Este documento describe diferentes formas indeterminadas que surgen al calcular límites, como 0/0, ∞/∞, 0·∞, y presenta la regla de L'Hôpital como una herramienta para evaluar dichos límites indeterminados. Explica cómo aplicar la regla de L'Hôpital para transformar las formas indeterminadas en formas determinables como 0/0 o ∞/∞. También cubre el uso de logaritmos para resolver formas indeterminadas como 1∞, 00 y ∞0.

2. APLICACIONES DE LA DERIVADA
Cristian Camilo Penagos Torres
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. APLICACIONES DE LA DERIVADA FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L’H ˆOPITAL
REGLA DE L’H ˆOPITAL
Supongamos que f(a) = g(a) = 0, que f y g son diferenciables en un
intervalo abierto I que contiene a a, y que g (x) = 0 en I si x = a. Entonces,
l´ım
x→a
f(x)
g(x)
= l´ım
x→a
f (x)
g (x)
suponiendo que existe el l´ımite del lado derecho de la ecuaci´on.

4. APLICACIONES DE LA DERIVADA FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L’H ˆOPITAL
FORMA INDETERMINADA 0/0
Calcular l´ım
x→0
1 − cos x
x + x2
l´ım
x→0
1 − cos x
x + x2
= l´ım
x→0
sin x
1 + 2x
=
0
1
= 0
FORMA INDETERMINADA ∞/∞
En algunas ocasiones, al intentar evaluar un l´ımite cuando x → a, se obtiene
una forma indeterminada ∞/∞, en estos casos tambien es posible utilizar la
regla de L’Hˆopital

5. APLICACIONES DE LA DERIVADA FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L’H ˆOPITAL
FORMA INDETERMINADA ∞/∞
Calcular l´ım
x→( π
2
)−
sec x
1 + tan x
l´ım
x→(π
2
)−
sec x
1 + tan x
= l´ım
x→( π
2
)−
sec x tan x
sec2 x
= l´ım
x→( π
2
)−
sin x
= 1
FORMA INDETERMINADA ∞/∞
Calcular l´ım
x→∞
ex
x2
l´ım
x→∞
ex
x2
= l´ım
x→∞
ex
2x
= l´ım
x→∞
ex
2
= ∞

6. APLICACIONES DE LA DERIVADA FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L’H ˆOPITAL
PRODUCTOS INDETERMINADOS 0 · ∞
Si l´ım
x→a
f(x) = 0 y l´ım
x→a
f(x) = ±∞ , entonces l´ım
x→a
[f(x)g(x)] presenta una
forma indeterminada 0 · ∞ ´o 0 · (−∞). Este tipo de forma indeterminada se
puede abordar escribiendo la funcion f · g = f
1/g ´o f · g = g
1/f
Esto convierte el l´ımite en una forma indeterminada 0/0 ´o ∞/∞, ahora si
puede utilizar la regla de L’Hˆopital.
FORMA INDETERMINADA ∞ · 0
Calcular l´ım
x→∞
x sin
1
x
. Utilizando el cambio de variable h = 1
x , tenemos
l´ım
h→0+
1
h
sin h = l´ım
h→0+
sin h
h
= 1

7. APLICACIONES DE LA DERIVADA FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L’H ˆOPITAL
POTENCIAS INDETERMINADAS
En los l´ımites que llevan a las formas indeterminadas 1∞, 00 e ∞0 se utiliza
la regla de L’Hˆopital para determinar el l´ımite de la expresi´on logar´ıtmica, y
luego se utiliza exponenciales al resultado para determinar el l´ımite de la
funci´on original.
Si l´ım
x→a
ln f(x) = L, entonces,
l´ım
x→a
f(x) = l´ım
x→a
eln f(x)
= eL

8. APLICACIONES DE LA DERIVADA FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L’H ˆOPITAL
FORMA INDETERMINADA 0∞
Calcular l´ım
x→0+
(1 + x)1/x
Sea y = l´ım
x→0+
(1 + x)1/x
, aplicando logaritmos, tenemos
ln y = ln l´ım
x→0+
(1 + x)1/x
= l´ım
x→0+
ln (1 + x)1/x
= l´ım
x→0+
1
x
ln (1 + x)
= l´ım
x→0+
ln (1 + x)
x
= l´ım
x→0+
1
1+x
1
= 1
As´ı ln y = 1, entonces y = e1