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Réseaux électriques linéaires
                          Théorèmes généraux

L’objectif de ce chapitre est d’établir les lois et les théorèmes permettant de calculer les
valeurs des intensités et des tensions dans des circuits. Ces circuits peuvent comprendre des
dipôles linéaires actifs ou passifs (l’étude se fera toujours dans le domaine où la
caractéristique du dipôle est linéaire).


I- Définitions

1) Dipôle

C’est un appareil à deux bornes ou deux pôles (une entrée et une sortie du courant électrique).


2) Dipôle linéaire

Un dipôle est dit linéaire lorsqu’il existe :

 une relation affine entre l’intensité et la tension.
 ou bien si la tension et l’intensité sont liées par une équation différentielle à coefficients
constants.


3) Réseau

Un réseau est un ensemble de conducteurs (dipôles) reliés les uns aux autres d’une façon
quelconque.

1) Nœud

Un nœud est un point du réseau où au moins trois conducteurs parcourus par des courants sont
reliés entre eux.

                  A                                                            nœud

                                                                         A
     nœu


                                            A



                         nœud
5) Branche
                                                                          branche
                                                                            AB
Une branche est un ensemble de conducteurs (dipôles)
montés en série et se trouvant entre deux nœuds
adjacents.

                                                                   A                    B
6) Maille

Une maille est un ensemble de branches successives
constituant un circuit fermé, où on ne passe qu’une
seule fois par les nœuds rencontrés.


          Maille à
          deux                                             A                                    B



  A                                   B




                                    Maille à quatre
                                                           D                                    C



7) Source autonome

Une source de tension (ou de courant) est dite autonome ou libre si sa force électromotrice (ou
son courant) ne dépend pas des grandeurs du circuit.



II- Lois de Kirchhoff

1) Loi des nœuds

La première loi de Kirchhoff appelée aussi loi des nœuds exprime la non accumulation des
charges en un nœud.
La somme des courants qui arrivent à un nœud est égale à la somme des courants qui en
repartent. Si les courants qui arrivent au nœud sont affectés du signe ( + ) et ceux qui en
repartent sont affectés du signe   ( − ) , la somme algébrique de tous les courants considérés en
ce nœud est nulle.

Sur la figure ci-dessous, nous avons trois courants (I1, I2, I3) qui arrivent au nœud A et deux
courants (I4, I5) qui partent de ce nœud.
I2

                                   I3                                                    I1


                                                           A




                              I4                                                    I5



Comme on l’avait montré lors de l’étude de la conservation de la densité du courant :

                                              I1 + I 2 + I 3 = I 4 + I 5


Ce résultat se généralise comme suit :              ∑I          entrant   = ∑ Isortant

                                        n
Ou bien pour n courants :           ±   ∑
                                        i=1
                                               Ik = 0

( +) I   k
             si le courant est entrant au nœud et          ( −)     I k si le courant est sortant du nœud.


2) Loi des mailles

C’est la seconde loi de Kirchhoff. Elle consiste à écrire que la différence de potentiel est nulle
lorsqu’on parcourt une maille.
La somme des tensions appliquées à un circuit fermé est égale à la somme des chutes de
tensions dans ce circuit. En d’autres termes, la somme algébrique des différences de potentiel
dans un circuit fermé est nulle.
Pour une branche AB quelconque la loi d’Ohm s’écrit :
                        VA − VB = ±                   ∑
                                               R i Ii ±
                                                       i
                                                            ej ±       e′
                                                                        k     ∑j
                                                                                              ∑
                                                                                              k
Si le sens de parcourt choisi est de A vers B, nous avons les conventions suivantes :

+ R i Ii        le sens de I i est de A vers B.
− R i Ii        le sens de I i est de B vers A.
+ ej            si on rentre du côté ( + ) du générateur.
− ej            si on rentre du côté ( − ) du générateur.
+ e′k           si on rentre du côté ( + ) du récepteur.
− e′k           si on rentre du côté ( − ) du récepteur.
Dans le cas d’une maille, le circuit est fermé ( VA = VB ), et avec les mêmes conventions,
nous avons :

                                ±   ∑R I
                                    i
                                         i i
                                               ±    ∑e  j
                                                                 j
                                                                     ±   ∑ e′ =
                                                                          k
                                                                                   k
                                                                                       0


Exemple :

Soit la maille ABCD représentée ci-dessous :

On parcourt la maille dans le sens ABCD (sens arbitraire) et on choisit sur chaque branche


un sens positif arbitraire des courants ( I1 dans le sens A                              B, I 2 dans le sens
                                                                                         →


B    C, I3 dans le sens D  C et dans le sens A  D).
     →                       →                      →




                 IA                                                                                  IB
                           A                                I1                              B


                               e′
                                2
                                        R1
                                                                     e1
                                                                                       R2
                      I4
                                                   +
                               R4                                                               I2


