1. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES
CONJUNTO
El término conjunto y elemento de un conjunto son términos primitivos y no definidos. De un punto de vista
intuitivo parece ser que cualquier colección de objetos puede ser considerado un conjunto. Sin embargo esto
no es así, ya que de lo contrario se llega a paradojas.
En general podemos decir informalmente que los conjuntos no pueden ser “demasiado grandes”.
De esta manera, siempre supondremos que todos los conjuntos son elementos de un conjunto universal, U.
A menudo U no se menciona explícitamente, tal como ocurre con el dominio de una función proposicional.
Los conjuntos los denotamos por letras mayúsculas: A, B, C, . . y los elementos por letras minúsculas a, b, c,
. . .
Por ejemplo si A es el conjunto con los elementos 1, 2, 3, 4 se indica como: A = {1, 2, 3, 4}
RELACIONES
Sabemos que un conjunto está determinado por sus elementos; esto es, {a, b} = {b, a} y que el orden en el
cual los elementos aparecen no hace diferencia. En ocasiones, deseamos distinguir cuando los mismos
elementos están puestos en orden diferente. Para hacer esto introducimos el concepto de PAR ORDENADO.
Es posible realizar lo anterior en términos de conjuntos, sin embargo esta definición no es muy útil, de
manera que consideraremos un PAR ORDENADO como un término indefinido.
La notación será estándar: (a, b) donde a es el primer elemento y b es el segundo elemento.
Con el concepto de par ordenado, se puede definir una nueva operación entre conjuntos:
EL PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS.
Sean A, B conjuntos. El producto cartesiano de A con B, denotado A × B; es el conjunto de todos los pares
ordenados con primer elemento en A ysegundo elemento en B.
En símbolos: A × B = {(a, b) : a ∈ A y b ∈ B}.
Ejemplo: Si A = {1, 2, 3}, B = {a, b}
entonces: A × B = {(1, a),(1, b),(2, a),(2, b),(3, a),(3, b)}
B × A = {(a, 1),(a, 2),(a, 3),(b, 1),(b, 2),(b, 3)}
Observe en este ejemplo que A×B ≠ B ×A

2. RELACIÓN DE CONJUNTOS.
Sean A, B conjuntos. Una relación de A R B es un subconjunto de A × B. Si R es una relación de A R B
entonces un elemento (a, b) ∈ R será denotado como: a R b.
El dominio de R (denotado Dom(R)) es el conjunto de todos los primeros elementos de R; en símbolos
Dom(R) = {a : (a, b) ∈ R} = {a : a R b}.
La imagen de R (denotado por Im(R)) es el conjunto de todos los segundos elementos de R; en símbolos
Im(R) = {b : (a, b) ∈ R} = {b : a R b}.
Observe que Dom(R) ⊆ A y Im(R) ⊆ B.
Si A = B se dice que R es una relación en A.
Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3} y R la relación “menor que” en A; esto es: a R b si ysólo si a < b.
donde cada elemento de este arreglo es un elemento de A × A y, (1, 3), (2, 3) y (1, 2) son los pares ordenados
de la relación R.
En este ejemplo: Dom(R) = {1, 2} y Im(R) = {2, 3}.
Otros Ejemplos
1. Sea A el conjunto de todas las personas (vivas) del mundo. Para x, y ∈ A definimos: x R y si y sólo
si y es el padre de x. Entonces R es una relación en A.
Los pares ordenados son de la forma:
(x, padre de x) y Dom(R) = {x : uno de los padres de x esta vivo }.
2. Sea Acualquier conjunto. Para x, y ∈ Ase define x R ysi ysólo si x = y.
Entonces R es una relación en A. Los pares ordenados son de la forma (x, x),
Dom(R) = A y Im(R) = A.
3. Sea A = {1, 2, 3} y B = {1, 2}.
Entonces si consideramos: R = {(3, 1),(3, 2)}, tenemos que: Dom(R) = {3} , Im(R) = {1, 2}

