                    1       3
                                      mv 2 = kT
                                    2       2
    m la masse de la mol´cule, T la temp´rature en K, k la constante de Boltzmann
                        e                 e


6     Transformations
    Dans le cas d’une compression, le travail peut ˆtre trouv´ de la fa¸on suivante
                                                   e         e         c
(force de pouss´e) :
               e


                                   dW = −pdV
                                             2
                                  W =            −pdV
                                         1


6.1     Enthalpie

                                    H = U + pV
    D’o` le premier principe :
       u


                                    W = Wtrans + Wtech
                        ∆H + ∆Ec + ∆Ep = Q + Wtech

6.2     Entropie (unit´s : J.K−1 )
                      e
    R´versible :
     e
                                                 dQrev
                                    dS =
                                                   T
    Irr´versible :
       e
                                        dQrev
                                 dS =         + dSirrev
                                          T

6.3     Identit´ thermodynamique
               e
    Dans syst`me ferm´ :
             e       e

                                  dU = T dS − pdV
    De mˆme :
        e

                                  dH = T dS + V dp


7     Cycles thermodynamiques
7.1     Rendement

                                             Erecup
                                    η=
                                             Efournie
    Pour un cycle de Carnot (Q1 la chaleur fournie au syst`me, et Q2 la source froide
                                                          e
se prenant de l’´nergie au syst`me).
                e              e



                                                 3
W      W
                                       η==−
                                     Q1     Q1
                               Q1 + Q2      Q2
                            η=         =1+
                                 Q1         Q1
                                            T2
                                      η =1−
                                            T1

8     Gaz parfait


                                         pV = nRT
                       nRT     N RT   N R
                    p=      =       =      T = nkT
                                               ¯
                        V     NA V    V NA
                         nRT    m RT   mR
                     p=       =      =     T = ρrT
                          V     M V    V M
Avec p la pression en Pa, V le volume en m3, T la temp´rature en K, n le nombre
                                                         e
de moles, R la constante des gaz parfaits (R = 8, 314 J.mol−1 .K−1 ), N le nombre
de mol´cules, n la densit´ volumique de ces mol´cules, ρ la masse volumique et r la
      e       ¯          e                       e
constante des gaz parfaits pour un gaz particulier.

8.1    Loi de Dalton

                              (p1 + p2 )V = (n1 + n2 )RT

8.2    Loi de Van der Waals
                                           a
                              p + n2          (V − nb) = nRT
                                           V2

8.3    ´
       Energie interne
    Mol´cule monoatomique : U = 3 kNA T = 3 RT
       e                          2        2
    Mol´cule diatomique : U = 5 kNA T = 5 RT
       e                      2         2


8.4    Lois de Joule d’un gaz parfait
    U ne d´pend que de la temp´rature pour un gaz parfait : U = U (T )
          e                   e
    H ne d´pend que de la temp´rature pour un gaz parfait : H = H(T )
          e                   e

8.5    Chaleurs molaires d’un gaz parfait


                         ∂U            3
                  cv =             =     R           gaz monoatomique
                         ∂T    v       2
                              ∂U               5
                     cv =                  =     R      gaz diatomique
                              ∂T       v       2
                                                       ∂H
                                               cp =             = cv + R
                                                       ∂T   p


8.6    Relation de Mayer
    cp − cv = R




                                                 4
8.7     Transformations r´versibles d’un gaz parfait
                         e
8.7.1   Isotherme



                              dT = 0; dU = 0; dH = 0
                     dQ = ldV = pdV = hdp = −V dp

8.7.2   Isochore



                              dV = 0; dW = 0
                             dQ = dU = cv dT
                                  dH = cp dT

8.7.3   Isobare r´versible
                 e



                                       dp = 0
                                 dW = −pdV
                             dH = dQ = cp dT
                                   dU = cv dT

8.7.4   Adiabatique r´versible
                     e



                              dQ = 0; dS = 0;
                             dW = dU = −pdV

8.7.5   Lois de Laplace (transformation adiabatique r´versible ou isentro-
                                                     e
        pique)
   Coefficient de Laplace :

                                      cp
                                 γ=
                                      cv
   Lois :


                                 cp − cv = R
                              T V γ−1 = cste
                              T γ p1−γ = cste
                                  pV γ = cste




                                       5

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Formulaire de thermodynamique