                                        e2
                                        e                                R3

               ID          D                       I3                                       C        IC




On remplace les récepteurs non polarisés par des                              Ii                                 Ii
                                                                                                          +
                                                                                   e′
générateurs montés en opposition sur les
courants qui les traversent ( cf.fig ci-contre).
                                                                                    i                                 e′
                                                                                                                       i
                                                                                                          −
On obtient la maille représentée par la figure ci-
dessous :




                       IA                                                                                 IB
                                   A                                I1                       B

                             +                       R1                  e1
                                           e′
                                            2
                             −                                                        R2
                              I4
                                                                  +
                                                                                                 I2
                                       R4
                                                                                        +
                                                                                   ′
                                                                                  e1
                                                     e2                     R3          −
                     ID            D
                                                              I3                             C            IC



On peut donc écrire : ±                ∑R I
                                       i
                                               i i
                                                     ±   ∑e
                                                          j
                                                              j
                                                                   = 0 . Ce résultat constitue la loi de Kirchhoff

relative aux mailles.


soit :                      R 1I1 − e1 + R 2 I 2 + e1 − R 3 I3 + e 2 − R 4 I 4 − e′2 = 0
                                                    ′




Dans le cas d’une simple boucle (cf.fig. ci-
contre), la relation
                                                                                                      I

                                                                             −    e′2
                                                                                        R1                 e1
conduit à la loi de Pouillet :
                                                                             +                                        R2

          ± I ∑ Ri ±             ∑e        j
                                               = 0                           I

                 i                 j                                                                                       I
soit :                                                                           R4                                        +
                                                                                                                     e′1
                      e1 − e2 − e1 − e′
                                 ′                                                      e2                      R3         −
           I =                         2
                     R1 + R 2 + R 3 + R 4                                                         I
Remarque

Si le calcul donne une valeur positive, le courant réel circule dans le sens choisi sur la
branche. Si on trouve une valeur négative (cf. exemple ci-dessous), il suffit de changer le sens
du courant dans la branche correspondante et I devient une valeur positive.




                 E2           R3                                       E2           R3

          D            I3           C                              D        I3            C
 ID                                       IC                  ID                                   IC

                I3 = − 1A                                              I3 = 1A




      !       Dans le cas où la branche comporte un récepteur non polarisé de f.c.e.m. e′ et le
calcul donne une intensité négative, il faut reprendre les calculs en inversant le sens du
courant dans la branche en question, car e′ change de signe dans la nouvelle mise en équation
des mailles.

Si de nouveau on trouve une valeur négative, le problème n’admet donc pas de solution :
aucun courant ne circule dans cette branche.



III- Théorème de superposition

1) Enoncé

L’intensité I k du courant électrique qui circule dans une branche k d’un réseau linéaire est
                                          i
égale à la superposition des intensités I k imposées par chaque source ( i ) comme si elle était
la seule à fonctionner dans le réseau, les autres sources sont éteintes.

                                              Ik =   ∑
                                                     i
                                                          i
                                                         Ik


2) Remarque
Eteindre une source revient à la remplacer par un fil (pour avoir e = 0) ou un circuit ouvert
(pour avoir I = 0). On garde les résistances internes des sources éteintes.
             CC




                                      source de tension


                                                                                  court-circuit
                     e
     ou

                   (e , r)                                   r               résistance interne




                                     source de courant

                           ICC
                                                                               circuit ouvert


             ICC


        ou                   r                                r
                                                                           résistance interne




IV- Théorèmes de Thévenin et Norton

1) Présentation

Quelque soit le réseau linéaire étudié, on peut le décomposer en deux parties :
 la partie intéressé; la charge R C .
 le reste du réseau qu’on appelle le réseau d’attaque



                                                                    A


      Réseau électrique          ≡           Réseau

                                            d’attaque
                                                                          RC          U   charge

     linéaire quelconque

                                                                    B
2) Théorème de Thévenin

       a) Enoncé

D’après Thévenin le réseau d’attaque est modélisé par un générateur de tension de f.e.m. E Th
et de résistance interne R Th .

       b) Détermination de E Th

La f.e.m. E Th est la tension U AB mesurée entre les bornes A et B du circuit non chargé (sans la
charge R C ≡ en circuit ouvert)

       a) Détermination de R Th

La résistance R Th équivalente correspond à la résistance d’entrée du réseau mesurée entre les
bornes A et B ; toutes les sources internes sont éteintes (e = 0 et I = 0). On garde les
                                                                            CC

résistances internes des sources.



    source
  de tension                                                                     résistance interne
                         (e , r)                              r

                I
    source                         r                              r
  de courant                                                                     résistance interne




       b) Schéma équivalent


                                                                                 RTh     A
                                       A

                Réseau

               d’attaque
                                                  RC   U
                                                             ≡        ETh
                                                                                                RC U


                                       B
                                                                                         B
E Th                                              RC
                       I=                    et        U = R CI =                       E Th
                            R C + R Th                                     R C + R Th
3) Théorème de Norton

       a) Enoncé

D’après Norton le réseau d’attaque est modélisé par un générateur de courant d’intensité I CC
et de résistance interne R N .

