Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.

סיכום של הקורס מתמטיקה דיסקרטית

6 799 vues

Publié le

סיכום קצר של הקורס מתמטיקה דיסקרטית מאת ד"ר ערן לונדון.
בין השאר הסיכום כולל: קומבינטוריקה, תורת הקבוצות, יחסים, מחלקות שקילות, הגדרות בסיסיות בלוגיקה, עיקרןו שוב היונים, חלוקה למחלקות שקילות.
הסיכום כולל תקציר של כל הדברים ולפעמים מספר דוגמאות.
ניתן למצוא סיכומים נוספים באתר: http://www.letach.net


עדכון אחרון -
27.1.2014.

Publié dans : Formation
  • Soyez le premier à commenter

סיכום של הקורס מתמטיקה דיסקרטית

  1. 1. ‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬ ‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬ ‫מתמטיקה דיסקרטית ־ תשע"ג‬ ‫־ ד"ר ערן לונדון‬ ‫‪ P‬־ עבור כל שני מספרים אי־זוגיים.‬ ‫‪ Q‬־ ההפרש שלהם הוא זוגי.‬ ‫איך מוכיחים את המשפט?‬ ‫1. ישירות ־ מראים ש־‪ .P → Q‬מניחים ש־ ‪ P‬נכון ומראים‬ ‫שגם ‪ Q‬נכון.‬ ‫¯‬ ‫¯‬ ‫2. ‪ Contra P osotive‬־ מראים ש־ ‪.Q → P‬‬ ‫¯‬ ‫¯‬ ‫3. בדרך השלילה ־ מראים שהפסוק ‪ P ∧ Q → P‬הוא נכון‬ ‫)ואז בסוף מגיעים לסתירה... ]כדאי לנסות על משפט פשוט‬ ‫כדי לראות את זה[(.‬ ‫3.1‬ ‫חלק‬ ‫‪I‬‬ ‫הגדרה: קבוצה של קשרים היא שלמה אם לכל פסוק ‪ A‬קיים‬ ‫פסוק ‪ B‬אשר מופיעים בו רק קשרים מהקבוצה השלמה ומתקיים‬ ‫־ ‪.A ≡ B‬‬ ‫לוגיקה‬ ‫1‬ ‫קבוצות שלמות של קשרים‬ ‫הגדרות‬ ‫4.1‬ ‫ביטויים בולאנים ־ ביטויים שיכולים לקבל רק שני ערכים ־ אמת‬ ‫)‪ (T‬או שקר)‪) .(F‬אך לא שניהם!!!(.‬ ‫ניתן לכנות ביטוי בולאני בתור פסוק.‬ ‫תחשיב הפסוקים ־ עוסק בדרך בה ניתן לבנות פסוקים חדשים‬ ‫)מתוך פסוקים אחרים( באמצעות קשרים לוגיים )או, גם...(.‬ ‫תחשיב היחסים ־ מטפל בפסוקים יותר מורכבים אשר כוללים‬ ‫גם את המילים "לכל" או "קיים".‬ ‫משתנה פסוקי ) פסוק אטומי(־ ‪) P,Q,R,S‬או כל אות לטינית‬ ‫אחרת ]אבל גדולה[(.‬ ‫קבוע פסוקי ־ ‪ T‬־ אמת, ‪ F‬־ שקר. גם קבוע פסוקי נחשב‬ ‫ל־פסוק אטומי.‬ ‫השמה ־ פונקציה ‪ f‬הקובעת לכל משתנה פסוקי ערך ‪ T‬או ‪.F‬‬ ‫סימון ערך הפסוק ־ )‪ f (A‬־ ערך הפסוק ‪ A‬לפי ההשמה ‪.f‬‬ ‫אם ‪ f (A) = T‬אזי אומרים כי השמה ‪ f‬מספקת את פסוק ‪.A‬‬ ‫השמה מספקת ־ היא השמה שערך האמת שלה הוא ‪.T‬‬ ‫יהיו ‪ A, B‬שני פסוקים. אם )‪ f (A) = f (B‬עבור כל השמה ‪,f‬‬ ‫אזי אומרים ש־ ‪ A‬ו־‪ B‬שקולים לוגית ומסמנים: ‪. A ≡ B‬‬ ‫טאוטולוגיה ־ פסוק ‪ A‬הוא טאוטולוגיה אם ערך האמת שלו הוא‬ ‫‪ T‬לכל השמה.‬ ‫סתירה ־ פסוק ‪ A‬הוא סתירה אם ערך האמת שלו הוא ‪ F‬לכל‬ ‫השמה.‬ ‫1.1‬ ‫חוקי דה־מורגן‬ ‫1.4.1‬ ‫פסוק ‪DN F‬‬ ‫הגדרה: פסוק לוגי הוא פסוק בצורת ‪ DN F‬אם הוא מהצורה‬ ‫הבאה:‬ ‫‪ D1 ∨ D2 ∨ · · · ∨ Dn‬כשאר כל ‪ Di‬הוא מהצורה ־ = ‪Di‬‬ ‫‪ ,Ai1 ∧ Ai2 ∧ · · · ∧ Aik‬כאשר כל ‪ Aj‬הוא או משתנה או שלילתו.‬ ‫פסוק ‪CN F‬‬ ‫2.4.1‬ ‫הגדרה: פסוק לוגי הוא פסוק בצורת ‪ CN F‬אם הוא מהצורה‬ ‫הבאה:‬ ‫‪ C1 ∧ C2 ∧ · · · ∧ Cn‬כאשר כל ‪ Ci‬הוא מהצורה ־ ∨ ‪A1i ∨ A2i‬‬ ‫‪ ,· · · ∨ Aki‬כאשר כל ‪ Aj‬הוא משתנה פסוקי או שלילתו‬ ‫2‬ ‫טבלאות של קשרים לוגיים‬ ‫הקשר ־ ∨ ־ "או"‬ ‫‪Q P∨Q‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫הקשר ־ ∧ ־ "וגם"‬ ‫‪Q P∧Q‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫הקשר ־ → ־ "גרירה"‬ ‫‪P Q P→Q‬‬ ‫1. ‪.P ∧ Q ≡ P ∨ Q‬‬ ‫2. ‪.P ∨ Q ≡ P ∧ Q‬‬ ‫2.1‬ ‫פסוקי ‪ DN F‬ופסוקי ‪CN F‬‬ ‫הוכחה מתמטית‬ ‫משפט מתמטי הוא משפט מהצורה: ‪ .P → Q‬למשל, ניקח את‬ ‫המשפט הבא: ההפרש בין כל שני מספרים )שלמים( אי־זוגיים‬ ‫הוא זוגי. אזי:‬ ‫1‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫הקשר ־ ⊕ ־ "‪XOR‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪P⊕Q‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫"‬ ‫‪P‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫הקשר ־ ↔ ־ "גרירה" )אם"ם(‬ ‫‪P Q‬‬ ‫‪P↔Q‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫¯‬ ‫ויש גם את קשר השלילה: עבור פסוק ‪ P ,P‬הינו הערך ההפוך‬ ‫שלו )אם היה ‪ T‬נהפך להיות ‪ F‬ואם היה ‪ F‬נהפך להיות ‪.(T‬‬
