SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  13
Télécharger pour lire hors ligne
GIẢI TÍCH
12
GV: PHAN NHẬT NAM
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
O x
y
y’>0
y’<0
CĐ
CT
y’<0
y’>0
CT
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. Tóm tắc lý thuyết :
1. Khái niệm cực trị hàm số : Cho hàm số )(xfy  xác định trên miền D và Dx 0
 x0 gọi là điểm cực đại của f(x) nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa điểm x0 sao cho
 
 




00 ),()()(
,
xbaxxfxf
Dba
Khi đó )( 0xf gọi là giá trị cực đại của )(xfy 
 x0 gọi là điểm cực tiểu của f(x) nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa điểm x0 sao cho
 
 




00 ),()()(
,
xbaxxfxf
Dba
Khi đó )( 0xf gọi là giá trị cực tiểu của )(xfy 
2. Điều kiện cần : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo .Nếu f(x) đạt cực trị của xo thì f’(xo) = 0
(tức là xo là nghiệm của f’(x) = 0)
3. Điều kiện đủ :
ĐL1 : Cho y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a , b) và f’(xo) = 0 với xo  (a , b)






0
0
....0)('
....0)('
xxkhixf
xxkhixf
 f(x) đạt cực tiểu tại xo






0
0
....0)('
....0)('
xxkhixf
xxkhixf
 f(x) đạt cực đại tại xo
Chú ý :
ĐL1 vẫn đúng nếu hàm số ( )f x không có đạo hàm tại xo nhưng liên tục tại xo
ĐL2 : Cho y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục tại xo và f’(xo) = 0.






0)(''
0)('
0
0
xf
xf
 f(x) đạt cực tiểu tại xo.






0)(''
0)('
0
0
xf
xf
 f(x) đạt cực đại tại xo.
Chú ý :
 Nếu f’(xo) = f”(xo) = 0 thì ta chưa kết luận được gì về tính cực trị của điểm xo.
 Cần nhớ định lý 2 chưa đúng trong trường hợp ngược lại.
4. tính chất: Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm cực trị hoặc vuông góc với trục tung (hệ số góc k =0) hoặc có
hai tia tiếp tuyến khác nhau (hệ số góc hai tia khác nhau – đạo hàm tại điểm cực trị không tồn tại )
II. Các dạng toán cực trị thường gặp :
A Tìm các điểm cực trị của hàm số :
1. Quy tắc 1 :
 Tìm đạo hàm : )(' xf
 Tìm các điểm xk (k=1,2,3…)tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo
hàm.
 Xét dấu )(' xf . Nếu )(' xf đổi dấu khi x qua xk thì hàm số đạt cực trị tại điểm đó.
2. Quy tắc 2 :( chỉ có thể tìm được cực trị đầu tròn – cực trị có đạo hàm liên tục)
 Tìm đạo hàm : )(' xf
 Tìm nghiệm xk (k=1,2,3…) của phương trình 0)(' xf
O
x
y
y’>0
y’<0
CĐ
CT
y’<0 y’>0
CT
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com
 Xét các tình huấn :
Nếu 0)('' kxf thì hàm số đạt cực đại tại điểm xk
Nếu 0)('' kxf thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xk
Bài tập minh họa :
Bài 1. Tìm cực trị của hàm số :
a. 533 23
 xxxy b. 186 24
 xxxy c.
1
34 2



x
xx
y d.
342
144
2
2



xx
xx
y
Bài 2. Tìm cực trị của hàm số :
a. 2
4 xxy  c. 8212 2
 xxy e. 32 2
 xxy g.  2
312
2
1
xxy 
b. 23
3xxy  d. 422
 xxxy f. )2(  xxy
Bài 3. Tìm cực trị của hàm số sau :
a. xxy 2coscos23  c.
3
cos3
2
cos2
xx
y  trên khoảng )20,0( 
b. xxy 4cot  trên đoạn





4
,
4
 d.
4sincos2
3sin2cos



xx
xx
y trên khoảng   ,
B. Cực trị hàm đa thức – bậc 3  123
)( dcxbxaxxfy  )0( a :
1. Tóm tắc lý thuyết :
 Đạo hàm : cbxaxxf  23)(' 2
Điều kiện để (1) có cực trị 0)('  xf có 2 nghiệm phân biệt







03
0
2
)(' acb
a
xf
 kỷ năng :











a
acbb
x
a
acbb
x
xf
3
3
3
3
0)(';0
2
2
2
1
Chia )(xf cho )(' xf ta có :



















a
bc
dx
a
b
cxf
a
b
xxf
933
2
)('.
93
1
)(
2
2
1 1
2
2 2
2
3 3 9
2
3 3 9
b bc
y c x d
a a
b bc
y c x d
a a
    
       
   
 
             
Suy ra đường thẳng đi qua hai cực trị là : 












a
bc
dx
a
b
cy
933
2 2
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
2. Các loại toán cơ bản :
Loại 1: Các bài toán tìm tham số bằng cách lập hệ phương trình
Ví dụ : Tìm m, n, p để hàm số (C): pnxmxxy  23
đạt cực tiểu bằng - 3 tại x = 1 và có
đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ = 2
Bình luận : Loại này muốn giải ta nên liêt kê tất cả các giả thuyết và chọn giả thuyết nào đơn giản để
khai thác trước. cụ thể là
+ (C) đạt (giá trị cực tiểu) cực tiểu bằng – 3 tại x = 1 








)3(0)1(''
)2(0)1('
)1()()3;1(
y
y
CI
+ (C) cắt Oy tại điểm có tung độ = 2  )4()()2;0( CM 
Như vậy trong các giả thuyết trên thì (1), (2), (4) thiết lập thành hệ phương trình và (3) chỉ
đóng vai trò là một điều kiện. từ đó ta có lời giải.
Giải :
Ta có : nmxxy  23' 2
mxy 26'' 
(C) đạt cực tiểu bằng – 3 tại x = 1 








0)1(''
0)1('
)()3;1(
y
y
CI









)3(026
)2(023
)1(13
m
nm
pnm
(C) cắt Oy tại điểm có tung độ = 2  )4(2)()2;0( pCM 
Từ (1),(2),(4) ta có:

















2
9
3
2
32
4
p
n
m
p
nm
pnm
( loại vì không thỏa điều kiện (3) )
Không tồn tại m, n, p thỏa yêu cầu bài toán.
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1. Tìm m,n,p để hàm số pnxmxxy  23
đạt cực trị bằng 0 tại x = -2 và có đồ thị đi qua A(1; 0)
2. Tìm tham số m để hàm số : 5)13()2(
3
1 2223
 mxmxmmxy đạt cực tiểu tại x = -2
Loại 2: Các bài toán tìm tham số để hàm số có cực trị và thỏa tính chất P cho trước.
Với các bài toán ở loại này ta thực hiện theo 2 bước:
Bước 1: tính đạo hàm y’ = f’(x).
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
Hàm số có cực trị (cực đại, hoặc cực tiểu)  f’(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt (*)
0
0
m
a







