www.toanhocdanang.com www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang Phone:0935 334 225

1. LUYỆN THI
GV: PHAN NHẬT NAM
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH

2. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH CHO BÀI TOÁN CHỨA NHIỀU CĂN THỨC
I. Phương trình có hai nghiệm hữu tỷ đơn:
 2 2 2 2
( ) 3 2 1 ( 2) 2 1 3 6 0f x x x x x x x x x x x              
ĐK: 2 3x  
“MODE 7” : nhập ( )f x , “=” Start “-2 =” End “3 =” Step “0,5 = “
Từ bảng kết qua ta thấy: 1, 2x x   thì ( ) 0f x  do đó 1, 2x x   là hai nghiệm hữu tỷ
Dự đoán nhân tử có dạng : 2 3x m x n   
Tìm m, n:
1 2 1 1
2 3 0
2 2 3
x m n m
x m x n
x m n n
      
      
      
2 3 3x x    
“MODE 1”:
( )
2 3 3
f x
x x   
“CALC 3”(gán x = 3: 2 5, 3 0x x    để lấy biểu thức chứa 2x  )
Ta thu được kết quả : 13 5  do đó:
( )
1
2 3 3
f x
x a
x x
   
   
. (vì -13 ta không đoán được biểu thức)
Nhập:
( )
1
2 3 3
f x
x
x x
 
   
thử gán x bằng các giá trị khác ta thu được các số nguyên khác nhau dó
đó không thể đoán được biểu thức a , Khi đó ta xét đồng nhất thức:
  ( ) 1 2 3 3f x x a x x       
 2 2 2 2
3 2 1 ( 2) 2 1 3 6 3 2 (3 ) 2 3 2 3x x x x x x x x x x a x a x a x x x                         
2
1a x x    
Do đó   2 2
2 3 3 0
1 1 2 3 3 0 1 3
1 0( )
2 4
x x
PT x x x x x
x x VN
     

              
     
 
 
2
2
2 3 9 2 0 2x x x x x           hoặc 1x  
Ví dụ tự luyện:
Bài 1. Giải bất phương trình:      2
6 2 26 8 4 2 3 33x x x x x x x      
HD:   2 2
2 26 8 3 2 2 26 8 3 2 0x x x x x x x         
Bài 2. Giải phương trình:
2 2 9
103 1 3 4 5 xx x
 
   

3. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com
HD:   1 4 5 3 9 1 9 4 5 4 41 0x x x x x         
Bài 3. Giải bất phương trình:  2 3
2 5 5 3 3 2 3 5x x x x x      
HD:  3
3 3 3 5 4x x   
II. Phương trình có một nghiệm vô tỷ đơn: 2
( ) 5 6 5 1 1 0g x x x x      
ĐK: 1x 
Nhập ( )g x ”=” , Tìm nghiệm “SHIFT SOLVE 1” ta nhân đươc nghiệm ≈1,019708848…
Lưu giá trị của 1x  vào biến A : “ 1x  SHIFT RCL (-)”
Lưu giá trị của 1x  vào biến B : “ 1x  SHIFT RCL .,,, ”
“MODE 7” nhập ( )f x AX B  “= -9 = 9 = 1 =” tìm trong TABLE: giá trị hữu tỷ của ( )f x và x
Ta có: 3x   và ( ) 1f x 
( lưu ý: nếu nhập ( )f x A BX  không thu được kết qua đẹp trong TABLE thì đổi lại ( )f x AX B  ).
Thay 3x   , ( ) 1f x  , 1A x  , 1B x  vào ( )f x AX B  ta có: 3 1 1 1x x    
Do đó nhân tử chung là : 3 1 1 1x x   
MODE 1:
( )
3 1 1 1
g x
x x   
“CALC 1” ta có kết quả 1 2 do đó
( )
3 1 1 1
g x
x x   
chứa 1x 
“⊲ - 1x  ” nhập
( )
1
3 1 1 1
g x
x
x x
 
   
“CALC 3” ta có kết quả 1 2 2
do đó
( )
1
3 1 1 1
g x
x
x x
 
   
chứa 2 1x 
“⊲ - 2 1x  ” nhập
( )
1 2 1
3 1 1 1
g x
x x
x x
   
   
“CALC 100” ta có kết quả 1
(gán x bất cứ gí trị nào ta cũng có kết quả đều bằng 1)
Do đó :   
3 1 1 1
3 1 1 1 2 1 1 1 0
2 1 1 1 0( )
x x
PT x x x x
x x VN
    
           
    