  2. 2. ‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬ ‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬ ‫הפרש בין קבוצות‬ ‫})‪AB = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ∧ (x ∈ B‬‬ ‫/‬ ‫קסור‬ ‫})‪A ⊕ B = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ⊕ (x ∈ B‬‬ ‫הקבוצה המשלימה‬ ‫¯‬ ‫)‪A = {x ∈ Ω; (x ∈ A)} = x ∈ Ω; (x ∈ A‬‬ ‫/‬ ‫1.4‬ ‫דה מורגן )קבוצות(‬ ‫¯ ¯‬ ‫¯ ¯‬ ‫‪.A ∪ B = A ∩ B ,A ∩ B = A ∪ B‬‬ ‫2.4‬ ‫חלק‬ ‫‪II‬‬ ‫ניתן להמיר פעולות על קבוצה לפוסקים לוגיים, למשל:‬ ‫)‪ ,P = (x ∈ A) , Q = (x ∈ B‬לכן:‬ ‫¯‬ ‫למשל: ‪ ,A ∩ B = P ∧ Q‬או: ‪.AB = P ∧ Q‬‬ ‫תורת הקבוצות‬ ‫3‬ ‫הגדרות בסיסיות‬ ‫5‬ ‫הגדרה:‬ ‫קבוצה היא אוסף של איברים )האמת היא שאי אפשר‬ ‫ממש להגדיר קבוצה, אבל אנחנו נותנים כאן מעין הגדרה‬ ‫אינטואיטיבית...(‬ ‫}♣ ,‪A = {♥, 1, 2, ℵ‬‬ ‫‪ a ∈ A‬־ פירושו ש־‪ a‬נמצא ב־‪ ,A‬למשל: ‪.1 ∈ A‬‬ ‫‪ a ∈ A‬־ פירושו ש־‪ a‬לא נמצא ב־‪ ,A‬למשל: ‪.4 ∈ A‬‬ ‫/‬ ‫/‬ ‫הצגת קבוצה באמצעות תכונה:‬ ‫}‪A = {x; x > 12, x ∈ N‬‬ ‫הקבוצה הריקה: }{ = ∅.‬ ‫‪ A ⊆ B‬־ ‪ A‬מוכלת ב־‪ B‬כלומר: כל איבר ב־‪ A‬נמצא ב־‪.B‬‬ ‫)‪.(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B‬‬ ‫‪ A B‬־ ‪ A‬מוכלת ב־‪ B‬אבל לא שווה לה, כלומר קיים לפחות‬ ‫איבר אחד ב־‪ B‬שאינו נמצא ב־‪.A‬‬ ‫‪ A = B‬־ שוויון בין קבוצות: ‪ A ⊆ B‬וגם: ‪ .B ⊆ A‬או:‬ ‫)‪.(x ∈ A) ⇔ (x ∈ B‬‬ ‫‪ A‬ו־‪ B‬קבוצות זרות אם לא קיים בניהן אף איבר משותף, למשל:‬ ‫} ,1{ ו־}‪.{ , b‬‬ ‫‪ Ω‬־ הקבוצה האוניברסלית.‬ ‫}‪) A = {x ∈ Ω; x ∈ A‬צורת כתיבה נוספת של קבוצה ‪.(A‬‬ ‫סימון: אומרים ש־‪ a) a | b‬מחלק את ‪ (b‬אם קיים ‪ k ∈ Z‬כך‬ ‫שמתקיים ‪.a · k = b‬‬ ‫ומנגד ־ ‪ c) c d‬אינו מחלק את ‪ .(d‬למשל: 6 | 2 כי 6 = 3 · 2,‬ ‫אבל: 2 6.‬ ‫פעולות על קבוצות )רשימה מקוצרת(‬ ‫יחסים‬ ‫זוג סדור:‬ ‫יהיו ‪ A, B‬קבוצות, כאשר ‪ ,a ∈ A, b ∈ B‬אזי לצירוף )‪(a, b‬‬ ‫קוראים זוג סדור.‬ ‫חשוב לזכור ־ )‪.(a, b) = (b, a‬‬ ‫‪R⊆A×B‬‬ ‫יחס ‪ R‬נקרא יחס מקבוצה ‪ A‬לקבוצה ‪ B‬אשר מורכב מזוגות‬ ‫מהצורה )‪ (a, b‬כך ש־‪ a ∈ A‬ו־‪.b ∈ B‬‬ ‫‪ ∅ ⊆ A × B‬־ היחס הריק ־ יחס בלי שום זוג סדור.‬ ‫‪ A×B ⊆ A×B‬־ היחס המלא ־ כל הזוגות הסדורים האפשריים‬ ‫)‪ (a, b‬כך ש־‪ a ∈ A‬ו־‪.b ∈ B‬‬ ‫הגדרה:‬ ‫‪ R ⊆ A × A‬יקרא יחס על הקבוצה ‪.A‬‬ ‫סימון:‬ ‫עבור ‪ a, b ∈ A‬ויחס ‪ R‬על הקבוצה ‪ .A‬אם הזוג הסדור )‪(a, b‬‬ ‫נמצא ב־ ‪ R‬ניתן לסמן זאת בשתי דרכים:‬ ‫‪ (a, b) ∈ R‬או ‪ ,aRb‬וכאשר רוצים לשלול: ‪ (a, a) ∈ R‬או  ‪.a‬‬ ‫‪Ra‬‬ ‫/‬ ‫1.5‬ ‫סוגי יחסים‬ ‫עבור קבוצה ‪ A‬ויחס ‪ R‬על הקבוצה:‬ ‫1.1.5‬ ‫רפלקסיבי‬ ‫‪ R‬הוא רפלקסיבי אם לכל ‪ a ∈ A‬מתקיים: ‪) (a, a) ∈ R‬או:‬ ‫‪.(aRa‬‬ ‫2.1.5‬ ‫4‬ ‫המרה לפסוקים לוגיים‬ ‫אנטי־רפלקסיבי‬ ‫‪ R‬הוא אנטי רפלקסיבי אם לכל ‪ a ∈ A‬מתקיים: ‪(a, a) ∈ R‬‬ ‫/‬ ‫)או:  ‪.( a‬‬ ‫‪Ra‬‬ ‫איחוד‬ ‫})‪A ∪ B = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ∨ (x ∈ B‬‬ ‫חיתוך‬ ‫})‪A ∩ B = {x ∈ Ω; (x ∈ A) ∧ (x ∈ B‬‬ ‫3.1.5‬ ‫סימטרי‬ ‫‪ R‬הוא יחס סימטרי אם לכל ‪ a, b ∈ A‬מתקיים: ‪.aRb ⇒ bRa‬‬ ‫2‬
  3. 3. ‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬ ‫4.1.5‬ ‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬ ‫5.2.5‬ ‫אנטי־סימטרי‬ ‫יחס מושרה‬ ‫הגדרה: תהא ‪ S‬חלוקה של קבוצה ‪ .A‬נגדיר יחס ‪ Rs‬על הקבוצה‬ ‫‪ A‬באופן הבא: ‪ (x, y) ∈ Rs‬אם)ם( ‪ x‬ו־‪ y‬שייכים לאותה קבוצה‬ ‫ב־‪ .S‬ליחס ‪Rs‬נקרא היחס המושרה מהחלוקה ‪.S‬‬ ‫‪ R‬הוא יחס אנטי־סימטרי אם לכל ‪ a, b ∈ A‬אם‬ ‫‪.aRb ∧ bRa ⇒ a = b‬‬ ‫משפט: ‪Rs‬הוא יחס שקילות.‬ ‫5.1.5‬ ‫טרנזיטיבי‬ ‫‪ R‬הוא יחס טרנזיטיבי אם לכל ‪ a, b, c ∈ A‬מתקיים:‬ ‫6‬ ‫פונקציות‬ ‫‪aRb ∧ bRc ⇒ aRc‬‬ ‫תזכורת: ‪ R ⊆ A × B‬נקרא יחס מקבוצה ‪ A‬לקבוצה ‪.B‬‬ ‫2.5‬ ‫יחס שקילות‬ ‫תהי ∅ = ‪ A‬קבוצה ויהי ‪ R‬יחס על הקבוצה ‪ .A‬אם ‪ R‬הוא‬ ‫רפלקסיבי, סימטרי, וטרנזיטיבי אזי ‪ R‬הוא יחס שקילות.