SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  39
Télécharger pour lire hors ligne
Les équations différentielles
Outils de résolution des équations linéaires du premier ordre
Christophe Palermo
IUT de Montpellier
Département Mesures Physiques
&
Institut d’Electronique du Sud
Université Montpellier 2
Web : http://palermo.wordpress.com
e-mail : cpalermo@um2.fr
twitter: @chr_palermo
Cours du 30 novembre 2010
MONTPELLIER
Plan
1 Résolution des équations homogènes
Recherche de la solution générale
Exemple du circuit RC série
2 Résolution des équations inhomogènes
Recherche de la solution générale
Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes
Recherche d’une solution particulière
Exemple du circuit RC série
3 La méthode de Lagrange
Principe
Exemple du circuit RC série
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 2
Outils et linéarite
Au premier ordre, deux possibilités :
L’équation n’est pas linéaire exemple : ˙y − 3ty2
= 0
L’équation est à variable séparées
L’équation n’est pas à variable séparées (substitution, numérique)
L’équation est linéaire =⇒ deux questions : est-elle
homogène ou inhomogène ?
à coefficients constants ou pas ?
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 3
Résolution des équations homogènes
Plan
1 Résolution des équations homogènes
Recherche de la solution générale
Exemple du circuit RC série
2 Résolution des équations inhomogènes
Recherche de la solution générale
Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes
Recherche d’une solution particulière
Exemple du circuit RC série
3 La méthode de Lagrange
Principe
Exemple du circuit RC série
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 4
Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale
EDL1 homogène
Equation Différentielle Linéaire du 1er ordre (EDL1) homogène :
a(t) · ˙y + b(t) · y = 0 c’est à dire a(t) ·
dy
dt
+ b(t) · y = 0
En manipulant un peu :
dy
y
= −
b(t)
a(t)
· dt
Une EDL1 homogène est à variables séparées !
En intégrant des deux côtés : ln[y(t)] = −
b(t)
a(t)
· dt + B, B ∈ R
Ensuite, deux possibilités :
a(t) et/ou b(t) sont des fonctions : coefficients variables
a(t) = a et b(t) = b sont des constantes : coefficients constants
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 5
Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale
Solution générale d’une EDL1 homogène
Pour des coefficients variables :
on pose −
b(t)
a(t)
· dt = F(t) (pratique : constante d’intégration nulle)
donc ln(y) = F(t) + B, B ∈ R
et puis exp [ln y(t)] = y(t) = exp [−F(t) + B] = exp(B) · exp[−F(t)]
On remplace exp(B) par K ∈ R et donc
y(t) = K · exp[−F(t)] , K ∈ R
Pour des coefficients constants :
plus simple : primitive de −b/a avec const. d’intégration nulle : −bt/a
donc −
b
a
· dt = −
b
a
t + B avec B ∈ R
On remplace aussi exp(B) par K ∈ R et donc
y(t) = K · exp −
b
a
t , K ∈ R
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 6
Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale
Solution générale d’une EDL1 homogène
Pour des coefficients variables :
on pose −
b(t)
a(t)
· dt = F(t) (pratique : constante d’intégration nulle)
donc ln(y) = F(t) + B, B ∈ R
et puis exp [ln y(t)] = y(t) = exp [−F(t) + B] = exp(B) · exp[−F(t)]
On remplace exp(B) par K ∈ R et donc
y(t) = K · exp[−F(t)] , K ∈ R
Pour des coefficients constants :
plus simple : primitive de −b/a avec const. d’intégration nulle : −bt/a
donc −
b
a
· dt = −
b
a
t + B avec B ∈ R
On remplace aussi exp(B) par K ∈ R et donc
y(t) = K · exp −
b
a
t , K ∈ R
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 6
Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série
Un exemple physique : circuit RC série
u
i
E uR
Exemple
Dans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur de
capacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur de
tension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de
1 kΩ.
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 7
Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série
Analyse de l’énoncé
Exemple
Dans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur de
capacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur de
tension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de
1 kΩ.
Analysons l’énoncé :
Pour la mise en équation :
L’inconnue à déterminer ?
La loi à appliquer ?
Le terme perturbateur ?
Autres informations utiles ?
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 8
Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série
Analyse de l’énoncé
Exemple
Dans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur de
capacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur de
tension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de
1 kΩ.
Analysons l’énoncé :
Pour la mise en équation :
L’inconnue à déterminer ? u
La loi à appliquer ?
Le terme perturbateur ?
Autres informations utiles ?
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 8
Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série
Analyse de l’énoncé
Exemple
Dans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur de
capacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur de
tension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de
1 kΩ.
Analysons l’énoncé :
Pour la mise en équation :
L’inconnue à déterminer ? u
La loi à appliquer ? Noeuds et mailles
Le terme perturbateur ?
Autres informations utiles ?
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 8
Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série
Analyse de l’énoncé
Exemple
Dans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur de
capacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur de
tension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de
1 kΩ.
Analysons l’énoncé :
Pour la mise en équation :
L’inconnue à déterminer ? u
La loi à appliquer ? Noeuds et mailles
Le terme perturbateur ? E = 0 V =⇒ équation homogène
Autres informations utiles ?
La condition initiale : u(0) = 3 V
Les valeurs R = 1000 Ω et C = 2 × 10−3
F
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 8
Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série
L’équation différentielle
u
i
E uR
Le courant i est le même dans tout le circuit
Condensateur : Q = Cu =⇒ i = dQ
dt = C ˙u
Résistance : uR = R · i = RC ˙u
Loi des mailles : E = u + uR =⇒ 0 = u + RC ˙u
L’équation différentielle :
˙u +
u
RC
= 0
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 9
Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série
Résolution de l’équation différentielle
du
u
=
−1
RC
· dt (variables séparées et coefficients constantes)
Donc ln u = −
1
RC
· t + B avec B ∈ R
Et finalement
u = K · exp
−t
τ
avec K ∈ R
avec τ = RC = 1000 Ω · 2 × 10−3 F= 2 s
Analyse dimensionnelle : τ est un temps
[τ] = [Ω·F] =
V
A
·
C
V
=
C
A
=
A · s
A
= T
Expression de la solution générale : infinité de solutions
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 10
Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série
La résolution du problème
Nous avons extrait une infinité de solutions
(donc) nous n’avons toujours pas résolu le problème physique
Equation
différentielle
Solution générale La solution
du problème
Problème physique
Loi ou principe
Grandeurs physiques
1ère étape
Outil math.
Conditions initiales
ou aux limites
2ème étape
Outil math.
Maintenant, on intègre les conditions initiales
u(0) = 3 V d’après l’énoncé
u(0) = K · exp(0) = K d’après notre solution générale
Donc K = 3 V
On a extrait l’unique solution du problème
u(t) = 3 · exp
−t
2
où u est en V et t en s.
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 11
Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série
Courbes
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 2 4 6 8
TensionauxbornesdeC(V)
Temps
3 exp( t/ )
2 exp( t/ )
exp( t/ )
La tension à un instant donné
dépend de la tension initiale !
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8
Tensionnormaliséeu(t)/u(0)
Temps
37 %
5 %
Courbe intégrale : accès à toutes les
solutions en multipliant par un réel
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 12
Résolution des équations inhomogènes
Plan
1 Résolution des équations homogènes
Recherche de la solution générale
Exemple du circuit RC série
2 Résolution des équations inhomogènes
Recherche de la solution générale
Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes
Recherche d’une solution particulière
Exemple du circuit RC série
3 La méthode de Lagrange
Principe
Exemple du circuit RC série
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 13
Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale
Solution d’une EDL1 linéaire inhomogène
a(t) · ˙y + b(t) · y = p(t) [= 0] (I)
p(t) = 0 ne change rien à la définition de la solution
Résoudre une EDL1 inhomogène ⇐⇒ Résoudre une EDL1
homogène :
trouver toutes les solutions de l’équation
une infinité de solutions
Solution générale : écriture avec une constante d’intégration
Solution particulière : une fonction bien précise
Mais il y a une nuance !...
La recherche de la solution générale d’un EDL1 inhomogène n’est pas
aussi simple que celle d’une EDL1 homogène
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 14
Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale
Exemple
Circuit RC série forcé par une tension E = 3 · cos(4t)
du
dt
+
u
RC
=
3
τ
· cos(4t)
Essayons de procéder comme précédemment :
du
u
= −
1
RC
+ 3 ·
cos(4t)
u
dt
L’équation n’est pas à variables séparées : impossible de continuer
Différence entre EDL1 linéaire homogène et inhomogène
Homogène : facile de trouver la solution générale
Inhomogène : le plus souvent impossible de déterminer directement
la solution générale
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 15
Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale
Contre-exemple avec du déjà vu...
La solution générale de ˙y = 2 est une somme
y = 2t + r
la solution générale de ˙y = 0
une solution particulière de ˙y = 2
avec constante d’intégration nulle
La solution générale de ¨y = 2 est une somme
y = t2
+ rt + s
la solution générale de ¨y = 0
une solution particulière de ¨y = 2
avec constante d’intégration nulle
Nous revenons sur cet aspect de somme maintenant !
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 16
Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale
