Este documento presenta una introducción a los métodos numéricos. Explica que los métodos numéricos permiten resolver problemas matemáticos usando operaciones aritméticas. También describe la importancia de los métodos numéricos, como herramientas poderosas para resolver problemas y aprender programación. Finalmente, introduce conceptos clave como algoritmos, tipos de datos, expresiones, asignaciones y errores.

1. INGENIERIA MECANICA ELECTRICA
( UNA )
Métodos Numéricos
Capítulo I
MODELOS MATEMATICOS Y
ERRORES
Ing. Julio Fredy Chura AceroSemestre 2018-I

2. Objetivo: Adquirir una noción fundamental de la importancia del papel que
desempeñan los métodos numéricos. También conocerá y aplicara
conceptos de lenguajes de programación.
INTRODUCCCION
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible
formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse
usando operaciones aritméticas.
Ya que antes los ingenieros solo contaban con ciertos métodos, por ejemplo
usaban métodos analíticos pero solo con estos pueden encontrarse una
clase limitada de problemas. Además se usaban soluciones graficas
limitadas solo a 3 dimensiones o menos. Y se utilizan calculadoras donde
aun así que son adecuadas los cálculos manuales son lentos y tediosos;
resultando equivocaciones.

3. Hoy en día al usar la computadora para obtener soluciones se pueden
aproximar los cálculos sin tener que recurrir a técnicas lentas, aunque las
soluciones analíticas son muy valiosas ya que proporcionan una mayor
comprensión.
IMPORTANCIA DE LOS METODOS NUMERICOS
1. Los métodos numéricos son herramientas poderosas para la solución
de problemas, aumentando la habilidad de quien los estudia para
resolver problemas.
2. En el transcurso de la carrera se usaran software disponibles
comercialmente. Pero el uso inteligente de estos depende del
conocimiento de la teoría básica de cada uno de ellos.
3. Hay problemas que no se pueden plantear con software comerciales,
entonces si conoces los métodos y la programación tendrán la
capacidad de diseñar sus propios programas.

4. IMPORTANCIA DE LOS METODOS NUMERICOS (continúa.)
4. Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender a
servirse de las computadoras. Ya que un camino para aprender
programación es escribir programas de computadora, y así implementaran
los métodos numéricos para resolver problemas difíciles. Y demostrara
como la computadora sirven para su desarrollo profesional.
5. Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las
matemáticas. Esta alternativa aumenta su capacidad de comprensión y
entendimiento en la materia.

5. ALGORITMOS
Las técnicas numéricas se acompañan por material relacionado con su
implementación efectiva en computadoras. Se proporcionan algoritmos en
métodos.
Un algoritmo es un método para resolver un problema.
Es la secuencia de pasos lógicos necesarios para llevar a cabo una tarea
especifica, como la resolución de un problema.
Resolución de un problema
Problema
Diseño del
algoritmo
Programa de
computadora

6. Los pasos para la resolución de un problema son:
1. Diseño del algoritmo que describe la secuencia ordenada de pasos.
2. Expresar el algoritmo con un programa en un lenguaje de
programación adecuado.
3. Ejecución y validación del programa por la computadora.
Los algoritmos son independientes tanto del lenguaje de
programación en que se expresen como de la computadora que los
ejecute. En cada algoritmo se puede expresar diferente pero deberá
tener el mismo resultado.
También los algoritmos son particularmente útiles en el caso de
problemas sencillos o para especificar las tareas de una larga
programación.

7. Ejemplo 1: Un cliente ejecuta un pedido a una fabrica. La fabrica examina en
su banco de datos la ficha del cliente, si el cliente es solvente entonces la
empresa acepta el pedido; en caso contrario, rechazara el pedido. Redactar
el algoritmo correspondiente.
1- Inicio
2- Leer el pedido.
3- Examinar la ficha del cliente.
4- Si el cliente es solvente, aceptar pedido; en caso contrario, rechazar
pedido.
5- Fin.

