Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.
Квантовые алгоритмы:           возможности и ограничения. Лекция 3: Сложность булевых функций в модели                    ...
План1   Определения и основные результаты2   Квантовое вычисление дизъюнкции3   Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижня...
Три вида запросовБулева функция x → f (x),            x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.Классический запросПосылаем k, 1       ...
Три вида запросовБулева функция x → f (x),            x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.Классический запросПосылаем k, 1       ...
Три вида запросовБулева функция x → f (x),            x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.Классический запросПосылаем k, 1       ...
Три вида запросовБулева функция x → f (x),            x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.Классический запросПосылаем k, 1       ...
Формулировка задачиЗадача(-и) вычисления булевой функции fДано: Черный ящик , который выдает значения переменных изнекотор...
Формулировка задачиЗадача(-и) вычисления булевой функции fДано: Черный ящик , который выдает значения переменных изнекотор...
Полиномиальная эквивалентность между сложностямиТеоремаДля любой всюду определенной булевой функции f                Q1/3 ...
Полиномиальная эквивалентность между сложностямиТеоремаДля любой всюду определенной булевой функции f                Q1/3 ...
Полиномиальная эквивалентность между сложностямиТеоремаДля любой всюду определенной булевой функции f                Q1/3 ...
Очевидные соотношенияQ1/3 (f )   R1/3 (f )   D(f )Классический алгоритм это вероятностный, который используеттолько детерм...
Очевидные соотношенияQ1/3 (f )   R1/3 (f )   D(f )Классический алгоритм это вероятностный, который используеттолько детерм...
План1   Определения и основные результаты2   Квантовое вычисление дизъюнкции3   Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижня...
Квантовое вычисление дизъюнкцииМодификация алгоритма Гровера обеспечит вычисление дизъюнкции     √за O( n) квантовых запро...
Квантовое вычисление дизъюнкцииМодификация алгоритма Гровера обеспечит вычисление дизъюнкции     √за O( n) квантовых запро...
Квантовое вычисление дизъюнкцииМодификация алгоритма Гровера обеспечит вычисление дизъюнкции     √за O( n) квантовых запро...
Инвариантное двумерное подпространство                          G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )                             ...
Инвариантное двумерное подпространство                          G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )                             ...
Инвариантное двумерное подпространство                          G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )                             ...
Инвариантное двумерное подпространство                          G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )                             ...
Инвариантное двумерное подпространство                          G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )                             ...
Инвариантное двумерное подпространство                          G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )                             ...
Инвариантное двумерное подпространство                          G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )                             ...
Угол поворота                                       1 1                 h                      sin ϑ = ψ|ξ = h √ √ =      ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Свойства алгоритма                          √    Количество запросов O( n).    Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.Утв...
Свойства алгоритма                          √    Количество запросов O( n).    Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.Утв...
Свойства алгоритма                          √    Количество запросов O( n).    Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.Утв...
Свойства алгоритма                          √    Количество запросов O( n).    Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.Утв...
Свойства алгоритма                          √    Количество запросов O( n).    Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.Утв...
Оценка вероятности ошибки: два случая 1    Количество единиц велико: h           n/5.           Вторая стадия алгоритма по...
Оценка вероятности ошибки: два случая 1    Количество единиц велико: h           n/5.           Вторая стадия алгоритма по...
Оценка вероятности ошибки: два случая 1    Количество единиц велико: h           n/5.           Вторая стадия алгоритма по...
Оценка вероятности ошибки: два случая 1    Количество единиц велико: h           n/5.           Вторая стадия алгоритма по...
Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния...
Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния...
Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния...
Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния...
Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния...
Случайный выбор числа итерацийЛеммаВероятность успеха                                         1   sin(4mϑ)                ...
Случайный выбор числа итерацийЛеммаВероятность успеха                                         1   sin(4mϑ)                ...
Вероятность успеха на второй стадии алгоритма   Из второй леммы                                     1   sin(4mϑ)          ...
Вероятность успеха на второй стадии алгоритма   Из второй леммы                                     1   sin(4mϑ)          ...
Вероятность успеха на второй стадии алгоритма   Из второй леммы                                     1   sin(4mϑ)          ...
Вероятность успеха на второй стадии алгоритма   Из второй леммы                                     1   sin(4mϑ)          ...
Вероятность успеха на второй стадии алгоритма   Из второй леммы                                     1   sin(4mϑ)          ...
Вероятность успеха на второй стадии алгоритма   Из второй леммы                                     1   sin(4mϑ)          ...
План1   Определения и основные результаты2   Квантовое вычисление дизъюнкции3   Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижня...
ЧувствительностьОпределениеЧувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количествупеременных xk , для которых f (x) ...
ЧувствительностьОпределениеЧувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количествупеременных xk , для которых f (x) ...
ЧувствительностьОпределениеЧувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количествупеременных xk , для которых f (x) ...
ЧувствительностьОпределениеЧувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количествупеременных xk , для которых f (x) ...
Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f )   3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запр...
Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f )   3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запр...
Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f )   3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запр...
Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f )   3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запр...
Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f )   3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запр...
План1   Определения и основные результаты2   Квантовое вычисление дизъюнкции3   Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижня...
Многочлены и булевы функцииОпределенияМногочлен p : Rn → R приближает булеву функциюf : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого ...
Многочлены и булевы функцииОпределенияМногочлен p : Rn → R приближает булеву функциюf : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого ...
Многочлены и булевы функцииОпределенияМногочлен p : Rn → R приближает булеву функциюf : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого ...
