2. PERMBAJTJA
Nocionet themelore të kombinatorikës
Hyrja në probabilitet
Nocionet themelore dhe llojet e kombinatorikës
• Permutacionet
• Variacionet
• Kombinacionet
3. NOCIONET THEMELORE
Kombinimi në mes të matematikës dhe statistikës
vazhdon duke aplikuar metodat e probabilitetit
Qëllimi i probabilitetit është që të hetoj dukuritë të
cilat mund të parashihen si të mundshme apo jo të
mundshme
Përveq probabilitetit, në statistikë përdoret edhe
Kombinatorika
Kombinatorika bazohet në:
Permutacion
Variacion, dhe
Kombinacion
4. PERMUTACIONET: HYRJE
Me permutacione nënkuptojmë mënyrat e
rradhitjes së n elementeve (objekteve) të një
bashkësie
Shembull: një top i kuq dhe një top i kaltër mund të
rradhiten
ose
Numri i permutacioneve në këtë rast është _____
5. PERMUTACIONET: LLOJET
Varësisht se a përsëritet apo jo ndonjë nga
elementet (objektet) e bashkësisë, permutacionet
mund të jenë
Me përseritje
P.sh.: 2 topa të kuq dhe 1 i kaltër
Pa përsëritje
P.sh.: 1 top i kuq dhe 1 i kaltër, ose
1 top i kuq, 1 top i kaltër, 1 top i zi
6. PERMUTACIONET PA
PERSERITJE
Permutacioni pa përsëritje i një bashkësie paraqet
përcaktimin e të gjitha përmutacioneve të asaj bashkësie
me n elemente
Shënohet me n (numrin e elementeve të bashkësisë)
Pn
P.sh. Permutacionet e bashkësisë prej 3 topave (i kuq, i
kaltër dhe i zi), do të shënoheshin
P3
7. PERMUTACIONET PA
PWRSERITJE (SHEMBULL 1)
Shembull. Le të jetë një bashkësi me 3 elemente (1,2,3).
Të llogariten të gjitha permutacionet mundshme.
pasi: n = 3 atëherë: 2
1 3
Pn = n!= 3!= 3 ⋅ 2 ⋅1 = 6
d.m.th. janë 6 permutacione të mundshme
dhe ato janë:
Pn
1 2 3 1 2 3 1 2 3
P =
1 1 2 3 = 123
P =
1 1 3 2 = 132
P =
1 2 1 3 = 213
1 2 3 1 2 3 1 2 3
123 132 213
P =
2 3 1 = 231
P =
3 1 2 = 312
P =
3 2 1 = 321
1
1
1
321 231 312
8. PERMUTACIONET PA
PWRSERITJE (SHEMBULL 1)
Shembull. Le të jetë një bashkësi me 3 elemente (A,B,C).
Të llogariten të gjitha permutacionet mundshme.
pasi: n = 3 atëherë:
Pn = n!= 3!= 3 ⋅ 2 ⋅1 = 6
Atëherë kemi 6 permutacione të mundshme
dhe ato janë:
ABC BAC CAB
ACB BCA CBA
Le të jetë një bashkësi me 4 elemente (1,2,3,4). Llogarit
numrin e permutacioneve të mundshme
9. PERMUTACIONET ME
PERSERITJE
Permutacionet me përsëritje të një bashkësie
llogariten kur një ose disa elemente të bashkësisë
përsëriten disa herë
Numri i permutacioneve në rast të përsëritjes është ëm i
vogël
Mendo: nëse në vend të një topi të kuq dhe një të kaltër
në shembullin e kaluar tani do të kishim 2 topa të kuq,
pra topi i kuq përsëritet 2 here
dhe janë e njejta gjë:
Në vend të 2 mënyrave të rradhitjes, tani kemi vetem 1
10. PERMUTACIONET ME
PERSERITJE (2)
Në bashkësi me n elemente, nëse ato përsëriten k herë,
atëherë numri i permutacioneve do të jetë për k! më i
vogël
Shënohen me
Pkn ku n – numri i elementeve të bashkësëisë
k – tregon sa herë përsëritet elementi
P.sh. Nëse kemi 4 topa: 1 të kuq dhe 3 të kaltër, kemi P34
Numri i permutacioneve do të llogaritej me formulën
n!
