Les équations différentielles
Outils de résolution des équations linéaires du premier ordre
Christophe Palermo
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Recherche de la solution générale
Exemple du circuit RC série
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Outils et linéarite
Au premier ordre, deux possibilités :
L’équation n’est pas linéaire exemple : ˙y − 3ty2
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Recherche de la solution générale
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EDL1 homogène
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Solution générale d’une EDL1 homogène
Pour des coeffici...
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Solution générale d’une EDL1 homogène
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Un exemple physique : circuit RC série
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Analyse de l’énoncé
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Circuit RC série forcé par une tension E = ...
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La solution génér...
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Une astuce ! ?
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Une astuce ! ?
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Equation homogène associée
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Recherche de yP
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La méthode du tableau
Forme de p(t) Forme yP
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Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série
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La méthode de Lagrange
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La méthode de Lagrange Principe
La méthode de Lagrange
Aussi appelée méthode de variation de la constante.
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Retour sur l’exemple # 1
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u =
3
τ
(I)
avec τ = RC = 2 s.
On a u...
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˙u +
1
τ
u =
3
τ
cos(4t) (I)
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Equations différentielles, DUT MP, CM3

  1. 1. Les équations différentielles Outils de résolution des équations linéaires du premier ordre Christophe Palermo IUT de Montpellier Département Mesures Physiques & Institut d’Electronique du Sud Université Montpellier 2 Web : http://palermo.wordpress.com e-mail : cpalermo@um2.fr twitter: @chr_palermo Cours du 30 novembre 2010 MONTPELLIER
  2. 2. Plan 1 Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale Exemple du circuit RC série 2 Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes Recherche d’une solution particulière Exemple du circuit RC série 3 La méthode de Lagrange Principe Exemple du circuit RC série IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 2
  3. 3. Outils et linéarite Au premier ordre, deux possibilités : L’équation n’est pas linéaire exemple : ˙y − 3ty2 = 0 L’équation est à variable séparées L’équation n’est pas à variable séparées (substitution, numérique) L’équation est linéaire =⇒ deux questions : est-elle homogène ou inhomogène ? à coefficients constants ou pas ? IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 3
  4. 4. Résolution des équations homogènes Plan 1 Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale Exemple du circuit RC série 2 Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes Recherche d’une solution particulière Exemple du circuit RC série 3 La méthode de Lagrange Principe Exemple du circuit RC série IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 4
  5. 5. Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale EDL1 homogène Equation Différentielle Linéaire du 1er ordre (EDL1) homogène : a(t) · ˙y + b(t) · y = 0 c’est à dire a(t) · dy dt + b(t) · y = 0 En manipulant un peu : dy y = − b(t) a(t) · dt Une EDL1 homogène est à variables séparées ! En intégrant des deux côtés : ln[y(t)] = − b(t) a(t) · dt + B, B ∈ R Ensuite, deux possibilités : a(t) et/ou b(t) sont des fonctions : coefficients variables a(t) = a et b(t) = b sont des constantes : coefficients constants IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 5