Многочлены и булевы функцииОпределенияМногочлен p : Rn → R приближает булеву функциюf : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого ...
Оценка Q1/3 (f ) через степень приближенияТеоремаДля любой булевой функции deg(f )        2Q1/3 (f ).ЛеммаЕсли алгоритм вы...
Оценка Q1/3 (f ) через степень приближенияТеоремаДля любой булевой функции deg(f )        2Q1/3 (f ).ЛеммаЕсли алгоритм вы...
Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения         Перед измерением:                 αw (x)|w ,       deg αw (x)       d. ...
Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения         Перед измерением:                 αw (x)|w ,       deg αw (x)       d. ...
Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения         Перед измерением:                 αw (x)|w ,       deg αw (x)       d. ...
Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения         Перед измерением:                 αw (x)|w ,       deg αw (x)       d. ...
Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения         Перед измерением:                 αw (x)|w ,       deg αw (x)       d. ...
deg(f )       2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов:                       |ψk = Uk ...
deg(f )       2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов:                       |ψk = Uk ...
deg(f )       2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов:                       |ψk = Uk ...
deg(f )       2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов:                       |ψk = Uk ...
deg(f )       2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов:                       |ψk = Uk ...
deg(f )       2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов:                       |ψk = Uk ...
deg(f )       2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов:                       |ψk = Uk ...
Насколько хорошо степень приближает Qε (f )?   Амбайнис (2006) построил семейство функций, для которых   deg(fk ) = 2k , а...
Насколько хорошо степень приближает Qε (f )?   Амбайнис (2006) построил семейство функций, для которых   deg(fk ) = 2k , а...
Насколько хорошо степень приближает Qε (f )?   Амбайнис (2006) построил семейство функций, для которых   deg(fk ) = 2k , а...
Оценка квантовой сложности дизъюнкцииТеоремаdeg(OR)       n/6.  М. Вялый (ВЦ РАН)   Лекция 3: сложность запросов   Санкт-П...
Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство   p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ).   Симметризация...
Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство   p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ).   Симметризация...
Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство   p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ).   Симметризация...
Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство   p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ).   Симметризация...
Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство   p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ).   Симметризация...
Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство   p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ).   Симметризация...
Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство   p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ).   Симметризация...
Оценка степени многочленаТеорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| <...
Оценка степени многочленаТеорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| <...
Оценка степени многочленаТеорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| <...
Оценка степени многочленаТеорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| <...
Оценка квантовой сложности дизъюнкции: итогТеорема    √                  √√1    n   Q1/3 (OR)        n. 24Зазор между веро...
20110403 quantum algorithms_vyali_lecture03
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

20110403 quantum algorithms_vyali_lecture03

  • Identifiez-vous pour voir les commentaires

  • Soyez le premier à aimer ceci

20110403 quantum algorithms_vyali_lecture03

  1. 1. Квантовые алгоритмы: возможности и ограничения. Лекция 3: Сложность булевых функций в модели запросов М. Вялый Вычислительный центр им. А.А.Дородницына Российской Академии наук Санкт-Петербург, 2011М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 1 / 29
  2. 2. План1 Определения и основные результаты2 Квантовое вычисление дизъюнкции3 Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижняя оценка4 Степень многочлена, приближающего булеву функцию М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 2 / 29
  3. 3. Три вида запросовБулева функция x → f (x), x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.Классический запросПосылаем k, 1 k n.Получаем xk .Вероятностный запросПосылаем k, выбранное по некоторому вероятностному распределению(pk ).Получаем xk .Квантовый запросОператор Ox : |k, b → |k, b ⊕ xk (общий случай) или фазовый запросOx : |k → (−1)xk |k . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 3 / 29
  4. 4. Три вида запросовБулева функция x → f (x), x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.Классический запросПосылаем k, 1 k n.Получаем xk .Вероятностный запросПосылаем k, выбранное по некоторому вероятностному распределению(pk ).Получаем xk .Квантовый запросОператор Ox : |k, b → |k, b ⊕ xk (общий случай) или фазовый запросOx : |k → (−1)xk |k . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 3 / 29
  5. 5. Три вида запросовБулева функция x → f (x), x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.Классический запросПосылаем k, 1 k n.Получаем xk .Вероятностный запросПосылаем k, выбранное по некоторому вероятностному распределению(pk ).Получаем xk .Квантовый запросОператор Ox : |k, b → |k, b ⊕ xk (общий случай) или фазовый запросOx : |k → (−1)xk |k . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 3 / 29
  6. 6. Три вида запросовБулева функция x → f (x), x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.Классический запросПосылаем k, 1 k n.Получаем xk .Вероятностный запросПосылаем k, выбранное по некоторому вероятностному распределению(pk ).Получаем xk .Квантовый запросОператор Ox : |k, b → |k, b ⊕ xk (общий случай) или фазовый запросOx : |k → (−1)xk |k . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 3 / 29
