Diapositiva semana 10

2. TASAS RELACIONADAS
Cristian Camilo Penagos Torres
Mag´ıster en Docencia
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. TASAS RELACIONADAS
En esta secci´on calcularemos la raz´on de cambio de una cantidad en t´erminos
de la raz´on de cambio de una u otras cantidades, este proceso se denomina
problemas de tasas relacionadas

4. TASAS RELACIONADAS
ESTRATEGIA PARA LA SOLUCI ´ON DE PROBLEMAS DE
TASAS RELACIONADAS
1. Lea varias veces con cuidado el problema. Si le es posible, trace un
esquema.
2. Identifique con s´ımbolos todas las cantidades que cambian con el tiempo.
3. Escriba todas las razones que se suministran. Use notaci´on de derivadas
para escribir la raz´on que desea encontrar.
4. Escriba una ecuaci´on o una funci´on que relacione todas las variables que
haya introducido.
5. Derive con respecto al tiempo t la ecuaci´on o la funci´on encontrada en el
paso anterior.
6. Este paso puede requerir el uso de derivaci´on impl´ıcita. La ecuaci´on
resultante despu´es de la derivaci´on relaciona las razones de cambio con el
tiempo de la variable.

5. TASAS RELACIONADAS
EJEMPLO 1
Un globo esf´erico se infla con aire a raz´on de 20 pies3/min. ¿A qu´e raz´on
cambia el radio cuando ´este es de 3 pies?
1.
Figura 1.
Tomada de Zill (2011)
2. Las cantidades que cambian con el
tiempo son:
El volumen v(t), el radio r(t)
3. dV
dt = 20pies3/min; dr
dt =?
4. V (t) = 4
3πr3
5. Derivando respecto al tiempose
obtiene:
dV
dt
= 4πr2 dr
dt
⇒
dr
dt
=
dV
dt
4πr2
6.
dr
dt r=3
=
20
4π(3)2
=
5
9π
pies/min

6. TASAS RELACIONADAS
EJEMPLO 2
Una mujer que corre a raz´on constante de 10 km/h cruza un punto P en
direcci´on al norte. Diez minutos despu´es, un hombre que corre a raz´on
constante de 9 km/h cruza por el mismo punto P en direcci´on al este. ¿Cu´an
r´apido cambia la distancia entre los corredores 20 minutos despu´es de que el
hombre cruza por el punto P?
1.
Figura 2.
Tomada de Zill (2011)
2. Las cantidades que cambian con el
tiempo son:
La distancia x(t) recorrida por el
hombre desde el punto P.
La distancia y(t) recorrida por la
mujer desde el punto P.
La distancia z(t) entre los dos
corredores.
3. dx
dt = 9km/h; dy
dt = 10km/h
dz
dt t=1
3
=?

7. TASAS RELACIONADAS
EJEMPLO 2
4. El tri´angulo HPM es rect´angulo,
as´ı que utilizando teorema de
pit´agoras:
z2
= x2
+ y2
5. Derivando respecto al tiempo t:
2z
dz
dt
= 2x
dx
dt
+ 2y
dy
dt
⇒
dz
dt
=
x
z
dx
dt
+
y
z
dy
dt
6. La distancia que ha recorrido el
hombre es: x = 9 × 1
3 = 3 km.
Debido a que la mujer ha corrido
1
6h (10 min) m´as que el hombre, la
distancia que ella ha recorrido es
y = 10 1
3 + 1
6 = 5 km.
En t = 1
3h, se tiene:
z = 32 + 52 =
√
34 km
De la ecuaci´on en 5 se tiene:
dz
dt
=
3
√
34
9+
5
√
34
10 =
77
√
34
km/h

8. TASAS RELACIONADAS
EJEMPLO 3
Se vierte agua en un dep´osito de forma c´onica a raz´on de 9 ft3/min. El
dep´osito tiene su v´ertice en la parte inferior, una altura de 10 ft, y el radio de
la base mide 5 ft. ¿Qu´e tan r´apido sube el nivel del agua cuando el agua tiene
una profundidad de 6 ft?
1.
Figura 3.
Tomada de Thomas (2010)
2. Las cantidades que cambian: El
volumnen V (t) de agua en el
dep´osito.
El radio x(t) de la superficie del
agua.
La profundidad y(t) de agua en el
dep´osito.
3. dV
dt = 9 ft3
/min dy
dt y=6
=?
4. Utilizando tri´angulos semejantes:
x
y
=
5
10
⇔ x =
y
2

9. TASAS RELACIONADAS
EJEMPLO 3
4 De la ecuaci´on V = π
3 x2y se tiene:
V =
π
3
y
2
2
y
V =
π
12
y3
5 Derivando respecto a t:
dV
dt
= 3
π
12
y2 dy
dt
dV
dt
=
π
4
y2 dy
dt
dy
dt
= 4
dV
dt
πy2
6 Sustituyendo
dy
dt y=6
= 4
9
π(6)2
dy
dt y=6
=
1
π
ft/min.

10. TASAS RELACIONADAS
REFERENCIAS
Stewart, J. (2012). C´alculo de una variable, trascendentes tempranas.
M´exico: Cengage Learning.
Thomas, G. (2010). C´alculo de una variable. M´exico: Pearson.
Zill, D. (2011). Matem´aticas 1, C´alculo Diferencial. M´exico:
McGraw-Hill.