Bước 2: khi m thỏa (*) gọi 1 2,x x là nghiệm của '( ) 0f x 
. Phân tích tính chất P để tìm PT hoặc BPT 1 2( ; ) 0P x x  (hoặc 1 2( ; ) 0P x x  ) kết hợp với viét
ta tìm được tham số m , kiểm tra lại với điều kiện (*).
Chú ý : Để phân tích hiệu quả tính chất P ta cần để ý các dạng sau.
Dạng 1: với các bài toán có tính chất P chỉ nói đến hoành độ cực trị và không ghi rỏ cực đại,
cực tiểu.Khi đó ở bước hai ta thực hiện như sau :
Gọi x1, x2 là nghiệm của f’(x) = 0.
Theo viet ta có :
a
c
xx
a
b
xx  2121 .; , kết hợp với tính chất P m
Ví dụ : Tìm tham số m để hàm số : y = x3
+ 2(m – 1)x2
+ (m2
– 4m + 1)x – 2(m2
+ 1) đạt cực trị
tại x1,x2 thỏa : )(
2
111
21
21
xx
xx
 .
Bình luận : Ở bài này ta thấy ngay tính chất P là một đẳng thức theo hai biến là hoành độ cực trị nên
ta sẽ chọn phương án giải là gọi nghiệm và sử dụng định lý Viét để tìm tham số.
Giải :
Ta có : 14)1(43' 22
 mmxmxy
Hàm số có cực trị  y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt







32
32
0140' 2
m
m
mm (*).
Khi m thỏa (*), gọi x1, x2 là nghiệm của y’ = 0 theo Viet ta có:
3
)1(4
21


m
xx và
3
14
.
2
21


mm
xx
Ycbt    















5
1
1
0541
3
)1(2
14
)1(4
)(
2
1
.
2
221
21
21
m
m
m
mmm
m
mm
m
xx
xx
xx
(loại theo (*))
KL: vậy m = 1 và m = 5 thỏa yêu cầu bài toán.
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1. (D – 2012)Cho hàm số :  3 2 22 2
2 3 1
3 3
y x mx m x     . Tìm m để hàm số trên có hai điểm cực trị
1 2à xx v sao cho  1 2 1 22 1x x x x   .
2. Cho hàm số 2)12()1(2 2223
 mxmmxmxy .Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị và
hoành độ hai điểm cực trị là x1, x2 thỏa hệ thức :  21
21
3
11
xx
xx
 .
3. Tìm m để hàm số:
3
2
( 1) ( 5) 1
3
mx
y m x m x      đạt cực đại, cực tiểu tại x1,x2 sao cho: 242
2
2
1  xx
4. Tìm m để hàm số 2)2()21( 23
 mxmxmxy đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 sao cho:
3
1
21  xx
5. Tìm m để hàm số 53)2( 23
 mxxxmy đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương.
6. Tìm m để hàm số :
3
2
( 1) 3( 2) 1
3
mx
y m x m x      đạt cực đại,cực tiểu tại x1,x2 thỏa: x1 + 2x2 = 1.
7. Cho hàm số y = 2x3
– 3(2m + 1)x2
+6m(m + 1)x + 1.Chứng minh với mọi m thì h/số đều có cực trị
tại x1, x2 và x2 – x1 không phụ thuộc vào m.
8. Cho hàm số     124632 23
 mxxmxmy . Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2
sao cho 21 21 xx  .
Dạng 2: Với các bài toán có tính chất P có chứa tung độ cực trị, điểm cực trị, đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị (nhưng vai trò của điểm CĐ và CT giống nhau).Khi đó ở bước 2 ta thực hiện như sau.
Gọi x1, x2 là nghiệm của f’(x) = 0.Theo viet ta có :
a
c
xx
a
b
xx  2121 .; ,
Suy ra    2211 ;; yxBvàyxA là hai điểm cực trị
Ta có : baxyxSy  ').(' mà x1, x2 là nghiệm của f’(x) = 0 0)(')(' 21  xyxy






baxy
baxy
22
11
 d: y = ax + b là đường thẳng qua hai điểm cực trị
Tùy theo tính chất P mà ta sử dụng đường thẳng d hoặc sử dụng    baxxBvàbaxxA  2211 ;;
Từ đó ta thu được phương trình hoặc BPT theo m m (kiểm tra lại với điều kiện (*))
Ví dụ : Tìm tham số m để hàm số 23 23
 mxxxy có hai điểm cực trị A, B cách đều gốc tọa độ O.
Bình luận : Ở ví dụ này ta thấy ngay tính chất P liên quan đến tọa độ hai điểm cực trị và vai trò cực đại cực
tiểu như nhau ( vì không nói gì đến điểm nào là cực đại điểm nào là cực đại) nên ta chọn phương án
giải gọi nghiệmcủa phương trình y’ = 0, sau đó lấy y chia y’ để tìm tung độ cực trị. Tính độ dài hai
đoạn OA và OB kết hợp giả thuyết ta có được phương trình theo m.
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
Giải :
Ta có : mxxy  63' 2
Hàm số có cực trị  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 30390'  mm (*).
Khi m thỏa (*), gọi x1, x2 là nghiệm của y’ = 0 theo Viet ta có: 221  xx và
3
. 21
m
xx  .
Suy ra    2211 ;; yxBvàyxA là hai điểm cực trị
Ta có : 2
3
)2('.
3
1
3







m
xmy
x
y mà x1, x2 là nghiệm của y’ = 0 0)(')(' 21  xyxy
Từ đó ta có :








2
3
)2(
2
3
)2(
22
11
m
xmy
m
xmy
Đặt :






2
3
)2(
m
b
ma






baxy
baxy
22
11
Từ giả thuyết ta có : 02
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1  yyxxyxyxOBOA
        0]2)[()(0)()( 2121212121212121  bxxaxxaxxxxyyyxxxx
         0202)( 21
2
2121
2
2121  abxxaxxabxxaxxxx
(vì x1, x2 phân biệt nên 021  xx )
0222 2
 aba (theo viet)     012
3
2201
22







m
mmaba
 027162 2
mm
2
108
m {loại theo đk (*)} và
2
108 
m {thỏa đk (*)}
KL: Vậy khi
2
108 
m thì hàm số có hai cực trị cách đều gốc tọa độ O.
Chu ý: Ở bài giải trên để tránh sai sot khi tính toan ta đã đặt a, b là các biểu thức theo m, sau đó rút
gọn biêu thức theo a, b đến mức đơn giãn nhất có thể rồi ta thay m vào lại để giải. Bài toán trên
có thể giải bằng cách khác là viết phương trình đường trung trục d của AB. O cách đều Avà B thì
O thuộc trung trực d (cách này đơn giãn hơn, các em có thể giải và xem như một bài tập áp dụng).
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
Bài tập áp dụng :
1. (B - 2007) Tìm m để đồ thị của hàm số:  3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m       có hai điểm cực đại và
cực tiểu cách đều gốc tọa độ O.
2. (B - 2012) Tìm m để đồ thị của hàm số: 3 2 3
3 3y x mx m   có hai điểm cực đại và cực tiểu tạo với
gốc tọa độ O thành một tam giác có diện tích bằng 48.
3. (A – 2002) Cho hàm số : 3 2 2 3 2
3 3(1 )y x mx m x m m       . Viết phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên.
4. Tìm m để hàm số: xmmxmxy )21(6)1(32 23
 có CĐ ,CT thuộc đường thẳng d: xy 4
5. Tìm m để hàm số : 3723
 xmxxy có đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường
thẳng 73  xy
6. Tìm m để hàm số : 1)2(6)1(32 23
 xmxmxy có đường thẳng qua cực đại, cực tiểu song
song với đường thẳng : 3 xy
7. Tìm tham số m để hàm số : mmxxxy  23
3 có cực đại , cực tiểu thẳng hàng với M(0; 1).
8. Tìm tham số m để hàm số : mmxxxy  23
3 có cực đại , cực tiểu nằm về hai phía đường
thẳng 0823:)(  yxd .
9. Tìm m để hàm số : mxmxxy  223
3 có cực đại, cực tiểu đối xứng qua d:
2
5
2
1
 xy
10. Tìm m để hàm số: 1
3
1 23
 mxmxxy Có khoảng cách giữa cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất.
11. Tìm tham số m để hàm số : 24)13(
3
1 23
 xxmmxy đạt cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho
tam giác MAB có diện tích bằng 1, biết M(0 ; 1).
12. Tìm m để hàm số : 243 223
 mmxxy có cực trị đồng thời tích số của các giá trị cực đại
và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
13. Tìm m để hàm số : mmxxxy  23
3 có cực đại , cực tiểu tại A, B sao cho khoảng cách từ M(1
; 5) đến đường thẳng AB là dài nhất.
14. Tìm m để hàm số 23 23
 mxxxy có cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng 1 xy
15. Tìm tham số m để hàm số 4)23()12( 223
 xmmxmxy có cực đại, cực tiểu nằm về hai
phía đối với trục tung
16. Tìm m để hàm số 23 23
 mmxxxy có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành
17. Cho hàm số 3223
)1(33 mxmmxxy  . Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì
hàm số có cực đại , cực tiểu đồng thới trung điểm của hai điểm cực trị luôn nằm trên một đường
thẳng cố định.
18. Cho hàm số 23 23
 mxxy . Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại A, B sao cho đường thẳng
AB cắt đường tròn tâm I(1;1) và bán kính bằng 1 tại M, N sao cho IMNS đạt giá trị lớn nhất.
19. Tìm tham số m để hàm số   mxmmxmxy  3123 23
đạt cực trị tại AB sao cho khoảng cách
từ I( 2;
2
1
) đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
Dạng 3: Với các bài toán có tính chất P chỉ nói đến một điểm cực đại (hoặc một điểm cực tiểu) khi đó ở
bước 2 ta thực hiện như sau :
Khi m thỏa (*) ta có:













)()(
2
)()(
2
0'
222
111
xyymg
a
b
x
xyymf
a
b
x
y (thay x1, x2 vào hàm số ta có y1, y2)
Suy ra    2211 ;; yxBvàyxA là hai điểm cực trị
{Tiếp theo là ta phải xem trong 2 điểm trên thì điểm nào là CĐ và điểm nào là CT}có 2
cách để kiểm tra
Cách 1: Tính dạo hàm cấp hai y”: nếu y”(x1) > 0 thì A là cực tiểu  B là cực đại
Cách 2: Lập bảng biến thiên , từ BBT ta có thể xác định được điểm cực đại và cực tiểu
Sau khi tìm được điểm CĐ (hoặc CT) ta kết hợp giả thuyết để tìm ra được PT, BPT theo m
m(kiểm tra đk (*)).
Chú ý : Để thự hiện bước tìm CĐ (hoặc CT) thường ta phải chia làm hai trường hợp. Xét ví dụ sau.
Ví dụ : Tìm tất cả các tham số m để hàm số 26)1(32 23
 mxxmxy có hai điểm cực trị đồng
thời điểm cực đại nằm trên trục hoành .
Bình luận : Ở ví dụ này ta thấy ngay tính chất P chỉ liên quan đến tọa độ điểm cực đại nên không thể
sử dụng viet vì vậy ta phải tìm nghiệm trực tiếp của đạo hàm và dùng đạo hàm cấp hai hoặc BBT để
xác định điểm nào trong hai điểm cực trị là cực đại.
Giải :
Ta có : mxmxy 6)1(66' 2

Hàm số có cực trị  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 10)1(04)1(0' 22
 mmmm
(*).
Khi m thỏa (*), 





23
331
0)1(0' 23
2
mmymx
myx
mxmxy
)1(612" 2
 mxy  66)1("  my
TH1: với m > 1 ta có 066)1("  my  )33;1( mA là điểm cực đại.
Từ giả thuyết ta có : 1033  mmOxA (loại vì ta chỉ xét m >1)
TH2: với m < 1 ta có 066)1("  my  )33;1( mA là điểm cực tiểu
 )23;( 23
 mmmB là điểm cực đại.
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com
Từ giả thuyết ta có :
  









31
31
1
0221023 23
m
m
m
mmmmmOxB
31 m ( vì ta chỉ xét m <1)
KL: Vậy 31m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại nằm trên trục hoành.
BÀI TẬP ÁP DỤNG :
1. Tìm m để hàm số : 1)173()1(3 2223
 mxmmxmxy hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1
2. Cho hàm số 233
 mxxy . Tìm quỷ tích điểm cực đại của hàm số.
3. Cho hàm số : 323
2
3
2
3
mmxxy 
(1)
. Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực tiểu cách
đường thẳng y = x một khoảng bằng m2 .
4. Tìm tham số m để hàm số mmxmmxxy  3223
)1(33 có cực trị và đồng thời khoảng cách
từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến Ox bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực đại đến Oy
Dạng 4: Với các bài toán có tính chất P nói đến cả điểm cực đại và điểm cực tiểu nhưng vai trò khác
nhau. khi đó ở bước 2 ta thực hiện tương tự như dạng 3 chỉ khác ở chổ khi khai thác giả thuyết cuối cùng
thì ta phải xét cả hai điểm. Ta xét một ví dụ cụ thể:
Ví dụ : Tìm tham số m để hàm số mmxmmxxy  3223
)1(33 có cực trị và đồng thời khoảng
cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của
đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.
Giải :
Ta có : )1(363' 22
 mmxxy
Hàm số có cực trị  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Rm ;090' .
Khi đó ta có : 





221
221
0120' 22
mymx
mymx
mmxxy
BBT:
Từ BBT ta có
Đồ thị hàm số có điểm CĐ là A(m – 1; -2m + 2)
Đồ thị hàm số có điểm CT là B(m + 1; -2m – 2)
Từ giả thuyết ta có :
OBOA 2
       2222
2212221  mmmm 22
)1(52)1(5  mm
x
y’
y
m-1 m+1
0 0- ++
CĐ
CT
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com
2230162
 mmm và 223m
KL: Vậy 223 m và 223m thì đồ thị hàm số có hai cực trị thỏa yêu cầu.
Bình luận: Ở bài này ta không cần chia hai trường hợp của m vì m + 1 > m – 1 , Rm .
Bài tập áp dụng :
1. Tìm m để hàm số: 26)1(32 23
 mxxmxy có hai điểm cực trị đồng thời điểm cực đại nằm trên
trục hoành và điểm cực tiểu cách trục hoành một khoảng bẳng 3.
2. Tìm m để hàm số mmxmmxxy  3223
)1(33 có cực trị và đồng thời khoảng cách từ
điểmcực đại đến đường thẳng d: y = x bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến đường thẳng d.
B. Cực trị hàm đa thức – bậc 4 (Trùng phương)  224
)( cbxaxxfy  )0( a :
I . Tóm tắc lý thuyết :
1. Đạo hàm : bxaxxfy 24)('' 3

2. Cực Trị :
TH1 : Nếu 0. ba 0)('  xf có nghiệm duy nhất x = 0 (2) có 1 cực trị thuộc trục Oy
TH1 : Nếu 0. ba 0)('  xf có 3 nghiệm :
a
b
x
a
b
xx
2
,
2
,0 321