  7. 7. Формулировка задачиЗадача(-и) вычисления булевой функции fДано: Черный ящик , который выдает значения переменных изнекоторого набора (x1 , . . . , xn ).Найти: значение f (x).Сложность алгоритма: количество запросов.Вероятность ошибки: меньше 1/3.ОпределенияD(f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f поклассическим запросам.R1/3 (f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f повероятностным запросам.Q1/3 (f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f поквантовым запросам. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 4 / 29
  8. 8. Формулировка задачиЗадача(-и) вычисления булевой функции fДано: Черный ящик , который выдает значения переменных изнекоторого набора (x1 , . . . , xn ).Найти: значение f (x).Сложность алгоритма: количество запросов.Вероятность ошибки: меньше 1/3.ОпределенияD(f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f поклассическим запросам.R1/3 (f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f повероятностным запросам.Q1/3 (f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f поквантовым запросам. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 4 / 29
  9. 9. Полиномиальная эквивалентность между сложностямиТеоремаДля любой всюду определенной булевой функции f Q1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f ) = O Q1/3 (f )6 .Наилучший известный разрывДля дизъюнкции OR = x1 ∨ x2 ∨ · · · ∨ xn выполняется √ Q1/3 (OR) = O( n); R1/3 (OR) = Ω(n); D(OR) = n.Открытая проблемаКакова точная величина разрыва между сложностями? М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 5 / 29
  10. 10. Полиномиальная эквивалентность между сложностямиТеоремаДля любой всюду определенной булевой функции f Q1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f ) = O Q1/3 (f )6 .Наилучший известный разрывДля дизъюнкции OR = x1 ∨ x2 ∨ · · · ∨ xn выполняется √ Q1/3 (OR) = O( n); R1/3 (OR) = Ω(n); D(OR) = n.Открытая проблемаКакова точная величина разрыва между сложностями? М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 5 / 29
  11. 11. Полиномиальная эквивалентность между сложностямиТеоремаДля любой всюду определенной булевой функции f Q1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f ) = O Q1/3 (f )6 .Наилучший известный разрывДля дизъюнкции OR = x1 ∨ x2 ∨ · · · ∨ xn выполняется √ Q1/3 (OR) = O( n); R1/3 (OR) = Ω(n); D(OR) = n.Открытая проблемаКакова точная величина разрыва между сложностями? М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 5 / 29
  12. 12. Очевидные соотношенияQ1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f )Классический алгоритм это вероятностный, который используеттолько детерминированные распределения (одна из вероятностейравна 1).Вероятностные и детерминированные запросы можно моделироватьквантовыми, как уже объяснялось.D(OR) = nДизъюнкция от нулевого набора равна 0, а от остальных 1. Еслисделать меньше n запросов противник даст нулевые ответы и затемобмануть алгоритм. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 6 / 29
  13. 13. Очевидные соотношенияQ1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f )Классический алгоритм это вероятностный, который используеттолько детерминированные распределения (одна из вероятностейравна 1).Вероятностные и детерминированные запросы можно моделироватьквантовыми, как уже объяснялось.D(OR) = nДизъюнкция от нулевого набора равна 0, а от остальных 1. Еслисделать меньше n запросов противник даст нулевые ответы и затемобмануть алгоритм. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 6 / 29
  14. 14. План1 Определения и основные результаты2 Квантовое вычисление дизъюнкции3 Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижняя оценка4 Степень многочлена, приближающего булеву функцию М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 7 / 29
  15. 15. Квантовое вычисление дизъюнкцииМодификация алгоритма Гровера обеспечит вычисление дизъюнкции √за O( n) квантовых запросов.Аналогично предыдущим случаям, попробуем фазовый запрос Ox : |k → (−1)xk |k .Будем применять итерацию Гровера G = Rψ Ox , начиная с вектора |ψ .Здесь, как и раньше Rψ = 2|ψ ψ| − I . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 8 / 29
  16. 16. Квантовое вычисление дизъюнкцииМодификация алгоритма Гровера обеспечит вычисление дизъюнкции √за O( n) квантовых запросов.Аналогично предыдущим случаям, попробуем фазовый запрос Ox : |k → (−1)xk |k .Будем применять итерацию Гровера G = Rψ Ox , начиная с вектора |ψ .Здесь, как и раньше Rψ = 2|ψ ψ| − I . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 8 / 29
  17. 17. Квантовое вычисление дизъюнкцииМодификация алгоритма Гровера обеспечит вычисление дизъюнкции √за O( n) квантовых запросов.Аналогично предыдущим случаям, попробуем фазовый запрос Ox : |k → (−1)xk |k .Будем применять итерацию Гровера G = Rψ Ox , начиная с вектора |ψ .Здесь, как и раньше Rψ = 2|ψ ψ| − I . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 8 / 29
  18. 18. Инвариантное двумерное подпространство G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ ) 1 |ξ = √ |k h k:x =1 kПроверим: 1 1 |ψ = √ |k + √ |k = n n k:xk =1 k:xk =0 h n−h 1 h n−h = |ξ + √ |k = |ξ + |η n n n−h n n k:xk =0 Ox |ξ = −|ξ Ox |η = |η М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 29
  19. 19. Инвариантное двумерное подпространство G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ ) 1 |ξ = √ |k h k:x =1 kПроверим: 1 1 |ψ = √ |k + √ |k = n n k:xk =1 k:xk =0 h n−h 1 h n−h = |ξ + √ |k = |ξ + |η n n n−h n n k:xk =0 Ox |ξ = −|ξ Ox |η = |η М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 29
  20. 20. Инвариантное двумерное подпространство G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ ) 1 |ξ = √ |k h k:x =1 kПроверим: 1 1 |ψ = √ |k + √ |k = n n k:xk =1 k:xk =0 h n−h 1 h n−h = |ξ + √ |k = |ξ + |η n n n−h n n k:xk =0 Ox |ξ = −|ξ Ox |η = |η М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 29