  • 1. Formulaire de thermodynamique 20 novembre 2009 1 Constantes R Constante des gaz parfaits R = 8, 314J.mol−1 .K −1 NA Nombre d’Avogradro NA = 6, 0231023 mol´cules e G Constante gravitationnelle h : constante de Plank c : vitesse de la lumi`re e k ou kB : constante de Boltzmann 2 Grandeurs Variables thermodynamiques : p, V , T Fonctions d’´tat : U , H, F et G e Grandeurs extensives (d´pendent de la quantit´ de mati`re) : m, V , U , H, F , G e e e Grandeurs intensives (ind´pendantes de la quantit´ de mati`re) : p, T e e e 2.1 Unit´s e 1 bar = 105 Pa et 10bar = 1MPa 1Pa = 1N.m−2 1 cal = 4, 815J 0◦ C = 273, 15K 1 atm = 1, 01 bar 3 Formules de base 3.1 Premier principe de la thermodynamique Syst`me ferm´ : e e ∆U = Q + W dU = dQ + dW Syst`me ouvert : e ∆U + ∆Ec + ∆Ep = W + Q 3.2 Pression F p= S 3.3 Travail dW = F dl W en J, F en N, l en m. 1
  • 2. 3.4 Puissance dU P = dT 4 Chaleur 4.1 Chaleur sensible dQ = mcdT c la chaleur massique en cal.g-1.◦ C-1 4.2 Chaleur latente Q = mL L la chaleur latente de vaporisation en cal.kg-1 4.3 Formules de Clapeyron dQ = mcv dT + ldV dQ = mcp dT + hdp cv = chaleur massique ` volume constant a cp = chaleur massique ` pression constante a 4.4 Coefficients de Clapeyron l=p h = −V 4.5 Relation de Mayer ∂U ∂H cp − cv = T ∂T v ∂T p 4.6 Chaleurs molaires cmassique telle que Q = mcmassique (Tf − Ti ) cmolaire telle que Q = ncmolaire (Tf − Ti ) dQ = ncv dT + ldV dQ = ncp dT + h(n)dp D´finition des chaleurs molaires (d´riv´es partielles) : e e e ∂U cv = ∂T v ∂H cp = ∂T p 2
  • 3. 5 ´ Energie interne 5.1 Vitesse moyenne de l’agitation d’une mol´cule monoato- e mique 1 3 mv 2 = kT 2 2 m la masse de la mol´cule, T la temp´rature en K, k la constante de Boltzmann e e 6 Transformations Dans le cas d’une compression, le travail peut ˆtre trouv´ de la fa¸on suivante e e c (force de pouss´e) : e dW = −pdV 2 W = −pdV 1 6.1 Enthalpie H = U + pV D’o` le premier principe : u W = Wtrans + Wtech ∆H + ∆Ec + ∆Ep = Q + Wtech 6.2 Entropie (unit´s : J.K−1 ) e R´versible : e dQrev dS = T Irr´versible : e dQrev dS = + dSirrev T 6.3 Identit´ thermodynamique e Dans syst`me ferm´ : e e dU = T dS − pdV De mˆme : e dH = T dS + V dp 7 Cycles thermodynamiques 7.1 Rendement Erecup η= Efournie Pour un cycle de Carnot (Q1 la chaleur fournie au syst`me, et Q2 la source froide e se prenant de l’´nergie au syst`me). e e 3
  • 4. W W η==− Q1 Q1 Q1 + Q2 Q2 η= =1+ Q1 Q1 T2 η =1− T1 8 Gaz parfait pV = nRT nRT N RT N R p= = = T = nkT ¯ V NA V V NA nRT m RT mR p= = = T = ρrT V M V V M Avec p la pression en Pa, V le volume en m3, T la temp´rature en K, n le nombre e de moles, R la constante des gaz parfaits (R = 8, 314 J.mol−1 .K−1 ), N le nombre de mol´cules, n la densit´ volumique de ces mol´cules, ρ la masse volumique et r la e ¯ e e constante des gaz parfaits pour un gaz particulier. 8.1 Loi de Dalton (p1 + p2 )V = (n1 + n2 )RT 8.2 Loi de Van der Waals a p + n2 (V − nb) = nRT V2 8.3 ´ Energie interne Mol´cule monoatomique : U = 3 kNA T = 3 RT e 2 2 Mol´cule diatomique : U = 5 kNA T = 5 RT e 2 2 8.4 Lois de Joule d’un gaz parfait U ne d´pend que de la temp´rature pour un gaz parfait : U = U (T ) e e H ne d´pend que de la temp´rature pour un gaz parfait : H = H(T ) e e 8.5 Chaleurs molaires d’un gaz parfait ∂U 3 cv = = R gaz monoatomique ∂T v 2 ∂U 5 cv = = R gaz diatomique ∂T v 2 ∂H cp = = cv + R ∂T p 8.6 Relation de Mayer cp − cv = R 4
  • 5. 8.7 Transformations r´versibles d’un gaz parfait e 8.7.1 Isotherme dT = 0; dU = 0; dH = 0 dQ = ldV = pdV = hdp = −V dp 8.7.2 Isochore dV = 0; dW = 0 dQ = dU = cv dT dH = cp dT 8.7.3 Isobare r´versible e dp = 0 dW = −pdV dH = dQ = cp dT dU = cv dT 8.7.4 Adiabatique r´versible e dQ = 0; dS = 0; dW = dU = −pdV 8.7.5 Lois de Laplace (transformation adiabatique r´versible ou isentro- e pique) Coefficient de Laplace : cp γ= cv Lois : cp − cv = R T V γ−1 = cste T γ p1−γ = cste pV γ = cste 5