‬ ‫1.2.5‬ ‫הגדרה: ‪ f ⊆ A × B‬תקרא פונקציה מ־‪ A‬ל־‪ B‬אם לכל ‪a ∈ A‬‬ ‫קיים ‪ b ∈ B‬יחיד כך ש־ ‪.(a, b) ∈ f‬‬ ‫אם ‪ f‬היא פונקציה ו־ ‪ (a, b) ∈ f‬אזי מסמנים ‪ ,f (a) = b‬וגם:‬ ‫‪.f : A → B‬‬ ‫לקבוצה ‪ A‬קוראים התחום של הפונקציה ‪.f‬‬ ‫דוגמא: יחס שקילות מודולו ‪m‬‬ ‫הטווח של ‪ f‬יסומן: ) ‪ Range (f‬או ) ‪ Im (f‬והוא מוגדר כך:‬ ‫})‪Im (f ) = Range (f ) = {b ∈ B, ∃a ∈ A, b = f (a‬‬ ‫הגדרה: יהא 2 ≥ ‪ ,m ∈ N ,m‬נגדיר יחס ‪ Rm ⊆ Z × Z‬באופן‬ ‫הבא:‬ ‫)‪ ,∃a ∈ A, b = f (a‬פירושו: קיים ‪ a ∈ A‬כך ש־)‪.b = f (a‬‬ ‫})‪.Rm = {(x, y) ; x, y ∈ Z, m | (x − y‬‬ ‫לפעמים מסמנים את הטווח ב־)‪.f (A‬‬ ‫משפט: לכל 2 ≥ ‪ ,m‬היחס ‪Rm‬הוא יחס שקילות.‬ ‫סימון מקובל: אם ‪ (x, y) ∈ Rm‬אזי מסמנים: ‪.x ≡m y‬‬ ‫1.6‬ ‫1.1.6‬ ‫למשל: 6 4≡ 2.‬ ‫2.2.5‬ ‫מחלקת שקילות‬ ‫פונקציות מסוימות‬ ‫פונקצית הזהות‬ ‫תהא ∅ = ‪ A‬קבוצה כלשהי.‬ ‫הגדרה: יהא ‪ R‬יחס שקילות על קבוצה ‪ ,A‬ו־‪ .x ∈ A‬מחלקת‬ ‫השקילות של ‪ x‬תחת היחס ‪ R‬תסומן: ‪ ,[x]R‬ותוגדר באופן הבא:‬ ‫הפונקציה ‪ IA : A → A‬המוגדרת ע"י ‪ IA (x) = x‬לכל ‪x ∈ A‬‬ ‫נקראת: פונקצית הזהות על הקבוצה ‪.A‬‬ ‫}‪.[x]R = {y ∈ A; (x, y) ∈ R‬‬ ‫חשוב לזכור ־ מחלקת שקילות היא לא קבוצה של זוגות סדורים,‬ ‫אלא של איברים מהקבוצה המקורית שנמצאים באותה מחלקת‬ ‫שקילות. מה שמעניין אותנו אלו האיברים שמקיימים את היחס‬ ‫עם ‪ ,x‬כלומר, כל ה־‪y‬־ים שהיחס שלהם עם ‪ x‬הוא יחס שקילות.‬ ‫למשל, ביחס 4≡ יש לנו ארבע מחלקות שקילות:‬ ‫}. . . ,01 ,6 ,2 ,2− , . . .{ = })‪[2]≡4 = {y ∈ Z; 4 | (2 − y‬‬ ‫וכמו־כן: 4≡]3[ , 4≡]1[ , 4≡]0[ )את 2 הבאתי באופן מלא רק‬ ‫כדוגמא(.‬ ‫4≡]6−[ = 4≡]01[ = 4≡]2[.‬ ‫3.2.5‬ ‫2.1.6‬ ‫‪1 x∈X‬‬ ‫‪0 otherwise‬‬ ‫= )‪∀x ∈ A; fX (x‬‬ ‫אם שמים לב, זוהי פונקציה שממיינת את כל האיברים ב־‪ A‬למה‬ ‫שב־‪) X‬במקרה הזה היא מחזירה 1( ולמה שלא ב־‪) X‬במקרה‬ ‫הזה היא מחזירה 0(.‬ ‫זוהי פונקציה שיכולה להחזיר רק ־ 0 או 1 )עבור תנאי מסוים(.‬ ‫אם אלו שני ערכים אחרים מ־0 ו־1 אזי זאת פונקציה בולאנית‬ ‫ולא מציינת )כל פונקציה מציינת היא פונקציה בולאנית, אבל לא‬ ‫כל פונקציה בולאנית היא פונקציה מציינת(.‬ ‫חלוקה של קבוצה‬ ‫3.1.6‬ ‫הגדרה: תהא ∅ = ‪ A‬קבוצה של קבוצות. }... , 2‪S = {S1 , S‬‬ ‫תקרא חלוקה של הקבוצה ‪ A‬אם מתקיימים התנאים הבאים:‬ ‫א. ∅ = ‪ Si‬לכל ‪.i‬‬ ‫ב. ‪Si = A‬‬ ‫פונקציה חד־חד־ערכית‬ ‫הגדרה: תהא ‪ f .f : A → B‬היא פונקציה חד־חד־ערכית אם‬ ‫מתקיים התנאי הבא: לכל ‪ :s, t ∈ A‬אם )‪ f (s) = f (t‬אזי‬ ‫‪.s = t‬‬ ‫.‬ ‫ג. ∅ = ‪ Si ∩ Sj‬לכל ‪.i = j‬‬ ‫4.2.5‬ ‫פונקציה מציינת של קבוצה‬ ‫4.1.6‬ ‫המשפט המרכזי של יחסי השקילות‬ ‫תהא ∅ = ‪ A‬ו־‪ R ⊆ A × A‬יחס שקילות. קבוצת מחלקות‬ ‫השקילות של ‪ R‬היא חלוקה של ‪.A‬‬ ‫3‬ ‫פונקציה על‬ ‫הגדרה: תהא ‪ f .f : A → B‬היא על ‪ B‬אם לכל ‪ b ∈ B‬קיים‬ ‫‪ a ∈ A‬כך ש־‪ .f (a) = b‬במילים אחרות: ) ‪.B = Im (f‬‬ ‫√‬ ‫דוגמא: אם הפונקציה שנתונה לנו היא 1 + ‪ f (x) = x‬כאשר:‬ ‫‪ ,f : N → Z‬אזי ניתן לראות שהיא איננה על, מכיוון‬
  4. 4. ‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬ ‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬ ‫שמסתכלים על הטווח )מה שנמצא בריבוע( ורואים שלמשל,‬ ‫‪ Z‬לא קיים ‪ a‬כך ש־‪ ,f (a) = b‬כלומר:‬ ‫עבור 5− = ‪b‬‬ ‫]‪ Im (f ) = B [= Z‬ולכן הפונקציה איננה על.‬ ‫5.1.6‬ ‫תהא )≤ ,‪ (A‬קס"ח המקיימת את תכונת המינימליות.‬ ‫)‪ P (a‬טענה לגבי איבר ‪.a ∈ A‬‬ ‫הרכבה של פונקציות ופונקציות הפיכות‬ ‫הגדרה: ‪.h : A → C ,g : B → C ,f : A → B‬‬ ‫הפונקציה ‪ h‬המוגדרת ע"י ))‪ h (x) = g (f (x‬לכל ‪ x ∈ A‬נקראת‬ ‫1‬ ‫ההרכבה של ‪ f‬ו־‪ g‬ומסומנת: ‪.h = g ◦ f‬‬ ‫הגדרה: ‪ f : A → B‬היא פונקציה הפיכה אם קיימת ‪g : B → A‬‬ ‫כך שלכל ‪ g (f (a)) = a ,a ∈ A‬ולכל ‪.f (g (b)) = b ,b ∈ B‬‬ ‫הפונקציה ‪ g‬תקרא הפונקציה ההופכית של ‪) .f‬במילים אחרות:‬ ‫‪ g ◦ f = IA‬ו־ ‪.