Une astuce ! ?
Attention :
“contre-exemple” car solution générale facile à trouver
mais les techniques de résolution (somme) s’appliquent
⇒ 1 écriture → 2 approches
Ce que nous venons de voir n’est pas une démonstration
Mais : possibilité de trouver la solution générale de (I) par une
simple addition ?
Possibilité de “d’utiliser” (I) “sous une forme” homogène ?
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 17
Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale
Une astuce ! ?
Attention :
“contre-exemple” car solution générale facile à trouver
mais les techniques de résolution (somme) s’appliquent
⇒ 1 écriture → 2 approches
Ce que nous venons de voir n’est pas une démonstration
Mais : possibilité de trouver la solution générale de (I) par une
simple addition ?
Possibilité de “d’utiliser” (I) “sous une forme” homogène ?
Maintenant :
Définition de l’équation homogène associée
Un petit peu d’algèbre linéaire (mais juste un petit peu alors....)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 17
Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale
Equation homogène associée
Soit une équation différentielle du premier ordre inhomogène :
a(t) · ˙y + b(t) · y = p(t) (I)
On lui associe l’équation homogène :
a(t) · ˙y + b(t) · y = 0 (H)
(H) est l’équation homogène associée à (I)
Les solutions de yI de (I) sont liées aux solutions de yH de (H) !
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 18
Résolution des équations inhomogènes Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes
Propriété importante des équations linéaires # 1
s
olutions de (I)
autr
es fonctions
solutio
ns de (H)
autre fonction
linéaire
Somme de deux solutions....
y1(t) −→ 0 est solution de (H) mais pas de (I)
y3(t) −→ p(t) est solution de (I)
Linéarité : y1(t) + y3(t) −→ 0 + p(t) = p(t)
y1(t) + y3(t) est aussi solution (I) !
Pareil pour y1(t) + y2(t) + y8(t) + y3(t)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 19
Résolution des équations inhomogènes Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes
Propriété importante des équations linéaires # 2
La somme d’une solution particulière yP de (I) et de la solution
générale yH de (H) est solution de (I)
Mais surtout : la somme d’une solution particulière yP de (I) et de la
solution générale yH de (H) est la solution générale de (I)
Théorème (que nous ne démontrerons pas !)
La solution générale yI d’une équation différentielle linéaire inhomogène
du premier ordre est la somme d’une solution particulière yP de cette
équation (I) et de la solution générale yH de l’équation différentielle
homogène associée (H), de sorte que :
yI = yH + yP
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 20
Résolution des équations inhomogènes Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes
Synthèse de la recherche de yI
Résoudre une équation inhomogène (I) ⇐⇒ Trouver sa solution
générale
Difficulté : pas de séparation de variables (sauf exception)
On utilise ce qui est en fait une astuce de calcul en 4 étapes :
1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
3 Trouver une solution particulière yP de (I)
4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
Concrètement :
yH est facile à trouver
Mais comment trouver yP ?
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 21
Résolution des équations inhomogènes Recherche d’une solution particulière
Recherche de yP
Pour trouver yP
1 On va exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues
2 On va injecter yP dans l’équation inhomogène (I) (puisqu’elle en est
une solution)
3 On va fixer les inconnues
Mais comment choisir l’expression de yP de l’étape 1 ?
Méthode du tableau
Méthode de Lagrange
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 22
Résolution des équations inhomogènes Recherche d’une solution particulière
La méthode du tableau
Forme de p(t) Forme yP
recommandée
Remarques
k ∈ R α ∈ R
ekt · [A · sin(mt) ekt · [α · sin(mt) • valable pour k = 0
+B · cos(mt)] +β · cos(mt)] et pour A = 0 ou B = 0
exp(kt) · P(t) exp(kt) · Q(t) • valable pour k = 0
• deg(Q) = deg(P)
si k = −b/a
• deg(Q) = 1+deg(P)
si k = −b/a
P1(t) sin(mt) Q1(t) sin(mt) • Faire apparaître sin
+P2(t) cos(mt) +Q2(t) cos(mt) et cos dans yP même si
P1(t) = 0 ou P2(t) = 0
• deg(Q1) = deg(P1)
et deg(Q2) = deg(P2)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 23
Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série
Exemple # 1 : circuit RC série et tension continue
On applique au circuit RC vu précédemment une tension continue
E(t) = E = 3 V alors que le condensateur n’est initialement pas
polarisé. Décrire l’évolution dans le temps de u.
˙u +
1
τ
u =
3
τ
(I)
avec τ = RC = 2 s.
Equation
différentielle
Solution générale La solution
du problème
Problème physique
Loi ou principe
Grandeurs physiques
1ère étape
Outil math.
Conditions initiales
ou aux limites
2ème étape
Outil math.
Ce que nous allons faire :
1 Déterminer la solution générale de (I)
2 Donner la solution du problème
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 24
Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série
Exemple # 1 : détermination de uI
En 4 étapes :
1 Equation homogène associée (H)
˙u +
1
τ
u = 0 (H)
avec τ = RC = 2 s
2 Equation déjà résolue : uH(t) = K exp −t
2 avec K ∈ R
3 Trouver une solution particulière uP de (I)
1 Forme de uP(t) “à quelque chose près” : uP(t) = α
2 Injection dans (I) : 0 + α/τ = 3/τ
3 α = 3 et donc uP = 3
4 Solution générale uI de (I) :
uI = uH + uP = uI = K · e−t/2
+ 3 avec K ∈ R
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 25
Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série
Exemple # 1 : Solution du problème
La solution du problème = solution pour laquelle les conditions
initiales sont vérifiées
Conditions initiales : u(0) = 0 d’après l’énoncé
u(0) = K + 3 d’après la solution générale uI
donc K = −3
La solution du problème :
u(t) = 3 1 − e
−t
2
N. B. : pas de constante d’intégration → solution particulière
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 26
Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série
Exemple # 1 : courbe de la solution
condition initiale
vers régime
continu (permanent)
Remarques
Modification de la solution générale par le terme perturbateur
Conditions initiales : courbe croissante (= cas de la décharge)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 27
Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série
Exemple # 2 : circuit série RC et tension harmonique
On applique au circuit une tension sinusoïdale E(t) = 3 · cos(4t) et
donc :
˙u +
1
τ
· u =
3
τ
· cos(4t)
Même chose que précédemment : uH = K · e−t/2 avec K ∈ R
Seule différence : détermination de uP
Choix de uP = α cos(4t) + β sin(4t)
Injection dans (I) :
−4α sin(4t) + 4β cos(4t)
˙uP
+1
2 [α cos(4t) + β sin(4t)
˙uP
] = 3
2 cos(4t)
Détermination par identification :
(α
2 + 4β) cos(4t) + (−4α + β
2 ) sin(4t) = 3
2 cos(4t) ∀t ∈ R
α
2 + 4β = 3
2
−4α + β
2 = 0
⇔
α = 3/65
β = 24/65
⇔ uP =
3
65
cos(4t) +
24
65
sin(4t)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 28
Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série
Exemple #2 : Solutions générale uI et du problème u
uI(t) = K · e−t/2
+
3
65
cos(4t) +
24
65
sin(4t) avec K ∈ R
Solution du problème = solution particulière pour laquelle u(0) = 0
Solution générale à t = 0 : 0 = K +
3
65
⇔ K =
−3
65
Solution du problème :
u(t) =
−3
65
· e−t/2
+
3
65
cos(4t) +
24
65
sin(4t)
−3
−2
−1
0
1
2
3
0τ 2τ 4τ 6τ 8τ
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Perturbationp(t)(V)
Tensionu(t)(V)
Temps
u(t)
p(t)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 29
La méthode de Lagrange
Plan
1 Résolution des équations homogènes
Recherche de la solution générale
Exemple du circuit RC série
2 Résolution des équations inhomogènes
Recherche de la solution générale
Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes
Recherche d’une solution particulière
Exemple du circuit RC série
3 La méthode de Lagrange
Principe
Exemple du circuit RC série
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 30
La méthode de Lagrange Principe
La méthode de Lagrange
Aussi appelée méthode de variation de la constante.
Principe de la méthode au premier ordre
On peut trouver une solution particulière yP de (I) en remplaçant la
constante K de la solution générale yH par une fonction du temps K(t)
puis en l’injectant dans (I) pour déterminer K(t).
Avantages :
Pas besoin d’apprendre le tableau par cœur
Peu de risques de se tromper
Inconvénients :
Souvent un petit peu plus longue
Il faut savoir intégrer
Fastidieuse au second ordre
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 31
La méthode de Lagrange Exemple du circuit RC série
Retour sur l’exemple # 1
˙u +
1
τ
u =
3
τ
(I)
avec τ = RC = 2 s.
On a uH = K exp(−t/τ), K ∈ R
On pose uP = K(t) · exp(−t/τ) et l’on injecte dans (I) :
˙K(t) · exp(−t/τ) −
1
τ
K(t) · exp(−t/τ)
˙uP
+
1
τ
K(t) · exp(−t/τ)
uP
=
3
τ
Simplification systématique : ˙K(t) =
3
τ
exp
t
τ
Constante nulle :
K(t) = 3 exp t
τ ⇐⇒ uP(t) = 3 exp t
τ exp − t
τ = 3
On trouve la même chose qu’avec le tableau
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 32
La méthode de Lagrange Exemple du circuit RC série
Retour sur l’exemple # 2
˙u +
1
τ
u =
3
τ
cos(4t) (I)
uH = K · exp −t
2 ⇒ uP = K(t) · exp −t
2
On arrive à ˙K(t) = 3
2 cos(4t) exp(t/2) = Re 3
2et/2ej4t
L’intégration de 3
2 · et(1/2+4j) donne 3
2 · 2−16j
65 et(1/2+4j) avec cste nulle
En ne gardant que la partie réelle :
K(t) = 3
65 cos(4t) + 24
65 sin(4t) et/2
Même solution particulière qu’avec le tableau :
uP(t) =
3
65
cos(4t) +
24
65
sin(4t)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 33
La méthode de Lagrange Exemple du circuit RC série
Synthèse de résolution d’un problème physique
1 Faire la mise en équation
2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle
Si elle est inhomogène (I) :
1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
3 Trouver une solution particulière yP de (I)
1 exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues (tableau ou
Lagrange)
2 injecter yP dans l’équation inhomogène (I)
3 fixer les inconnues
4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :
solution du problème
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 34

