Annee universitaire 2013-2014 
Master 1 de mathematiques et applications 
Universite Pierre et Marie Curie 
Couplage plast...
nis 
Stagiaire : d'Esteve Xavier 
Encadrant : 
Michael Peigney 
Juin - Juillet 2013 
Laboratoire Navier 
Ecole des Ponts e...
Table des matieres 
Introduction generale 3 
1 Presentation du stage 4 
1.1 Presentation du contexte du stage . . . . . . ...
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Ce rapport a ete realise dans le cadre d'un stage de 2 mois au laboratoire Navier de l'Ecole 
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domaine medical. 
Le probleme couple est le point original du travail. Il est tire de l'article de recherche [6]. ...
Chapitre 1 
Presentation du stage 
1.1 Presentation du contexte du stage 
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Le point original du stage consiste a develloper un code FreeFem++ pour un prob...
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La methode des elements
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Chapitre 2 
Le memoire du stage 
2.1 Des cas non couples de diusion et contraintes 
2.1.1 Evolution de la chaleur dans un ...
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  1. 1. Annee universitaire 2013-2014 Master 1 de mathematiques et applications Universite Pierre et Marie Curie Couplage plasticite-diusion par elements
  2. 2. nis Stagiaire : d'Esteve Xavier Encadrant : Michael Peigney Juin - Juillet 2013 Laboratoire Navier Ecole des Ponts et Chaussees
  3. 3. Table des matieres Introduction generale 3 1 Presentation du stage 4 1.1 Presentation du contexte du stage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Laboratoire Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Presentation de l'encadrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Horaires et organisation du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Presentation technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 La methode des elements
  4. 4. nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Les problemes de couplage diusion-contraintes avec plasticite parfaite . . . . 5 2 Le memoire du stage 6 2.1 Des cas non couples de diusion et contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.1 Evolution de la chaleur dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.2 Compression d'une plaque rectangulaire plane sans plasticite . . . . . . . . . 6 2.1.3 Compression d'une plaque rectangulaire plane avec visco-plasticite . . . . . . 7 2.1.4 Compression d'une plaque rectangulaire plane avec plasticite parfaite . . . . 9 2.2 Probleme couple de diusion et contraintes en 2d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Les cas 3d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.1 Compression des 2 bords d'une piece medicinale sans plasticite . . . . . . . . 12 2.3.2 Compression d'une barre a section rectangulaire avec plasticite parfaite . . . 13 2.3.3 Utilisation de gmsh pour generer les maillages surfaciques 2d et 3d pour FreeFem++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Conclusions 16 Annexes 16 A Annexe 17 A.1 Methode de Jacobi pour calculer les valeurs propres d'une matrice symetrique . . . . 17 Bibliographie 19 2
  5. 5. Introduction generale Ce rapport a ete realise dans le cadre d'un stage de 2 mois au laboratoire Navier de l'Ecole des Ponts et Chaussees. Sous la direction de Michael Peigney, de l'equipe Materiaux et Structures Architectures (MSA), on s'est donne les objectifs principaux : { Elaborer un script FreeFem++ ou la temperature et les contraintes interagissent l'une avec les autres. C'est-a-dire resoudre un probleme plan (2d) thermo-plastique (avec plasticite par- faite). { Elaborer un script Freefem++ pour le probleme de la plasticite parfaite en 3d. { Creer une geometrie un peu complexe en 3d avec gmsh pour resoudre un probleme de con- trainte sans plasticite dessus On s'est essentiellement focaliser sur ces 3 problemes. On y est alle progressivement en traitant en premier lieu des problemes 2d non couples. De m^eme, pour la 3d, on s'est attache a faire le cas de contraintes sans plasticite avant d'aborder la plasticite. Pour la 3d, on a mis en place un certaine nombre de geometrie de reference. (un parallepipede, un cylindre creux, une sphere creuse) avant d'aborder une geometrie speci