8. 1.3 TIPOS DE DATOS
Un dato es la expresión general que describe los objetos con los cuales
opera una computadora. Los datos se clasifican en: simples (sin
estructura) y compuestos (estructurados)
DATOS
Simples
Compuestos
•Numéricos (integer, real),
•Lógicos (boolean),
•Carácter(char, string).
•Estáticos
•dinámicos
•Array, registro archivo,
conjunto, cadena.
•Lista, lista enlazada, árbol,
grafo.

9. SE verán los datos simples:
DATOS NUMERICOS. Es el conjunto de valores numéricos.
Se pueden presentar en:
•Tipo numérico entero (integer).
•Tipo numérico real (real)
Enteros: es un subconjunto finito de los números enteros. (5,6,4,20,1340,etc)
Se denominan en ocasiones números de punto o coma fija.
Reales: es un subconjunto de los números reales. Siempre tienen un punto
decimal y pueden ser negativos o positivos. Consta de una parte entera y una
decimal.
Y se pueden representar con notación exponencial. En donde la mantisa
(parte decimal) al numero real y el exponente (parte potencial) el de la
potencia de 10.
mantisa 36.75201
exponente 18
18
36.75201 10x

10. DATOS LOGICOS(BOOLEANOS):
El tipo lógico, es aquel dato que solo puede tomar uno de dos valores:
CIERTO O VERDADERO (true) y FALSO (false).
DATOS TIPO CARÁCTER Y TIPO CADENA
El tipo carácter es el conjunto finito y ordenado de caracteres que la
computadora reconoce. Un dato tipo carácter contiene un solo carácter.
Ejemplos:
•Caracteres alfabéticos ( A,B,C,D,E) (a,b,c,d,e)
•Caracteres numéricos (1,2,3,5,6)
•Caracteres especiales ( +,-,*,/,;, <,>, $......)
Una cadena(string) de caracteres es una sucesión de caracteres que se
encuentran delimitados por una comilla o dobles comillas, según el tipo
de lenguaje de programación.
La longitud de una cadena de caracteres es el número de ellos
comprendidos entre los separadores o limitadores. Ejemplo:
‘Hola Mortimer’
‘8 de octubre de 1980’

11. CONSTANTES Y VARIABLES
Constantes: es una partida de datos que permanecen sin cambios durante todo el
desarrollo de un algoritmo o durante la ejecución de un programa.
Variable: en una partida de datos que puede cambiar durante el desarrollo del
algoritmo o ejecución del programa. (enteras, reales, carácter, lógicas y de
cadena).
EXPRESIONES ARITMETICAS
Operadores Operador
Matlab
Significado
-.^, ** ^ Exponenciación
+ + Suma
- - Resta
* / *, / Multiplic. Y
división
div División entera
mod Modulo resto

12. Reglas de prioridad:
1. Paréntesis, primero los mas internos.
2. Exponenciación de izquierda a derecha
3. Multiplicación y división, e izquierda a derecha.
4. Suma y resta de izquierda a derecha.
Ejemplos:
3+6*14 = 3+84 = 87
8+7*3+4*6 = 8+ 21 + 24 = 53
-4*7+2^ 3 / 4 – 5 = -28 + 8/4 – 5 = -28 + 2 – 5 = -31
Expresar axb = a*b
5.(x+y) = 5* (x+y)
a²+b² = a^2+b^2

13. OPERADORES RELACIONALES
OPERADORES LOGICOS
Operador Matlab Significado
< < Menor que
> > Mayor que
= == Igual que
<= <= Menor o igual que
>= >= Mayor o igual que
<> ~ = No igual
operador Símbolos matlab Significado
no(not) ~ Negación
y (and) & Conjunción
o (or) / Disyunción

14. SENTENCIAS DE ASIGNACION, LECTURA Y SALIDA.
La sentencia de asignación es el modo de darle valores a una variable. Se
representa con el símbolo de . Puede cambiar el símbolo de acuerdo a cada
lenguaje. Pero se vera para redactar un logaritmo en sencillos programas.
A 5 significa que la variable A se le asignado el valor 5.
La acción de asignar es destructiva, ya que el valor que tuviera antes de la
asignación se pierde y se reemplaza por el nuevo valor. Ejemplo:
A 25
A 134
A 5
Cuando se ejecutan el valor ultimo que toma A será 5.