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Cours Mécanique des fluides 1.pdf
Cours Mécanique des fluides 1.pdfCours Mécanique des fluides 1.pdf
Cours Mécanique des fluides 1.pdf
 
Support du cours : Programmation Web 2
Support du cours : Programmation Web 2Support du cours : Programmation Web 2
Support du cours : Programmation Web 2
 
cours transmission numerique.pdf
cours transmission numerique.pdfcours transmission numerique.pdf
cours transmission numerique.pdf
 
Chapitre 3 NP-complétude
Chapitre 3 NP-complétudeChapitre 3 NP-complétude
Chapitre 3 NP-complétude
 
Application de la théorie de graphe au problème de flot maximum
Application de la théorie de graphe au problème de flot maximumApplication de la théorie de graphe au problème de flot maximum
Application de la théorie de graphe au problème de flot maximum
 
Mathématiques Résumé du cours en fiches MPSI-MP ( PDFDrive ).pdf
Mathématiques Résumé du cours en fiches MPSI-MP ( PDFDrive ).pdfMathématiques Résumé du cours en fiches MPSI-MP ( PDFDrive ).pdf
Mathématiques Résumé du cours en fiches MPSI-MP ( PDFDrive ).pdf
 
Rapport de projet de fin d'année
Rapport de projet de fin d'année Rapport de projet de fin d'année
Rapport de projet de fin d'année
 
Rapport stage pfe
Rapport stage  pfe Rapport stage  pfe
Rapport stage pfe
 
124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011
124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011
124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011
 
Mémoire de Master 2
Mémoire de Master 2Mémoire de Master 2
Mémoire de Master 2
 
Cours et td mecanique du point et du solide
Cours et td mecanique du point et du solideCours et td mecanique du point et du solide
Cours et td mecanique du point et du solide
 
Présentation pfe
Présentation pfePrésentation pfe
Présentation pfe
 
5.5 Clustering
5.5 Clustering5.5 Clustering
5.5 Clustering
 
Résistance des matériaux examens et série d'exercices corrigés
Résistance des matériaux examens et série d'exercices corrigésRésistance des matériaux examens et série d'exercices corrigés
Résistance des matériaux examens et série d'exercices corrigés
 
Algorithme knn
Algorithme knnAlgorithme knn
Algorithme knn
 
Rapport de stage d'initiation 2015 Mahmoudi Mohamed Amine
Rapport de stage d'initiation 2015 Mahmoudi Mohamed AmineRapport de stage d'initiation 2015 Mahmoudi Mohamed Amine
Rapport de stage d'initiation 2015 Mahmoudi Mohamed Amine
 