  21. 21. Инвариантное двумерное подпространство G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ ) 1 |ξ = √ |k h k:x =1 kПроверим: 1 1 |ψ = √ |k + √ |k = n n k:xk =1 k:xk =0 h n−h 1 h n−h = |ξ + √ |k = |ξ + |η n n n−h n n k:xk =0 Ox |ξ = −|ξ Ox |η = |η М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 29
  22. 22. Инвариантное двумерное подпространство G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ ) 1 |ξ = √ |k h k:x =1 kПроверим: 1 1 |ψ = √ |k + √ |k = n n k:xk =1 k:xk =0 h n−h 1 h n−h = |ξ + √ |k = |ξ + |η n n n−h n n k:xk =0 Ox |ξ = −|ξ Ox |η = |η М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 29
  23. 23. Инвариантное двумерное подпространство G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ ) 1 |ξ = √ |k h k:x =1 kПроверим: 1 1 |ψ = √ |k + √ |k = n n k:xk =1 k:xk =0 h n−h 1 h n−h = |ξ + √ |k = |ξ + |η n n n−h n n k:xk =0 Ox |ξ = −|ξ Ox |η = |η М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 29
  24. 24. Инвариантное двумерное подпространство G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ ) 1 |ξ = √ |k h k:x =1 kПроверим: 1 1 |ψ = √ |k + √ |k = n n k:xk =1 k:xk =0 h n−h 1 h n−h = |ξ + √ |k = |ξ + |η n n n−h n n k:xk =0 Ox |ξ = −|ξ Ox |η = |η М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 29
  25. 25. Угол поворота 1 1 h sin ϑ = ψ|ξ = h √ √ = n h n |ξ 2ϑ |ψ ϑ М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 10 / 29
  26. 26. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  27. 27. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  28. 28. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  29. 29. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  30. 30. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  31. 31. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  32. 32. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  33. 33. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  34. 34. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  35. 35. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  36. 36. Свойства алгоритма √ Количество запросов O( n). Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.УтверждениеЕсли OR(x) = 1, то вероятность ошибки < 3/4.Повторив алгоритм k раз, сделаем вероятность ошибки < (3/4)k .ТеоремаСуществует алгоритм, который вычисляет дизъюнкцию n переменных √с вероятностью ошибки ε за O( n log ε−1 ) квантовых запросов. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 12 / 29
  37. 37. Свойства алгоритма √ Количество запросов O( n). Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.УтверждениеЕсли OR(x) = 1, то вероятность ошибки < 3/4.Повторив алгоритм k раз, сделаем вероятность ошибки < (3/4)k .ТеоремаСуществует алгоритм, который вычисляет дизъюнкцию n переменных √с вероятностью ошибки ε за O( n log ε−1 ) квантовых запросов. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 12 / 29
  38. 38. Свойства алгоритма √ Количество запросов O( n). Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.УтверждениеЕсли OR(x) = 1, то вероятность ошибки < 3/4.Повторив алгоритм k раз, сделаем вероятность ошибки < (3/4)k .ТеоремаСуществует алгоритм, который вычисляет дизъюнкцию n переменных √с вероятностью ошибки ε за O( n log ε−1 ) квантовых запросов. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 12 / 29
  39. 39. Свойства алгоритма √ Количество запросов O( n). Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.УтверждениеЕсли OR(x) = 1, то вероятность ошибки < 3/4.Повторив алгоритм k раз, сделаем вероятность ошибки < (3/4)k .ТеоремаСуществует алгоритм, который вычисляет дизъюнкцию n переменных √с вероятностью ошибки ε за O( n log ε−1 ) квантовых запросов. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 12 / 29
  40. 40. Свойства алгоритма √ Количество запросов O( n). Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.УтверждениеЕсли OR(x) = 1, то вероятность ошибки < 3/4.Повторив алгоритм k раз, сделаем вероятность ошибки < (3/4)k .ТеоремаСуществует алгоритм, который вычисляет дизъюнкцию n переменных √с вероятностью ошибки ε за O( n log ε−1 ) квантовых запросов. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 12 / 29
  41. 41. Оценка вероятности ошибки: два случая 1 Количество единиц велико: h n/5. Вторая стадия алгоритма потребуется с вероятностью, не превосходящей 5 1 1− ≈ e −1 5 и вероятность ошибки не больше этой величины. 2 Количество единиц мало: 0 < h < n/5. Будем оценивать вероятность успеха при итерациях Гровера. Успех: такое измерение, которое дает номер переменной, равной 1. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 13 / 29
  42. 42. Оценка вероятности ошибки: два случая 1 Количество единиц велико: h n/5. Вторая стадия алгоритма потребуется с вероятностью, не превосходящей 5 1 1− ≈ e −1 5 и вероятность ошибки не больше этой величины. 2 Количество единиц мало: 0 < h < n/5. Будем оценивать вероятность успеха при итерациях Гровера. Успех: такое измерение, которое дает номер переменной, равной 1. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 13 / 29
  43. 43. Оценка вероятности ошибки: два случая 1 Количество единиц велико: h n/5. Вторая стадия алгоритма потребуется с вероятностью, не превосходящей 5 1 1− ≈ e −1 5 и вероятность ошибки не больше этой величины. 2 Количество единиц мало: 0 < h < n/5. Будем оценивать вероятность успеха при итерациях Гровера. Успех: такое измерение, которое дает номер переменной, равной 1. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 13 / 29
  44. 44. Оценка вероятности ошибки: два случая 1 Количество единиц велико: h n/5. Вторая стадия алгоритма потребуется с вероятностью, не превосходящей 5 1 1− ≈ e −1 5 и вероятность ошибки не больше этой величины. 2 Количество единиц мало: 0 < h < n/5. Будем оценивать вероятность успеха при итерациях Гровера. Успех: такое измерение, которое дает номер переменной, равной 1. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 13 / 29
  45. 45. Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния|ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ).Доказательство |ξ 2ϑ |ψ ϑ М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 29
  46. 46. Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния|ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ).Доказательство |ξ Начальный угол ϑ. 2ϑ |ψ ϑ М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 29