  (2) có 3 cực trị
(trong đó một cực trị thuộc trục Oy và hai cực trị còn lại đối xứng qua trục Oy)
Nhận xét : Khi 0. ba thì (2) có 3 cực trị tạo thành một tam giác cân đỉnh thuộc trục Oy
II . Bài tập minh họa :
Bài 1. (B - 2002)Tìm tham số m để hàm số : 10)9( 224
 xmmxy có 3 cực trị .
Bài 2. (A_2004) Cho hàm số y = x4
– 2m2
x2
+ 1.Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của
tam giac vuông cân
Bài 3. (B - 2011) Cho hàm số mxmxy  24
)1(2 . Tìm tham số m để hàm số có ba cực trị A,
B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung và B, C là hai cực trị còn lại.
Bài 4. (A_2012) Cho hàm số y = x4
– 2(m + 1)x2
+ m2
.Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị
là 3 đỉnh của tam giac vuông
Bài 5. Tìm m để hàm số : 424
22 mmmxxy  có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
Bài 6. Tìm m để hàm số : 12 224
 xmxy có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
Bài 7. Tìm m để hàm số : 12 224
 xmxy có 2 điểm cực tiểu nằm về 2 phía đường thẳng y = x
Bài 8. Tìm m để hàm số :
2
3
4
1 24
 mxxy chỉ có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu
Bài 9. Tìm m để hàm số : 12 224
 xmxy có cực trị tại A, B, C sao cho diện tích  ABC bằng 4.
Bài 10. Tìm tham số m để hàm số : 12 24
 mmxxy có cực trị tại A, B, C sao cho tam giác
ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
Bài 11. Cho hàm số : 42 42
 xmxy . Tìm tham số m để đồ thị hàm số trên có các điểm cực trị
đều nằm trên trục tọa độ.
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com
C. Cực trị hàm phân thức )0,0.(
)(
)(
)(
2
)3(
2















 c
d
e
b
d
e
ada
edx
cbxax
xv
xu
xfy
I . Tóm tắc lý thuyết :
1. Đạo hàm :
   22
2
)(2
)('
edx
xg
edx
cdbeaexadx
xf





2. Cực trị : Hàm số (3) có cực trị 0)('  xf có 2 nghiệm phân biệt
 0)( xg có hai nghiệm phân biệt
d
e
 







0)(
0)(
d
e
g
xg
3. Kỷ năng :
Nếu







0)(
0)(
d
e
g
xg
0)('  xf có 2 nghiệm phân biệt 21 , xx
 )(xfy  đạt cực đại, cực tiểu tại 21 , xx khi đó ta có :









d
b
x
d
a
xv
xu
y
d
b
x
d
a
xv
xu
y
2
2
2
2
1
1
1
1
2
)('
)('
2
)('
)('
Hệ quả : Đường thẳng đi qua hai điểm cực đại cự tiểu có phương trình :
d
b
x
d
a
y 
2
II . Bài tập minh họa :
Bài 1. Tìm tham số m để hàm số:
2
32



x
mxx
y có cực đại và cực tiểu thỏa mãn : 4 CTCĐ yy
Bài 2. Tìm m để hàm số:
1
522



x
mxx
y có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía d : xy 2
Bài 3. Tìm m để hàm số:
1
)12(32



x
mmxmx
y có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục hoành.
Bài 4. Tìm tham số m để hàm số:
2
4)1(2 22



x
mmxmx
y có cực đại và cực tiểu tại A, B cùng
với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
Bài 5. Tìm tham số m  0 để hàm số:
mx
mmxmmx
y



322
4)1(
có một cực trị thuộc góc phần
tư thứ II và một cực trị thuộc góc phần tư thứ tư
Bài 6. Tìm tham số m để hàm số:
mx
mmxmx
y



4)32( 22
có hai cực trị trái dấu .
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 www.toanhocdanang.com
Bài 7. Tìm tham số m để hàm số:
1
2



x
mxx
y có hai cực trị nằm về hai phía trục tung.
Bài 8. Tìm m để hàm số:
mx
mmxx
y



52
có cực trị tạo với A(1; 1) thành tam giác vuông tại A.
Bài 9. Tìm m để hàm số:
x
mxx
y



1
2
có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10.
Bài 10. Tìm m để hàm số:
1
222



x
mxx
y có hai cực trị cách đều đường thẳng 02:  yx
Bài 11. Tìm m để hàm số:
1
222



x
mxx
y có cực tiểu nằm trên Parabol 4:)( 2
 xxyP
Bài 12. Tìm tham số m để hàm số:
2
4)1(2 22



x
mmxmx
y có cực đại và cực tiểu đồng thời
tích số của giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 13. Cho hàm số y =
mx
mxmmx

 1)1( 32
.
a. Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi số thực m.
b. Khi m thay đổi tìm quỷ tích trung điểm của 2 điểm cực đại, cực tiểu của hàm số trên.
Bài 14. Cho hàm số :
mx
mxmmx
y



1)1( 22
Chứng minh rằng có duy nhất một điểm vừa là cực
đại đối với m này vừa là cực tiểu đối với m khác .
Bài 15. Cho hàm số y =
1
12


x
mmxx
.
a. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu .
b. Tìm quỷ tích các điểm cực đại , cực tiểu của hàm số .

Contenu connexe

En vedette

Toán cao cấp a2
Toán cao cấp a2Toán cao cấp a2
Toán cao cấp a2bookbooming
 
HÀM SỐ MŨ & LOGARIT
HÀM SỐ MŨ & LOGARITHÀM SỐ MŨ & LOGARIT
HÀM SỐ MŨ & LOGARITDANAMATH
 
747 bài tập trắc nghiệm cực trị hàm số toán 12 luyện thi năm 2017
747 bài tập trắc nghiệm cực trị hàm số toán 12 luyện thi năm 2017747 bài tập trắc nghiệm cực trị hàm số toán 12 luyện thi năm 2017
747 bài tập trắc nghiệm cực trị hàm số toán 12 luyện thi năm 2017haic2hv.net
 
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCHÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCDANAMATH
 
đồ Thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối
đồ Thị hàm số chứa giá trị tuyệt đốiđồ Thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối
đồ Thị hàm số chứa giá trị tuyệt đốiHướng Trần Minh
 
Nhung cong thuc luong giac co ban
Nhung cong thuc luong giac co banNhung cong thuc luong giac co ban
Nhung cong thuc luong giac co banNguyễn Hoành
 
Tích phân từng phần
Tích phân từng phầnTích phân từng phần
Tích phân từng phầnroggerbob
 
đạO hàm và vi phân
đạO hàm và vi phânđạO hàm và vi phân
đạO hàm và vi phânchuateonline
 
Kĩ thuật giải hệ phương trình
Kĩ thuật giải hệ phương trìnhKĩ thuật giải hệ phương trình
Kĩ thuật giải hệ phương trìnhToàn Đinh
 
Bài tập đạo hàm có hướng dẫn
Bài tập đạo hàm có hướng dẫnBài tập đạo hàm có hướng dẫn
Bài tập đạo hàm có hướng dẫndiemthic3
 
B1 tinh don dieu cua ham so
B1 tinh don dieu cua ham soB1 tinh don dieu cua ham so
B1 tinh don dieu cua ham sokhoilien24
 
[123doc.vn] 131 cau hoi phu khao sat ham so co dap an pdf
[123doc.vn]   131 cau hoi phu khao sat ham so co dap an pdf[123doc.vn]   131 cau hoi phu khao sat ham so co dap an pdf
[123doc.vn] 131 cau hoi phu khao sat ham so co dap an pdfle vinh
 
84b03ca9f2416925da640a31b963266c grh---cours-----esg
84b03ca9f2416925da640a31b963266c grh---cours-----esg84b03ca9f2416925da640a31b963266c grh---cours-----esg
84b03ca9f2416925da640a31b963266c grh---cours-----esgMaryem Ben
 
Phuong phap tich phan
Phuong phap tich phanPhuong phap tich phan
Phuong phap tich phanphongmathbmt
 

En vedette (14)