Cours Base de données relationnelles
Cours Base de données relationnellesCours Base de données relationnelles
Cours Base de données relationnelles
 
chap2 outil_mathematiques
chap2 outil_mathematiqueschap2 outil_mathematiques
chap2 outil_mathematiques
 
Corrige access
Corrige accessCorrige access
Corrige access
 
td_devoirs_2013.pdf
td_devoirs_2013.pdftd_devoirs_2013.pdf
td_devoirs_2013.pdf
 

En vedette

Equations différentielles, DUT MP, CM1
Equations différentielles, DUT MP, CM1Equations différentielles, DUT MP, CM1
Equations différentielles, DUT MP, CM1
Christophe Palermo
 
Cours d'Electrotechnique 2 : machines tournantes
Cours d'Electrotechnique 2 : machines tournantesCours d'Electrotechnique 2 : machines tournantes
Cours d'Electrotechnique 2 : machines tournantes
Christophe Palermo
 
Chap V : Modélisation & Optimisation Des réseaux electriques (Concepts de bas...
Chap V : Modélisation & Optimisation Des réseaux electriques (Concepts de bas...Chap V : Modélisation & Optimisation Des réseaux electriques (Concepts de bas...
Chap V : Modélisation & Optimisation Des réseaux electriques (Concepts de bas...
Mohammed TAMALI
 
Modélisation en hydrogéologie chap 01
Modélisation en hydrogéologie   chap 01Modélisation en hydrogéologie   chap 01
Modélisation en hydrogéologie chap 01
azario1983
 
Brochure dépliant Contrôle de débit (2013)
Brochure dépliant Contrôle de débit (2013)Brochure dépliant Contrôle de débit (2013)
Brochure dépliant Contrôle de débit (2013)
ifm electronic gmbh
 
Fiche allemand académie de Créteil rentrée 2013
Fiche allemand académie de Créteil rentrée 2013Fiche allemand académie de Créteil rentrée 2013
Fiche allemand académie de Créteil rentrée 2013
Académie de Créteil
 
Magazine HRI - Les technologies de l’information au service des ressources hu...
Magazine HRI - Les technologies de l’information au service des ressources hu...Magazine HRI - Les technologies de l’information au service des ressources hu...
Magazine HRI - Les technologies de l’information au service des ressources hu...
Alain Fortier
 
Publicité & Société 2010 agence Australie
Publicité & Société 2010 agence AustraliePublicité & Société 2010 agence Australie
Publicité & Société 2010 agence Australie
Australie
 
Copte 11 06_18_maclassecopte_free_fr
Copte 11 06_18_maclassecopte_free_frCopte 11 06_18_maclassecopte_free_fr
Copte 11 06_18_maclassecopte_free_fr
Hermione220589
 
Presentation 11 02_12_bonheur_thecopticone_free_fr
Presentation 11 02_12_bonheur_thecopticone_free_frPresentation 11 02_12_bonheur_thecopticone_free_fr
Presentation 11 02_12_bonheur_thecopticone_free_fr
Hermione220589
 

En vedette (20)

Equations différentielles, DUT MP, CM1
Equations différentielles, DUT MP, CM1Equations différentielles, DUT MP, CM1
Equations différentielles, DUT MP, CM1
 
Cours d'Electrotechnique 2 : machines tournantes
Cours d'Electrotechnique 2 : machines tournantesCours d'Electrotechnique 2 : machines tournantes
Cours d'Electrotechnique 2 : machines tournantes
 
Histoire de la boussole
Histoire de la boussoleHistoire de la boussole
Histoire de la boussole
 
CV- HK
CV- HK CV- HK
CV- HK
 
Tp n1
Tp n1Tp n1
Tp n1
 
Chap V : Modélisation & Optimisation Des réseaux electriques (Concepts de bas...
Chap V : Modélisation & Optimisation Des réseaux electriques (Concepts de bas...Chap V : Modélisation & Optimisation Des réseaux electriques (Concepts de bas...
Chap V : Modélisation & Optimisation Des réseaux electriques (Concepts de bas...
 
Génie Civil - Géotechnique
Génie Civil - GéotechniqueGénie Civil - Géotechnique
Génie Civil - Géotechnique
 
9.1 Topographie
9.1 Topographie9.1 Topographie
9.1 Topographie
 
Modélisation en hydrogéologie chap 01
Modélisation en hydrogéologie   chap 01Modélisation en hydrogéologie   chap 01
Modélisation en hydrogéologie chap 01
 
Animation de l'atelier et retour d'expérience - R-Evolutions Touristiques de ...
Animation de l'atelier et retour d'expérience - R-Evolutions Touristiques de ...Animation de l'atelier et retour d'expérience - R-Evolutions Touristiques de ...
Animation de l'atelier et retour d'expérience - R-Evolutions Touristiques de ...
 
Brochure dépliant Contrôle de débit (2013)
Brochure dépliant Contrôle de débit (2013)Brochure dépliant Contrôle de débit (2013)
Brochure dépliant Contrôle de débit (2013)
 
Teste
TesteTeste
Teste
 
Fiche allemand académie de Créteil rentrée 2013
Fiche allemand académie de Créteil rentrée 2013Fiche allemand académie de Créteil rentrée 2013
Fiche allemand académie de Créteil rentrée 2013
 
Nadal power point
Nadal power pointNadal power point
Nadal power point
 
Magazine HRI - Les technologies de l’information au service des ressources hu...
Magazine HRI - Les technologies de l’information au service des ressources hu...Magazine HRI - Les technologies de l’information au service des ressources hu...
Magazine HRI - Les technologies de l’information au service des ressources hu...
 
Publicité & Société 2010 agence Australie
Publicité & Société 2010 agence AustraliePublicité & Société 2010 agence Australie
Publicité & Société 2010 agence Australie
 
S’autoformer sur internet
S’autoformer sur internetS’autoformer sur internet
S’autoformer sur internet
 
Art Your Mind
Art Your MindArt Your Mind
Art Your Mind
 
Copte 11 06_18_maclassecopte_free_fr
Copte 11 06_18_maclassecopte_free_frCopte 11 06_18_maclassecopte_free_fr
Copte 11 06_18_maclassecopte_free_fr
 
Presentation 11 02_12_bonheur_thecopticone_free_fr
Presentation 11 02_12_bonheur_thecopticone_free_frPresentation 11 02_12_bonheur_thecopticone_free_fr
Presentation 11 02_12_bonheur_thecopticone_free_fr
 

Similaire à Equations différentielles, DUT MP, CM3

Equations différentielles, DUT MP, CM 2
Equations différentielles, DUT MP, CM 2Equations différentielles, DUT MP, CM 2
Equations différentielles, DUT MP, CM 2
Christophe Palermo
 
Bachet 1973 Journal Of Quantitative Spectroscopy And Radiative Transfer
Bachet 1973 Journal Of Quantitative Spectroscopy And Radiative TransferBachet 1973 Journal Of Quantitative Spectroscopy And Radiative Transfer
Bachet 1973 Journal Of Quantitative Spectroscopy And Radiative Transfer
guest9c2bf0
 
عناصر الإجابة2015
عناصر الإجابة2015عناصر الإجابة2015
عناصر الإجابة2015
KhalidBentama1
 