                                                                                               A
       b) Détermination de I N
                                                                        Réseau
                                                                                                        ICC
L’intensité du courant I N = I CC est l’intensité
mesurée après court-circuit de la sortie AB du                         d’attaque

réseau d’attaque ( U AB = 0 ).
                                                                                               B
       a) Détermination de R N

La détermination de la résistance équivalente de Norton est identique à celle de Thévenin.

                                                  R N = R Th

       b) Schéma équivalent
                                                                                               A
                                         A        I
                                                                              ICC                  I

                                                                ≡
            Réseau
                                                         RC                               RN       RC
           d’attaque


                                         B
                                                                                               B
                                                        RN
                                             I=                 I cc
                                                      RC + RN

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Réseaux électriques linéaires théorèmes généraux

  • 1. Réseaux électriques linéaires Théorèmes généraux L’objectif de ce chapitre est d’établir les lois et les théorèmes permettant de calculer les valeurs des intensités et des tensions dans des circuits. Ces circuits peuvent comprendre des dipôles linéaires actifs ou passifs (l’étude se fera toujours dans le domaine où la caractéristique du dipôle est linéaire). I- Définitions 1) Dipôle C’est un appareil à deux bornes ou deux pôles (une entrée et une sortie du courant électrique). 2) Dipôle linéaire Un dipôle est dit linéaire lorsqu’il existe :  une relation affine entre l’intensité et la tension.  ou bien si la tension et l’intensité sont liées par une équation différentielle à coefficients constants. 3) Réseau Un réseau est un ensemble de conducteurs (dipôles) reliés les uns aux autres d’une façon quelconque. 1) Nœud Un nœud est un point du réseau où au moins trois conducteurs parcourus par des courants sont reliés entre eux. A nœud A nœu A nœud
  • 2. 5) Branche branche AB Une branche est un ensemble de conducteurs (dipôles) montés en série et se trouvant entre deux nœuds adjacents. A B 6) Maille Une maille est un ensemble de branches successives constituant un circuit fermé, où on ne passe qu’une seule fois par les nœuds rencontrés. Maille à deux A B A B Maille à quatre D C 7) Source autonome Une source de tension (ou de courant) est dite autonome ou libre si sa force électromotrice (ou son courant) ne dépend pas des grandeurs du circuit. II- Lois de Kirchhoff 1) Loi des nœuds La première loi de Kirchhoff appelée aussi loi des nœuds exprime la non accumulation des charges en un nœud. La somme des courants qui arrivent à un nœud est égale à la somme des courants qui en repartent. Si les courants qui arrivent au nœud sont affectés du signe ( + ) et ceux qui en repartent sont affectés du signe ( − ) , la somme algébrique de tous les courants considérés en ce nœud est nulle. Sur la figure ci-dessous, nous avons trois courants (I1, I2, I3) qui arrivent au nœud A et deux courants (I4, I5) qui partent de ce nœud.
  • 3. I2 I3 I1 A I4 I5 Comme on l’avait montré lors de l’étude de la conservation de la densité du courant : I1 + I 2 + I 3 = I 4 + I 5 Ce résultat se généralise comme suit : ∑I entrant = ∑ Isortant n Ou bien pour n courants : ± ∑ i=1 Ik = 0 ( +) I k si le courant est entrant au nœud et ( −) I k si le courant est sortant du nœud. 2) Loi des mailles C’est la seconde loi de Kirchhoff. Elle consiste à écrire que la différence de potentiel est nulle lorsqu’on parcourt une maille. La somme des tensions appliquées à un circuit fermé est égale à la somme des chutes de tensions dans ce circuit. En d’autres termes, la somme algébrique des différences de potentiel dans un circuit fermé est nulle. Pour une branche AB quelconque la loi d’Ohm s’écrit : VA − VB = ± ∑ R i Ii ± i ej ± e′ k ∑j ∑ k Si le sens de parcourt choisi est de A vers B, nous avons les conventions suivantes : + R i Ii le sens de I i est de A vers B. − R i Ii le sens de I i est de B vers A. + ej si on rentre du côté ( + ) du générateur. − ej si on rentre du côté ( − ) du générateur. + e′k si on rentre du côté ( + ) du récepteur. − e′k si on rentre du côté ( − ) du récepteur.