3. 4. Sea A el conjunto de todos los triángulos en el plano.
Si s, t ∈ Adiremos que s R t si ysólo si s es similar (semejante) a t. Entonces R es una relación en
A y Dom(R) = Im(R) = A
Observación:
Sea R una relación en el conjunto A.
Diremos que:
a) R es reflexiva si ysólo si ∀ a ∈ A, a R a.
b) R es simétrica si ysólo si ∀ a, b ∈ A, a R b →b R a.
c) R es transitiva si ysólo si ∀ a, b, c ∈ A, (a R b ∧ b R c) →a R c.
d) R es antisimétrica si ysólo si ∀ a, b ∈ A, (a R b ∧b R a) →a = b.
e) R es irreflexiva si ysólo si ∀ a ∈ A, ¬(a R a) (o no se cumple que: a R a).
f) R es completa si ysólo si ∀ a, b ∈ A, a ≠ b →(a R b ∨ b R a).
g) R es asimétrica si y sólo si ∀ a, b ∈ A, a R b →¬(b R a).
h) R es una relación de equivalencia si y sólo si R es reflexiva, simétrica y transitiva.
i) R es un orden parcial si y sólo si R es reflexiva, transitiva y antisimétrica.
j) R es un orden parcial estricto si y sólo si R es irreflexiva y transitiva.
k) R es un orden total si ysólo si R es un orden parcial y completa.
l) R es un orden total estricto si y sólo si es un orden parcial estricto ycompleta.
Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3, 4} y las relaciones:
R = {(1, 2),(2, 3)} S = {(1, 1),(2, 2),(1, 2),(2, 1),(3, 4)}
T = {(1, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 4)}.
Entonces: R no es reflexiva, no es simétrica, no es transitiva, es antisimétrica, es irreflexiva, no es
completa, es asimétrica.
S no es reflexiva, no es simétrica, es transitiva, no es antisimétrica, no es irreflexiva, no es
completa, no es asimétrica.
T es reflexiva, es simétrica, es transitiva, es antisimétrica, no es irreflexiva, no es completa,
no es asimétrica.

4. FUNCIONES
Las funciones juegan un papel muy importante en matemática. Una precisa definición es la siguiente:
Sea f una relación de A en B. Entonces f es una función de A en B (denotado f : A →B y se lee “f es una
función de Aen B”) si ysólo si:
a) Dom(f) = A
b) ∀ x ∈ A, ∀ y, z ∈ B [(x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈ f] →y = z.
En palabras, lo anterior dice que si f es una relación de A en B tal que para cada x ∈ A existe exactamente
un y ∈ B tal que (x, y) ∈ f, entonces f es una función.
NOTACIÓN FUNCIONAL: y = f(x).
Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, consideremos los siguientes:
A = {1, 2, 3, 4} y B = {1, 2, 3, 4, 5}
f = {(1, 2),(2, 3),(3, 4),(4, 5)}
g = {(1, 2),(1, 3),(2, 4),(3, 5),(4, 5)}
h = {(1, 1),(2, 2),(3, 3)}.
Entonces f, g y h son relaciones de Aen B, pero:
sólo f es una función;
g no es función ya que (1, 2) y (1, 3) son elementos de g.
Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1, 2, 3} ≠ A.
Observemos que f tiene una simple forma y puede ser descrita por una formula:
∀x ∈ A, f(x) = x + 1.
La mayoría de las funciones conocidas en calculo son dadas por una formula. Sin embargo esto no es
necesario y, en general en matemática, las funciones no están dadas por formulas.
Notación: Sea f : A →B y (x, y) ∈ f entonces escribimos y = f(x).
Observe que el nombre de la función es f y que f(x) no es el nombre de la función sino un elemento de B.
Si y = f(x) entonces decimos que y es la imagen de x y que x es una preimagen de y.
Ya que f es una relación se puede hablar de su dominio e imagen.

5. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d} y definamos f : A →B, tal que:
f(1) = b, f(2) = b, f(3) = a, f(4) = d, f(5) = a.
Grafique este ejemplo.
CLASES DE FUNCIONES
Sea f : A →B. Entonces:
a) Se dice que f es uno a uno (o f es inyectiva) si ysólo si ∀ w, z ∈ A,
f(w) = f(z) implica w = z.
b) Se dice que f es sobre (o f es sobreyectiva) si ysólo si Im(f) = B.
c) Se dice que f es biyectiva (o biunivoca) si ysólo si f es a la vez uno a uno ysobre.
Ejercicios:
1) Sean A = {a, b, c}, B = {1, 2}, C = {4, 5, 6}.
a) Dé la lista de los elementos de A × B, B × A, A × C.
b) Dé ejemplos de relaciones de A en B y de B en A, con 4 elementos cada una.
2) Sean A = {1, 2, 4}, B = {1, 3, 4}.
Sean R = {(1, 3),(1, 4),(4, 4)} una relación de A en B
S = {(1, 1),(3, 4),(3, 2)} una relation de B en A.
Encuentre:
a) Dom(R) f) Dom(R) U Dom(S)
b) Dom(S) g) Dom(R) ∩ Dom(S)
c) Im(R) h) Im(R) U Im(S)
e) Im(S) i) Im(R) ∩ Im(S)
3) Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y sea f : A → A una función dada por:
f(x) = x + 1 , si x ≠ 6; y f(x) = 1 , si x = 6.
a) Encuentre f(3), f(6), f (f(3)), f(f(2)).
b) Encuentre una preimagen de 2 y de 1.
c) Muestre que f es inyectiva.
4) De ejemplos para demostrar que f : R → R dada por f(x) = x 3 es inyectiva y sobre mientras que
g : R → R dada por g(x) = x 2 − 1 no es inyectiva ni es sobre.
5) En la relación: “El estacionamiento de la universidad los profesores tienen un lugar específico para estacionar
su carro.”, será inyectiva. De ejemplos.
6) Grafique e indique si es función o no, clasifíquela
y = x2 - 1