  6. 6. Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale Solution générale d’une EDL1 homogène Pour des coefficients variables : on pose − b(t) a(t) · dt = F(t) (pratique : constante d’intégration nulle) donc ln(y) = F(t) + B, B ∈ R et puis exp [ln y(t)] = y(t) = exp [−F(t) + B] = exp(B) · exp[−F(t)] On remplace exp(B) par K ∈ R et donc y(t) = K · exp[−F(t)] , K ∈ R Pour des coefficients constants : plus simple : primitive de −b/a avec const. d’intégration nulle : −bt/a donc − b a · dt = − b a t + B avec B ∈ R On remplace aussi exp(B) par K ∈ R et donc y(t) = K · exp − b a t , K ∈ R IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 6
  7. 7. Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale Solution générale d’une EDL1 homogène Pour des coefficients variables : on pose − b(t) a(t) · dt = F(t) (pratique : constante d’intégration nulle) donc ln(y) = F(t) + B, B ∈ R et puis exp [ln y(t)] = y(t) = exp [−F(t) + B] = exp(B) · exp[−F(t)] On remplace exp(B) par K ∈ R et donc y(t) = K · exp[−F(t)] , K ∈ R Pour des coefficients constants : plus simple : primitive de −b/a avec const. d’intégration nulle : −bt/a donc − b a · dt = − b a t + B avec B ∈ R On remplace aussi exp(B) par K ∈ R et donc y(t) = K · exp − b a t , K ∈ R IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 6
  8. 8. Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série Un exemple physique : circuit RC série u i E uR Exemple Dans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur de capacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur de tension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de 1 kΩ. IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 7
  9. 9. Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série Analyse de l’énoncé Exemple Dans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur de capacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur de tension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de 1 kΩ. Analysons l’énoncé : Pour la mise en équation : L’inconnue à déterminer ? La loi à appliquer ? Le terme perturbateur ? Autres informations utiles ? IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 8
  10. 10. Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série Analyse de l’énoncé Exemple Dans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur de capacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur de tension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de 1 kΩ. Analysons l’énoncé : Pour la mise en équation : L’inconnue à déterminer ? u La loi à appliquer ? Le terme perturbateur ? Autres informations utiles ? IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 8
  11. 11. Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série Analyse de l’énoncé Exemple Dans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur de capacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur de tension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de 1 kΩ. Analysons l’énoncé : Pour la mise en équation : L’inconnue à déterminer ? u La loi à appliquer ? Noeuds et mailles Le terme perturbateur ? Autres informations utiles ? IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 8
  12. 12. Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série Analyse de l’énoncé Exemple Dans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur de capacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur de tension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de 1 kΩ. Analysons l’énoncé : Pour la mise en équation : L’inconnue à déterminer ? u La loi à appliquer ? Noeuds et mailles Le terme perturbateur ? E = 0 V =⇒ équation homogène Autres informations utiles ? La condition initiale : u(0) = 3 V Les valeurs R = 1000 Ω et C = 2 × 10−3 F IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 8
  13. 13. Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série L’équation différentielle u i E uR Le courant i est le même dans tout le circuit Condensateur : Q = Cu =⇒ i = dQ dt = C ˙u Résistance : uR = R · i = RC ˙u Loi des mailles : E = u + uR =⇒ 0 = u + RC ˙u L’équation différentielle : ˙u + u RC = 0 IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 9
  14. 14. Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série Résolution de l’équation différentielle du u = −1 RC · dt (variables séparées et coefficients constantes) Donc ln u = − 1 RC · t + B avec B ∈ R Et finalement u = K · exp −t τ avec K ∈ R avec τ = RC = 1000 Ω · 2 × 10−3 F= 2 s Analyse dimensionnelle : τ est un temps [τ] = [Ω·F] = V A · C V = C A = A · s A = T Expression de la solution générale : infinité de solutions IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 10
