Rappels stats-2014-part2

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Rappels stats-2014-part2

  1. 1. Arthur CHARPENTIER - Rappels de probabilites statistiques Probabilites statistiques quelques brefs rappels # 2 Arthur Charpentier, 2014 http ://freakonometrics.hypotheses.org/category/courses/m1-statistique 1
  2. 2. Arthur CHARPENTIER - Rappels de probabilites statistiques Plan du cours Introduction, la modelation statistique Rappels de probabilite Fonctions usuelles, P, F, f, E, Var Lois uselles, discetes et continues Conditionnement, esperance conditionnelle et melanges Convergence, approximations et theoremes limites Loi(s) des grands nombres Theoreme central limite Rappels de statistique (mathematique) De la statistique descriptive a la statistique mathematique Echantillonnage, moyenne et variance Intervalle de con
  3. 3. ance Introduction aux tests 2
  4. 4. Arthur CHARPENTIER - Rappels de probabilites statistiques L'estimateur comme variable aleatoire En statistique descriptive, on construit des estimateurs comme des fonctions des valeurs de l'echantillon, fx1; ; xng, e.g. xn = x1 + + xn n En statistique mathematique, on suppose que xi = Xi(!), i.e. la realisation d'un variable aleatoire sous-jacente Xn = X1 + + Xn n X1,..., Xn etant des variables aleatoires, Xn devient une variable aleatoire. Exemple : supposons que nous disposons d'un echantillon de n = 20 valeurs tirees suivant une loi uniforme sur [0; 1]. 3
  5. 5. Arthur CHARPENTIER - Rappels de probabilites statistiques Distribution de la moyenne d'un échantillon U([0,1]) Fréquence 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 50 100 150 200 250 300 0.457675 l Figure 1 { Distribution de la moyenne de fX1; ;X10g, Xi U([0; 1]). 4
  6. 6. Arthur CHARPENTIER - Rappels de probabilites statistiques Distribution de la moyenne d'un échantillon U([0,1]) Fréquence 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 50 100 150 200 250 300 0.567145 l l l l l l l ll l l l l l l l ll l l l l l l l l l l l l l l l l l l l ll l l l l l ll l l l l l l l l l l l l ll l lll l l l l l l l l ll ll l l ll l l l ll l l l l l lll ll ll l l ll l l l l l lll l ll l ll ll ll ll l l l l l lll ll l l ll ll l l ll l l l l ll ll l l ll l ll l l l l ll lll l l l l l ll l l l l ll l lll lll ll ll l l Figure 2 { Distribution de la moyenne de fX1; ;X10g, Xi U([0; 1]). 5
  7. 7. Arthur CHARPENTIER - Rappels de probabilites statistiques L'estimateur comme variable aleatoire Si l'echantillon change, l'estimateur n'est pas le m^eme. Constituons 1000 echantillons de maniere aleatoire. En moyenne, l'estimateur vaut 1=2. Aussi, la moyenne empirique est un estimateur sans biais de 1=2, l'esperance mathematique de la loi uniforme sur [0; 1]. Cet estimateur a une variance, et aussi une loi (en l'occurence une densite). Ici, la moyenne empirique suit (presque) une loi normale. On distingera toutefois les comportements a distance
  8. 8. nie (n
  9. 9. xe) et asymptotique (theoremes limites - loi des grands nombres et theoreme central limite - obtenus lorsque n ! 1). 6
  10. 10. Arthur CHARPENTIER - Rappels de probabilites statistiques Petites proprietes preliminaires Soit x = (x1; ; xn) 2 Rn. Posons x = x1 + + xn n . Alors, min m2R ( Xn i=1 [xi

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