  47. 47. Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния|ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ).Доказательство |ξ Начальный угол ϑ. 2ϑ Каждая итерация поворачивает |ψ вектор на угол 2ϑ. ϑ М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 29
  48. 48. Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния|ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ).Доказательство |ξ Начальный угол ϑ. 2ϑ Каждая итерация поворачивает |ψ вектор на угол 2ϑ. ϑ Координаты вектора после t итераций (cos((2t + 1)ϑ), sin((2t + 1)ϑ)) М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 29
  49. 49. Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния|ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ).Доказательство |ξ Вероятность успеха квадрат модуля 2ϑ амплитуды базисного вектора |ξ : |ψ ϑ sin2 ((2t + 1)ϑ) М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 29
  50. 50. Случайный выбор числа итерацийЛеммаВероятность успеха 1 sin(4mϑ) Pm = − . 2 4m sin(2ϑ)Доказательство По формуле полной вероятности m−1 m−1 1 1 Pm = sin2 ((2j + 1)ϑ) = 1 − cos((2j + 1)2ϑ) . m 2m j=0 j=0 Теперь свернем сумму косинусов, используя формулу m−1 sin(2mϕ) cos((2j + 1)ϕ) = . 2 sin ϕ j=0 М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 15 / 29
  51. 51. Случайный выбор числа итерацийЛеммаВероятность успеха 1 sin(4mϑ) Pm = − . 2 4m sin(2ϑ)Доказательство По формуле полной вероятности m−1 m−1 1 1 Pm = sin2 ((2j + 1)ϑ) = 1 − cos((2j + 1)2ϑ) . m 2m j=0 j=0 Теперь свернем сумму косинусов, используя формулу m−1 sin(2mϕ) cos((2j + 1)ϕ) = . 2 sin ϕ j=0 М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 15 / 29
  52. 52. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма Из второй леммы 1 sin(4mϑ) Pm = − 2 4m sin(2ϑ) При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4. Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n. Поэтому √ n 1 1 n> = > . h sin ϑ sin(2ϑ) Вероятность успеха не меньше 1/4. Вероятность ошибки меньше 3/4. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 29
  53. 53. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма Из второй леммы 1 sin(4mϑ) Pm = − 2 4m sin(2ϑ) При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4. Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n. Поэтому √ n 1 1 n> = > . h sin ϑ sin(2ϑ) Вероятность успеха не меньше 1/4. Вероятность ошибки меньше 3/4. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 29
  54. 54. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма Из второй леммы 1 sin(4mϑ) Pm = − 2 4m sin(2ϑ) При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4. Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n. Поэтому √ n 1 1 n> = > . h sin ϑ sin(2ϑ) Вероятность успеха не меньше 1/4. Вероятность ошибки меньше 3/4. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 29
  55. 55. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма Из второй леммы 1 sin(4mϑ) Pm = − 2 4m sin(2ϑ) При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4. Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n. Поэтому √ n 1 1 n> = > . h sin ϑ sin(2ϑ) Вероятность успеха не меньше 1/4. Вероятность ошибки меньше 3/4. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 29
  56. 56. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма Из второй леммы 1 sin(4mϑ) Pm = − 2 4m sin(2ϑ) При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4. Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n. Поэтому √ n 1 1 n> = > . h sin ϑ sin(2ϑ) Вероятность успеха не меньше 1/4. Вероятность ошибки меньше 3/4. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 29
  57. 57. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма Из второй леммы 1 sin(4mϑ) Pm = − 2 4m sin(2ϑ) При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4. Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n. Поэтому √ n 1 1 n> = > . h sin ϑ sin(2ϑ) Вероятность успеха не меньше 1/4. Вероятность ошибки меньше 3/4. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 29
  58. 58. План1 Определения и основные результаты2 Квантовое вычисление дизъюнкции3 Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижняя оценка4 Степень многочлена, приближающего булеву функцию М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 17 / 29
  59. 59. ЧувствительностьОпределениеЧувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количествупеременных xk , для которых f (x) = f (x ⊕ ek ). Здесьek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). k−1(Сколько соседей на булевом кубе имеют другое значение функции.)Чувствительность s(f ) функции f равна maxx sx (f ).Примерs(OR) = n, так как s0n (OR) = n (у всех соседей точки 0n значение 1, ау самой точки 0). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 18 / 29
  60. 60. ЧувствительностьОпределениеЧувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количествупеременных xk , для которых f (x) = f (x ⊕ ek ). Здесьek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). k−1(Сколько соседей на булевом кубе имеют другое значение функции.)Чувствительность s(f ) функции f равна maxx sx (f ).Примерs(OR) = n, так как s0n (OR) = n (у всех соседей точки 0n значение 1, ау самой точки 0). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 18 / 29
  61. 61. ЧувствительностьОпределениеЧувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количествупеременных xk , для которых f (x) = f (x ⊕ ek ). Здесьek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). k−1(Сколько соседей на булевом кубе имеют другое значение функции.)Чувствительность s(f ) функции f равна maxx sx (f ).Примерs(OR) = n, так как s0n (OR) = n (у всех соседей точки 0n значение 1, ау самой точки 0). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 18 / 29
  62. 62. ЧувствительностьОпределениеЧувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количествупеременных xk , для которых f (x) = f (x ⊕ ek ). Здесьek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). k−1(Сколько соседей на булевом кубе имеют другое значение функции.)Чувствительность s(f ) функции f равна maxx sx (f ).Примерs(OR) = n, так как s0n (OR) = n (у всех соседей точки 0n значение 1, ау самой точки 0). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 18 / 29