  6. 6. que au domaine medical. Le probleme couple est le point original du travail. Il est tire de l'article de recherche [6]. 3
  7. 7. Chapitre 1 Presentation du stage 1.1 Presentation du contexte du stage 1.1.1 Laboratoire Navier Unite mixte de recherche commune a l'Ecole des Ponts ParisTech, a l'Institut Francais des Sciences et Technologies des Transports, de l'Amenagement et des Reseaux (IFSTTAR) et au CNRS (UMR 8205), le Laboratoire Navier reunit sur le site de la Cite Descartes (Marne la Vallee) a l'est de Paris cent soixante dix personnes dont une cinquantaine de chercheurs. Les recherches menees concernent la mecanique et la physique des materiaux et des structures, les geomateriaux et leurs applications a la geotechnique, au genie civil, a la geophysique et a l'exploitation petroliere. Les enjeux societaux concernent la construction durable, les risques naturels, l'environnement et l'energie. En 2012, 18 theses du laboratoire Navier ont ete soutenues. 1.1.2 Presentation de l'encadrant Mon directeur de stage, Monsieur Michael Peigney, est un chercheur du laboratoire Navier. Il travaille en particulier sur les themes suivant : { Transformation de phase martensitique, alliages a memoire de forme { Systemes mecaniques non lineaires (plasticite, usure, contact) Selection de publications : { Peigney M., Seguin J.P., An incremental variational approach to coupled thermo-mechanical problems in anelastic solids. Application to shape-memory alloys, Int. J. Solids Struct., 50, p.4043 ?4054, 2013. { Peigney M., Siegert D., Piezoelectric energy harvesting from trac-induced bridge vibrations, Smart Mater. Struct. 22 (2013) 095019. { Peigney M., On the energy-minimizing strains in martensitic microstructures ?Part 1 : Geo- metrically nonlinear theory, J. Mech. Phys. Solids, 61, p.1489-1510 , 2013. 4
  8. 8. 1.1.3 Horaires et organisation du travail Le point original du stage consiste a develloper un code FreeFem++ pour un probleme couple diusion et contraintes. Les horaires de travail sont de 9 h a 17 h du lundi au vendredi (1 heure de pause repas). Le stage a pour but essentiel de devellopper un script FreeFem++ (elements
  9. 9. nis) pour resoudre un probleme de couplage diusion-contraintes Chaque semaine au cours du stage, j j'ai discute avec Monsieur Micheal Peigney au moins 2 fois. Il m'a demande une certaine autonomie, mais il m'a donne beaucoup de documents et d'indications. 1.2 Presentation technique 1.2.1 La methode des elements
  10. 10. nis La methode des elements
  11. 11. nis est une methode d'approximation n umerique des equation aux derivees partielles. Elle est tres ecace. Elle demande en premier lieu la creation d'un maillage 2d ou 3d. Elle passe ensuite par l'assemblage d'un systeme lineaire. Celui-ci est ensuite resolu au moyen de dierents methodes. On peut notamment utiliser la methode du gradient conjugue. 1.2.2 Les problemes de couplage diusion-contraintes avec plasticite parfaite Les problemes avec plasticite sont caracterises par un seuil de plasticite. Ce seuil du niveau des contraintes permet de determiner le moment a partir duquel le materiaux plasti
  12. 12. e. Une fois la plasticite atteinte, le materiaux ne recuperera plus sa forme initiale lors que le chargement se sera arrete. Un couplage correspond a 2 phenomenes dierents qui interagissent. On se place sur une plaque rectangulaire plane Le premier phenomene considere ici ccorrespond a un phenomene de diusion. Son comportement est regit par l'equation de la chaleur. Le deuxieme phenomene correspond a une contrainte physique exerce sur la plaque. Son comportement est regit par une equation de Lame ou l'on a rajoute la plasticite. 5
  13. 13. Chapitre 2 Le memoire du stage 2.1 Des cas non couples de diusion et contraintes 2.1.1 Evolution de la chaleur dans un anneau Il s'agit du script thermic.edp. On resoud l'equation de la chaleur pour un anneau forme de 2 cercles de rayon 1 2 et 1 sur l'interval de temps [0; T]. L'equation locale s'ecrit : 8 : @tu

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