Ví dụ tự luyện:
Bài 1. Giải phương trình: 3 2
3 3 3 0x x x x x x      
HD:    2 2
3 1 3 1 0x x x x x       
 

4. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
Bài 2. Giải phương trình: 2
4 3 2 1 4 1 0x x x     
HD:   3 1 1 1 1 1 1 0x x x x        
Bài 3. Giải phương trình: 2 2 2 2
9 8 6 1 (2 1) 2 1 ( 2) 3 1x x x x x x x x          
HD:   2
2 2 1 3 1 1 3 2 1 3 1 1 0x x x x x         
III. Nghiệm kép hữu tỷ, thay nghiệm vào căn có được giá trị hữu tỷ
 2 2 2
( ) 3 3 9 2( 2) 3 4 0f x x x x x x x        
ĐK: 0x 
“ MODE 7 “ Nhâp ( )f x “ = 0 = 10 = 1 =” quan sát TABLE ta thấy 1x  thì ( ) 0f x  đồng thời
( )f x không đổi dấu khi qua 1, do đó phương trình ( ) 0f x  có nghiệm kép 1x 
Dự đoán nhân tử: 3x a x b   . Khi đó ta giải hệ
 
3 0 1 2
33 ' 0 1
x a x b x a
bx a x b x
       
 
     
(Lưu ý : trường hợp a , b ra phân số thì ta có thể quy đồng bỏ mẫu)
Từ đó ta có nhân tử : 2 3 3x x  
MODE 1: nhập
( )
2 3 3
f x
x x  
“CALC 0” ta có kết quả 1 2 3 do đó
( )
2 3 3
f x
x x  
chứa 2 3x 
“⊲ - 2 3x  ” nhập
( )
2 3
2 3 3
f x
x
x x
 
  
“ CALC 2” ta có kết quả 5 2 6,414213562... 
Do đó
( )
2 3
2 3 3
f x
x
x x
 
  
chứa x
“⊲ - x ”
( )
2 3
2 3 3
f x
x x
x x
  
  
“CALC 100” ta nhân được kết qua 2 2
10001 100 1 1x   
Thử lại: “⊲ - 2
1x  ” nhập 2( )
2 3 1
2 3 3
f x
x x x
x x
    
  
“CALC 10” hoặc bất cứ giá trị nào
ta cung đều có kết quả bằng 0. Do đó 2( )
2 3 1
2 3 3
f x
x x x
x x
    
  
  2
2
3 2 3
2 3 3 2 3 1 0
2 3 1 0 ( )
x x
PT x x x x x
x x x VN
   
          
    

5. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
Ví dụ tự luyện:
Bài 1. Giải phương trình:  2
5 20 14 2 8 4 9 2 4 10 4 1x x x x x x x        
HD:    
2
4 1 2 1 2 4 1 3 2 3 0x x x x        
Bài 2. Giải phương trình: 2
8 24 ( 8) 2 2 2 6 8 2 3x x x x x x        
HD:    
2
2 2 3 1 3 2 2 2 3 2 0x x x x        
IV. Nghiệm kép hữu tỷ, thay nghiệm vào căn vô tỷ:
3
2
( ) 3 3 2 2 5 2 2 2 ( 5) 2 1 0f x x x x x x x          
ĐK:
1
2
x  
Sử dụng chức năng “MODE 7” ta thấy phương trình có nghiệm kéo 1x  .
Khi 1x  ta có : 2 2 1 3x x    Do đó ta nghĩ đến nhân tử  
2
2 1 2x x  
Nhập
 
2
( )
2 1 2
f x
x x  
“CALC 0 “ta có kết quả 2 2 2 do đó
 
2
( )
2 1 2
f x
x x  
chứa 2 2x 
“⊲ - 2 2x  ” nhập
 
2
( )
2 2
2 1 2
f x
x
x x
 
  
“ CALC 2” ta có kết quả 1 5
Do đó
 
2
( )
2 2
2 1 2
f x
x
x x
 
  
chứa 2 1x 
“⊲ - 2 1x  ” nhập
 
2
( )
2 2 2 1
2 1 2
f x
x x
x x
   
  
“ CALC 10” hoặc bất cứ giá trị nào
ta đều nhân được kết quả bằng 1 tức là :
 
   
2
2
( )
2 2 2 1 1 ( ) 2 1 2 2 2 2 1 1
2 1 2
f x
x x f x x x x x
x x
             
  
   
2 2 1 2
2 1 2 2 2 2 1 1 0
2 2 2 1 1 0 ( )
x x
PT x x x x
x x VN
   
          
    