15. TIPOS DE EXPRESIONES DE ACCIONES DE ASIGNACION
Asignación aritmética
3 14 8
1 14.5 8
2 0.75*3.4
1/ 2
AMN
TER
TER
COCIENTE TER TER
  
 


AMN tomara el valor de 25
COCIENTE es (14.5+8)/(0.75*3.4)
Asignación lógica
Supóngase que M,N Y P son variables tipo lógico.
Asignación de cadena
La expresión que se evalúa es: x ´12 de octubre de 1980´ Esta asigna a x
el valor 12 de octubre de 1980.
8 5
(7 12)
7 6
M
N Mo
P
 
 
 
Al evaluar las operaciones, las
variables tomaran los valores:
falso, verdadero, verdadero.

16. En las asignaciones no se pueden asignar valores a una variable de un tipo
diferente del suyo. Se presentara un error si se trata de asignar valores de tipo
carácter a una variable numérica o un valor numérico a una variable tipo
carácter.
ASIGNACION DE LECTURA Y SALIDA.
La operación de entrada permiten leer determinados valores y asignarlos a
determinadas variables. Esta entrada se conoce como de lectura (read). La
operación de salida se denomina escritura (write).
Ejemplo :
LEER (A,B,C)
Representa la lectura de 3 valores de entrada a las variables A, B Y C.
ESCRIBIR (´hola ingenieros´)
Visualiza en pantalla el mensaje hola ingenieros.

17. SENTENCIAS DE SELECCIÓN Y REPETICION
Instrucción de selección: Permiten que la selección de tareas alternativas en
función de los resultados de diferentes expresiones condicionales. Nos
permiten hacer una pregunta o probar una condición para determinar que
pasos se ejecutaran a continuación.
si no
condición
Acción F2Acción F1
FORMA GENERAL DE LA
INSTRUCCIÓN IF:
If expresión lógica
instrucciones
end

18. SENTENCIAS DE SELECCIÓN Y REPETICION
Instrucción de repetición: Instrucciones que permiten la repetición de
secuencias de instrucciones de un numero determinado o indeterminado de
veces.
Acciones
condición
falsa
verdadera

19. ARREGLOS
Un arreglo(matriz o vector) es un conjunto finito y ordenado de elementos
homogeneos, es decir del mismo tipo de datos. El subindice de un elemntos
desinga su posicion en la ordenacion del vector. El numero de elementos de un
vector se denomina rango del vector.
Ejemplo: Consideremos un vector x de ocho elementos
Operaciones basicas con vectores.
X[1] X[2] X[3] X[4] X[5] X[6] X[7] X[8]
14.0 12.0 8.0 7.0 6.41 5.23 6.15 7.25
Acciones Resultados
Escribir (X[1]) Visualiza el valor de X[1] O 14.0
X[4] = 45 Almacena el valor 45 en X[4]
SUMA = X[1] + X[3] Almacena en suma 22.0.
SUMA= SUMA + X[4] Añade en la variable suma el valor
67.0
X[5] = X[5] + 3.5 Suma 3.5 a 6.41 es X[5] igual a 9.91
X[6] = X[1] + X[2] Almacena la suma en x[6] el valor 26

20. Arreglos con Matlab.
Ejemplo:
A= [2 5 6] B= [2 3 5]
Multiplicacion seria:
C= A.*B;
C= [4 15 30 ]
Operación Forma
alegebraica
Matlab
Suma a+b a + b
Resta a-b a – b
Multiplicacion a x b a.*b
Division a/b a./b
ezponenciacion aⁿ a.^n

21. Tambien Matlab se aplica con matrices con filas y columnas:
D= [1:5; - 1: - 1;-5];
P= D-*5
Q= D.^3;
D= [ 1 2 3 4 5]
[ -1 -2 -3 -4 -5]
P= [ 5 10 15 20 25]
[-5 -10 -15 -20 -25]
Q= [ 1 8 27 64 125]
[-1 -8 -27 -64 -125]