Courbes intensité -potentiel.ppt
Courbes intensité -potentiel.pptCourbes intensité -potentiel.ppt
Courbes intensité -potentiel.ppt
ElGharmali
 
Cours de Mécanique Quantiquehekthnhr.ppt
Cours de Mécanique Quantiquehekthnhr.pptCours de Mécanique Quantiquehekthnhr.ppt
Cours de Mécanique Quantiquehekthnhr.ppt
DaoudiMohamed5
 
Cours electrostatique
Cours electrostatiqueCours electrostatique
Cours electrostatique
maidine96
 
Memoire fin etudes_1983
Memoire fin etudes_1983Memoire fin etudes_1983
Memoire fin etudes_1983
Clifford Stone
 
Cours capteursnucleaires
Cours capteursnucleairesCours capteursnucleaires
Cours capteursnucleaires
Reda Jonimar
 
Gauchard pierre alexis_p01
Gauchard pierre alexis_p01Gauchard pierre alexis_p01
Gauchard pierre alexis_p01
Ihabhenry Ali
 

Similaire à Equations différentielles, DUT MP, CM3 (20)

Equations différentielles, DUT MP, CM 2
Equations différentielles, DUT MP, CM 2Equations différentielles, DUT MP, CM 2
Equations différentielles, DUT MP, CM 2
 
lignes_et_cables.pdf
lignes_et_cables.pdflignes_et_cables.pdf
lignes_et_cables.pdf
 
Exercices corrigés sur le gradateur triphasé
 Exercices corrigés sur le gradateur triphasé Exercices corrigés sur le gradateur triphasé
Exercices corrigés sur le gradateur triphasé
 
Télécharger Exercices corrigés sur le gradateur triphasé
Télécharger Exercices corrigés sur le gradateur triphaséTélécharger Exercices corrigés sur le gradateur triphasé
Télécharger Exercices corrigés sur le gradateur triphasé
 
Bachet 1973 Journal Of Quantitative Spectroscopy And Radiative Transfer
Bachet 1973 Journal Of Quantitative Spectroscopy And Radiative TransferBachet 1973 Journal Of Quantitative Spectroscopy And Radiative Transfer
Bachet 1973 Journal Of Quantitative Spectroscopy And Radiative Transfer
 
عناصر الإجابة2015
عناصر الإجابة2015عناصر الإجابة2015
عناصر الإجابة2015
 
Courbes intensité -potentiel.ppt
Courbes intensité -potentiel.pptCourbes intensité -potentiel.ppt
Courbes intensité -potentiel.ppt
 
Poly td ea
Poly td eaPoly td ea
Poly td ea
 
Cours de Mécanique Quantiquehekthnhr.ppt
Cours de Mécanique Quantiquehekthnhr.pptCours de Mécanique Quantiquehekthnhr.ppt
Cours de Mécanique Quantiquehekthnhr.ppt
 
Cours electrostatique
Cours electrostatiqueCours electrostatique
Cours electrostatique
 
Partie i vibrations et oscillateurs
Partie i   vibrations et oscillateursPartie i   vibrations et oscillateurs
Partie i vibrations et oscillateurs
 
[Soutenance du PFE] Étude du flambement des poteaux selon l'EC2
[Soutenance du PFE] Étude du flambement des poteaux selon l'EC2[Soutenance du PFE] Étude du flambement des poteaux selon l'EC2
[Soutenance du PFE] Étude du flambement des poteaux selon l'EC2
 
1- Les Grands Principes du Rayonnement.ppt
1- Les Grands Principes du Rayonnement.ppt1- Les Grands Principes du Rayonnement.ppt
1- Les Grands Principes du Rayonnement.ppt
 
Structure vectoriel des champs d'intéraction défini par un flux de Gauss ..pdf
Structure vectoriel des champs d'intéraction défini par un flux de Gauss ..pdfStructure vectoriel des champs d'intéraction défini par un flux de Gauss ..pdf
Structure vectoriel des champs d'intéraction défini par un flux de Gauss ..pdf
 
Norton thevenin
Norton theveninNorton thevenin
Norton thevenin
 
Memoire fin etudes_1983
Memoire fin etudes_1983Memoire fin etudes_1983
Memoire fin etudes_1983
 
Cours capteursnucleaires
Cours capteursnucleairesCours capteursnucleaires
Cours capteursnucleaires
 
Claustrophobie de l'électron et stabilité des atomes
Claustrophobie de l'électron et stabilité des atomesClaustrophobie de l'électron et stabilité des atomes
Claustrophobie de l'électron et stabilité des atomes
 
Gauchard pierre alexis_p01
Gauchard pierre alexis_p01Gauchard pierre alexis_p01
Gauchard pierre alexis_p01
 
Cours spectroscopie gamma et RPE lst (1).pdf
Cours spectroscopie gamma et RPE lst (1).pdfCours spectroscopie gamma et RPE lst (1).pdf
Cours spectroscopie gamma et RPE lst (1).pdf
 

Plus de Christophe Palermo

Electricité-électrotechnique : CM4 Machine à courant continu
Electricité-électrotechnique : CM4 Machine à courant continuElectricité-électrotechnique : CM4 Machine à courant continu
Electricité-électrotechnique : CM4 Machine à courant continu
Christophe Palermo
 
Electricité : sécurité électrique (CM1)
Electricité : sécurité électrique (CM1)Electricité : sécurité électrique (CM1)
Electricité : sécurité électrique (CM1)
Christophe Palermo
 
Equations différentielles, DUT MP, CM 5
Equations différentielles, DUT MP, CM 5Equations différentielles, DUT MP, CM 5
Equations différentielles, DUT MP, CM 5
Christophe Palermo
 
TeraHertz three-dimensional plasma resonances in InGaAs diodes: a hydrodynami...
TeraHertz three-dimensional plasma resonances in InGaAs diodes: a hydrodynami...TeraHertz three-dimensional plasma resonances in InGaAs diodes: a hydrodynami...
TeraHertz three-dimensional plasma resonances in InGaAs diodes: a hydrodynami...
Christophe Palermo
 

Plus de Christophe Palermo (9)

Securite electrique
Securite electriqueSecurite electrique
Securite electrique
 
Le moteur asynchrone
Le moteur asynchroneLe moteur asynchrone
Le moteur asynchrone
 
Alternateur synchrone
Alternateur synchroneAlternateur synchrone
Alternateur synchrone
 
Systemes triphases
Systemes triphasesSystemes triphases
Systemes triphases
 
CM Transformateur monophasé
CM Transformateur monophaséCM Transformateur monophasé
CM Transformateur monophasé
 
Electricité-électrotechnique : CM4 Machine à courant continu
Electricité-électrotechnique : CM4 Machine à courant continuElectricité-électrotechnique : CM4 Machine à courant continu
Electricité-électrotechnique : CM4 Machine à courant continu
 
Electricité : sécurité électrique (CM1)
Electricité : sécurité électrique (CM1)Electricité : sécurité électrique (CM1)
Electricité : sécurité électrique (CM1)
 
Equations différentielles, DUT MP, CM 5
Equations différentielles, DUT MP, CM 5Equations différentielles, DUT MP, CM 5
Equations différentielles, DUT MP, CM 5
 
TeraHertz three-dimensional plasma resonances in InGaAs diodes: a hydrodynami...
TeraHertz three-dimensional plasma resonances in InGaAs diodes: a hydrodynami...TeraHertz three-dimensional plasma resonances in InGaAs diodes: a hydrodynami...
TeraHertz three-dimensional plasma resonances in InGaAs diodes: a hydrodynami...
 