Ví dụ tự luyện:
Bài 1. Giải phương trình:  2 2 2 2
2 2 1 2 1 1 0x x x x x x x x        
HD:   2 2
2 1 1 1 0x x x x x     

6. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
Bài 2. Giải phương trình:    2 2
2 3 (2 3) 1 3 1 2 3 1 0x x x x x x x x           
HD:     
2
1 1 1 2 1 1 1 0x x x x x        
V. Nghiệm đơn hữu tỷ, thay nghiêm vào căn vô tỷ: 2
( ) 5 15 6 1 12 1 15 1 0f x x x x x        
ĐK: 1 1x   (với ĐK này ta cần chú trọng đên 2 giá trị để thử là -1 và 1)
Sử dụng chức năng SOLVE ta có
3
5
x  là nghiệm của phương trình
Khi
3
5
x  ta có:
2 10
1
5
x  và
10
1
5
x  Do đó ta nghĩ đến nhân tử: 1 2 1x x   .
Thực hiện thao tác tương tự như các ví dụ trên ta có được nhân tử còn lại là: 5 1 5 1 6x x   
  
5 1 5 1 6
1 2 1 5 1 5 1 6 0
1 2 1
x x
PT x x x x
x x
    
         
  
Ví dụ tự luyện : Giải phương trình: 2
3 10 3 2 6 2 4 4 0x x x x       
VI. Nghiệm đơn hữu tỷ, thay nghiệm vào căn được kết quả hữu tỷ:
2 2
( ) 2 ( 1) 1 ( 1) 1 2 1 0f x x x x x x x x x          
ĐK: 1 1x   (với ĐK này ta cần chú trọng đên 2 giá trị để thử là -1 và 1)
Sử dụng chức năng SOLVE ta có 0x  là nghiệm của phương trình
Khi 0x  ta có: 1 1 1x x    . Do đó nhân tử có dạng:  1 1 1x a x a    
Ta cần tìm số nguyên a để ( )f x chia hết cho  1 1 1x a x a    
Ta xét x = 1: (1) 3 2 2f   ,  1 1 1 2 1
1
x a x a a
x
       

     
2
2 222 2
2
2 1 1 0
3 2 2 1 2 1 2 1
22 1 1
a a a
a a a
aa a
                     
(vì a là số nguyên)
Ta chọn a = - 2 khi đó nhóm chung cần thử là :  1 2 1 1x x   
Nhập:
( )
1 2 1 1
f x
x x   
“CALC 1” ta được 1 2 dó đó
( )
1 2 1 1
f x
x x   
chứa 1x 
“⊲ - 1x  ” nhập
( )
1
1 2 1 1
f x
x
x x
 
   
“CALC 1” và “CALC - 1” đều nhận kết quả là 1.
Do đó:
( )
1
1 2 1 1
f x
x
x x
 
   
chứa số 1.

7. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
“⊲ - 1” nhập
( )
( ) 1 1
1 2 1 1
f x
g x x
x x
   
   
“CALC 1” ta có kết quả bằng 0. Và thử các kết
quả khác ta đều thấy ( )g x không chứa 1 x dó đó ( ) ( 1).g x x A 
nhập
( )
1
g x
x 
“CALC - 1” ta có kết quả 2 do đó
( )
1
1
g x
x
x
 

( )
1 1 ( 1) 1
1 2 1 1
f x
x x x
x x
      
   
  
1 1 2 1
1 2 1 1 1 1 ( 1) 1 0
1 1 ( 1) 1 0
x x
PT x x x x x
x x x
    
            
     
Ví dụ tự luyện:
Bài 1. Giải phương trình: 2 2 2
( 1) 1 ( 1) 1 2 0x x x x x       
HD:   2
1 1 1 1 1 0x x x x x        
Bài 2. Giải phương trình: 2
3 1 1 3 1 0x x x x       
HD:   1 1 2 1 1 1 0x x x x       
EP TÍCH BẰNG PHÉP LŨY THỪA HAI VẾ
Bài 1. Giải phương trình: 2 3
2( 2) 5 1x x   ĐS:
5 37
2
x


HD: 2 3 4 3 2
2( 2) 5 1 ( ) 4 25 16 9 0x x f x x x x        
Nhập ( )f x = {dấu “=” để lưu phương trình} SHIFT SOLVE 0 nhận được nghiệm: 5,541381...x 
ALPHA x SHIFT STO A
Nhấn  để quay lại ( )f x . Nhập
( )f x
x A
SHIFT SOLVE 0 nhận được nghiệm: 0,54138...x  
ALPHA x SHIFT STO B
Nhấn  để quay lại ( )f x . Nhập
  