P = k
n
k! …llogarit numrin e permutacioneve
11. PERMUTACIONET ME
PERSERITJE (3)
Ose. nëse përsëriten dy elemente, do të shkruhej
n ku n – numri i elementeve të bashkësëisë
Pk1 , k 2
k1– tregon sa herë përsëritet elementi i parë
k2– tregon sa herë përsëritet elementi i dytë
5
P.sh. Nëse kemi 5 topa: 2 të kuq dhe 3 të kaltër, kemi P
2,3
Numri i permutacioneve do të llogaritej me formulën
n!
P n
k1 , k 2 =
k1!⋅k 2 ! …llogarit numrin e permutacioneve
12. PERMUTACIONET ME
PWRSERITJE (SHEMBULL)
Shembull. Le të jetë një bashkësi me 4 elemente (SSTT).
Të llogariten të gjitha permutacionet mundshme.
pasi: n = 4 atëherë:
4! 24
P n
k1 , k 2 =P =
4
2, 2 = =6
2!⋅2! 4
d.m.th. janë 6 permutacione të mundshme dhe ato janë:
SSTT TSTS TTSS
STST TSST STTS
13. VARIACIONET (1)
Variacionet janë mënyrat e rradhitjes grupeve
(klasave) të ndryshme të elementeve të nxjerra nga
një bashkësi prej n elementeve
P.sh., nëse janë 20 sportistë që do të garojnë në
një garë për tri medale: të artë, të argjendtë dhe të
bronztë.
Pra, bashkësia ka 20 elemente
Nga këto nxirren grupet e mundshme me nga 3 fitues
Secili grup prej 3 fitues ka pastaj permutacionet e veta:
Mënyrat e rradhitjes: cili e merr medalen e artë, cili të
argjendtën e cili të bronztën
14. VARIACIONET (2)
Variacionet shënohen
k
V n
Ku n = numri i elementeve të bashkësisë
k = numri i elementeve në grupin e zgjedhur
Në shembullin tonë: nga 20 studentë zgjedhen grupet nga 3
studentë 3
V20
Varësisht nga paraqitja e ndonjë elementi ne rend,
edhe variacionet mund të jenë pa dhe me përsëritje
15. VARIACIONET PA PERSERITJE (1)
Vriacionet pa përsëritje llogariten:
n!
V = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ⋅ ⋅ (n − k + 1) =
n
k
(n − k )!
Shembull: Llogarit numrin e variacioneve të grupeve nga 4
elemente të nxjerra nga një tërësi e 9 elementeve (ku
elementet jane numrat 1,2,3,…,9).
n = 9 dhe k=4
fillojme nga :
(n − k + 1) = (9 − 4 + 1) = 6
K = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3024
4
9
(d.m.th. janë 3024 variacione të mundshme)
16. VARIACIONET PA PERSERITJE (2)
Shembull. Nga 20 studetë të viti të parë duhet të zgjidhen
tre studentë të cilët do të kyçen në hulumtime të institutit ne
pozitat: hulumtues, asistent-hulumtues dhe recepcionist.
Duhet të përcaktohet (të llogaritet) mënyra dhe numri i
zgjedhjes së tre studentëve.
n = 20 dhe k =3
fillojmë nga :
(n − k + 1) = (20 − 3 + 1) = 18
n!
K = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ⋅ ⋅ (n − k + 1) =
k
n
(n − k )!
20! 20 ⋅19 ⋅18 ⋅17!
K 20 =
3
= = 20 ⋅19 ⋅18 = 6840
(20 − 3)! 17!