Dernier

Dernier (14)

Exemple de grille d'audit 5S, check liste Audit
Exemple de grille d'audit 5S, check liste AuditExemple de grille d'audit 5S, check liste Audit
Exemple de grille d'audit 5S, check liste Audit
 
GHASSOUB _Seance 4_ measurement and evaluation in education_-.pptx
GHASSOUB _Seance 4_ measurement and evaluation in education_-.pptxGHASSOUB _Seance 4_ measurement and evaluation in education_-.pptx
GHASSOUB _Seance 4_ measurement and evaluation in education_-.pptx
 
Réunion des directeurs de Jonzac - 15 mai 2024
Réunion des directeurs de Jonzac - 15 mai 2024Réunion des directeurs de Jonzac - 15 mai 2024
Réunion des directeurs de Jonzac - 15 mai 2024
 
PowerPoint-de-Soutenance-de-TFE-infirmier.pdf
PowerPoint-de-Soutenance-de-TFE-infirmier.pdfPowerPoint-de-Soutenance-de-TFE-infirmier.pdf
PowerPoint-de-Soutenance-de-TFE-infirmier.pdf
 
Àma Gloria.pptx Un film tourné au Cap Vert et en France
Àma Gloria.pptx   Un film tourné au Cap Vert et en FranceÀma Gloria.pptx   Un film tourné au Cap Vert et en France
Àma Gloria.pptx Un film tourné au Cap Vert et en France
 
Un petit coin etwinning- Au fil des cultures urbaines
Un petit coin  etwinning- Au fil des cultures urbainesUn petit coin  etwinning- Au fil des cultures urbaines
Un petit coin etwinning- Au fil des cultures urbaines
 
Les débuts de la collection "Le livre de poche"
Les débuts de la collection "Le livre de poche"Les débuts de la collection "Le livre de poche"
Les débuts de la collection "Le livre de poche"
 
GHASSOUB _Seance 3_ measurement and evaluation in education.pptx
GHASSOUB _Seance 3_ measurement and evaluation in education.pptxGHASSOUB _Seance 3_ measurement and evaluation in education.pptx
GHASSOUB _Seance 3_ measurement and evaluation in education.pptx
 
rapport de stage gros oeuvre_compressed.pdf
rapport de stage gros oeuvre_compressed.pdfrapport de stage gros oeuvre_compressed.pdf
rapport de stage gros oeuvre_compressed.pdf
 
Fiche de vocabulaire pour faire une appréciation
Fiche de vocabulaire pour faire une appréciationFiche de vocabulaire pour faire une appréciation
Fiche de vocabulaire pour faire une appréciation
 
Texte avec différentes critiques positives, négatives ou mitigées
Texte avec différentes critiques positives, négatives ou mitigéesTexte avec différentes critiques positives, négatives ou mitigées
Texte avec différentes critiques positives, négatives ou mitigées
 
Nathanaëlle Herbelin.pptx Peintre française
Nathanaëlle Herbelin.pptx Peintre françaiseNathanaëlle Herbelin.pptx Peintre française
Nathanaëlle Herbelin.pptx Peintre française
 
Quitter la nuit. pptx
Quitter          la        nuit.    pptxQuitter          la        nuit.    pptx
Quitter la nuit. pptx
 
Quitter la nuit. pptx
Quitter        la             nuit.   pptxQuitter        la             nuit.   pptx
Quitter la nuit. pptx
 