22. ERRORES
Entender el concepto de error es importante para usar en forma efectiva los
métodos numéricos. Los estudiantes y pasantes de ingeniería luchan para
limitar este tipo de errores en su trabajo porque pueden resultar costosos y
catastróficos en algunas ocasiones.
Entonces debemos resolver problemas con aproximaciones o estimar los
errores.
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar
observando su exactitud y precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano
esta el valor calculado con el verdadero. Y la precisión que tan cercano esta un
valor individual medico con respecto a otros.
Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos para que
cumplan con los requisitos de un problema de ingeniería.

23. Antes de ver los tipos de errores, veremos el concepto de cifras significativas
que son aquellas que pueden sr usadas en forma confiable.
Por ejemplo, los números 0.00001845 y 0.001845 tienen cuatro cifras
significativas.
El concepto de cifras significativas tienen dos implicaciones en el estudio de
métodos numéricos.
1. Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Se debe
desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados
obtenidos. Una manera de hacerlos es con las cifras significativas.
2. Ciertas cantidades como π, √7, ͤ , representan números específicos, no se
pueden expresar con un numero finito de dígitos. Por ejemplo:
π = 3.141592653589793238462643………
hasta el infinito. Debido a que las computadoras retienen un numero finito
de cifras significativas, tales números jamás se podrán representar con
exactitud.

24. Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar
observando su exactitud y precisión.
•EXACTITUD: se refiere a que tan cercano esta el valor calculado o medido
con el valor verdadero.
•PRECISION: se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido o
calculado con respecto a otros.
Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos para que
cumplan los requisitos de un problema particular.
La exactitud se refiere a que tan cercano esta el valor calculado o medido del valor
verdadero.
La precisión se refiere a que tan cercanos se encuentran, unos de otros, diversos
valores calculados o medidos.

25. Aumenta la exactitud
Aumentalaprecisión
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar
observando su exactitud y precisión.
•EXACTITUD: se refiere a que tan cercano esta el valor calculado o medido
con el valor verdadero.
•PRECISION: se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido o
calculado con respecto a otros.
Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos para que
cumplan los requisitos de un problema particular.

26. Definiciones de Error
Los errores numéricos general con el uso de aproximaciones para representar las
operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen errores de truncamiento
que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático
exacto, y los errores de redondeo que se producen cuando los números tienen un
limite de cifras significativas que se usan para representar números exactos.
Para los dos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el
aproximado esta dada por:
VALOR VERDADERO = APROXIMACION + ERROR
Eͭ (valor exacto del error) = VALOR VERDADERO – APROXIMACION
Para señalar un error relativo porcentual verdadero se expresa como:
E ͮ = VALOR VERDADERO - AROXIMACION 100%
VALOR VERDADERO

27. Ejemplo de calculo de errores:
Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un
remache, obteniéndose 9,999 y 9 cm respectivamente. Si los valores
verdaderos son 10,000 y 10 cm, calcúlese:
a) El error
b) El error verdadero (relativo porcentual)
Solución:
a) E = VALOR VERDADERO – APROXIMACION
Medición del puente Eͭ = 10,000 – 9,999 = 1 cm
Medición del remache Eͭ = 10 – 9 = 1 cm
b) Eͮ = valor verdadero - aproximación 100%
valor verdadero
Error para el puente
= 0.01%
= 10%
1
*100%
10000
1
*100%
10
Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen
un error de 1 cm, el error relativo porcentual
del remache es mucho mas grande. Se puede
concluir que se ha hecho un buen trabajo en
la medición del puente, mientras que la
estimación para el remache deja mucho que
desear.

