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Equilibre électrostatique des conducteurs


I- Conducteurs à l’équilibre électrostatique

1) Définition

Un conducteur est un corps où existent en grandes quantités des charges électriques libres.
Ces charges peuvent se déplacer sous l’action d’un champ électrique extérieure.


2) Définition de l’équilibre électrique

Un conducteur est en équilibre électrique si ses charges libres sont au repos relatif (vitesse
moyenne des porteurs libres dans le conducteur est nulle). Les conducteurs étudiés sont
supposés être homogènes et en équilibre thermique.


3) Propriétés électriques d’un conducteur en l’équilibre électrostatique

       a) Champ électrique

Soit q une charge libre dans un conducteur en équilibre. La charge q étant immobile, sa
                                                           r
vitesse moyenne est donc nulle et la résultante des forces F agissant sur cette charge est aussi
nulle.
                                         r        r              r
La loi de coulomb permet d’écrire :      F = q E int          où E int est le champ en tout point intérieur
du conducteur. Nous en déduisons que :
                                              r           r
                                              E int = 0

       b) Potentiel électrique
         r         r                                                 r uu
                                                                        r
Puisque E int   = 0 , la relation champ-potentiel dVint = − E int dl donne dVint = 0 , d’où :

                                          Vint = constante


Donc à l’intérieur d’un conducteur en l’équilibre le potentiel est constant. Par continuité, la
surface limitant le volume du conducteur en l’équilibre est une surface équipotentielle.

       a) Densité de charge excédentaire
                                                      r          r
Dans un conducteur en l’équilibre électrique : E int = 0 .
r
De la relation div E = ρ(M) , nous déduisons que           .
                     int                         ρ int = 0
                         εo


                                        Conducteur en équilibre
                                           électrostatique

                            Eint = 0


                                          Vint = Cte

                                                ρ=0



A l’équilibre, la densité volumique de charges est nulle. En d’autres termes, dans un même
volume dτ il y a autant de charges positives que de charges négatives.



4) Cavités dans un conducteur

       a) Cavité

Une cavité est une région à l’intérieur du conducteur où il n’y a pas de matière. Un exemple
de conducteur avec deux cavités est montré dans la figure ci-dessous.




                                       Cavité




                                                         Cavité




       a) Champ, potentiel et densité de charges

Nous savons que dans un conducteur en
            r       r
l’équilibre : E int = 0 , ρ int = 0 et V = C te .
                                        int                                     Cavité

                                                                           Surface interne
De la continuité du potentiel, on en déduit que
celui-ci est constant dans la cavité et par                                E=0
conséquent le champ y est nul et que la densité          Surface externe         ρ = 0 = Cte
                                                                                   Vint
de charges vaut zéro.
II- Champ au voisinage d’un conducteur en l’équilibre -
Théorème de Coulomb

1) Densité de charges sur la surface externe d’un conducteur à l’équilibre.

Nous savons qu’à l’intérieur d’un conducteur en l’équilibre il n’y a ni excès ni défaut de
charges ( ρ int = 0 ). Donc le conducteur contient des charges, alors elles ne peuvent se trouver
que sur sa surface externe.

2) Propriétés du champ électrique au voisinage d’un conducteur chargé
                       r
              a) Direction et sens de E

La charge positive ou négative du conducteur à l’équilibre se répartie sur sa surface externe.
                                                              r     uuur                    r
Cette surface est une surface équipotentielle. De la relation E = − grad V , on déduit que E
est perpendiculaire à cette surface.
                                                                  r
Soit σ la densité surfacique de charges du conducteur. Le sens de E est sortant si σ > 0, il est
rentrant si σ < 0.

                        +
                   +          +                                                                −
                                                                                       −           −
          +                                           +
    +                                                         +                                                              −
                   Eint = 0                                             −                                                                −
     +                                                                 −             Eint = 0
                                                                  +     −
     σ>0                           Vint = C  te                                                                                              −
                                                                        σ<0                                 Vint = Cte
                                                                                                   E(M)
               n    M+                    ρ=0             +
                                                                                 n M
                                                                                                                ρ=0                  −
                                                                                     −
                E(M)                              +
                                    +       +                                                                                −
                                                                                                        −
                                                                                                        −
                                      r
              b) Expression de E - Théorème de Coulomb
                                                                                       +                        E
Considérons un point A infiniment proche d’un                                    +         +           n
conducteur en l’équilibre, et dS un élément de                                                                  dS

surface entourant le point A.                     +                                                     A                +
Surface de Gauss : la base dS + la surface      +                              E = 0                                                 +
latérale + la surface Σ (Σ est à l’intérieur du +                                                               Σ
conducteur)                                                                                                                              +
                                                                                               V = Cet
             Φ=Φ + Φ + Φ                                                     +
                              dS          latΣ                                                              ρ=0                  σ>0
                                                                                                                                 +
Φ         =        u
                   r
               0 ( E est tangent à la surface latérale)
    lat                                                                                    +
                                                                      charge interne
Φ =                u
                   r    r
               0 ( E = 0 à l’intérieur du conducteur)                    : σ dS                     +                +
    Σ                                                                                                       +
σdS                      r           σ r
                            Φ=Φ         = E dS =                   ⇒              E =            n
                                   dS                    εo                                   εo