6. 7) Dados los conjuntos: A = {Familia Rodríguez}
Miembro Edad Peso Estatura
Papá Alfonso (A) 42 77 1.80
Mamá Beatriz (B) 40 57 1.68
Hijo 1 Carlos (C) 19 61 1.88
Hijo 2 David (D) 17 66 1.63
Hijo 3 Elena (E) 15 48 1.53
Encuentre y grafique: R1: … es papá de …
R2: … es mas alto que …
R3: … es mas pesado que …
8) Dados los conjuntos: A = {5, 7}, B = {7, 9} y C = {9, 10 11}; completa la siguiente tabla colocando ∈o ∉según
corresponda.
9) Se deja caer una pelota desde un edificio y se registra en la siguiente tabla la medida del espacio recorrido e,
en metros, en función del tiempo t, en segundos:
a. A partir de la tabla encuentra una fórmula (e(t)) para el espacio recorrido en función del tiempo. Indica
dominio y posibles codominios para la función e.
b. Representa gráficamente e en función de t.
c. Clasifica la función. Justifica tu respuesta.
10) En el conjunto: A = {9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1}
Encuentre: R1 = {(a, b) / “a” es el doble de “b”} y R2 = {(a, b) / “a” no es el doble a “b”}
11) Hallar “ab”, si el conjunto de pares ordenados representa una función.
F = {(2; 3), (3; a - b), (2; a + b), (3; 1)}
12) De la función: F = {(2; 2a), (2; a2), (a; b), (a + 2; b), (4; 4)}
Hallar: “a + b”
13) De la función: F = {(2; 3), (3; 4), (4; 1)}

7. Calcular:
)
)3(
F()
)2(
F(
FFA 
14) Dada la función F: A  B. Hallar la suma de elementos de:
15) Dadas las siguientes graficas cuáles son funciones:
16) Hallar: “A”. Si se tiene: F: A  B, una función:
3
a
a-1
1
A BF
y
x x
y y
x x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
3
5
a+1
4
A BF

8. 17) Dada g(x) = 3x2 - 4, calcule:
a) g(– 4) e) g(x – h)
b) g(1/2) f) g(x) – g(h)
c) g(x2) g)
h
)x(g)hx(g 
, h  0
d) g(3x2 – 4)
18) Un hombre que navega en una barca a remos se encuentra a 2 millas del punto B más cercano de una costa
rectilínea, y desea llegar a su casa, la cual está en la citada costa a 6 millas de B. El hombre puede remar a
razón de 3 millas/hora y caminar a 5 millas/horas. Si “x” denota la distancia de b al punto de desembarque y,
suponiendo que no tiene contratiempo en llegar a su casa,
a) Determinar el tiempo empleado “T[x]”, en horas, para cumplir su objetivo. Dar la variación de x.
b) Si x = 2
3
, hallar T. Compare este valor de T con los que se obtienen cuando x = 1 y cuando x = 2.
19) A un campo de forma rectangular se le colocaron 240 m de cerca. Encuentre un modelo matemático que
exprese el área del terreno como una función de su longitud.
20) Sea el costo de una tela en función de su medida “x” denotado por:
C(x) = x + 1 (en soles)
Para 3 metros de tela cuanto debe invertir. (en soles)

9. CULTURA MATEMÁTICA
HISTORIA: La palabra función fue introducida en 1694 por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) para
designar una cantidad asociada con una curva. En el año 1718, Bernoulli (1667 – 1748) consideraba una
función como una expresión algebraica formada por constantes y variables. Las ecuaciones o fórmulas
con constantes y variables surgieron con Leonahard Euler (1797 – 1783). Su definición de función es la
que generalmente se encuentra en los libros de matemáticas a nivel de enseñanza media. En 1734 Euler y
Alexis Clairaut (1713 - 1765) introdujeron la notación f (x) . La idea de Euler permaneció intacta hasta la
época de Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) quien encontró la necesidad de un tipo más general
de función en su estudio de series trigonométricas. En 1837, Meter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 –
1859) estableció una formulación más rigurosa de los conceptos de variable, función y correspondencia
entre la variable independiente y la variable dependiente. El trabajo de Dirichlet enfatiza la relación entre
dos conjuntos de números y no pide la existencia de una fórmula o expresión que relaciones a los dos
conjuntos. Con los desarrollos de la teoría de conjuntos de George Cantor, se llegó a una generalización
de la función como un tipo de relación particular.