  15. 15. Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série La résolution du problème Nous avons extrait une infinité de solutions (donc) nous n’avons toujours pas résolu le problème physique Equation différentielle Solution générale La solution du problème Problème physique Loi ou principe Grandeurs physiques 1ère étape Outil math. Conditions initiales ou aux limites 2ème étape Outil math. Maintenant, on intègre les conditions initiales u(0) = 3 V d’après l’énoncé u(0) = K · exp(0) = K d’après notre solution générale Donc K = 3 V On a extrait l’unique solution du problème u(t) = 3 · exp −t 2 où u est en V et t en s. IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 11
  16. 16. Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série Courbes 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 2 4 6 8 TensionauxbornesdeC(V) Temps 3 exp( t/ ) 2 exp( t/ ) exp( t/ ) La tension à un instant donné dépend de la tension initiale ! 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 4 6 8 Tensionnormaliséeu(t)/u(0) Temps 37 % 5 % Courbe intégrale : accès à toutes les solutions en multipliant par un réel IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 12
  17. 17. Résolution des équations inhomogènes Plan 1 Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale Exemple du circuit RC série 2 Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes Recherche d’une solution particulière Exemple du circuit RC série 3 La méthode de Lagrange Principe Exemple du circuit RC série IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 13
  18. 18. Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Solution d’une EDL1 linéaire inhomogène a(t) · ˙y + b(t) · y = p(t) [= 0] (I) p(t) = 0 ne change rien à la définition de la solution Résoudre une EDL1 inhomogène ⇐⇒ Résoudre une EDL1 homogène : trouver toutes les solutions de l’équation une infinité de solutions Solution générale : écriture avec une constante d’intégration Solution particulière : une fonction bien précise Mais il y a une nuance !... La recherche de la solution générale d’un EDL1 inhomogène n’est pas aussi simple que celle d’une EDL1 homogène IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 14
  19. 19. Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Exemple Circuit RC série forcé par une tension E = 3 · cos(4t) du dt + u RC = 3 τ · cos(4t) Essayons de procéder comme précédemment : du u = − 1 RC + 3 · cos(4t) u dt L’équation n’est pas à variables séparées : impossible de continuer Différence entre EDL1 linéaire homogène et inhomogène Homogène : facile de trouver la solution générale Inhomogène : le plus souvent impossible de déterminer directement la solution générale IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 15
  20. 20. Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Contre-exemple avec du déjà vu... La solution générale de ˙y = 2 est une somme y = 2t + r la solution générale de ˙y = 0 une solution particulière de ˙y = 2 avec constante d’intégration nulle La solution générale de ¨y = 2 est une somme y = t2 + rt + s la solution générale de ¨y = 0 une solution particulière de ¨y = 2 avec constante d’intégration nulle Nous revenons sur cet aspect de somme maintenant ! IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 16
  21. 21. Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Une astuce ! ? Attention : “contre-exemple” car solution générale facile à trouver mais les techniques de résolution (somme) s’appliquent ⇒ 1 écriture → 2 approches Ce que nous venons de voir n’est pas une démonstration Mais : possibilité de trouver la solution générale de (I) par une simple addition ? Possibilité de “d’utiliser” (I) “sous une forme” homogène ? IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 17
  22. 22. Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Une astuce ! ? Attention : “contre-exemple” car solution générale facile à trouver mais les techniques de résolution (somme) s’appliquent ⇒ 1 écriture → 2 approches Ce que nous venons de voir n’est pas une démonstration Mais : possibilité de trouver la solution générale de (I) par une simple addition ? Possibilité de “d’utiliser” (I) “sous une forme” homogène ? Maintenant : Définition de l’équation homogène associée Un petit peu d’algèbre linéaire (mais juste un petit peu alors....) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 17
  23. 23. Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Equation homogène associée Soit une équation différentielle du premier ordre inhomogène : a(t) · ˙y + b(t) · y = p(t) (I) On lui associe l’équation homogène : a(t) · ˙y + b(t) · y = 0 (H) (H) est l’équation homogène associée à (I) Les solutions de yI de (I) sont liées aux solutions de yH de (H) ! IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 18