(f ◦ g = IB‬‬ ‫משפט: ‪ f : A → B‬היא פונקציה הפיכה אםם היא חח"ע ועל.‬ ‫7‬ ‫1.7‬ ‫יחס סדר חלקי‬ ‫1. הטענה )‪ P (a‬נכונה לכל איבר מינימלי ‪ a‬של ‪.A‬‬ ‫2. לכל ‪ ,a ∈ A‬נכונות הטענה )‪ P (b‬לכל האיברים ‪ b ∈ A‬כך‬ ‫ש־ ‪ ,b = a, b ≤ a‬גוררת את נכונות הטענה )‪.P (a‬‬ ‫אז הטענה )‪ P (a‬נכונה לכל ‪.a ∈ A‬‬ ‫‪III‬‬ ‫אינדוקציה‬ ‫יחס סדר חלקי וקבוצה סדורה חלקית‬ ‫איבר מקסימלי ואיבר מינימלי‬ ‫8 משפט האינדוקציה השלמה )על המספרים‬ ‫הטבעיים 2(:‬ ‫תהא )‪ P (n‬טענה לגבי האיבר ‪ .n ∈ N‬אם מתקיימים שני‬ ‫התנאים הבאים:‬ ‫1. )בסיס האינדוקציה( הטענה ) 0‪ P (n‬נכונה )עבור ‪.(n0 ∈ N‬‬ ‫2. )צעד האינדוקציה( לכל ‪ n0 ≤ n ∈ N‬נכונות הטענה )‪P (m‬‬ ‫לכל ‪ m ∈ N‬המקיים ‪ n0 ≤ m < n‬גוררת את נכונות‬ ‫הטענה )‪.P (n‬‬ ‫אזי הטענה )‪ P (n‬נכונה לכל ‪) .n0 ≤ n ∈ N‬הערה: חשוב לסיים‬ ‫כל הוכחה במשפט הזה, כי אחרת בעצם לא אמרנו כלום...(.‬ ‫‪ R ⊆ A × A‬הוא יחס סדר חלקי.‬ ‫‪ a ∈ A‬הוא איבר מקסימלי אם ‪.a = x ⇐ aRx‬‬ ‫‪ b ∈ A‬הוא איבר מינימלי אם ‪.b = x ⇐ xRb‬‬ ‫3.7‬ ‫תהא‬ ‫אם מתקיימים שני התנאים הבאים:‬ ‫חלק‬ ‫הגדרה: תהא ‪ A‬קבוצה. ‪ R ⊆ A × A‬הוא יחס סדר חלקי אם‬ ‫הוא: רפלקסיבי, אנטי־סימטרי, וטרנזיטיבי.‬ ‫לזוג )‪ (A, R‬קוראים בשם קבוצה סדורה חלקית. )קס"ח(.‬ ‫למשל: )≤ ,‪.(N‬‬ ‫הגדרה: ‪ R ⊆ A × A‬הוא יחס סדר חלקי על ‪ ,A‬אם לכל‬ ‫‪ a, b ∈ A‬מתקיים ‪ aRb‬או ‪ bRa‬אזי ‪ R‬הוא יחס סדר מלא.‬ ‫)הערה: כל יחס סדר מלא הוא גם יחס סדר חלקי, אבל ההפך‬ ‫לא נכון(. ול־)‪ (A, R‬קוראים קבוצה סדורה לינארית.‬ ‫הגדרה: אם  ‪ a‬וגם  ‪ b‬אזי ‪ a‬ו־‪ b‬הם איברים שאינם ניתנים‬ ‫‪Ra‬‬ ‫‪Rb‬‬ ‫להשוואה.‬ ‫אם אין זוג איברים בלתי ניתנים להשוואה אז )‪ (A, R‬היא קבוצה‬ ‫סדורה לינארית ו־‪ R‬הוא יחס סדר מלא.‬ ‫2.7‬ ‫4.7 משפט האינדוקציה על קבוצה סדורה חלקית‬ ‫המקיימת את תכונת המינימליות‬ ‫הערה: משפט האינדוקציה השלמה הוא מסקנה מהמשפט הקודם‬ ‫העוסק בקס"ח המקיימת את תכונת המינימליות.‬ ‫קבוצה סדורה היטב‬ ‫הערה: בחלק הזה נסמן יחס סדר חלקי ב־ ≤ )חשוב לזכור שהוא‬ ‫לא בהכרח יחס סדר מלא למרות הסימן המטעה...(‬ ‫)≤ ,‪ (A‬קבוצה סדורה חלקית.‬ ‫‪ a ∈ A‬הוא איבר מינימלי אם ‪.a = x ⇐ a ≤ x‬‬ ‫‪ a ∈ A‬הוא איבר מקסימלי אם ‪.a = x ⇐ a ≥ x‬‬ ‫הגדרה: )≤ ,‪ (A‬היא קבוצה סדורה היטב אם )≤ ,‪ (A‬היא קס"ח‬ ‫ולכל ‪ B = ∅ ,B ⊆ A‬קיים איבר מינימלי אחד בדיוק.‬ ‫משפט: כל קבוצה סדורה היטב היא קבוצה סדורה לינארית.‬ ‫)ההפך אינו נכון(.‬ ‫הגדרה: )≤ ,‪ (A‬היא קבוצה סדורה חלקית המקיימת את תכונת‬ ‫המינימליות אם לכל ‪ B = ∅ ,B ⊆ A‬קיים איבר מינימלי )אחד‬ ‫לפחות(. ]וזה בניגוד להגדרה של "קבוצה סדורה היטב" שבה‬ ‫צריך שיהיה רק אחד בדיוק. כאן אפשר גם יותר[.‬ ‫1הסבר יותר מפורט כולל דוגמאות נמצא בסיכום של הקורס "כלים מתמטיים‬ ‫למדעי המחשב" של ד"ר לור ברתל.‬ ‫4‬ ‫9 משפט האינדוקציה הרגילה )על המספרים‬ ‫הטבעיים(:‬ ‫תהא )‪ P (n‬טענה לגבי האיבר ‪ .n ∈ N‬אם מתקיימים שני‬ ‫התנאים הבאים:‬ ‫1. הטענה )0( ‪ P‬נכונה.‬ ‫2. לכל ‪ ,1 ≤ n ,n ∈ N‬נכונות הטענה )1 − ‪ P (n‬גוררת את‬ ‫נכונות הטענה )‪.P (n‬‬ ‫אזי הטענה )‪ P (n‬נכונה לכל ‪.n ∈ N‬‬ ‫2בעיקרון, לא צריך לציין זאת, היות ומשפטי האינדוקציה שנלמד מדברים רק‬ ‫על המספרים הטבעיים.‬
  5. 5. ‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬ ‫חלק‬ ‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬ ‫‪IV‬‬ ‫3. תהיינה ‪ A‬ו־‪ B‬קבוצות סופיות, אזי: ‪ A × B‬היא קבוצה‬ ‫סופית ומתקיים:‬ ‫|‪.|A × B| = |A| × |B‬‬ ‫קומבינטוריקה‬ ‫2.11‬ ‫הכללות )של טענות 1 ו־3(‬ ‫1. אם ‪ A1 , A2 , . . . , An‬הן קבוצות זרות בזוגות )כלומר, לכל‬ ‫‪ i = j‬מתקיים: ∅ = ‪ ,(Ai ∩ Aj‬אזי:‬ ‫‪n‬‬ ‫| ‪|Ai‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪Ai‬‬ ‫1=‪i‬‬ ‫1=‪i‬‬ ‫2. לכל ‪ B1 , B2 , . . . , Bn‬מתקיים:‬ ‫01‬ ‫‪n‬‬ ‫הקדמה‬ ‫= | ‪|B1 × · · · × Bn‬‬ ‫| ‪|Bi‬‬ ‫1=‪i‬‬ ‫)חלק זה בעיקרון לא נכלל בקומבינטוריקה, אבל שמתי אותו כאן‬ ‫מכיוון שהוא מעין "הקדמה" לקומבינטוריקה(.