( )f x
x A x B 
SHIFT SOLVE 0 không tìm được
{ta có thể hiểu phương trình chỉ có hai nghiệm A, B}
Tính:
3
5
AB Q
A B Q
  

  
Do đó ( )f x chia hết cho 2
5 3x x 
Do đó:   
2
2 2
2
5 3 0 5 37
( ) 0 5 3 4 5 3 0
24 5 3 0 ( )
x x
f x x x x x x
x x VN
    
         
  
Bài 2. Giải phương trình: 3 2
5 ( 4) 2x x x x x      ĐS:
3 13
2
x


Bình luận: Ta có thể đánh giá điều kiện có nghiệm của phương trình như sau:

8. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
Vì 2 ( 4) 2 0x x x     do đó phương trình có nghiệm khi:
  3 2 3 2 3 2 2
5 0 5 3 2 0 2 1 0 2x x x x x x x x x x x x x                     
Bài 3. Giải phương trình:  3 2 2
1 1 1x x x x     ĐS:
1 5
2
x


ĐK: 3 2 (*)
1
( ) 1 0
x
g x x x
 

   
(*)có nghiệm ≈ 0, 7548… Ta xét 0.5x  ta có:
5
(0.5)
8
g   do đó ta biến đổi:
3 2 3 2 3 2 25 3 1 3 3 1
1 0 1 0 0
8 8 2 2 4 2
x x x x x x x x x x
  
                    
  
Bài 4. Giải phương trình:  2
3 2 1 2 1x x x x     ĐS: 3 2 3x   , 1 2x  
Bài 5. Giải phương trình: 2 2
15 2 1 5x x x x     ĐS:
1 13
6
x

 ,
1 29
10
x
 

Bài 6. Giải phương trình: 2 2 2 1 6 5x x x     ĐS: 1 2x  
Bài 7. Giải phương trình: 32 3
3 4 2x x x   ĐS:
1 13
6
x


Điều kiện có nghiệm:
  3 3 3 21 1
4 2 0 4 2 8 32 17 0 2 1 4 2 17 0
8 2
x x x x x x x x x x                  
Bài 8. (THPTQG - 2015) Giải phương trình   
2
2
2 8
1 2 2
2 3
x x
x x
x x
 
   
 
ĐS:
3 13
2;
2
x x

 
Bài 9. (Trích KB - 2014) Giải phương trình: 2
2 3 2x x x    ĐS:
1 5
2
x


Bài 10. (Trích KD - 2013) Giải phương trình:
2
2 2
1
x
x x
x
  

ĐS: 4 2 3x  
Bài 11. (KB - 2012) Giải bất phương trình: 2
1 4 1 3x x x x     ĐS:  
1
0 , 4 ,
4
S
 
     
Bài 12. Giải hệ phương trình: 3 2 2 2
2 0
2 2 4 0
xy x
x x y x y y x
  

      
ĐS:    ; 1;1x y  ,  
1 5
; ; 5
2
x y
  
   
 
và  
1 5
; ; 5
2
x y
  
   
 
Bài 13. Giải hệ phương trình:  2 2 3
4 6 6 7x x x x x
x
     ĐS: 1x  , 3x 
Bài 14. (KA - 2010)Giải hệ phương trình:
2
1
1 2( 1)
x x
x x


  
ĐS:
3 5
2
x



9. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH BẰNG PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ
Bài 1. Giải phương trình: 2
2 1 7( 1) 1x x x x    
HD: đặt 1 0t x   ; 4 3 2
( ) 2 7 5 4 0PT f t t t t     
Bài 2. (THPT - 2015) Giải phương trình:   
2
2
2 8
1 2 2
2 3
x x
x x
x x
 
   
 
HD: đặt 2 0t x   ; 7 6 5 4 3 2
2 7 13 17 32 11 30 0PT t t t t t t t        
Nhập ( )f x = {dấu “=” để lưu phương trình} SHIFT SOLVE 0 nhận được nghiệm 2x 
Nhập ( )f x = {dấu “=” để lưu phương trình} SHIFT SOLVE 0 nhận được nghiệm: 1,3027756...x  
ALPHA x SHIFT STO A
Nhấn  để quay lại ( )f x . Nhập
( )f x
x A
SHIFT SOLVE 0 nhận được nghiệm: 2,30277565...x 
ALPHA x SHIFT STO B
Nhấn  để quay lại ( )f x . Nhập
   
( )
2
f x
x x A x B  
SHIFT SOLVE 0 không tìm được
{ta có thể hiểu phương trình chỉ có hai nghiệm A, B}
Tính:
3
1
AB Q
A B Q
  