Equations différentielles, DUT MP, CM3

  • 1. Les équations différentielles Outils de résolution des équations linéaires du premier ordre Christophe Palermo IUT de Montpellier Département Mesures Physiques & Institut d’Electronique du Sud Université Montpellier 2 Web : http://palermo.wordpress.com e-mail : cpalermo@um2.fr twitter: @chr_palermo Cours du 30 novembre 2010 MONTPELLIER
  • 2. Plan 1 Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale Exemple du circuit RC série 2 Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes Recherche d’une solution particulière Exemple du circuit RC série 3 La méthode de Lagrange Principe Exemple du circuit RC série IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 2
  • 3. Outils et linéarite Au premier ordre, deux possibilités : L’équation n’est pas linéaire exemple : ˙y − 3ty2 = 0 L’équation est à variable séparées L’équation n’est pas à variable séparées (substitution, numérique) L’équation est linéaire =⇒ deux questions : est-elle homogène ou inhomogène ? à coefficients constants ou pas ? IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 3
  • 4. Résolution des équations homogènes Plan 1 Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale Exemple du circuit RC série 2 Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes Recherche d’une solution particulière Exemple du circuit RC série 3 La méthode de Lagrange Principe Exemple du circuit RC série IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 4
  • 5. Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale EDL1 homogène Equation Différentielle Linéaire du 1er ordre (EDL1) homogène : a(t) · ˙y + b(t) · y = 0 c’est à dire a(t) · dy dt + b(t) · y = 0 En manipulant un peu : dy y = − b(t) a(t) · dt Une EDL1 homogène est à variables séparées ! En intégrant des deux côtés : ln[y(t)] = − b(t) a(t) · dt + B, B ∈ R Ensuite, deux possibilités : a(t) et/ou b(t) sont des fonctions : coefficients variables a(t) = a et b(t) = b sont des constantes : coefficients constants IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 5
  • 6. Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale Solution générale d’une EDL1 homogène Pour des coefficients variables : on pose − b(t) a(t) · dt = F(t) (pratique : constante d’intégration nulle) donc ln(y) = F(t) + B, B ∈ R et puis exp [ln y(t)] = y(t) = exp [−F(t) + B] = exp(B) · exp[−F(t)] On remplace exp(B) par K ∈ R et donc y(t) = K · exp[−F(t)] , K ∈ R Pour des coefficients constants : plus simple : primitive de −b/a avec const. d’intégration nulle : −bt/a donc − b a · dt = − b a t + B avec B ∈ R On remplace aussi exp(B) par K ∈ R et donc y(t) = K · exp − b a t , K ∈ R IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 6
  • 7. Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale Solution générale d’une EDL1 homogène Pour des coefficients variables : on pose − b(t) a(t) · dt = F(t) (pratique : constante d’intégration nulle) donc ln(y) = F(t) + B, B ∈ R et puis exp [ln y(t)] = y(t) = exp [−F(t) + B] = exp(B) · exp[−F(t)] On remplace exp(B) par K ∈ R et donc y(t) = K · exp[−F(t)] , K ∈ R Pour des coefficients constants : plus simple : primitive de −b/a avec const. d’intégration nulle : −bt/a donc − b a · dt = − b a t + B avec B ∈ R On remplace aussi exp(B) par K ∈ R et donc y(t) = K · exp − b a t , K ∈ R IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 6
  • 8. Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série Un exemple physique : circuit RC série u i E uR Exemple Dans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur de capacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur de tension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de 1 kΩ. IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 7
  • 9. Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série Analyse de l’énoncé Exemple Dans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur de capacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur de tension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de 1 kΩ. Analysons l’énoncé : Pour la mise en équation : L’inconnue à déterminer ? La loi à appliquer ? Le terme perturbateur ? Autres informations utiles ? IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 8
  • 10. Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série Analyse de l’énoncé Exemple Dans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur de capacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur de tension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de 1 kΩ. Analysons l’énoncé : Pour la mise en équation : L’inconnue à déterminer ? u La loi à appliquer ? Le terme perturbateur ? Autres informations utiles ? IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 8
  • 11. Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série Analyse de l’énoncé Exemple Dans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur de capacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur de tension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de 1 kΩ. Analysons l’énoncé : Pour la mise en équation : L’inconnue à déterminer ? u La loi à appliquer ? Noeuds et mailles Le terme perturbateur ? Autres informations utiles ? IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 8
  • 12. Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série Analyse de l’énoncé Exemple Dans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur de capacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur de tension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de 1 kΩ. Analysons l’énoncé : Pour la mise en équation : L’inconnue à déterminer ? u La loi à appliquer ? Noeuds et mailles Le terme perturbateur ? E = 0 V =⇒ équation homogène Autres informations utiles ? La condition initiale : u(0) = 3 V Les valeurs R = 1000 Ω et C = 2 × 10−3 F IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 8
  • 13. Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série L’équation différentielle u i E uR Le courant i est le même dans tout le circuit Condensateur : Q = Cu =⇒ i = dQ dt = C ˙u Résistance : uR = R · i = RC ˙u Loi des mailles : E = u + uR =⇒ 0 = u + RC ˙u L’équation différentielle : ˙u + u RC = 0 IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 9
  • 14. Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série Résolution de l’équation différentielle du u = −1 RC · dt (variables séparées et coefficients constantes) Donc ln u = − 1 RC · t + B avec B ∈ R Et finalement u = K · exp −t τ avec K ∈ R avec τ = RC = 1000 Ω · 2 × 10−3 F= 2 s Analyse dimensionnelle : τ est un temps [τ] = [Ω·F] = V A · C V = C A = A · s A = T Expression de la solution générale : infinité de solutions IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 10
  • 15. Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série La résolution du problème Nous avons extrait une infinité de solutions (donc) nous n’avons toujours pas résolu le problème physique Equation différentielle Solution générale La solution du problème Problème physique Loi ou principe Grandeurs physiques 1ère étape Outil math. Conditions initiales ou aux limites 2ème étape Outil math. Maintenant, on intègre les conditions initiales u(0) = 3 V d’après l’énoncé u(0) = K · exp(0) = K d’après notre solution générale Donc K = 3 V On a extrait l’unique solution du problème u(t) = 3 · exp −t 2 où u est en V et t en s. IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 11
  • 16. Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série Courbes 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 2 4 6 8 TensionauxbornesdeC(V) Temps 3 exp( t/ ) 2 exp( t/ ) exp( t/ ) La tension à un instant donné dépend de la tension initiale ! 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 4 6 8 Tensionnormaliséeu(t)/u(0) Temps 37 % 5 % Courbe intégrale : accès à toutes les solutions en multipliant par un réel IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 12
  • 17. Résolution des équations inhomogènes Plan 1 Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale Exemple du circuit RC série 2 Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes Recherche d’une solution particulière Exemple du circuit RC série 3 La méthode de Lagrange Principe Exemple du circuit RC série IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 13
  • 18. Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Solution d’une EDL1 linéaire inhomogène a(t) · ˙y + b(t) · y = p(t) [= 0] (I) p(t) = 0 ne change rien à la définition de la solution Résoudre une EDL1 inhomogène ⇐⇒ Résoudre une EDL1 homogène : trouver toutes les solutions de l’équation une infinité de solutions Solution générale : écriture avec une constante d’intégration Solution particulière : une fonction bien précise Mais il y a une nuance !... La recherche de la solution générale d’un EDL1 inhomogène n’est pas aussi simple que celle d’une EDL1 homogène IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 14
  • 19. Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Exemple Circuit RC série forcé par une tension E = 3 · cos(4t) du dt + u RC = 3 τ · cos(4t) Essayons de procéder comme précédemment : du u = − 1 RC + 3 · cos(4t) u dt L’équation n’est pas à variables séparées : impossible de continuer Différence entre EDL1 linéaire homogène et inhomogène Homogène : facile de trouver la solution générale Inhomogène : le plus souvent impossible de déterminer directement la solution générale IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 15
  • 20. Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Contre-exemple avec du déjà vu... La solution générale de ˙y = 2 est une somme y = 2t + r la solution générale de ˙y = 0 une solution particulière de ˙y = 2 avec constante d’intégration nulle La solution générale de ¨y = 2 est une somme y = t2 + rt + s la solution générale de ¨y = 0 une solution particulière de ¨y = 2 avec constante d’intégration nulle Nous revenons sur cet aspect de somme maintenant ! IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 16