‬ ‫3. מסקנה שנובעת מן ההכללות: ‪= 2n‬‬ ‫1.01‬ ‫‪n‬‬ ‫}1 ,0{‬ ‫עוצמה של קבוצה‬ ‫)סוף קטע ההכללות...(‬ ‫הגדרה: נגדיר את יחס השיקלות ‪ ≡I‬על קבוצה של קבוצות‬ ‫באופן הבא: ‪ A ≡I B‬אם קיימת ‪ f : A → B‬הפיכה.‬ ‫מחלקות השקילות של היחס הזה נקראות העוצמה של ‪ A‬ונסמן‬ ‫זאת ע"י: |‪.|A‬‬ ‫משפט: יהא ‪ R ⊆ A × B‬כך שלכל ‪ a ∈ A‬מתקיים:‬ ‫‪ |{b ∈ B, (a, b) ∈ R}| = t‬אזי: |‪|R| = t · |A‬‬ ‫משפט: תהא ‪ ,|A| = n‬אזי:‬ ‫‪n‬‬ ‫2 = |)‪.|P (A‬‬ ‫הגדרה: קבוצה ‪ A‬היא סופית אם ∅ = ‪ A‬או אם קיים‬ ‫‪ 0 < n ∈ N‬כך ש־}‪.A ≡I {1, 2, . . . , n‬‬ ‫21‬ ‫בחירה של ‪ k‬איברים מתוך ‪n‬‬ ‫אם ∅ = ‪ A‬אז נאמר ש־ 0 = |‪.|A‬‬ ‫בחלק הבא ידבר על איך לפתור בעיה כאשר אנחנו צריכים לבחור‬ ‫‪ k‬איברים מתוך קבוצה בת ‪ n‬איברים עם כל מיני אילוצים שונים.‬ ‫אם }‪ A ≡I {1, 2, . . . , n‬אז נאמר ש־ ‪.|A| = n‬‬ ‫בכל מקרה אחר: ‪ A‬היא קבוצה אינסופית.‬ ‫2.01‬ ‫בכלל הדוגמאות נתייחס לקבוצה הבאה: }5 ,4 ,3 ,2 ,1{ = ‪A‬‬ ‫אלא אם יאמר אחרת.‬ ‫עקרון שובך היונים‬ ‫לכל ‪ k ∈ N‬לא קיימת פונקציה חח"ע מ־‬ ‫טענה:‬ ‫}1 + ‪ {1, 2, . . . , k‬ל־}‪.{1, 2, . . . , k‬‬ ‫1.0.21 כמה מושגים לפני הצגת המקרים ־ איברים שונים‬ ‫וחשיבות לסדר:‬ ‫זהו עיקרון שובך היונים ]עיקרון ‪.[Dirichlet‬‬ ‫11‬ ‫קומבינטוריקה‬ ‫הערה: בכל הפרק כאן ידובר על קבוצות סופיות אלא אם יוזכר‬ ‫אחרת.‬ ‫1.11‬ ‫1.1.0.21 איברים שונים/חזרות אם מותרות חזרות, כלומר‬ ‫שלא בהכרח מדובר באיברים שונים אזי הכוונה היא שאותו‬ ‫איבר יכול לחזור פעמיים או יותר, למשל, במקרה של 5 = ‪k‬‬ ‫אזי הקבוצות: }3 ,4 ,3 ,5 ,1{ ו־}4 ,2 ,2 ,2 ,1{ מותרות, אבל אם‬ ‫מדובר על ‪ k‬איברים שונים, כלומר, אסור שיהיו חזרות אזי‬ ‫הקבוצות הנ"ל פסולות.‬ ‫כדאי לזכור שבמקרה הזה, אם ‪ k > n‬אזי התשובה היא שיש לנו‬ ‫0 אפשרויות, מכיוון שאם אסורות חזרות ואנחנו צריכים לבחור‬ ‫יותר מ־‪ n‬איברים אזי זה בלתי אפשרי.‬ ‫טענה על קבוצות )ללא הוכחות(‬ ‫1. תהיינה ‪ A‬ו־‪ B‬קבוצות סופיות וזרות )כלומר: ∅ = ‪,(A ∩ B‬‬ ‫אזי: ‪ A ∪ B‬היא קבוצה סופית ומתקיים:‬ ‫|‪.|A ∪ B| = |A| + |B‬‬ ‫2. תהיינה ‪ C‬ו־‪ D‬קבוצות סופיות ו־‪ ,C ⊆ D‬אזי: ‪ DC‬היא‬ ‫קבוצה סופית ומתקיים:‬ ‫|‪.|DC| = |D| − |C‬‬ ‫5‬ ‫2.1.0.21 חשיבות לסדר בחשיבות לסדר הכוונה היא שמיקום‬ ‫האיברים בקבוצה משנה )במידה ויש חשיבות לסדר(, לכן, במקרה‬ ‫כזה וכאשר 3 = ‪:k‬‬ ‫}5 ,1 ,2{ = }5 ,2 ,1{, לעומת זאת, אם אין חשיבות לסדר אזי‬ ‫הקבוצות הנ"ל שוות...‬
  6. 6. ‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬ ‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬ ‫1.21 בחירה של ‪ k‬איברים שונים מתוך קבוצה בת ‪n‬‬ ‫איברים עם חשיבות לסדר‬ ‫4.21 בחירה של ‪ k‬איברים עם חזרות מתוך קבוצה‬ ‫בת ‪ n‬איברים ללא חשיבות לסדר‬ ‫ניקח למשל את הקבוצה ‪ ,A‬אזי אם מדובר על ‪ k‬ערכים שונים‬ ‫עם חשיבות לסדר אזי:‬ ‫במקרה כזה ־ . . . = }2 ,1 ,2 ,3{ = }2 ,3 ,1 ,2{ = }3 ,2 ,2 ,1{‬ ‫וכמות האפשרויות היא:‬ ‫1−‪n+k‬‬ ‫}1 ,2{ = }2 ,1{ )במקרה של 2 = ‪ .(k‬כמו־כן, לפי ההגדרות לא‬ ‫תתכן קבוצה כמו }3 ,3{ שכן, אסור שיהיו חזרות.‬ ‫במקרה כזה, היות וכל פעם יורדת לנו אפשרות, אזי סך־כל‬ ‫האפשרויות הינו:‬ ‫))1 − ‪n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − (k‬‬ ‫הערה: במקרה ו־ ‪ k = n‬אזי מה שנקבל הוא !‪ ,n‬וזה גם מה‬ ‫שמכונה תמורה.‬ ‫2.21 בחירה של ‪ k‬איברים שונים מתוך קבוצה עם ‪n‬‬ ‫איברים ללא חשיבות לסדר‬ ‫במקרה, כזה, בניגוד לסעיף הקודם, הסדר איננו משנה, כלומר:‬ ‫. . . = }3 ,4 ,1{ = }4 ,1 ,3{ = }4 ,3 ,1{ ־ כלומר, כל הקבוצות‬ ‫הללו נספרות כקבוצה אחת, לכן במקרה כזה יורדות מספר‬ ‫האפשרויות, לכן סך האפשרויות הינו:‬ ‫))1 − ‪n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − (k‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫ניתן לכפול את הביטוי הנ"ל‬ ‫!