  
Do đó ( )f x chia hết cho   2
2 3x x x  
Do đó:    2 4 3 2 2
4 3 2
2
1 13
( ) 0 2 3 3 5 0 3 0
2
( ) 3 5 0 (1)
t
f t t t t t t t t t t t
g t t t t t



               

      
     
2
24 2 2 3 2 31 3
( ) 4 4 1 2 0 , 0
2 4
g t t t t t t t t t t
 
                
 
. Do đó (1) vô nghiệm
Bài 3. Giải phương trình: 2
2 3x x x x    
HD: đặt 0t x  ; 4 2 2
2 3 0PT t t t t      
Sử dụng chức năng SOLVE ta tìm được nhân tử của pt là : 2
1 3t t  
Khi đó để ý đến:   2 2 2
1 3 1 3 2 2 2t t t t t t         và   4 2 2 2
2 1 1 1t t t t t t t       
Bài 4. Giải phương trình:    2
2 4 2 1 2 3 1 2 3 1 0x x x x x x         
HD: Đặt : 2 21 0
2
1 2
u x
u v
v x
   
  
  
2 2
3 2 2 2
2 (1)
2 2 2 4 0 (2)
u v
PT
u v u uv v u v
  
 
       
sử dụng chức năng SOLVE ta kiểm tra được (2) – (1) có nhân tử chung là u v
   (2) (1): 3 4 3 2 0u v u v u v      

10. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com
Bài 5. Giải bất phương trình: 3 2 2
3 2 2 4 2 11x x x x x x      
HD: Đăt 4 1t x   ; 6 5 4 3 2 2
2 9 16 25 32 18 2 3 0PT t t t t t t t         
sử dụng chức năng SOLVE ta có được nhân tử của phương trình là: 2
2 1 2 3t t  
để ý:   2 2 2
2 1 2 3 2 1 2 3 2 4 2t t t t t t        
Bài 6. Giải bất phương trình: 2
3 5 8 18x x x x     
HD: Đặt 3 0, 2t x      ; 4 2 2
2 3 2 0PT t t t t       có nhân tử 2
2 2t t  
Bài 7. Giải phương trình: 2 2
2 2 4 2 2 2x x x x x       
HD: Đặt  2 0 , 2t x   ;   2 4 2
1 4 2 6 2PT t t t t t       có nhân tử 2
2 2t t  
Bài 8. Giải phương trình:  
2
3
7 8 1 2 1 1x x    
HD: Đặt 2 1 0t x   ;
2
2 6 5 4 3 23
7 9
2 2 12 24 16 7 9 0
2
t
PT t t t t t t t

         
Bài 9. Giải phương trình: 2
5 6 5 1 1 0x x x     
HD: Đặt 1 0t x   ; 2 2
5 5 1 2 0PT t t t t      có nhân tử 2
3 1 2t t  
Bài 10. Giải phương trình:    2 2 2
1 1 1 1 2 0x x x x x       
HD: Đặt: 1 0t x   ;  4 2 2 5 4 3 2
2 2 2 2 2 1 0PT t t t t t t t t          có nhân tử 2
2 1t t  
Bài 11. Giải phương trình:    
3
2
3 3 2 2 5 2 2 2 5 2 1 0x x x x x x          (**)
HD: Đặt  3 2 2 26
2 ; 2 3 3 2 3 2 3 0
2
t x PT t t t t t           có nhân tử 2
2 1 2 3t t  
Bài 12.Giải phương trình:    2 2 2
3 3 9 2 2 3 4 0x x x x x x       
HD: Đặt 5 4 2 4 2
0; 3 3 4 9 2( 2) 3 0t x PT t t t t t t           có nhân tử 2
3 2 3t t  
Bài 13.Giải phương trình:    2 2 2 2
3 2 1 2 2 1 3 6 0x x x x x x x x x x             
HD: 2 0 ; 5t x      ;  5 4 3 2 4 2 2
3 3 10 9 3 3 5 0PT t t t t t t t t          
Nhân tử là: 2
5 3t t  
Bài 14. Giải phương trình: 3 2
3 3 3 0x x x x x x      
HD: 0 , 3t x     .  3 4 2
1 3 3 0PT t t t t       có nhân tử 4
3t t 
Bài 15. Giải phương trình:    2 2 2 2
9 8 6 1 2 1 2 1 2 3 1x x x x x x x x          
HD:  5 4 3 2 4 2 2
2 1 ; 4 2 8 32 4 30 2 4 9 6 10 0t x t t t t t t t t t             nhân tử 2
4 2 6 10t t  

11. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ ÉP TÍCH
Bài 1. Giải phương trình:  2 3 2
1 1 2 2 3x x x x x     
HD:      3 2 3 2 3
1 1 1 2 2 3 1 0pt m x x x x x x x m x x              . Đặt 3
1t x x  
   2 2 2 3
. 1 2 2 3 1 0mt x t x x m x x         
   
22 2 3
1 4 2 2 3 1x m x x m x x          
Gán A = 100 (thao tac: 100 SHIFT STO A)
MODE 7    
22 2 3
( ) 1 4 2 2 3 1f x A x A A x A A          Start -9 End 9 Step 1
Chọn  f x Z ta có: 2
( ) 10203 2 3f x A A    (vì ta gán 100A  ) khi 1x  
Tức là : 2
2 3x x    khi 1m  
     3 2 3 2 3
1 1 1 2 2 3 1 0pt x x x x x x x x x             
   3 2 3 3 2
1 1 1 2 3 2 0x x x x x x x x           
 2 2 3 2
1 2 3 2 0t x t x x x        (1) với 3
1t x x  
     
2 22 3 2 2
1 4 2 3 2 2 3x x x x x x          
Do đó  
2 2
3 2
2 2
3
1 2 3
1 2 0 ( )
2
1
1 2 3
1 1
2
x x x
t x x x x VN
x x x
t x x x
     
       

    
     
Bài tập tự luyện
Bài 2. Giải phương trình: 2
( 1) 6 6 25 23 13x x x x    
Bài 3. Giải phương trình:  2 2 3 2
2 7 2 12 11 11 21x x x x x x x       
Bài 4. Giải phương trình:  2
2 1 1 2 0x x x x     
Bài 5. Giải phương trình:  2 2 3 2
5 5 3 6 2 12 16 15x x x x x x x      
Bài 6. Giải phương trình:  2 2 3 2
1 2 8 3 2 9x x x x x x x       
Bài 7. Giải phương trình:  3 2 2 2
15 3 2 15 5 1 0x x x x x x x        
Bài 8. Giải phương trình:  2 2 3
5 2 11 16 21x x x x x     

12. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com
ÉP TÍCH BẰNG NHÂN LIÊN
NHÂN LIÊN HỢP TRONG BÀI TOÁN NGHIỆM ĐƠN HỮU TỶ
Bài 1. Giải phương trình:
2 2
6 2 6 1 3 2 0x x x x x       
HD: Sử dụng chức năng solve trong casio ta có nghiệm x = 1.
   2 2
2 2 6 1 3 3 2 1 0pt x x x x x          
Bài 2. Giải bất phương trình: 3( 2) 3 4 3 2 1 3x x x x      
HD: nhẫm nghiệm được x = 4
C1:      3 4 4 1 3 3 3 2 1 3 12 0bpt x x x x           
C2:      3 4 4 3 3 2 1 3 2 1 0bpt x x x x x           
     3 4 4 3 3 1 2 1 2 1 3 0x x x x x           
Bài 3. Giải bất phương trình:  2 14 3 1 8 3x x x x     
HD:     8 3 2 3 1 2 0bpt x x x       
 
8 3 3 3
1 0
2 23 2 3 1 2
x
x
x x
    
         
       
Bài 4. (B - 2012)Giải bất phương trình:
2
1 4 1 3x x x x    
HD: Sử dụng chức năng solve của casio ta đoán được nghiệm 4x  và
1
4
x 
do đó cần phân tích ra nhân tử 2
( 4)(4 1) 4 15 4x x x x    
Xét  2
1
4 4 1
5
4 1 0 1 1 1
1
4 4 4
5
x a b a
x x ax b
x a b
b

     
       
     
Do đó:  2 1 2
4 1 ( 1) 3 1 0
5 5
bpt x x x x x
   
              
Bài 5. Giải bất phương trình:  2 3
2 5 5 3 3 2 3 5x x x x x      
HD: Sử dụng chức năng solve của casio ta đoán được nghiệm 2x   và 1x 
Số hạng  3
2 3 5x x  đã có nghiệm x = - 2 , do đó ta chỉ xét nó với nghiệm x = 1.
 