Toán cao cấp a2
Toán cao cấp a2Toán cao cấp a2
Toán cao cấp a2
 
HÀM SỐ MŨ & LOGARIT
HÀM SỐ MŨ & LOGARITHÀM SỐ MŨ & LOGARIT
HÀM SỐ MŨ & LOGARIT
 
747 bài tập trắc nghiệm cực trị hàm số toán 12 luyện thi năm 2017
747 bài tập trắc nghiệm cực trị hàm số toán 12 luyện thi năm 2017747 bài tập trắc nghiệm cực trị hàm số toán 12 luyện thi năm 2017
747 bài tập trắc nghiệm cực trị hàm số toán 12 luyện thi năm 2017
 
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCHÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
 
đồ Thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối
đồ Thị hàm số chứa giá trị tuyệt đốiđồ Thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối
đồ Thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối
 
Nhung cong thuc luong giac co ban
Nhung cong thuc luong giac co banNhung cong thuc luong giac co ban
Nhung cong thuc luong giac co ban
 
Tích phân từng phần
Tích phân từng phầnTích phân từng phần
Tích phân từng phần
 
đạO hàm và vi phân
đạO hàm và vi phânđạO hàm và vi phân
đạO hàm và vi phân
 
Kĩ thuật giải hệ phương trình
Kĩ thuật giải hệ phương trìnhKĩ thuật giải hệ phương trình
Kĩ thuật giải hệ phương trình
 
Bài tập đạo hàm có hướng dẫn
Bài tập đạo hàm có hướng dẫnBài tập đạo hàm có hướng dẫn
Bài tập đạo hàm có hướng dẫn
 
B1 tinh don dieu cua ham so
B1 tinh don dieu cua ham soB1 tinh don dieu cua ham so
B1 tinh don dieu cua ham so
 
[123doc.vn] 131 cau hoi phu khao sat ham so co dap an pdf
[123doc.vn]   131 cau hoi phu khao sat ham so co dap an pdf[123doc.vn]   131 cau hoi phu khao sat ham so co dap an pdf
[123doc.vn] 131 cau hoi phu khao sat ham so co dap an pdf
 
84b03ca9f2416925da640a31b963266c grh---cours-----esg
84b03ca9f2416925da640a31b963266c grh---cours-----esg84b03ca9f2416925da640a31b963266c grh---cours-----esg
84b03ca9f2416925da640a31b963266c grh---cours-----esg
 
Phuong phap tich phan
Phuong phap tich phanPhuong phap tich phan
Phuong phap tich phan
 

Plus de DANAMATH

DÃY SỐ - CẤP SỐ
DÃY SỐ - CẤP SỐDÃY SỐ - CẤP SỐ
DÃY SỐ - CẤP SỐDANAMATH
 
TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNGTÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNGDANAMATH
 
TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNGTÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNGDANAMATH
 
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
ĐẠI SỐ TỔ HỢPĐẠI SỐ TỔ HỢP
ĐẠI SỐ TỔ HỢPDANAMATH
 
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGGIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGDANAMATH
 
PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰPHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰDANAMATH
 
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGTHAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGDANAMATH
 
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂMPHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂMDANAMATH
 
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠCHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠDANAMATH
 
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁCSƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁCDANAMATH
 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COS
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COSPHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COS
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COSDANAMATH
 
CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ
CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠCÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ
CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠDANAMATH
 
PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠPHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠDANAMATH
 
VECTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG
VECTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNGVECTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG
VECTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNGDANAMATH
 
BỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATH
BỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATHBỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATH
BỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATHDANAMATH
 

Plus de DANAMATH (15)

DÃY SỐ - CẤP SỐ
DÃY SỐ - CẤP SỐDÃY SỐ - CẤP SỐ
DÃY SỐ - CẤP SỐ
 
TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNGTÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG
 
TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNGTÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
 
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
ĐẠI SỐ TỔ HỢPĐẠI SỐ TỔ HỢP
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
 
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGGIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
 
PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰPHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
 
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGTHAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
 
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂMPHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM
 
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠCHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
 
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁCSƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COS
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COSPHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COS
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COS
 
CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ
CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠCÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ
CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ
 
PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠPHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
 
VECTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG
VECTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNGVECTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG
VECTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG
 
BỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATH
BỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATHBỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATH
BỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATH
 

Dernier

40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...Nguyen Thanh Tu Collection
 
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptxIELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptxNguynHn870045
 
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...Nguyen Thanh Tu Collection
 
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...Nguyen Thanh Tu Collection
 
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptxDay tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptxngothevinhs6lite
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...Nguyen Thanh Tu Collection
 
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.pptlịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.pptLinhPham480
 
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...Nguyen Thanh Tu Collection
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...Nguyen Thanh Tu Collection
 
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...Nguyen Thanh Tu Collection
 

Dernier (17)

40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
 
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
 
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
 
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptxIELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
 
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
 
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
 
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
 
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
 
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptxDay tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
 
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
 
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.pptlịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
 