‪n‬‬ ‫!)‪. k!(n−k‬‬ ‫!)‪(n−k‬‬ ‫ב־ !)‪(n−k‬‬ ‫)כי זה שווה אחד( ונקבל:‬ ‫סימון:‬ ‫!‪n‬‬ ‫!)‪k! (n − k‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫ומכנים את זה "‪ n‬מעל ‪."k‬‬ ‫במקרים הבאים: 0 < ‪ k‬או ‪ k > n‬או 0 < ‪ n‬אזי נאמר‬ ‫ש־0 = ‪. n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫אחד השימושים של הסעיף הזה הוא שהוא מאפשר לנו לדעת,‬ ‫עבור קבוצה עם עוצמה ‪ ,n‬כמה תת־קבוצות בגודל ‪ k‬קיימות‬ ‫בקבוצת החזקה שלה.‬ ‫21‬ ‫4‬ ‫)למשל: אם 21 = |‪ ,|A‬כלומר ב־‪ A‬יש 21 איברים, אזי‬ ‫יתן לנו כמה תת־קבוצות בגודל 4 יש בקבוצת החזקה של ‪A‬‬ ‫]ב־)‪.([P (A‬‬ ‫3.21 בחירה של ‪ k‬איברים עם חזרות מתוך קבוצה‬ ‫בת ‪ n‬איברים עם חשיבות לסדר‬ ‫במקרה כזה נקבל את המספר הרב ביותר של הקבוצות מהסיבה‬ ‫שגם ישנה אפשרות לחזרה וגם ישנה חישבות לסדר, לכן גם‬ ‫יכולים להופיע לנו קבוצות עם חזרה, וגם אם הסדר שונה אזי‬ ‫מדובר בקובוצות שונות.‬ ‫במקרה כזה מספר האפשרויות הינו: ‪. nk‬‬ ‫1−‪n‬‬ ‫מדוע?‬ ‫בשביל להבין את הרעיון כאן, אפשר להסתכל על דוגמא ספציפית‬ ‫ומכך להבין את הרעיון שעומד מאחורי הנוסחא:‬ ‫נניח ואנחנו רוצים לחשב כמה כדורים )‪ (k‬ניתן להכניס ל־‪n‬‬ ‫תאים.‬ ‫אזי הדבר ייראה כך:‬ ‫אם למשל אנחנו רוצים להכניס שישה כדורים לשלושה תאים ישנן‬ ‫מספר אפשרויות, נקח רק אחת שתמחיש את הרעיון:‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫• • •‬ ‫3 2 1‬ ‫נניח שיש תולעת שנכנסת לתוך התאים ומשדרת את מה שהיא‬ ‫רואה אלינו:‬ ‫ד=דופן‬ ‫מ=מחיצה‬ ‫כ=כדור‬ ‫אזי בדוגמא שלנו מה שהיא תשדר הוא:‬ ‫דככמכמכככד. ניתן לשים לב שלא משנה איך נסדר את הכדורים‬ ‫בתאים בכל סידור תמיד תהיה ד' אחת בהתחלה וד' אחת בסוף,‬ ‫לכן ניתן להשמיט אותן...‬ ‫סה"כ, מה שנקבל הוא: ככמכמכככ.‬ ‫ניתן לשים לב שכמות ה־מ־ים היא כמו כמות התאים פחות אחד‬ ‫)1 − ‪ (n‬ו־מספר ה־כ־ים הוא בדיוק כמו מספר הכדורים )‪.(k‬‬ ‫סה"כ קיבלנו סדרה בעלת )‪ n + k − 1 (= n − 1 + k‬איברים.‬ ‫כעת בשביל שיהיה פתרון תקין כל מה שעלינו לבחור הוא היכן‬ ‫נמקם את ה־מ־ים )סה"כ 1 − ‪ n‬איברים( והנותרים יהיה כ־ים.‬ ‫אזי צריך לבחור תת־קבוצה בגודל 1 − ‪ n‬מתוך קבוצה בגודל‬ ‫1−‪) n+k‬הסבר: אותה תת־הקבוצה שנבחר תסמל את המקומות‬ ‫שבהם נשים את המ־ים, וסה"כ יש לנו 1 − ‪ n‬כאלה(.‬ ‫לכן, מה שנקבל הוא:‬ ‫1−‪n+k‬‬ ‫1−‪n‬‬ ‫באותו אופן היינו יכולים לבחור גם היכן לשים את ה־כ־ים ואז‬ ‫מה שהיינו מקבלים היה:‬ ‫1−‪n+k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫31‬ ‫זהויות קומבינטוריות )ללא הוכחות(‬ ‫1.31 זהות קומבינטורים של סכום תת־הקבוצה של‬ ‫קבוצה עם ‪ n‬איברים‬ ‫‪= 2n‬‬ ‫6‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫0=‪k‬‬
  7. 7. ‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬ ‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬ ‫‪n‬‬ ‫0‬ ‫1.1.41‬ ‫הערה: לכל ‪ 0 ≤ n‬מתקיים: 1 =‬ ‫‪. n =n‬‬ ‫1‬ ‫2.31‬ ‫, וגם ־ לכל ‪ 1 ≤ n‬מתקיים:‬ ‫טענה סימטרית ביחס ל־‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n−k‬‬ ‫3.31‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫זהות פסקל‬ ‫לכל ‪ 0 ≤ k ≤ n‬מתקיים:‬ ‫1−‪n‬‬ ‫1−‪n‬‬ ‫+‬ ‫1−‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫בחירה של ספרה אחת שתופיע ב־‪ m‬מקומות‬ ‫נניח שיש לנו מספר עם 01 ספרות, ואנחנו רוצים לבחור ספרה‬ ‫אחת שתופיע רק ב־4 מקומות מתוך ה־01.‬ ‫אזי, ניתן לנסח את הבעיה הזאת בצורה הבאה:‬ ‫בגלל עקרון שובך היונים אנחנו יודעים שקיימת התאמה חח"ע ועל‬ ‫בין מיקום הספרות במספר לבין הקבוצה:‬ ‫}01 ,9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1{, כעת, נצטרך לבחור תת־קבוצה‬ ‫בגדול 4 )למשל: }9 ,6 ,5 ,1{( ואיברי הקבוצה יסמנו היכן אנחנו‬ ‫שמים את אותה הספרה )במקרה שלנו, אותה ספרה תמוקם‬ ‫01‬ ‫במקום הראשון, החמישי, השישי והתשיעי(, סה"כ יש לנו 01· 4‬ ‫אפשרויות )ה "01·" הוא בגלל שיש לנו 01 ספרות שניתן לבחור,‬ ‫שזה בדיוק 01 ־ כלומר, לבחור תת־קבוצה בגודל 1 מתוך 01‬ ‫1‬ ‫)שתייצג את הספרה((.