28. 2. Calcule los dos tipos de errores en las aproximaciones siguiente donde
las primeras cantidades son los valores exactos y los segundas son las
aproximaciones.
a) p= π , q = 22/7
b) m = π, n = 3.1416
c) a= ͤ , b= 2.718
a) E= valor verdadero – aproximación
E= 3.141592654 – 3.142857143 = 0.00126448925 = 1.26448925x
Eͮ = valor verdadero – aproximación / valor verdadero *100%
= 3.141592654 – 3.142857143 / 3.141592654 *100% = 0.040249%
b) E= 3.141592654 – 3.1416 = 0.0000073464
Ev = 0.0000073464 / 3.141592654 * 100% = 0.000233843%
c) E= 2.718281828 – 2.718 = 0.00028182845
Ev= 0.00028182845 / 2.718281828 *100% = 0.010367889%
3
10

29. Ejemplo Supóngase que x= 5/7 y y= 1/3, y que se usa el truncamiento a 5
cifras para los cálculos aritméticos donde intervienen x y y. f1(x) =
0.71428 x10° y f1(y)= 0.33333x10°.
Operación Resultado Valor real Error
absoluto
Error
relativo
x+y 0.10476x10¹ 22/21
x-y 0.38095x10° 8/21
x*y 0.23809x10° 5/21
y/x 0.21428x10¹ 15/7
4
0.190 10x 
5
0.238 10x 
5
0.524 10x 
4
0.571 10x 
4
5
4
4
0.182 10
0.625 10
0.220 10
0.267 10
x
x
x
x




30. En matemáticas, a menudo se pueden representar las funciones mediante
una serie infinita. Por ejemplo la función exponencial se puede calcular
usando:
Mientras mas términos se agreguen a la serie, la aproximación se acercara
mas al valor de . A esta ecuación se le llama expansión en series de
Maclaurin.
2 3 4
1 ......
2! 3! 4!
x x xxe x     
xe
Estimación del error por métodos iterativos.

31. Ejercicio: Estimar el valor de , Después de que se agregue cada termino,
calcúlese los errores relativos porcentuales real y aproximado. El valor real de
= 1.648721271. Agréguense términos hasta que el valor absoluto del error
aproximado ϵa sea menor al criterio preestablecido ϵs, que contempla 3 cifras
significativas.
0.5e
0.5e

32. SOLUCION:
Se puede emplear la ecuación Es = (0.5 x ) % , para determinar el criterio de
error que asegura un resultado correcto en al menos 3 cifras.
ϵs = = 0.05%
Se agregaran términos a la serie hasta que Ea sea menor que 0.05%.
para x= 0.5
= 1 + 0.5 = 1.5 Esto representa el error relativo verdadero porcentual
ϵͭ = (1.648721271 – 1.5 / 1.648721271) *100% = 9.02%
Determinar una estimación aprox. Del error dada por:
Ea = (1.5 - 1 / 1.5) *100% = 33.3%
Como ϵa < ϵs no se cumple, los cálculos continúan hasta que se cumpla.
2
10 n
2 3
(0.5 10 )%x 
0.5
e
Términos Resultado ϵͭ ϵa
1 1 39.3
2 1.5 9.02 33.3
3 1.625 1.44 7.69
4 1.45833333 0.175 1.27
5 1.648437500 0.0172 0.158
6 1.648697917 0.00142 0.0158
Después de 6 términos se
cumple la condición. Al
agregan mas cifras
significativas se acerca
mas al resultado deseado.

33. Son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un
procedimiento matemático exacto. Para esto se hace uso de la serie de Taylor la
cual da una formulación para predecir el valor de una función x+i, en términos
de la función y sus derivadas alrededor del punto xi.
La noción de error de truncamiento se refiere normalmente a los errores que se
producen cuando una expresión matemática complicada se “reemplaza” por una
fórmula más simple. Esta terminología se originó en la sustitución de una
función por uno de sus polinomios de Taylor. Por ejemplo, podríamos
reemplazar la serie de Taylor
Errores de Truncamiento

35. Errores de Redondeo
Se originan debido a que la computadora puede guardar un numero fijo de cifras
significativas durante el calculo. Porque estas usan representación en base dos y no
pueden representar numero exactos en base diez.
Regla de redondeo:
Se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El ultimo digito que se
conserva se aumenta en uno si el primer digito descartado es mayor de 5. De otra
manera se deja igual. Si el primer digito es 5 entonces el ultimo digito retenido se
incrementa el 1, solo si es impar.