Ce résultat constitue le théorème de Coulomb. A la traversée de la surface chargée le champ
                                      σ
subit une discontinuité de l’ordre de    .
                                      εo




III- Pression électrostatique

1) Décomposition du champ au voisinage d’un conducteur chargé

                r                                                                                    r   σ r       r
Le champ E en un point A très proche d’un conducteur chargé est : E =                                       n , où n est la
                                                                                                         εo
normale à la surface du conducteur au point A.
                                        r                          r          r                      r   r        r
On peut décomposer le champ E en deux champs E A et E A tel que : E = E A + E A
     r
où E A est le champ électrique créé au point A par la quantité de charges dq A portées par
l’élément de surface dS A assimilé à un disque de rayon R et de densité de charge uniforme σ
     r
et E A est le champ créé par le reste du conducteur.
Le champ en un point situé sur l’axe d’un disque (D) chargé en surface
( σ 〉 0 ) (cf.fig.ci-contre) et au voisinage de ce dernier (à une distance
z) est donné par la formule :

 r        σ             z          r             r
 EA =           (1 −              )n        (où n est la normale au disque).
         2ε o          2
                       z +R
                              2



                                                          r             σ         r
Lorsque la distance z tend vers zéro :                    EA =                    n
                                                                       2 εo

                                             r       r         r              σ           r
Soit :                                       EA = E − EA =                                n
                                                                            2 εo

2) Expression de la pression électrostatique

         a) Calcul de la pression
                                                                                                              r
La charge dq A portée par l’élément de surface dS est sous l’influence du champ E A (cf ci-
                                                                                      r          r
dessus). Elle est donc soumise à une force :                                      dF = dq A E A
r       σ     r              r   σ
                                                                           2     r
avec :                 A
                         =
                     dqσ dS       et E A =          n     ⇒ dF =               dS n
                                             2 εo                      2 εo

Les charges électriques réparties sur la surface d’un conducteur en équilibre sont soumises à
des forces normales à cette surface, dirigées vers l’extérieur quelque soit le signe des charges.
La valeur de cette force par unité de surface est analogue à une force de pression appelée
pression électrostatique. Elle vaut :
                                                              2
                                                          σ
                                                  p =
                                                         2 εo


L’unité de la pression électrostatique dans le
système S.I. est le newton par mètre carré
(symbole : N/m 2 )                                                                     forces électrostatiques
                                                                                      dirigées vers l’extérieur
Exemple :
                                                        bulle de
                                                         savon
Si on électrise une bulle de savon (cf.fig.ci-
contre), son volume va augmenter sous
l’effet de la pression électrostatique jusqu’à
explosion.

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Chapitre 4 equilibre électrostatique des conducteurs