2 2 3 1
( ) 3 3
1 6 5
x a b a
ax b x
x a b b
      
     
    
C1:     2 3
2 2 4 5 3 3 2 2 3 5 0bpt x x x x x x           
 2
2
3 3
1 3
2 2 0
5 3 3 3 2 3 4
x x
x x x x
 
      
       

13. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 www.toanhocdanang.com
 
 
 
2
3
2
2
3
2 3 1 3 1
2 0
5 3 33 1 3
x
x x
x xx
   
     
       
C2:     2 3
2 5 3 3 2 1 3 5 0bpt x x x x x x x            
Bài 6. Giải bất phương trình:
2
3 4 2 4 2
9 3 3
x x x
x
x x
   
    
 
HD:
2
23 5 2 2 1
3 3 5 2 ( 2) 3 0
x x x
bpt x x x x x
x x x
              
Tương tự ví dụ 5 ta chỉ cần sử lý nghiệm x = 1 (nghiệm x = -2 đã có)
C1:   21
3 3 6 2 3 2 0bpt x x x x
x
        
 
2 2
2 1 2 3 3 5
3 0 0
3 2 3 2
x x x x x
x xx x
       
              
C2:   21
8 8 16 2 5 3 3 0
3
bpt x x x x x
x
         
 
2
2 2
8 0
3 5 3
x x x
x x x
   
   
   
Bài 7. Giải bất phương trình: 3
7 8 5 1 2 1 2x x x x     
HD:        23
2 2 7 8 1 2 1 5 1 2 1 6 5 0bpt x x x x x x x x x               
 
 
2
22
3
2 5 1 2 1
6 5 0
1 2 1 1 2 13 22
7 8
2 4
x x
x x
x x x xxx
x
 
 
       
       
    
   
Bài 8. Giải bất phương trình:
 
2
2 1 3 2 1 3
2 1 6 2 1
x x x x x
x x x
       

   
HD: Sử dụng liên hợp ngược để tối giản phân thức {nhẫm nghiệm cho tứng biểu thức}
Bài 9. Giải bất phương trình:   2
3 1 1 2 3 4x x x x      
HD:
4
3 1
3 1
x x
x x
   
  
Bài 10. Giải bất phương trình:      2
6 2 26 8 4 2 3 33x x x x x x x      
HD:    
2
2 2
2 26 8 3 2 26 8 3 4 2 0bpt x x x x x x x x          

14. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 www.toanhocdanang.com
Nháp :  
22
( 4)
2
24 2 0 4
( 4)
2
2
x x
t
t xt x x
x x
t x
 
  
       
    

Do đó :   2 2
2 26 8 3 2 2 26 8 3 2 0bpt x x x x x x x          
Ta có:
2
2
2
2 17 8
2 26 8 3 2 2 0 , 0
2 26 8 3
x x
x x x x
x x x
 
        
  
Do đó: 2
2 26 8 3 2 0bpt x x x x      
    2
2 4 2 26 8 3 2 0x x x x x        
 
    
2
2
2
6 2 26 8
5 4 0
2 4 2 26 8 3 2
x x x
x x
x x x x x
 
      
 
       
 
     
22
2 2
2
5 4 0
2 4 2 26 8 3 2 6 2 26 8
x x
x x x x x x x x
 
    
 
          
NHÂN LIÊN HỢP TRONG BÀI TOÁN NGHIỆM ĐƠN VÔ TỶ
Bài 11. Giải phương trình: 2
2 1 ( 1) 2 0x x x x     
HD: Sử dụng chức năng solve của casio ta có nghiệm 0,6180339887...x 
Thay vào 2x  ta có: 2 1,6180339887... 1x x    Do đó ta có phân tích :
   2 2 1
2 2 2 ( 1) 1 2 0 2 1 2 0
1 2
x
pt x x x x x x x
x x
 
             
   
Bài 12. Giải phương trình:  2 2 3 2
5 5 3 6 2 12 16 15x x x x x x x      
HD: Sử dụng chức năng solve của casio ta có nghiệm 0,8074175964...x 
Cách 1:
Thay vào 2
5 3 6x x  ta có: 2
5 3 6 2,614835193... 2 1x x x     Do đó ta có phân tích:
Cách 2: ALPHA x SHIFT STO A
MODE 7 : 2
( ) 5 3 6f x A A xA    Start -9 End 9 Step 1
Chọn ( )f x Z ta có ( ) 1f x  khi 2x  tức là 2
1 5 3 6 2A A A   
Hay 2
5 3 6x x  có nhóm liên hợp là 2 1x 
    2 2 2
3 7 5 5 5 3 6 2 1 0pt x x x x x x x         
     
  
2 2 2 2
2 2 2
3 5 3 6 2 1 5 3 6 2 1 5 5 3 6 2 1 0
5 3 6 2 1 3 5 3 6 3 0
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
               
          

15. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 www.toanhocdanang.com
Bài 13. Giải phương trình:  2 2
2 16 18 1 2 2x x x x      (1)
HD: Sử dụng máy tính ta có 3 nghiệm: 1x   và 1,335785242...x  
Xét: 2 1 2
2 16 18 ( x+b)=0
1 4
x a
x x a
x b
 
    
  
 2 2
2 16 18 (2 4) 1 0bpt x x x x       
2 2
2
2
2 2 2 16 18 2 1
1 0
2 16 18 (2 4)
x x x x
x
x x x
      
   
     
2
2 2
1 0
2 16 18 2 1 2( 2) (2)
x
x x x x
  
 
      
2 2
2
2 2
2 16 18 1 2( 2)
(1),(2) 3 1 4( 2)
2 16 18 2 1 2( 2)
x x x x
x x
x x x x
      
    
      
{giải ra nghiệm, thay vào phương trình để thử lại}
Bài 14. Giải phương trình:  3 2 2 2
5 9 2 3 2 8x x x x x x x       
HD:   2 2 2
3 2 8 3 2 8 0x x x x x x x        
Bài 15. Giải phương trình:  3 2 2 2
4 2 4 2x x x x x x      
Bài 16. Giải phương trình:  2 2 3 2
1 2 8 3 2 9x x x x x x x       
HD:  
2
2
2
1
4 7 1 0
2 2 8 3
x x
x x
x x x
  
    
    
Bài 17. Giải phương trình:  2 2 3
5 2 11 16 21x x x x x     
HD:  
2
2
2
2
3 7
3 2 11
2 4
7 2 0
3 2 11
x x x
x x
x x x
 
     
   
   
Bài 18. Giải phương trình: 3 2 2 2
15 3 2 (15 5) 1 0x x x x x x x        
HD:    2 2 2
2 1 5 3 5 5 2 1 0bpt x x x x x x x x           
 
   2 2 2
2 1 10 2 5 1 1 0x x x x x x x x x           
Bài 19. Giải phương trình:  
32
1 1 3 2 1x x x x x      
HD:   2
1 2 1 1 1 0pt x x x x x x x           
  1 1 2 1 0x x x x x x         
Bài 20. Giải phương trình:  4 3 2 3 1
2 2 2 1x x x x x x x
x
      

16. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 www.toanhocdanang.com
HD:      
22 3 2 3
1 2pt x x x x x x x       Đặt
2
3
1u x
v x x
  

 
Bài 21. Giải bất phương trình:
2
1
1 2( 1)
x x
x x


  
HD: ta có:
2
2 1 3 6
1 2( 1) 1 2 1 0
2 2 2
x x x
 
          
 
dó đó:
 
2
2
1 0 3 5
1 2( 1)
21 0
x x
bpt x x x x x
x x
    
        
  
Bài 22. Giải bất phương trình:
1 1 1
1 1x
x x x
    
HD: Nếu 1 0x   thì
1
1
x
 và
1 1
1 x
x x
   do đó bất phương trình vô nghiệm
Nếu 1x  thì  1 1 1 1 1 1 1 0bpt x x x x x x x x x x x             
Bài 23. Giải phương trình: 2
4 3 2 1 4 1 0x x x     
HD:   2 2
3 1 2 1 2 0pt t t t t        Với 1t x 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 24. Giải phương trình: 2
2 3x x x x    
Bài 25. Giải bất phương trình:
1 1
1 2 1 1 4 x
x x
    
Bài 26. Giải bất phương trình:
2 2
2
1 2
1
3 2 2
x x x
x x
 
  
 
Bài 27. Giải bất phương trình:
2
1 1
12( 1) xx x x

  
Bài 28. Giải bất phương trình:
 4 2
2 1
12 1 1
x
xx x


  
Bài 29. Giải bất phương trình:
3
( 2)
1
( 1)
x x
x x


 
Bài 30. Giải bất phương trình:
9 9
9 x x
x x
   
Bài 31. Giải bất phương trình:
9 9 1
1 3 1x
x x x
    
Bài 32. Giải bất phương trình:
1 1
1x x
x x
   

17. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 www.toanhocdanang.com
Bài 33. Giải bất phương trình:
2 8
2 1 2x x
x x
   
Bài 34. Giải bất phương trình:
1 1
5 10 5x x
x x
   
Bài 35. Giải bất phương trình:
1 4
2 1x x
x x
   
Bài 36. Giải bất phương trình:
1 1
10 5 8
2 2
x
x x
   
Bài 37. Giải bất phương trình:
1 1
5 5 4x x
x x
   