  63. 63. Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f ) 3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запросов в задачепоиска.Пусть в x достигается максимум sx (f ) = s, а x1 , . . . , xsсоответствующие переменные.Если алгоритм делает k s/3 запросов, то вероятность того, что однаиз этих переменных пропущена, не меньше 1/3.Но в этом случае противник может гарантировать ошибку, так какf (x) = f (x ⊕ ej ). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 19 / 29
  64. 64. Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f ) 3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запросов в задачепоиска.Пусть в x достигается максимум sx (f ) = s, а x1 , . . . , xsсоответствующие переменные.Если алгоритм делает k s/3 запросов, то вероятность того, что однаиз этих переменных пропущена, не меньше 1/3.Но в этом случае противник может гарантировать ошибку, так какf (x) = f (x ⊕ ej ). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 19 / 29
  65. 65. Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f ) 3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запросов в задачепоиска.Пусть в x достигается максимум sx (f ) = s, а x1 , . . . , xsсоответствующие переменные.Если алгоритм делает k s/3 запросов, то вероятность того, что однаиз этих переменных пропущена, не меньше 1/3.Но в этом случае противник может гарантировать ошибку, так какf (x) = f (x ⊕ ej ). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 19 / 29
  66. 66. Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f ) 3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запросов в задачепоиска.Пусть в x достигается максимум sx (f ) = s, а x1 , . . . , xsсоответствующие переменные.Если алгоритм делает k s/3 запросов, то вероятность того, что однаиз этих переменных пропущена, не меньше 1/3.Но в этом случае противник может гарантировать ошибку, так какf (x) = f (x ⊕ ej ). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 19 / 29
  67. 67. Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f ) 3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запросов в задачепоиска.Пусть в x достигается максимум sx (f ) = s, а x1 , . . . , xsсоответствующие переменные.Если алгоритм делает k s/3 запросов, то вероятность того, что однаиз этих переменных пропущена, не меньше 1/3.Но в этом случае противник может гарантировать ошибку, так какf (x) = f (x ⊕ ej ). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 19 / 29
  68. 68. План1 Определения и основные результаты2 Квантовое вычисление дизъюнкции3 Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижняя оценка4 Степень многочлена, приближающего булеву функцию М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 20 / 29
  69. 69. Многочлены и булевы функцииОпределенияМногочлен p : Rn → R приближает булеву функциюf : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого x ∈ {0, 1}n выполняется 1 |p(x) − f (x)| < . 3Степенью (приближения) deg(f ) булевой функции f называетсянаименьшая степень многочлена, приближающего f .ЗадачаДокажите, что для любой булевой функции f от n переменныхсуществует единственный мультилинейный многочлен p степени невыше n, который точно представляет f : равенство f (x) = p(x)выполняется для всех x ∈ {0, 1}n . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 21 / 29
  70. 70. Многочлены и булевы функцииОпределенияМногочлен p : Rn → R приближает булеву функциюf : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого x ∈ {0, 1}n выполняется 1 |p(x) − f (x)| < . 3Степенью (приближения) deg(f ) булевой функции f называетсянаименьшая степень многочлена, приближающего f .ЗадачаДокажите, что для любой булевой функции f от n переменныхсуществует единственный мультилинейный многочлен p степени невыше n, который точно представляет f : равенство f (x) = p(x)выполняется для всех x ∈ {0, 1}n . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 21 / 29
  71. 71. Многочлены и булевы функцииОпределенияМногочлен p : Rn → R приближает булеву функциюf : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого x ∈ {0, 1}n выполняется 1 |p(x) − f (x)| < . 3Степенью (приближения) deg(f ) булевой функции f называетсянаименьшая степень многочлена, приближающего f .ЗадачаДокажите, что для любой булевой функции f от n переменныхсуществует единственный мультилинейный многочлен p степени невыше n, который точно представляет f : равенство f (x) = p(x)выполняется для всех x ∈ {0, 1}n . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 21 / 29
  72. 72. Многочлены и булевы функцииОпределенияМногочлен p : Rn → R приближает булеву функциюf : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого x ∈ {0, 1}n выполняется 1 |p(x) − f (x)| < . 3Степенью (приближения) deg(f ) булевой функции f называетсянаименьшая степень многочлена, приближающего f .ЗадачаДокажите, что для любой булевой функции f от n переменныхсуществует единственный мультилинейный многочлен p степени невыше n, который точно представляет f : равенство f (x) = p(x)выполняется для всех x ∈ {0, 1}n . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 21 / 29
  73. 73. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближенияТеоремаДля любой булевой функции deg(f ) 2Q1/3 (f ).ЛеммаЕсли алгоритм вычисления f делает d квантовых запросов, тосостояние его памяти перед финальным измерением имеет вид αw (x)|w , w ∈Wгде w состояния памяти алгоритма, а αw (x) (комплексные)многочлены от x степени не выше d . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 22 / 29
  74. 74. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближенияТеоремаДля любой булевой функции deg(f ) 2Q1/3 (f ).ЛеммаЕсли алгоритм вычисления f делает d квантовых запросов, тосостояние его памяти перед финальным измерением имеет вид αw (x)|w , w ∈Wгде w состояния памяти алгоритма, а αw (x) (комплексные)многочлены от x степени не выше d . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 22 / 29