  • 1. Equilibre électrostatique des conducteurs I- Conducteurs à l’équilibre électrostatique 1) Définition Un conducteur est un corps où existent en grandes quantités des charges électriques libres. Ces charges peuvent se déplacer sous l’action d’un champ électrique extérieure. 2) Définition de l’équilibre électrique Un conducteur est en équilibre électrique si ses charges libres sont au repos relatif (vitesse moyenne des porteurs libres dans le conducteur est nulle). Les conducteurs étudiés sont supposés être homogènes et en équilibre thermique. 3) Propriétés électriques d’un conducteur en l’équilibre électrostatique a) Champ électrique Soit q une charge libre dans un conducteur en équilibre. La charge q étant immobile, sa r vitesse moyenne est donc nulle et la résultante des forces F agissant sur cette charge est aussi nulle. r r r La loi de coulomb permet d’écrire : F = q E int où E int est le champ en tout point intérieur du conducteur. Nous en déduisons que : r r E int = 0 b) Potentiel électrique r r r uu r Puisque E int = 0 , la relation champ-potentiel dVint = − E int dl donne dVint = 0 , d’où : Vint = constante Donc à l’intérieur d’un conducteur en l’équilibre le potentiel est constant. Par continuité, la surface limitant le volume du conducteur en l’équilibre est une surface équipotentielle. a) Densité de charge excédentaire r r Dans un conducteur en l’équilibre électrique : E int = 0 .
  • 2. r De la relation div E = ρ(M) , nous déduisons que . int ρ int = 0 εo Conducteur en équilibre électrostatique Eint = 0 Vint = Cte ρ=0 A l’équilibre, la densité volumique de charges est nulle. En d’autres termes, dans un même volume dτ il y a autant de charges positives que de charges négatives. 4) Cavités dans un conducteur a) Cavité Une cavité est une région à l’intérieur du conducteur où il n’y a pas de matière. Un exemple de conducteur avec deux cavités est montré dans la figure ci-dessous. Cavité Cavité a) Champ, potentiel et densité de charges Nous savons que dans un conducteur en r r l’équilibre : E int = 0 , ρ int = 0 et V = C te . int Cavité Surface interne De la continuité du potentiel, on en déduit que celui-ci est constant dans la cavité et par E=0 conséquent le champ y est nul et que la densité Surface externe ρ = 0 = Cte Vint de charges vaut zéro.
  • 3. II- Champ au voisinage d’un conducteur en l’équilibre - Théorème de Coulomb 1) Densité de charges sur la surface externe d’un conducteur à l’équilibre. Nous savons qu’à l’intérieur d’un conducteur en l’équilibre il n’y a ni excès ni défaut de charges ( ρ int = 0 ). Donc le conducteur contient des charges, alors elles ne peuvent se trouver que sur sa surface externe. 2) Propriétés du champ électrique au voisinage d’un conducteur chargé r a) Direction et sens de E La charge positive ou négative du conducteur à l’équilibre se répartie sur sa surface externe. r uuur r Cette surface est une surface équipotentielle. De la relation E = − grad V , on déduit que E est perpendiculaire à cette surface. r Soit σ la densité surfacique de charges du conducteur. Le sens de E est sortant si σ > 0, il est rentrant si σ < 0. + + + − − − + + + + − Eint = 0 − − + − Eint = 0 + − σ>0 Vint = C te − σ<0 Vint = Cte E(M) n M+ ρ=0 + n M ρ=0 − − E(M) + + + − − − r b) Expression de E - Théorème de Coulomb + E Considérons un point A infiniment proche d’un + + n conducteur en l’équilibre, et dS un élément de dS surface entourant le point A. + A + Surface de Gauss : la base dS + la surface + E = 0 + latérale + la surface Σ (Σ est à l’intérieur du + Σ conducteur) + V = Cet Φ=Φ + Φ + Φ + dS latΣ ρ=0 σ>0 + Φ = u r 0 ( E est tangent à la surface latérale) lat + charge interne Φ = u r r 0 ( E = 0 à l’intérieur du conducteur) : σ dS + + Σ +
  • 4. σdS r σ r Φ=Φ = E dS = ⇒ E = n dS εo εo Ce résultat constitue le théorème de Coulomb. A la traversée de la surface chargée le champ σ subit une discontinuité de l’ordre de . εo III- Pression électrostatique 1) Décomposition du champ au voisinage d’un conducteur chargé r r σ r r Le champ E en un point A très proche d’un conducteur chargé est : E = n , où n est la εo normale à la surface du conducteur au point A. r r r r r r On peut décomposer le champ E en deux champs E A et E A tel que : E = E A + E A r où E A est le champ électrique créé au point A par la quantité de charges dq A portées par l’élément de surface dS A assimilé à un disque de rayon R et de densité de charge uniforme σ r et E A est le champ créé par le reste du conducteur. Le champ en un point situé sur l’axe d’un disque (D) chargé en surface ( σ 〉 0 ) (cf.fig.ci-contre) et au voisinage de ce dernier (à une distance z) est donné par la formule : r σ z r r EA = (1 − )n (où n est la normale au disque). 2ε o 2 z +R 2 r σ r Lorsque la distance z tend vers zéro : EA = n 2 εo r r r σ r Soit : EA = E − EA = n 2 εo 2) Expression de la pression électrostatique a) Calcul de la pression r La charge dq A portée par l’élément de surface dS est sous l’influence du champ E A (cf ci- r r dessus). Elle est donc soumise à une force : dF = dq A E A
  • 5. r σ r r σ 2 r avec : A = dqσ dS et E A = n ⇒ dF = dS n 2 εo 2 εo Les charges électriques réparties sur la surface d’un conducteur en équilibre sont soumises à des forces normales à cette surface, dirigées vers l’extérieur quelque soit le signe des charges. La valeur de cette force par unité de surface est analogue à une force de pression appelée pression électrostatique. Elle vaut : 2 σ p = 2 εo L’unité de la pression électrostatique dans le système S.I. est le newton par mètre carré (symbole : N/m 2 ) forces électrostatiques dirigées vers l’extérieur Exemple : bulle de savon Si on électrise une bulle de savon (cf.fig.ci- contre), son volume va augmenter sous l’effet de la pression électrostatique jusqu’à explosion.