  • 4. Dans le cas d’une maille, le circuit est fermé ( VA = VB ), et avec les mêmes conventions, nous avons : ± ∑R I i i i ± ∑e j j ± ∑ e′ = k k 0 Exemple : Soit la maille ABCD représentée ci-dessous : On parcourt la maille dans le sens ABCD (sens arbitraire) et on choisit sur chaque branche un sens positif arbitraire des courants ( I1 dans le sens A  B, I 2 dans le sens → B  C, I3 dans le sens D  C et dans le sens A  D). → → → IA IB A I1 B e′ 2 R1 e1 R2 I4 + R4 I2 e2 e R3 ID D I3 C IC On remplace les récepteurs non polarisés par des Ii Ii + e′ générateurs montés en opposition sur les courants qui les traversent ( cf.fig ci-contre). i e′ i −
  • 5. On obtient la maille représentée par la figure ci- dessous : IA IB A I1 B + R1 e1 e′ 2 − R2 I4 + I2 R4 + ′ e1 e2 R3 − ID D I3 C IC On peut donc écrire : ± ∑R I i i i ± ∑e j j = 0 . Ce résultat constitue la loi de Kirchhoff relative aux mailles. soit : R 1I1 − e1 + R 2 I 2 + e1 − R 3 I3 + e 2 − R 4 I 4 − e′2 = 0 ′ Dans le cas d’une simple boucle (cf.fig. ci- contre), la relation I − e′2 R1 e1 conduit à la loi de Pouillet : + R2 ± I ∑ Ri ± ∑e j = 0 I i j I soit : R4 + e′1 e1 − e2 − e1 − e′ ′ e2 R3 − I = 2 R1 + R 2 + R 3 + R 4 I
  • 6. Remarque Si le calcul donne une valeur positive, le courant réel circule dans le sens choisi sur la branche. Si on trouve une valeur négative (cf. exemple ci-dessous), il suffit de changer le sens du courant dans la branche correspondante et I devient une valeur positive. E2 R3 E2 R3 D I3 C D I3 C ID IC ID IC I3 = − 1A I3 = 1A ! Dans le cas où la branche comporte un récepteur non polarisé de f.c.e.m. e′ et le calcul donne une intensité négative, il faut reprendre les calculs en inversant le sens du courant dans la branche en question, car e′ change de signe dans la nouvelle mise en équation des mailles. Si de nouveau on trouve une valeur négative, le problème n’admet donc pas de solution : aucun courant ne circule dans cette branche. III- Théorème de superposition 1) Enoncé L’intensité I k du courant électrique qui circule dans une branche k d’un réseau linéaire est i égale à la superposition des intensités I k imposées par chaque source ( i ) comme si elle était la seule à fonctionner dans le réseau, les autres sources sont éteintes. Ik = ∑ i i Ik 2) Remarque
  • 7. Eteindre une source revient à la remplacer par un fil (pour avoir e = 0) ou un circuit ouvert (pour avoir I = 0). On garde les résistances internes des sources éteintes. CC source de tension court-circuit e ou (e , r) r résistance interne source de courant ICC circuit ouvert ICC ou r r résistance interne IV- Théorèmes de Thévenin et Norton 1) Présentation Quelque soit le réseau linéaire étudié, on peut le décomposer en deux parties :  la partie intéressé; la charge R C .  le reste du réseau qu’on appelle le réseau d’attaque A Réseau électrique ≡ Réseau d’attaque RC U charge linéaire quelconque B
  • 8. 2) Théorème de Thévenin a) Enoncé D’après Thévenin le réseau d’attaque est modélisé par un générateur de tension de f.e.m. E Th et de résistance interne R Th . b) Détermination de E Th La f.e.m. E Th est la tension U AB mesurée entre les bornes A et B du circuit non chargé (sans la charge R C ≡ en circuit ouvert) a) Détermination de R Th La résistance R Th équivalente correspond à la résistance d’entrée du réseau mesurée entre les bornes A et B ; toutes les sources internes sont éteintes (e = 0 et I = 0). On garde les CC résistances internes des sources. source de tension résistance interne (e , r) r I source r r de courant résistance interne b) Schéma équivalent RTh A A Réseau d’attaque RC U ≡ ETh RC U B B
  • 9. E Th RC I= et U = R CI = E Th R C + R Th R C + R Th 3) Théorème de Norton a) Enoncé D’après Norton le réseau d’attaque est modélisé par un générateur de courant d’intensité I CC et de résistance interne R N . A b) Détermination de I N Réseau ICC L’intensité du courant I N = I CC est l’intensité mesurée après court-circuit de la sortie AB du d’attaque réseau d’attaque ( U AB = 0 ). B a) Détermination de R N La détermination de la résistance équivalente de Norton est identique à celle de Thévenin. R N = R Th b) Schéma équivalent A A I ICC I ≡ Réseau RC RN RC d’attaque B B RN I= I cc RC + RN