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
 
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
 

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

  • 1. GIẢI TÍCH 12 GV: PHAN NHẬT NAM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ O x y y’>0 y’<0 CĐ CT y’<0 y’>0 CT
  • 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. Tóm tắc lý thuyết : 1. Khái niệm cực trị hàm số : Cho hàm số )(xfy  xác định trên miền D và Dx 0  x0 gọi là điểm cực đại của f(x) nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa điểm x0 sao cho         00 ),()()( , xbaxxfxf Dba Khi đó )( 0xf gọi là giá trị cực đại của )(xfy   x0 gọi là điểm cực tiểu của f(x) nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa điểm x0 sao cho         00 ),()()( , xbaxxfxf Dba Khi đó )( 0xf gọi là giá trị cực tiểu của )(xfy  2. Điều kiện cần : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo .Nếu f(x) đạt cực trị của xo thì f’(xo) = 0 (tức là xo là nghiệm của f’(x) = 0) 3. Điều kiện đủ : ĐL1 : Cho y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a , b) và f’(xo) = 0 với xo  (a , b)       0 0 ....0)(' ....0)(' xxkhixf xxkhixf  f(x) đạt cực tiểu tại xo       0 0 ....0)(' ....0)(' xxkhixf xxkhixf  f(x) đạt cực đại tại xo Chú ý : ĐL1 vẫn đúng nếu hàm số ( )f x không có đạo hàm tại xo nhưng liên tục tại xo ĐL2 : Cho y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục tại xo và f’(xo) = 0.       0)('' 0)(' 0 0 xf xf  f(x) đạt cực tiểu tại xo.       0)('' 0)(' 0 0 xf xf  f(x) đạt cực đại tại xo. Chú ý :  Nếu f’(xo) = f”(xo) = 0 thì ta chưa kết luận được gì về tính cực trị của điểm xo.  Cần nhớ định lý 2 chưa đúng trong trường hợp ngược lại. 4. tính chất: Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm cực trị hoặc vuông góc với trục tung (hệ số góc k =0) hoặc có hai tia tiếp tuyến khác nhau (hệ số góc hai tia khác nhau – đạo hàm tại điểm cực trị không tồn tại ) II. Các dạng toán cực trị thường gặp : A Tìm các điểm cực trị của hàm số : 1. Quy tắc 1 :  Tìm đạo hàm : )(' xf  Tìm các điểm xk (k=1,2,3…)tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.  Xét dấu )(' xf . Nếu )(' xf đổi dấu khi x qua xk thì hàm số đạt cực trị tại điểm đó. 2. Quy tắc 2 :( chỉ có thể tìm được cực trị đầu tròn – cực trị có đạo hàm liên tục)  Tìm đạo hàm : )(' xf  Tìm nghiệm xk (k=1,2,3…) của phương trình 0)(' xf O x y y’>0 y’<0 CĐ CT y’<0 y’>0 CT
  • 3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com  Xét các tình huấn : Nếu 0)('' kxf thì hàm số đạt cực đại tại điểm xk Nếu 0)('' kxf thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xk Bài tập minh họa : Bài 1. Tìm cực trị của hàm số : a. 533 23  xxxy b. 186 24  xxxy c. 1 34 2    x xx y d. 342 144 2 2    xx xx y Bài 2. Tìm cực trị của hàm số : a. 2 4 xxy  c. 8212 2  xxy e. 32 2  xxy g.  2 312 2 1 xxy  b. 23 3xxy  d. 422  xxxy f. )2(  xxy Bài 3. Tìm cực trị của hàm số sau : a. xxy 2coscos23  c. 3 cos3 2 cos2 xx y  trên khoảng )20,0(  b. xxy 4cot  trên đoạn      4 , 4  d. 4sincos2 3sin2cos    xx xx y trên khoảng   , B. Cực trị hàm đa thức – bậc 3  123 )( dcxbxaxxfy  )0( a : 1. Tóm tắc lý thuyết :  Đạo hàm : cbxaxxf  23)(' 2 Điều kiện để (1) có cực trị 0)('  xf có 2 nghiệm phân biệt        03 0 2 )(' acb a xf  kỷ năng :            a acbb x a acbb x xf 3 3 3 3 0)(';0 2 2 2 1 Chia )(xf cho )(' xf ta có :                    a bc dx a b cxf a b xxf 933 2 )('. 93 1 )( 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 9 2 3 3 9 b bc y c x d a a b bc y c x d a a                                  Suy ra đường thẳng đi qua hai cực trị là :              a bc dx a b cy 933 2 2
  • 4. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com 2. Các loại toán cơ bản : Loại 1: Các bài toán tìm tham số bằng cách lập hệ phương trình Ví dụ : Tìm m, n, p để hàm số (C): pnxmxxy  23 đạt cực tiểu bằng - 3 tại x = 1 và có đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ = 2 Bình luận : Loại này muốn giải ta nên liêt kê tất cả các giả thuyết và chọn giả thuyết nào đơn giản để khai thác trước. cụ thể là + (C) đạt (giá trị cực tiểu) cực tiểu bằng – 3 tại x = 1          )3(0)1('' )2(0)1(' )1()()3;1( y y CI + (C) cắt Oy tại điểm có tung độ = 2  )4()()2;0( CM  Như vậy trong các giả thuyết trên thì (1), (2), (4) thiết lập thành hệ phương trình và (3) chỉ đóng vai trò là một điều kiện. từ đó ta có lời giải. Giải : Ta có : nmxxy  23' 2 mxy 26''  (C) đạt cực tiểu bằng – 3 tại x = 1          0)1('' 0)1(' )()3;1( y y CI          )3(026 )2(023 )1(13 m nm pnm (C) cắt Oy tại điểm có tung độ = 2  )4(2)()2;0( pCM  Từ (1),(2),(4) ta có:                  2 9 3 2 32 4 p n m p nm pnm ( loại vì không thỏa điều kiện (3) ) Không tồn tại m, n, p thỏa yêu cầu bài toán. BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1. Tìm m,n,p để hàm số pnxmxxy  23 đạt cực trị bằng 0 tại x = -2 và có đồ thị đi qua A(1; 0) 2. Tìm tham số m để hàm số : 5)13()2( 3 1 2223  mxmxmmxy đạt cực tiểu tại x = -2 Loại 2: Các bài toán tìm tham số để hàm số có cực trị và thỏa tính chất P cho trước. Với các bài toán ở loại này ta thực hiện theo 2 bước: Bước 1: tính đạo hàm y’ = f’(x).
  • 5. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com Hàm số có cực trị (cực đại, hoặc cực tiểu)  f’(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt (*) 0 0 m a        Bước 2: khi m thỏa (*) gọi 1 2,x x là nghiệm của '( ) 0f x  . Phân tích tính chất P để tìm PT hoặc BPT 1 2( ; ) 0P x x  (hoặc 1 2( ; ) 0P x x  ) kết hợp với viét ta tìm được tham số m , kiểm tra lại với điều kiện (*). Chú ý : Để phân tích hiệu quả tính chất P ta cần để ý các dạng sau. Dạng 1: với các bài toán có tính chất P chỉ nói đến hoành độ cực trị và không ghi rỏ cực đại, cực tiểu.Khi đó ở bước hai ta thực hiện như sau : Gọi x1, x2 là nghiệm của f’(x) = 0. Theo viet ta có : a c xx a b xx  2121 .; , kết hợp với tính chất P m Ví dụ : Tìm tham số m để hàm số : y = x3 + 2(m – 1)x2 + (m2 – 4m + 1)x – 2(m2 + 1) đạt cực trị tại x1,x2 thỏa : )( 2 111 21 21 xx xx  . Bình luận : Ở bài này ta thấy ngay tính chất P là một đẳng thức theo hai biến là hoành độ cực trị nên ta sẽ chọn phương án giải là gọi nghiệm và sử dụng định lý Viét để tìm tham số. Giải : Ta có : 14)1(43' 22  mmxmxy Hàm số có cực trị  y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt        32 32 0140' 2 m m mm (*). Khi m thỏa (*), gọi x1, x2 là nghiệm của y’ = 0 theo Viet ta có: 3 )1(4 21   m xx và 3 14 . 2 21   mm xx Ycbt                    5 1 1 0541 3 )1(2 14 )1(4 )( 2 1 . 2 221 21 21 m m m mmm m mm m xx xx xx (loại theo (*)) KL: vậy m = 1 và m = 5 thỏa yêu cầu bài toán.