  75. 75. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения Перед измерением: αw (x)|w , deg αw (x) d. w ∈WВывод теоремы из леммыИсход w наблюдается при измерении с вероятностьюpw (x) = |αw (x)|2 .W1 множество тех состояний памяти, в которых алгоритм выдаетответ 1 . Вероятность ответа 1 равна p1 (x) = pw (x). wЭто многочлен от x степени 2d и такой, что 1 p1 (x) > 2/3 при f (x) = 1; 1/3 > p1 (x) 0 при f (x) = 0.Таким образом, deg(f ) deg p1 (x) 2d . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 23 / 29
  76. 76. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения Перед измерением: αw (x)|w , deg αw (x) d. w ∈WВывод теоремы из леммыИсход w наблюдается при измерении с вероятностьюpw (x) = |αw (x)|2 .W1 множество тех состояний памяти, в которых алгоритм выдаетответ 1 . Вероятность ответа 1 равна p1 (x) = pw (x). wЭто многочлен от x степени 2d и такой, что 1 p1 (x) > 2/3 при f (x) = 1; 1/3 > p1 (x) 0 при f (x) = 0.Таким образом, deg(f ) deg p1 (x) 2d . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 23 / 29
  77. 77. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения Перед измерением: αw (x)|w , deg αw (x) d. w ∈WВывод теоремы из леммыИсход w наблюдается при измерении с вероятностьюpw (x) = |αw (x)|2 .W1 множество тех состояний памяти, в которых алгоритм выдаетответ 1 . Вероятность ответа 1 равна p1 (x) = pw (x). wЭто многочлен от x степени 2d и такой, что 1 p1 (x) > 2/3 при f (x) = 1; 1/3 > p1 (x) 0 при f (x) = 0.Таким образом, deg(f ) deg p1 (x) 2d . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 23 / 29
  78. 78. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения Перед измерением: αw (x)|w , deg αw (x) d. w ∈WВывод теоремы из леммыИсход w наблюдается при измерении с вероятностьюpw (x) = |αw (x)|2 .W1 множество тех состояний памяти, в которых алгоритм выдаетответ 1 . Вероятность ответа 1 равна p1 (x) = pw (x). wЭто многочлен от x степени 2d и такой, что 1 p1 (x) > 2/3 при f (x) = 1; 1/3 > p1 (x) 0 при f (x) = 0.Таким образом, deg(f ) deg p1 (x) 2d . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 23 / 29
  79. 79. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения Перед измерением: αw (x)|w , deg αw (x) d. w ∈WВывод теоремы из леммыИсход w наблюдается при измерении с вероятностьюpw (x) = |αw (x)|2 .W1 множество тех состояний памяти, в которых алгоритм выдаетответ 1 . Вероятность ответа 1 равна p1 (x) = pw (x). wЭто многочлен от x степени 2d и такой, что 1 p1 (x) > 2/3 при f (x) = 1; 1/3 > p1 (x) 0 при f (x) = 0.Таким образом, deg(f ) deg p1 (x) 2d . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 23 / 29
  80. 80. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов: |ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 . Доказательство индукцией по k. Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0. Применение запроса. Было · · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . . Стало · · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . . Степень увеличилась самое большее на 1. Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не увеличивается. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 29
  81. 81. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов: |ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 . Доказательство индукцией по k. Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0. Применение запроса. Было · · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . . Стало · · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . . Степень увеличилась самое большее на 1. Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не увеличивается. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 29
  82. 82. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов: |ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 . Доказательство индукцией по k. Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0. Применение запроса. Было · · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . . Стало · · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . . Степень увеличилась самое большее на 1. Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не увеличивается. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 29
  83. 83. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов: |ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 . Доказательство индукцией по k. Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0. Применение запроса. Было · · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . . Стало · · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . . Степень увеличилась самое большее на 1. Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не увеличивается. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 29
  84. 84. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов: |ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 . Доказательство индукцией по k. Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0. Применение запроса. Было · · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . . Стало · · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . . Степень увеличилась самое большее на 1. Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не увеличивается. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 29
  85. 85. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов: |ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 . Доказательство индукцией по k. Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0. Применение запроса. Было · · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . . Стало · · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . . Степень увеличилась самое большее на 1. Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не увеличивается. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 29
  86. 86. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов: |ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 . Доказательство индукцией по k. Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0. Применение запроса. Было · · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . . Стало · · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . . Степень увеличилась самое большее на 1. Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не увеличивается. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 29