  • 21. Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Une astuce ! ? Attention : “contre-exemple” car solution générale facile à trouver mais les techniques de résolution (somme) s’appliquent ⇒ 1 écriture → 2 approches Ce que nous venons de voir n’est pas une démonstration Mais : possibilité de trouver la solution générale de (I) par une simple addition ? Possibilité de “d’utiliser” (I) “sous une forme” homogène ? IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 17
  • 22. Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Une astuce ! ? Attention : “contre-exemple” car solution générale facile à trouver mais les techniques de résolution (somme) s’appliquent ⇒ 1 écriture → 2 approches Ce que nous venons de voir n’est pas une démonstration Mais : possibilité de trouver la solution générale de (I) par une simple addition ? Possibilité de “d’utiliser” (I) “sous une forme” homogène ? Maintenant : Définition de l’équation homogène associée Un petit peu d’algèbre linéaire (mais juste un petit peu alors....) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 17
  • 23. Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Equation homogène associée Soit une équation différentielle du premier ordre inhomogène : a(t) · ˙y + b(t) · y = p(t) (I) On lui associe l’équation homogène : a(t) · ˙y + b(t) · y = 0 (H) (H) est l’équation homogène associée à (I) Les solutions de yI de (I) sont liées aux solutions de yH de (H) ! IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 18
  • 24. Résolution des équations inhomogènes Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes Propriété importante des équations linéaires # 1 s olutions de (I) autr es fonctions solutio ns de (H) autre fonction linéaire Somme de deux solutions.... y1(t) −→ 0 est solution de (H) mais pas de (I) y3(t) −→ p(t) est solution de (I) Linéarité : y1(t) + y3(t) −→ 0 + p(t) = p(t) y1(t) + y3(t) est aussi solution (I) ! Pareil pour y1(t) + y2(t) + y8(t) + y3(t) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 19
  • 25. Résolution des équations inhomogènes Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes Propriété importante des équations linéaires # 2 La somme d’une solution particulière yP de (I) et de la solution générale yH de (H) est solution de (I) Mais surtout : la somme d’une solution particulière yP de (I) et de la solution générale yH de (H) est la solution générale de (I) Théorème (que nous ne démontrerons pas !) La solution générale yI d’une équation différentielle linéaire inhomogène du premier ordre est la somme d’une solution particulière yP de cette équation (I) et de la solution générale yH de l’équation différentielle homogène associée (H), de sorte que : yI = yH + yP IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 20
  • 26. Résolution des équations inhomogènes Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes Synthèse de la recherche de yI Résoudre une équation inhomogène (I) ⇐⇒ Trouver sa solution générale Difficulté : pas de séparation de variables (sauf exception) On utilise ce qui est en fait une astuce de calcul en 4 étapes : 1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 3 Trouver une solution particulière yP de (I) 4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP Concrètement : yH est facile à trouver Mais comment trouver yP ? IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 21
  • 27. Résolution des équations inhomogènes Recherche d’une solution particulière Recherche de yP Pour trouver yP 1 On va exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues 2 On va injecter yP dans l’équation inhomogène (I) (puisqu’elle en est une solution) 3 On va fixer les inconnues Mais comment choisir l’expression de yP de l’étape 1 ? Méthode du tableau Méthode de Lagrange IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 22
  • 28. Résolution des équations inhomogènes Recherche d’une solution particulière La méthode du tableau Forme de p(t) Forme yP recommandée Remarques k ∈ R α ∈ R ekt · [A · sin(mt) ekt · [α · sin(mt) • valable pour k = 0 +B · cos(mt)] +β · cos(mt)] et pour A = 0 ou B = 0 exp(kt) · P(t) exp(kt) · Q(t) • valable pour k = 0 • deg(Q) = deg(P) si k = −b/a • deg(Q) = 1+deg(P) si k = −b/a P1(t) sin(mt) Q1(t) sin(mt) • Faire apparaître sin +P2(t) cos(mt) +Q2(t) cos(mt) et cos dans yP même si P1(t) = 0 ou P2(t) = 0 • deg(Q1) = deg(P1) et deg(Q2) = deg(P2) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 23
  • 29. Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série Exemple # 1 : circuit RC série et tension continue On applique au circuit RC vu précédemment une tension continue E(t) = E = 3 V alors que le condensateur n’est initialement pas polarisé. Décrire l’évolution dans le temps de u. ˙u + 1 τ u = 3 τ (I) avec τ = RC = 2 s. Equation différentielle Solution générale La solution du problème Problème physique Loi ou principe Grandeurs physiques 1ère étape Outil math. Conditions initiales ou aux limites 2ème étape Outil math. Ce que nous allons faire : 1 Déterminer la solution générale de (I) 2 Donner la solution du problème IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 24
  • 30. Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série Exemple # 1 : détermination de uI En 4 étapes : 1 Equation homogène associée (H) ˙u + 1 τ u = 0 (H) avec τ = RC = 2 s 2 Equation déjà résolue : uH(t) = K exp −t 2 avec K ∈ R 3 Trouver une solution particulière uP de (I) 1 Forme de uP(t) “à quelque chose près” : uP(t) = α 2 Injection dans (I) : 0 + α/τ = 3/τ 3 α = 3 et donc uP = 3 4 Solution générale uI de (I) : uI = uH + uP = uI = K · e−t/2 + 3 avec K ∈ R IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 25
  • 31. Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série Exemple # 1 : Solution du problème La solution du problème = solution pour laquelle les conditions initiales sont vérifiées Conditions initiales : u(0) = 0 d’après l’énoncé u(0) = K + 3 d’après la solution générale uI donc K = −3 La solution du problème : u(t) = 3 1 − e −t 2 N. B. : pas de constante d’intégration → solution particulière IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 26
  • 32. Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série Exemple # 1 : courbe de la solution condition initiale vers régime continu (permanent) Remarques Modification de la solution générale par le terme perturbateur Conditions initiales : courbe croissante (= cas de la décharge) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 27
  • 33. Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série Exemple # 2 : circuit série RC et tension harmonique On applique au circuit une tension sinusoïdale E(t) = 3 · cos(4t) et donc : ˙u + 1 τ · u = 3 τ · cos(4t) Même chose que précédemment : uH = K · e−t/2 avec K ∈ R Seule différence : détermination de uP Choix de uP = α cos(4t) + β sin(4t) Injection dans (I) : −4α sin(4t) + 4β cos(4t) ˙uP +1 2 [α cos(4t) + β sin(4t) ˙uP ] = 3 2 cos(4t) Détermination par identification : (α 2 + 4β) cos(4t) + (−4α + β 2 ) sin(4t) = 3 2 cos(4t) ∀t ∈ R α 2 + 4β = 3 2 −4α + β 2 = 0 ⇔ α = 3/65 β = 24/65 ⇔ uP = 3 65 cos(4t) + 24 65 sin(4t) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 28
  • 34. Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série Exemple #2 : Solutions générale uI et du problème u uI(t) = K · e−t/2 + 3 65 cos(4t) + 24 65 sin(4t) avec K ∈ R Solution du problème = solution particulière pour laquelle u(0) = 0 Solution générale à t = 0 : 0 = K + 3 65 ⇔ K = −3 65 Solution du problème : u(t) = −3 65 · e−t/2 + 3 65 cos(4t) + 24 65 sin(4t) −3 −2 −1 0 1 2 3 0τ 2τ 4τ 6τ 8τ −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Perturbationp(t)(V) Tensionu(t)(V) Temps u(t) p(t) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 29
  • 35. La méthode de Lagrange Plan 1 Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale Exemple du circuit RC série 2 Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes Recherche d’une solution particulière Exemple du circuit RC série 3 La méthode de Lagrange Principe Exemple du circuit RC série IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 30
  • 36. La méthode de Lagrange Principe La méthode de Lagrange Aussi appelée méthode de variation de la constante. Principe de la méthode au premier ordre On peut trouver une solution particulière yP de (I) en remplaçant la constante K de la solution générale yH par une fonction du temps K(t) puis en l’injectant dans (I) pour déterminer K(t). Avantages : Pas besoin d’apprendre le tableau par cœur Peu de risques de se tromper Inconvénients : Souvent un petit peu plus longue Il faut savoir intégrer Fastidieuse au second ordre IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 31
  • 37. La méthode de Lagrange Exemple du circuit RC série Retour sur l’exemple # 1 ˙u + 1 τ u = 3 τ (I) avec τ = RC = 2 s. On a uH = K exp(−t/τ), K ∈ R On pose uP = K(t) · exp(−t/τ) et l’on injecte dans (I) : ˙K(t) · exp(−t/τ) − 1 τ K(t) · exp(−t/τ) ˙uP + 1 τ K(t) · exp(−t/τ) uP = 3 τ Simplification systématique : ˙K(t) = 3 τ exp t τ Constante nulle : K(t) = 3 exp t τ ⇐⇒ uP(t) = 3 exp t τ exp − t τ = 3 On trouve la même chose qu’avec le tableau IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 32
  • 38. La méthode de Lagrange Exemple du circuit RC série Retour sur l’exemple # 2 ˙u + 1 τ u = 3 τ cos(4t) (I) uH = K · exp −t 2 ⇒ uP = K(t) · exp −t 2 On arrive à ˙K(t) = 3 2 cos(4t) exp(t/2) = Re 3 2et/2ej4t L’intégration de 3 2 · et(1/2+4j) donne 3 2 · 2−16j 65 et(1/2+4j) avec cste nulle En ne gardant que la partie réelle : K(t) = 3 65 cos(4t) + 24 65 sin(4t) et/2 Même solution particulière qu’avec le tableau : uP(t) = 3 65 cos(4t) + 24 65 sin(4t) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 33
  • 39. La méthode de Lagrange Exemple du circuit RC série Synthèse de résolution d’un problème physique 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 3 Trouver une solution particulière yP de (I) 1 exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues (tableau ou Lagrange) 2 injecter yP dans l’équation inhomogène (I) 3 fixer les inconnues 4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problème IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 34