  • 6. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1. (D – 2012)Cho hàm số :  3 2 22 2 2 3 1 3 3 y x mx m x     . Tìm m để hàm số trên có hai điểm cực trị 1 2à xx v sao cho  1 2 1 22 1x x x x   . 2. Cho hàm số 2)12()1(2 2223  mxmmxmxy .Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị và hoành độ hai điểm cực trị là x1, x2 thỏa hệ thức :  21 21 3 11 xx xx  . 3. Tìm m để hàm số: 3 2 ( 1) ( 5) 1 3 mx y m x m x      đạt cực đại, cực tiểu tại x1,x2 sao cho: 242 2 2 1  xx 4. Tìm m để hàm số 2)2()21( 23  mxmxmxy đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 sao cho: 3 1 21  xx 5. Tìm m để hàm số 53)2( 23  mxxxmy đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương. 6. Tìm m để hàm số : 3 2 ( 1) 3( 2) 1 3 mx y m x m x      đạt cực đại,cực tiểu tại x1,x2 thỏa: x1 + 2x2 = 1. 7. Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 +6m(m + 1)x + 1.Chứng minh với mọi m thì h/số đều có cực trị tại x1, x2 và x2 – x1 không phụ thuộc vào m. 8. Cho hàm số     124632 23  mxxmxmy . Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 sao cho 21 21 xx  . Dạng 2: Với các bài toán có tính chất P có chứa tung độ cực trị, điểm cực trị, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị (nhưng vai trò của điểm CĐ và CT giống nhau).Khi đó ở bước 2 ta thực hiện như sau. Gọi x1, x2 là nghiệm của f’(x) = 0.Theo viet ta có : a c xx a b xx  2121 .; , Suy ra    2211 ;; yxBvàyxA là hai điểm cực trị Ta có : baxyxSy  ').(' mà x1, x2 là nghiệm của f’(x) = 0 0)(')(' 21  xyxy       baxy baxy 22 11  d: y = ax + b là đường thẳng qua hai điểm cực trị Tùy theo tính chất P mà ta sử dụng đường thẳng d hoặc sử dụng    baxxBvàbaxxA  2211 ;; Từ đó ta thu được phương trình hoặc BPT theo m m (kiểm tra lại với điều kiện (*)) Ví dụ : Tìm tham số m để hàm số 23 23  mxxxy có hai điểm cực trị A, B cách đều gốc tọa độ O. Bình luận : Ở ví dụ này ta thấy ngay tính chất P liên quan đến tọa độ hai điểm cực trị và vai trò cực đại cực tiểu như nhau ( vì không nói gì đến điểm nào là cực đại điểm nào là cực đại) nên ta chọn phương án giải gọi nghiệmcủa phương trình y’ = 0, sau đó lấy y chia y’ để tìm tung độ cực trị. Tính độ dài hai đoạn OA và OB kết hợp giả thuyết ta có được phương trình theo m.
  • 7. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com Giải : Ta có : mxxy  63' 2 Hàm số có cực trị  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 30390'  mm (*). Khi m thỏa (*), gọi x1, x2 là nghiệm của y’ = 0 theo Viet ta có: 221  xx và 3 . 21 m xx  . Suy ra    2211 ;; yxBvàyxA là hai điểm cực trị Ta có : 2 3 )2('. 3 1 3        m xmy x y mà x1, x2 là nghiệm của y’ = 0 0)(')(' 21  xyxy Từ đó ta có :         2 3 )2( 2 3 )2( 22 11 m xmy m xmy Đặt :       2 3 )2( m b ma       baxy baxy 22 11 Từ giả thuyết ta có : 02 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1  yyxxyxyxOBOA         0]2)[()(0)()( 2121212121212121  bxxaxxaxxxxyyyxxxx          0202)( 21 2 2121 2 2121  abxxaxxabxxaxxxx (vì x1, x2 phân biệt nên 021  xx ) 0222 2  aba (theo viet)     012 3 2201 22        m mmaba  027162 2 mm 2 108 m {loại theo đk (*)} và 2 108  m {thỏa đk (*)} KL: Vậy khi 2 108  m thì hàm số có hai cực trị cách đều gốc tọa độ O. Chu ý: Ở bài giải trên để tránh sai sot khi tính toan ta đã đặt a, b là các biểu thức theo m, sau đó rút gọn biêu thức theo a, b đến mức đơn giãn nhất có thể rồi ta thay m vào lại để giải. Bài toán trên có thể giải bằng cách khác là viết phương trình đường trung trục d của AB. O cách đều Avà B thì O thuộc trung trực d (cách này đơn giãn hơn, các em có thể giải và xem như một bài tập áp dụng).
  • 8. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com Bài tập áp dụng : 1. (B - 2007) Tìm m để đồ thị của hàm số:  3 2 2 2 3 3 1 3 1y x x m x m       có hai điểm cực đại và cực tiểu cách đều gốc tọa độ O. 2. (B - 2012) Tìm m để đồ thị của hàm số: 3 2 3 3 3y x mx m   có hai điểm cực đại và cực tiểu tạo với gốc tọa độ O thành một tam giác có diện tích bằng 48. 3. (A – 2002) Cho hàm số : 3 2 2 3 2 3 3(1 )y x mx m x m m       . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên. 4. Tìm m để hàm số: xmmxmxy )21(6)1(32 23  có CĐ ,CT thuộc đường thẳng d: xy 4 5. Tìm m để hàm số : 3723  xmxxy có đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng 73  xy 6. Tìm m để hàm số : 1)2(6)1(32 23  xmxmxy có đường thẳng qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng : 3 xy 7. Tìm tham số m để hàm số : mmxxxy  23 3 có cực đại , cực tiểu thẳng hàng với M(0; 1). 8. Tìm tham số m để hàm số : mmxxxy  23 3 có cực đại , cực tiểu nằm về hai phía đường thẳng 0823:)(  yxd . 9. Tìm m để hàm số : mxmxxy  223 3 có cực đại, cực tiểu đối xứng qua d: 2 5 2 1  xy 10. Tìm m để hàm số: 1 3 1 23  mxmxxy Có khoảng cách giữa cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất. 11. Tìm tham số m để hàm số : 24)13( 3 1 23  xxmmxy đạt cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 1, biết M(0 ; 1). 12. Tìm m để hàm số : 243 223  mmxxy có cực trị đồng thời tích số của các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất. 13. Tìm m để hàm số : mmxxxy  23 3 có cực đại , cực tiểu tại A, B sao cho khoảng cách từ M(1 ; 5) đến đường thẳng AB là dài nhất. 14. Tìm m để hàm số 23 23  mxxxy có cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng 1 xy 15. Tìm tham số m để hàm số 4)23()12( 223  xmmxmxy có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung 16. Tìm m để hàm số 23 23  mmxxxy có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành 17. Cho hàm số 3223 )1(33 mxmmxxy  . Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì hàm số có cực đại , cực tiểu đồng thới trung điểm của hai điểm cực trị luôn nằm trên một đường thẳng cố định. 18. Cho hàm số 23 23  mxxy . Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại A, B sao cho đường thẳng AB cắt đường tròn tâm I(1;1) và bán kính bằng 1 tại M, N sao cho IMNS đạt giá trị lớn nhất. 19. Tìm tham số m để hàm số   mxmmxmxy  3123 23 đạt cực trị tại AB sao cho khoảng cách từ I( 2; 2 1 ) đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
  • 9. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com Dạng 3: Với các bài toán có tính chất P chỉ nói đến một điểm cực đại (hoặc một điểm cực tiểu) khi đó ở bước 2 ta thực hiện như sau : Khi m thỏa (*) ta có:              )()( 2 )()( 2 0' 222 111 xyymg a b x xyymf a b x y (thay x1, x2 vào hàm số ta có y1, y2) Suy ra    2211 ;; yxBvàyxA là hai điểm cực trị {Tiếp theo là ta phải xem trong 2 điểm trên thì điểm nào là CĐ và điểm nào là CT}có 2 cách để kiểm tra Cách 1: Tính dạo hàm cấp hai y”: nếu y”(x1) > 0 thì A là cực tiểu  B là cực đại Cách 2: Lập bảng biến thiên , từ BBT ta có thể xác định được điểm cực đại và cực tiểu Sau khi tìm được điểm CĐ (hoặc CT) ta kết hợp giả thuyết để tìm ra được PT, BPT theo m m(kiểm tra đk (*)). Chú ý : Để thự hiện bước tìm CĐ (hoặc CT) thường ta phải chia làm hai trường hợp. Xét ví dụ sau. Ví dụ : Tìm tất cả các tham số m để hàm số 26)1(32 23  mxxmxy có hai điểm cực trị đồng thời điểm cực đại nằm trên trục hoành . Bình luận : Ở ví dụ này ta thấy ngay tính chất P chỉ liên quan đến tọa độ điểm cực đại nên không thể sử dụng viet vì vậy ta phải tìm nghiệm trực tiếp của đạo hàm và dùng đạo hàm cấp hai hoặc BBT để xác định điểm nào trong hai điểm cực trị là cực đại. Giải : Ta có : mxmxy 6)1(66' 2  Hàm số có cực trị  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 10)1(04)1(0' 22  mmmm (*). Khi m thỏa (*),       23 331 0)1(0' 23 2 mmymx myx mxmxy )1(612" 2  mxy  66)1("  my TH1: với m > 1 ta có 066)1("  my  )33;1( mA là điểm cực đại. Từ giả thuyết ta có : 1033  mmOxA (loại vì ta chỉ xét m >1) TH2: với m < 1 ta có 066)1("  my  )33;1( mA là điểm cực tiểu  )23;( 23  mmmB là điểm cực đại.