  24. 24. Résolution des équations inhomogènes Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes Propriété importante des équations linéaires # 1 s olutions de (I) autr es fonctions solutio ns de (H) autre fonction linéaire Somme de deux solutions.... y1(t) −→ 0 est solution de (H) mais pas de (I) y3(t) −→ p(t) est solution de (I) Linéarité : y1(t) + y3(t) −→ 0 + p(t) = p(t) y1(t) + y3(t) est aussi solution (I) ! Pareil pour y1(t) + y2(t) + y8(t) + y3(t) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 19
  25. 25. Résolution des équations inhomogènes Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes Propriété importante des équations linéaires # 2 La somme d’une solution particulière yP de (I) et de la solution générale yH de (H) est solution de (I) Mais surtout : la somme d’une solution particulière yP de (I) et de la solution générale yH de (H) est la solution générale de (I) Théorème (que nous ne démontrerons pas !) La solution générale yI d’une équation différentielle linéaire inhomogène du premier ordre est la somme d’une solution particulière yP de cette équation (I) et de la solution générale yH de l’équation différentielle homogène associée (H), de sorte que : yI = yH + yP IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 20
  26. 26. Résolution des équations inhomogènes Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes Synthèse de la recherche de yI Résoudre une équation inhomogène (I) ⇐⇒ Trouver sa solution générale Difficulté : pas de séparation de variables (sauf exception) On utilise ce qui est en fait une astuce de calcul en 4 étapes : 1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 3 Trouver une solution particulière yP de (I) 4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP Concrètement : yH est facile à trouver Mais comment trouver yP ? IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 21
  27. 27. Résolution des équations inhomogènes Recherche d’une solution particulière Recherche de yP Pour trouver yP 1 On va exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues 2 On va injecter yP dans l’équation inhomogène (I) (puisqu’elle en est une solution) 3 On va fixer les inconnues Mais comment choisir l’expression de yP de l’étape 1 ? Méthode du tableau Méthode de Lagrange IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 22
  28. 28. Résolution des équations inhomogènes Recherche d’une solution particulière La méthode du tableau Forme de p(t) Forme yP recommandée Remarques k ∈ R α ∈ R ekt · [A · sin(mt) ekt · [α · sin(mt) • valable pour k = 0 +B · cos(mt)] +β · cos(mt)] et pour A = 0 ou B = 0 exp(kt) · P(t) exp(kt) · Q(t) • valable pour k = 0 • deg(Q) = deg(P) si k = −b/a • deg(Q) = 1+deg(P) si k = −b/a P1(t) sin(mt) Q1(t) sin(mt) • Faire apparaître sin +P2(t) cos(mt) +Q2(t) cos(mt) et cos dans yP même si P1(t) = 0 ou P2(t) = 0 • deg(Q1) = deg(P1) et deg(Q2) = deg(P2) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 23
  29. 29. Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série Exemple # 1 : circuit RC série et tension continue On applique au circuit RC vu précédemment une tension continue E(t) = E = 3 V alors que le condensateur n’est initialement pas polarisé. Décrire l’évolution dans le temps de u. ˙u + 1 τ u = 3 τ (I) avec τ = RC = 2 s. Equation différentielle Solution générale La solution du problème Problème physique Loi ou principe Grandeurs physiques 1ère étape Outil math. Conditions initiales ou aux limites 2ème étape Outil math. Ce que nous allons faire : 1 Déterminer la solution générale de (I) 2 Donner la solution du problème IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 24
  30. 30. Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série Exemple # 1 : détermination de uI En 4 étapes : 1 Equation homogène associée (H) ˙u + 1 τ u = 0 (H) avec τ = RC = 2 s 2 Equation déjà résolue : uH(t) = K exp −t 2 avec K ∈ R 3 Trouver une solution particulière uP de (I) 1 Forme de uP(t) “à quelque chose près” : uP(t) = α 2 Injection dans (I) : 0 + α/τ = 3/τ 3 α = 3 et donc uP = 3 4 Solution générale uI de (I) : uI = uH + uP = uI = K · e−t/2 + 3 avec K ∈ R IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 25