  87. 87. Насколько хорошо степень приближает Qε (f )? Амбайнис (2006) построил семейство функций, для которых deg(fk ) = 2k , а Q1/3 (f ) = Ω(2.5k ). Для доказательства нижней оценки на квантовую сложность он использовал метод квантового противника (Амбайнис, 2002). Рейхарт (2010) доказал для одной из версий метода квантового противника, что она дает оценку Qε (f ) с точностью до мультипликативной константы. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 25 / 29
  88. 88. Насколько хорошо степень приближает Qε (f )? Амбайнис (2006) построил семейство функций, для которых deg(fk ) = 2k , а Q1/3 (f ) = Ω(2.5k ). Для доказательства нижней оценки на квантовую сложность он использовал метод квантового противника (Амбайнис, 2002). Рейхарт (2010) доказал для одной из версий метода квантового противника, что она дает оценку Qε (f ) с точностью до мультипликативной константы. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 25 / 29
  89. 89. Насколько хорошо степень приближает Qε (f )? Амбайнис (2006) построил семейство функций, для которых deg(fk ) = 2k , а Q1/3 (f ) = Ω(2.5k ). Для доказательства нижней оценки на квантовую сложность он использовал метод квантового противника (Амбайнис, 2002). Рейхарт (2010) доказал для одной из версий метода квантового противника, что она дает оценку Qε (f ) с точностью до мультипликативной константы. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 25 / 29
  90. 90. Оценка квантовой сложности дизъюнкцииТеоремаdeg(OR) n/6. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 26 / 29
  91. 91. Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ). Симметризация многочлена: 1 p sym (x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ). n! σ∈Sn Специализация p (t) = p sym (t, t, . . . , t). ˜ Свойства специализации |˜(0)| < 1/3; p |˜(k) − 1| < 1/3 при 1 p k n. Отсюда следует deg p deg p sym deg p ˜ n/6. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 27 / 29
  92. 92. Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ). Симметризация многочлена: 1 p sym (x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ). n! σ∈Sn Специализация p (t) = p sym (t, t, . . . , t). ˜ Свойства специализации |˜(0)| < 1/3; p |˜(k) − 1| < 1/3 при 1 p k n. Отсюда следует deg p deg p sym deg p ˜ n/6. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 27 / 29
  93. 93. Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ). Симметризация многочлена: 1 p sym (x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ). n! σ∈Sn Специализация p (t) = p sym (t, t, . . . , t). ˜ Свойства специализации |˜(0)| < 1/3; p |˜(k) − 1| < 1/3 при 1 p k n. Отсюда следует deg p deg p sym deg p ˜ n/6. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 27 / 29
  94. 94. Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ). Симметризация многочлена: 1 p sym (x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ). n! σ∈Sn Специализация p (t) = p sym (t, t, . . . , t). ˜ Свойства специализации |˜(0)| < 1/3; p |˜(k) − 1| < 1/3 при 1 p k n. Отсюда следует deg p deg p sym deg p ˜ n/6. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 27 / 29
  95. 95. Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ). Симметризация многочлена: 1 p sym (x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ). n! σ∈Sn Специализация p (t) = p sym (t, t, . . . , t). ˜ Свойства специализации |˜(0)| < 1/3; p |˜(k) − 1| < 1/3 при 1 p k n. Отсюда следует deg p deg p sym deg p ˜ n/6. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 27 / 29
  96. 96. Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ). Симметризация многочлена: 1 p sym (x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ). n! σ∈Sn Специализация p (t) = p sym (t, t, . . . , t). ˜ Свойства специализации |˜(0)| < 1/3; p |˜(k) − 1| < 1/3 при 1 p k n. Отсюда следует deg p deg p sym deg p ˜ n/6. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 27 / 29
  97. 97. Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ). Симметризация многочлена: 1 p sym (x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ). n! σ∈Sn Специализация p (t) = p sym (t, t, . . . , t). ˜ Свойства специализации |˜(0)| < 1/3; p |˜(k) − 1| < 1/3 при 1 p k n. Отсюда следует deg p deg p sym deg p ˜ n/6. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 27 / 29
  98. 98. Оценка степени многочленаТеорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| < 1/3, а−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 k n.Тогда deg f n/6.Теорема (Марков, 1889)Если |f (x)| 1 на отрезке [−1; 1], то |f (x)| (deg f )2 на отрезке[−1; 1].ЗадачаВыведите нижнюю оценку на степень многочлена из неравенстваМаркова. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 28 / 29
  99. 99. Оценка степени многочленаТеорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| < 1/3, а−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 k n.Тогда deg f n/6.Теорема (Марков, 1889)Если |f (x)| 1 на отрезке [−1; 1], то |f (x)| (deg f )2 на отрезке[−1; 1].ЗадачаВыведите нижнюю оценку на степень многочлена из неравенстваМаркова. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 28 / 29
  100. 100. Оценка степени многочленаТеорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| < 1/3, а−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 k n.Тогда deg f n/6.Теорема (Марков, 1889)Если |f (x)| 1 на отрезке [−1; 1], то |f (x)| (deg f )2 на отрезке[−1; 1].ЗадачаВыведите нижнюю оценку на степень многочлена из неравенстваМаркова. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 28 / 29
  101. 101. Оценка степени многочленаТеорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| < 1/3, а−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 k n.Тогда deg f n/6.Теорема (Марков, 1889)Если |f (x)| 1 на отрезке [−1; 1], то |f (x)| (deg f )2 на отрезке[−1; 1].ЗадачаВыведите нижнюю оценку на степень многочлена из неравенстваМаркова. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 28 / 29
  102. 102. Оценка квантовой сложности дизъюнкции: итогТеорема √ √√1 n Q1/3 (OR) n. 24Зазор между вероятностной и квантовой сложностью 1√ R1/3 (OR) √ √ n 24 n 3 Q1/3 (OR) М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 29 / 29

×