(d.m.th. janë 6840 variacione të 20 studentëve të klasit tre (nga tre studentë))
17. VARIACIONET ME PERSERITJE (1)
Variacionet me përsëritje llogariten
V =n
n
k k
Ku n = numri i elementeve të bashkësisë
k = numri i elementeve në grupin e zgjedhur nga bashkësia
18. VARIACIONET ME PERSERITJE (2)
Shembull: Nga bashkësia e 4 shkronjave (A, B, C, D), sa
grupe me nga 2 shkronja me përsëritje mund të nxirren?
V = 4 = 16
4
2 2
Variacionet do të ishin
{A A}, {A B}, {A C}, {A D}
{B,A},{B B}, {B C}, {B D},
{C A},{C B}, {C C}, {C D},
{D A},{D B}, {D C},{D D}
19. KOMBINACIONET (1)
Kombinacionet janë kombinimet e ndryshme të
grupeve (klasave) të k elementeve që mund të
nxirren nga një bashkësi me n elemente
p.sh. Nëse nga 100 studentë në klasë dëshirojmë të
zgjedhim 3 studentë për t’i shpallur studentë të dalluar,
kombinacioni tregon sa kombimine të ndryshhme nga
3 studentë mund të zgjedhen.
Shënohen
k ku n – numri total i elementeve të bashkësisë
C n
k – numri i elementeve që përmban grupi (ose klasa) e
nxjerrë nga bashkësia
3
Pra, në shembullin tonë C100
20. KOMBINACIONET (2)
Për dallim prej permutacioneve tek
kombinacionet nuk është me rëndësi renditja
d.m.th. (a,b,c) dhe (c,b,a) janë të njejta
Ose, në shembullin tonë, studenentët e zgjedhur
mund të jenë:
Edona, Zana dhe Arta OSE Zana, Edona, Arta
Nuk është me rëndësi cila është e para: të gjitha do të
jenë studente të dalluara.
Edhe kombinacionet ndahen në ato pa
dhe me përsëritje
21. KOMBINACIONET PA PERSERITJE
Kombinacionet pa përsëritje llogariten me formulën
k = numri i elementeve (klasave) ne grupin e zgjedhur
n!
Cn =
k
ku : n = numri total i elementeve te bashkesise
k!(n − k )!
k
Ose si raport i variacioneve pa përsëritje dhe
permutacioneve pa përsëritje
Vnk n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ⋅ ⋅ (n − k + 1)
Cn =
k
= ⋅
Pk k ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
22. KOMBINACIONET PA
PERSERITJE: SHEMBUJ
Shembull. Nga numri total, 40, i studentëve, sa është numri i
mundshëm i kombinacioneve për zgjedhjen e dy studentëve
për shperblim?
pra : n = 40 40! 40 ⋅ 39 ⋅ 38!
C =
2
40 = = 760
k =2 2!⋅(40 − 2)! 2!⋅38!
Shembull. Sa është numri i kombinimeve të mundshme për
të fituar llotarine nëse nga 36 numra zgjidhen 6?
pra : n = 36
k =6
36! 36 ⋅ 35 ⋅ 34 ⋅ 33 ⋅ 32 ⋅ 31 ⋅ 30!
C =
6
36 = = 1,947,792
6!⋅(36 − 6)! 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 ⋅ 30!
23. KOMBINACIONET ME PERSERITJE
Kombinacionet pa përsëritje llogariten me
formulën (n + k − 1)!
C =k
n
k!(n − 1)!
Shembull. Emrat e 10 studentëve i shkruajme në copa letre dhe i
fusim ne një kuti. Nga kutia njxerrim 4 emra një nga një: e
nxjerrim një emer, e shënojmë, e kthejmë në kuti, pastaj
vazhdojmë kështu me rradhë. Sa është numri i kombinimeve
grupeve nga 4 studentë që mund të nxirren në këtë
mënyrëtë?
(10 + 4 − 1)! 13! 13 ⋅12 ⋅11 ⋅10 ⋅ 9!
C =
4
10 = = = 715
4!(10 − 1)! 4!9! 4!9!