  31. 31. Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série Exemple # 1 : Solution du problème La solution du problème = solution pour laquelle les conditions initiales sont vérifiées Conditions initiales : u(0) = 0 d’après l’énoncé u(0) = K + 3 d’après la solution générale uI donc K = −3 La solution du problème : u(t) = 3 1 − e −t 2 N. B. : pas de constante d’intégration → solution particulière IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 26
  32. 32. Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série Exemple # 1 : courbe de la solution condition initiale vers régime continu (permanent) Remarques Modification de la solution générale par le terme perturbateur Conditions initiales : courbe croissante (= cas de la décharge) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 27
  33. 33. Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série Exemple # 2 : circuit série RC et tension harmonique On applique au circuit une tension sinusoïdale E(t) = 3 · cos(4t) et donc : ˙u + 1 τ · u = 3 τ · cos(4t) Même chose que précédemment : uH = K · e−t/2 avec K ∈ R Seule différence : détermination de uP Choix de uP = α cos(4t) + β sin(4t) Injection dans (I) : −4α sin(4t) + 4β cos(4t) ˙uP +1 2 [α cos(4t) + β sin(4t) ˙uP ] = 3 2 cos(4t) Détermination par identification : (α 2 + 4β) cos(4t) + (−4α + β 2 ) sin(4t) = 3 2 cos(4t) ∀t ∈ R α 2 + 4β = 3 2 −4α + β 2 = 0 ⇔ α = 3/65 β = 24/65 ⇔ uP = 3 65 cos(4t) + 24 65 sin(4t) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 28
  34. 34. Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série Exemple #2 : Solutions générale uI et du problème u uI(t) = K · e−t/2 + 3 65 cos(4t) + 24 65 sin(4t) avec K ∈ R Solution du problème = solution particulière pour laquelle u(0) = 0 Solution générale à t = 0 : 0 = K + 3 65 ⇔ K = −3 65 Solution du problème : u(t) = −3 65 · e−t/2 + 3 65 cos(4t) + 24 65 sin(4t) −3 −2 −1 0 1 2 3 0τ 2τ 4τ 6τ 8τ −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Perturbationp(t)(V) Tensionu(t)(V) Temps u(t) p(t) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 29
  35. 35. La méthode de Lagrange Plan 1 Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale Exemple du circuit RC série 2 Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes Recherche d’une solution particulière Exemple du circuit RC série 3 La méthode de Lagrange Principe Exemple du circuit RC série IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 30
  36. 36. La méthode de Lagrange Principe La méthode de Lagrange Aussi appelée méthode de variation de la constante. Principe de la méthode au premier ordre On peut trouver une solution particulière yP de (I) en remplaçant la constante K de la solution générale yH par une fonction du temps K(t) puis en l’injectant dans (I) pour déterminer K(t). Avantages : Pas besoin d’apprendre le tableau par cœur Peu de risques de se tromper Inconvénients : Souvent un petit peu plus longue Il faut savoir intégrer Fastidieuse au second ordre IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 31
  37. 37. La méthode de Lagrange Exemple du circuit RC série Retour sur l’exemple # 1 ˙u + 1 τ u = 3 τ (I) avec τ = RC = 2 s. On a uH = K exp(−t/τ), K ∈ R On pose uP = K(t) · exp(−t/τ) et l’on injecte dans (I) : ˙K(t) · exp(−t/τ) − 1 τ K(t) · exp(−t/τ) ˙uP + 1 τ K(t) · exp(−t/τ) uP = 3 τ Simplification systématique : ˙K(t) = 3 τ exp t τ Constante nulle : K(t) = 3 exp t τ ⇐⇒ uP(t) = 3 exp t τ exp − t τ = 3 On trouve la même chose qu’avec le tableau IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 32
  38. 38. La méthode de Lagrange Exemple du circuit RC série Retour sur l’exemple # 2 ˙u + 1 τ u = 3 τ cos(4t) (I) uH = K · exp −t 2 ⇒ uP = K(t) · exp −t 2 On arrive à ˙K(t) = 3 2 cos(4t) exp(t/2) = Re 3 2et/2ej4t L’intégration de 3 2 · et(1/2+4j) donne 3 2 · 2−16j 65 et(1/2+4j) avec cste nulle En ne gardant que la partie réelle : K(t) = 3 65 cos(4t) + 24 65 sin(4t) et/2 Même solution particulière qu’avec le tableau : uP(t) = 3 65 cos(4t) + 24 65 sin(4t) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 33
  39. 39. La méthode de Lagrange Exemple du circuit RC série Synthèse de résolution d’un problème physique 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 3 Trouver une solution particulière yP de (I) 1 exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues (tableau ou Lagrange) 2 injecter yP dans l’équation inhomogène (I) 3 fixer les inconnues 4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problème IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 34

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