‬ ‫לכל ‪ 0 ≤ k ≤ n‬מתקיים:‬ ‫=‬ ‫1.41‬ ‫‪ k‬ספרות בתוך מספר בעל ‪ n‬ספרות‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫51‬ ‫עקרון ההכלה וההדחה‬ ‫)בגלל שנתעסק בזה יותר בסמסטר הבא, אני לא אדבר על‬ ‫העיקרון הזה בהרחבה, אלא רק אציג אותו(‬ ‫4.31‬ ‫משולש פסקל )רק כמה שורות לדגומא...(‬ ‫1.51‬ ‫| 2‪|A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫2.51‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫עבור 2 = ‪n‬‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫עבור 3 = ‪n‬‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫‪‬‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫| 3‪|Ai ∩ Aj |+|A1 ∩ A2 ∩ A‬‬ ‫3<‪1≤i<j‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫5.31‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫3.51‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫1‬ ‫תהיינה ‪ A1 , . . . , An‬קבוצות סופיות, אזי:‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪|Ai1 ∩ Ai2 |‬‬ ‫יהיו ‪ (x, y = 0) x, y ∈ R‬ו־ ‪.1 ≤ n ∈ N‬‬ ‫אזי מתקיים:‬ ‫41‬ ‫1=‪i‬‬ ‫משפט ההכלה וההדחה באופן כללי‬ ‫משפט הבינום של ניוטון‬ ‫‪n k n−k‬‬ ‫‪x ·y‬‬ ‫‪k‬‬ ‫1=‪i‬‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫6‬ ‫= ‪Ai‬‬ ‫הערה: ניתן להוריד את הסוגריים. הן רק בשביל לעשות סדר‬ ‫ושיהיה יותר ברור על מה סימן המינוס.‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫‪|Ai |−‬‬ ‫3‬ ‫‪|Ai | − ‬‬ ‫‪1≤i1 <i2 ≤n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪Ai‬‬ ‫1=‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= )‪(x + y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪|Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 |‬‬ ‫1=‪i‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1≤i1 <i2 <i3 ≤n‬‬ ‫0=‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫הרחבה של פתרון בעיות קומבינטוריות‬ ‫בחלק הזה ינתנו כל מיני דוגמאות לבעיות קומבינטוריות ופתרונן.‬ ‫היות וחלק מההבנה בפתרון בעיות קומבינטוריות באה מהבנה‬ ‫של דגמאות...‬ ‫הערה: בכל הדוגמאות ידובר על ספרות עשרוניות.‬ ‫7‬ ‫‪‬‬ ‫‪|Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ∩ Ai4 |‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1≤i1 <i2 <i3 <i4 ≤n‬‬ ‫| ‪|A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An‬‬ ‫1−‪n‬‬ ‫)1−( · · · ±‬ ‫מכיוון שיש לנו רק ‪n‬־יה אחת, כלומר, יש לנו‬ ‫לבסוף אין לנו‬ ‫רק אפשרות סידור אחת....‬
  8. 8. ‫סמסטר א' ־ תשע"ג‬ ‫מתמטיקה דיסקרטית ־ ד"ר ערן לונדון‬ ‫‪ III‬אינדוקציה‬ ‫תוכן עניינים‬ ‫4‬ ‫8‬ ‫‪I‬‬ ‫לוגיקה‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫הגדרות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫משפט האינדוקציה השלמה )על המספרים‬ ‫הטבעיים(: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫4‬ ‫9‬ ‫משפט האינדוקציה הרגילה )על המספרים‬ ‫הטבעיים(: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫4‬ ‫1‬ ‫1.1‬ ‫חוקי דה־מורגן . . . . . . . . . . . .‬ ‫1‬ ‫2.1‬ ‫הוכחה מתמטית . . . . . . . . . . . .‬ ‫1‬ ‫3.1‬ ‫קבוצות שלמות של קשרים . . . . . .‬ ‫1‬ ‫4.1‬ ‫פסוקי ‪ DN F‬ופסוקי ‪. . . . . CN F‬‬ ‫‪ IV‬קומבינטוריקה‬ ‫01‬ ‫4‬ ‫הקדמה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫5‬ ‫1.4.1‬ ‫פסוק ‪. . . . . . . . DN F‬‬ ‫1‬ ‫2.01‬ ‫עקרון שובך היונים . . . . . . . . . .‬ ‫5‬ ‫2.4.1‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1.01‬ ‫עוצמה של קבוצה . . . . . . . . . . .‬ ‫5‬ ‫פסוק ‪. . . . . . . . CN F‬‬ ‫1‬ ‫טבלאות של קשרים לוגיים . . . . . . . . . . . .‬ ‫1‬ ‫11‬ ‫קומבינטוריקה . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫5‬ ‫2.11‬ ‫‪ II‬תורת הקבוצות‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫הגדרות בסיסיות . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫4‬ ‫21‬ ‫הכללות )של טענות 1 ו־3( . . . . . . .‬ ‫5‬ ‫בחירה של ‪ k‬איברים מתוך ‪. . . . . . . . . . n‬‬ ‫5‬ ‫כמה מושגים לפני הצגת‬ ‫המקרים ־ איברים שונים‬ ‫וחשיבות לסדר: . . . . . . .‬ ‫5‬ ‫1.0.21‬ ‫2‬ ‫פעולות על קבוצות )רשימה מקוצרת( . . . . . .‬ ‫1.11‬ ‫טענה על קבוצות )ללא הוכחות( . . . .‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫1.4‬ ‫2.4‬ ‫5‬ ‫דה מורגן )קבוצות( . . . . . . . . . .‬ ‫2‬ ‫המרה לפסוקים לוגיים . . . . . . . .‬ ‫2‬ ‫יחסים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫1.5‬ ‫סוגי יחסים . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫רפלקסיבי . . . . . . . . . .‬ ‫3.1.5‬ ‫סימטרי . . . . . . . . . . .‬ ‫4.1.5‬ ‫אנטי־סימטרי . . . . . . . .‬ ‫5.1.5‬ ‫יחס שקילות . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫1.2.5‬ ‫דוגמא: יחס שקילות מודולו ‪m‬‬ ‫2.2.5‬ ‫4.21‬ ‫מחלקת שקילות . . . . . . .‬ ‫חלוקה של קבוצה . . . . . .‬ ‫3‬ ‫4.2.5‬ ‫המשפט המרכזי של יחסי‬ ‫השקילות . . . . . . . . . .‬ ‫3‬ ‫5.2.5‬ ‫יחס מושרה . . . . . . . . .‬ ‫3‬ ‫פונקציות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫3‬ ‫31‬ ‫3‬ ‫3.2.5‬ ‫בחירה של ‪ k‬איברים עם חזרות מתוך‬ ‫קבוצה בת ‪ n‬איברים ללא חשיבות לסדר‬ ‫6‬ ‫פונקציות מסוימות . . . . . . . . . .‬ ‫פונקצית הזהות . . . . . . .‬ ‫2.1.6‬ ‫2.31‬ ‫3.1.6‬ ‫פונקציה חד־חד־ערכית . . .‬ ‫4.1.6‬ ‫פונקציה על . . . . . . . . .‬ ‫3‬ ‫5.1.6‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬ ‫הרכבה‬ ‫ופונקציות הפיכות . . . . . .‬ ‫4‬ ‫יחס סדר חלקי . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫טענה סימטרית ביחס ל־‬ ‫. . . . .‬ ‫7‬ ‫3.31‬ ‫זהות פסקל . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫7‬ ‫4.31‬ ‫משולש פסקל )רק כמה שורות לדגומא...(‬ ‫7‬ ‫5.31‬ ‫41‬ ‫6‬ ‫משפט הבינום של ניוטון . . . . . . . .‬ ‫7‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫הרחבה של פתרון בעיות קומבינטוריות . . . . .‬ ‫1.41‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫6‬ ‫זהות קומבינטורים של סכום תת־‬ ‫הקבוצה של קבוצה עם ‪ n‬איברים . . .‬ ‫3‬ ‫פונקציה מציינת של קבוצה .‬ ‫זהויות קומבינטוריות )ללא הוכחות( . . . . . . .‬ ‫1.31‬ ‫3‬ ‫1.1.6‬ ‫7‬ ‫6‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫1.6‬ ‫בחירה של ‪ k‬איברים עם חזרות מתוך‬ ‫קבוצה בת ‪ n‬איברים עם חשיבות לסדר‬ ‫3‬ ‫טרנזיטיבי . . . . . . . . . .‬ ‫בחירה של ‪ k‬איברים שונים מתוך‬ ‫קבוצה עם ‪ n‬איברים ללא חשיבות לסדר‬ ‫6‬ ‫3.21‬ ‫3‬ ‫6‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫בחירה של ‪ k‬איברים שונים מתוך‬ ‫קבוצה בת ‪ n‬איברים עם חשיבות לסדר‬ ‫2.21‬ ‫2‬ ‫אנטי־רפלקסיבי . . . . . . .‬ ‫חשיבות לסדר . .‬ ‫5‬ ‫1.21‬ ‫2‬ ‫2.1.5‬ ‫6‬ ‫2.1.0.21‬ ‫2‬ ‫1.1.5‬ ‫2.5‬ ‫איברים‬ ‫1.1.0.21‬ ‫שונים/חזרות . .‬ ‫5‬ ‫‪ k‬ספרות בתוך מספר בעל ‪ n‬ספרות .‬ ‫4‬ ‫1.1.41‬ ‫51‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫בחירה של ספרה אחת‬ ‫שתופיע ב־‪ m‬מקומות . . . .‬ ‫7‬ ‫עקרון ההכלה וההדחה . . . . . . . . . . . . .‬ ‫7‬ ‫2.51‬ ‫1.7‬ ‫יחס סדר חלקי וקבוצה סדורה חלקית‬ ‫2.7‬ ‫איבר מקסימלי ואיבר מינימלי . . . . .‬ ‫3.7‬ ‫קבוצה סדורה היטב . . . . . . . . . .‬ ‫4‬ ‫4.7‬ ‫משפט האינדוקציה על קבוצה סדורה‬ ‫חלקית המקיימת את תכונת המינימליות‬ ‫4‬ ‫עבור 3 = ‪. . . . . . . . . . . . . . n‬‬ ‫7‬ ‫3.51‬ ‫משפט ההכלה וההדחה באופן כללי . .‬ ‫7‬ ‫1.51‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫עבור 2 = ‪. . . . . . . . . . . . . . n‬‬ ‫7‬ ‫8‬ ‫הסיכום לקוח מהאתר ־‬ ‫‪http: // www. letach. net‬‬

×