  • 10. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com Từ giả thuyết ta có :             31 31 1 0221023 23 m m m mmmmmOxB 31 m ( vì ta chỉ xét m <1) KL: Vậy 31m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại nằm trên trục hoành. BÀI TẬP ÁP DỤNG : 1. Tìm m để hàm số : 1)173()1(3 2223  mxmmxmxy hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 2. Cho hàm số 233  mxxy . Tìm quỷ tích điểm cực đại của hàm số. 3. Cho hàm số : 323 2 3 2 3 mmxxy  (1) . Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực tiểu cách đường thẳng y = x một khoảng bằng m2 . 4. Tìm tham số m để hàm số mmxmmxxy  3223 )1(33 có cực trị và đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến Ox bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực đại đến Oy Dạng 4: Với các bài toán có tính chất P nói đến cả điểm cực đại và điểm cực tiểu nhưng vai trò khác nhau. khi đó ở bước 2 ta thực hiện tương tự như dạng 3 chỉ khác ở chổ khi khai thác giả thuyết cuối cùng thì ta phải xét cả hai điểm. Ta xét một ví dụ cụ thể: Ví dụ : Tìm tham số m để hàm số mmxmmxxy  3223 )1(33 có cực trị và đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. Giải : Ta có : )1(363' 22  mmxxy Hàm số có cực trị  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Rm ;090' . Khi đó ta có :       221 221 0120' 22 mymx mymx mmxxy BBT: Từ BBT ta có Đồ thị hàm số có điểm CĐ là A(m – 1; -2m + 2) Đồ thị hàm số có điểm CT là B(m + 1; -2m – 2) Từ giả thuyết ta có : OBOA 2        2222 2212221  mmmm 22 )1(52)1(5  mm x y’ y m-1 m+1 0 0- ++ CĐ CT
  • 11. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com 2230162  mmm và 223m KL: Vậy 223 m và 223m thì đồ thị hàm số có hai cực trị thỏa yêu cầu. Bình luận: Ở bài này ta không cần chia hai trường hợp của m vì m + 1 > m – 1 , Rm . Bài tập áp dụng : 1. Tìm m để hàm số: 26)1(32 23  mxxmxy có hai điểm cực trị đồng thời điểm cực đại nằm trên trục hoành và điểm cực tiểu cách trục hoành một khoảng bẳng 3. 2. Tìm m để hàm số mmxmmxxy  3223 )1(33 có cực trị và đồng thời khoảng cách từ điểmcực đại đến đường thẳng d: y = x bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến đường thẳng d. B. Cực trị hàm đa thức – bậc 4 (Trùng phương)  224 )( cbxaxxfy  )0( a : I . Tóm tắc lý thuyết : 1. Đạo hàm : bxaxxfy 24)('' 3  2. Cực Trị : TH1 : Nếu 0. ba 0)('  xf có nghiệm duy nhất x = 0 (2) có 1 cực trị thuộc trục Oy TH1 : Nếu 0. ba 0)('  xf có 3 nghiệm : a b x a b xx 2 , 2 ,0 321      (2) có 3 cực trị (trong đó một cực trị thuộc trục Oy và hai cực trị còn lại đối xứng qua trục Oy) Nhận xét : Khi 0. ba thì (2) có 3 cực trị tạo thành một tam giác cân đỉnh thuộc trục Oy II . Bài tập minh họa : Bài 1. (B - 2002)Tìm tham số m để hàm số : 10)9( 224  xmmxy có 3 cực trị . Bài 2. (A_2004) Cho hàm số y = x4 – 2m2 x2 + 1.Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giac vuông cân Bài 3. (B - 2011) Cho hàm số mxmxy  24 )1(2 . Tìm tham số m để hàm số có ba cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung và B, C là hai cực trị còn lại. Bài 4. (A_2012) Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m2 .Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giac vuông Bài 5. Tìm m để hàm số : 424 22 mmmxxy  có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. Bài 6. Tìm m để hàm số : 12 224  xmxy có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. Bài 7. Tìm m để hàm số : 12 224  xmxy có 2 điểm cực tiểu nằm về 2 phía đường thẳng y = x Bài 8. Tìm m để hàm số : 2 3 4 1 24  mxxy chỉ có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu Bài 9. Tìm m để hàm số : 12 224  xmxy có cực trị tại A, B, C sao cho diện tích  ABC bằng 4. Bài 10. Tìm tham số m để hàm số : 12 24  mmxxy có cực trị tại A, B, C sao cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 Bài 11. Cho hàm số : 42 42  xmxy . Tìm tham số m để đồ thị hàm số trên có các điểm cực trị đều nằm trên trục tọa độ.
  • 12. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com C. Cực trị hàm phân thức )0,0.( )( )( )( 2 )3( 2                 c d e b d e ada edx cbxax xv xu xfy I . Tóm tắc lý thuyết : 1. Đạo hàm :    22 2 )(2 )(' edx xg edx cdbeaexadx xf      2. Cực trị : Hàm số (3) có cực trị 0)('  xf có 2 nghiệm phân biệt  0)( xg có hai nghiệm phân biệt d e          0)( 0)( d e g xg 3. Kỷ năng : Nếu        0)( 0)( d e g xg 0)('  xf có 2 nghiệm phân biệt 21 , xx  )(xfy  đạt cực đại, cực tiểu tại 21 , xx khi đó ta có :          d b x d a xv xu y d b x d a xv xu y 2 2 2 2 1 1 1 1 2 )(' )(' 2 )(' )(' Hệ quả : Đường thẳng đi qua hai điểm cực đại cự tiểu có phương trình : d b x d a y  2 II . Bài tập minh họa : Bài 1. Tìm tham số m để hàm số: 2 32    x mxx y có cực đại và cực tiểu thỏa mãn : 4 CTCĐ yy Bài 2. Tìm m để hàm số: 1 522    x mxx y có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía d : xy 2 Bài 3. Tìm m để hàm số: 1 )12(32    x mmxmx y có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục hoành. Bài 4. Tìm tham số m để hàm số: 2 4)1(2 22    x mmxmx y có cực đại và cực tiểu tại A, B cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. Bài 5. Tìm tham số m  0 để hàm số: mx mmxmmx y    322 4)1( có một cực trị thuộc góc phần tư thứ II và một cực trị thuộc góc phần tư thứ tư Bài 6. Tìm tham số m để hàm số: mx mmxmx y    4)32( 22 có hai cực trị trái dấu .
  • 13. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 www.toanhocdanang.com Bài 7. Tìm tham số m để hàm số: 1 2    x mxx y có hai cực trị nằm về hai phía trục tung. Bài 8. Tìm m để hàm số: mx mmxx y    52 có cực trị tạo với A(1; 1) thành tam giác vuông tại A. Bài 9. Tìm m để hàm số: x mxx y    1 2 có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10. Bài 10. Tìm m để hàm số: 1 222    x mxx y có hai cực trị cách đều đường thẳng 02:  yx Bài 11. Tìm m để hàm số: 1 222    x mxx y có cực tiểu nằm trên Parabol 4:)( 2  xxyP Bài 12. Tìm tham số m để hàm số: 2 4)1(2 22    x mmxmx y có cực đại và cực tiểu đồng thời tích số của giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 13. Cho hàm số y = mx mxmmx   1)1( 32 . a. Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi số thực m. b. Khi m thay đổi tìm quỷ tích trung điểm của 2 điểm cực đại, cực tiểu của hàm số trên. Bài 14. Cho hàm số : mx mxmmx y    1)1( 22 Chứng minh rằng có duy nhất một điểm vừa là cực đại đối với m này vừa là cực tiểu đối với m khác . Bài 15. Cho hàm số y = 1 12   x mmxx . a. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu . b. Tìm quỷ tích các điểm cực đại , cực tiểu của hàm số .