1. EJERCICIOS DE DERIVADAS PARCIALES.
∂z ∂z
1. En cada ejercicio hallar ; de la primera forma y comprobar usando la segunda
∂x ∂y
1
forma: a) z = ln x 2 + y 2 = [ln( x − y ) + ln( x + y )]
2
e y + e−y e y − e−y
b) z = e x ⋅ + ex ⋅ = e x+ y
2 2
c) z = ln
( x − 2) 2 + y 2 1
[ [ ] [
= ln ( x − 2) 2 + y 2 − ln ( x + 2) 2 + y 2
( x + 2) 2 + y 2 2
]]
∂z ∂z
2. Si z = (x2 + y2)sen(x2 + y2), demostrar que y − x =0
∂x ∂y
x ∂z ∂z
3. Demostrar que la función z = y 2 sen satisface la ecuación: x + y = 2z
y ∂x ∂y
1
∂z ∂z
4. Si z = xe y , entonces x + y2 =0
∂x ∂y
y ∂ 2U ∂ 2U
5. Demostrar que U = tan-1 x es una solución de + 2 =0
∂x 2 ∂y
x2 + y2 ∂z ∂z
6. Si z = f , demostrar que x + y =0
y 2
∂x ∂y
dG ( y ) ∂z dF ( x) ∂z
7. Si z = f(F(x)+G(y)), demostrar que ⋅ − =0
dy ∂x dx ∂y
∂ 2U ∂ 2U
8. Si U = sen( x − ct ) + cos( x + ct ), entonces = c2 2
∂t 2 ∂x
9. Demostrar que la ecuación diferencial del problema 8 se satisface por
U = f ( x − ct ) + g ( x + ct ), donde f (u ) y g (v ) son funciones cualesquiera.
10. En los siguientes problemas, hallar las segundas derivadas parciales
f xx , f yy , f xy , f yx :
10.1. f ( x, y ) = 5 x 4 y 3 + 2 xy
x +1
10.2. f ( x, y ) =
y −1
2
10.3. f ( x, y ) = e x y

2. -2-
10.4. f ( x, y ) = ln( x + y )
2 2
10.5. f ( x, y ) = x 2 + y 2
10.6. f ( x, y ) = x 2 ye x
dz
11. En los siguientes problemas, utilizar la Regla de la Cadena para hallar
.
dt
Comprobar la respuesta escribiendo z en forma explìcita como una función de t y
Derivando directamente co respecto a t:
11.1 z = x + 2y; x = 3t; y = 2t + 1
11.1. z = 3x2 +xy; x = t + 1; y = 1 – 2t
y
11.2. z = ; x = t2; y = 3t
x
x
11.3. z = ; x = 2t; y = t3
y
x+ y
11.4. z = , x = t3 + 1; y = 1 – t3
x− y
11.5. z = (2x + 3y)2; x = t2; y = 2t
11.6. z = (x – y2)3; x = 2t; y = 3t
11.7. z = xy; x = et; y = e-t
1 1
11.8. z = x y ; x = e2t; y = e3t
2 3
12. Si U = sen(x – ct) + cos(x + ct), entonces:
∂ 2U ∂ 2U
= c2 ⋅ 2
∂t 2 ∂x
(Téngase presente que: c∈IR, constante, y además: (sen(v))’= cos(v)⋅v’;
(cos(v))’= -sen(v)⋅v’)
y
13. Demostrar que U = tan-1 x es una solución de la ecuación diferencial en
derivadas parciales:
∂ 2U ∂ 2U
+ 2 =0
∂x 2 ∂y
1
(Téngase presente que (tan-1( v ))’= ⋅ v'
)
1+ v2
14. Hállese la derivada de w respecto a u, sabiendo que:
W = F(x,y,z); x = f(u,v); y = g(u,x); z = h(u,v)

3. -3-
15. En los siguientes ejercicios, derìvese implìcitamente para obtener las primeras
derivadas parciales de z:
15.1. x2 + y2 +z2 = 25
15.2. xz + yz + xy = 0
15.3. tan(x + y) + tan(y + z) = 1 (Téngase presente: (tan(v))’= sec2(v)⋅v’)
15.4. z = ex⋅sen(y + x)
16. Derìvese implícitamente para obtener las primeras derivadas parciales de w:
16.1. xyz + xzw – yzw + w2 = 5
16.2. x2 + y2 + z2 + 6xw – 8w2 = 12
17. Funciones Implícitas y Jacobianos:
dU
17.1. Si U = x3y; x5 + y = t; x2 + y3 = t2; hállese
dt
2 2
17.2. Si u – v = 3x + y; u – 2v = x – 2y; encontrar, por dos métodos.
∂u
a)
∂x
∂v
b)
∂x
∂u
c)
∂y
∂v
d)
∂y
17.3. Si x = u – v + w; y = u2 – v2 – w2; z = u3 + v, hállese el Jacobiano:
∂ ( x, y , z )
∂ (u , v, w)
∂F , G )
17.4. Evaluar si F(u,v) = 3u2 – uv; G(u,v) = 2uv2 + v3
∂ (u , v)
∂ ( F ; G; H )
17.5. Si F = x + 3y2 – z3; G = 2x2yz; H = 2z2 – xy; hállese en
∂ ( x, y , z )
el punto A(1,-1,0).
17.6. Si u = f(x,y), v = g(x,y) son funciones diferenciables, demostrar que:
∂u ∂x ∂v ∂x
⋅ + ⋅ =1
∂x ∂u ∂x ∂v

4. -4-
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES A PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA
ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN:
1. Supóngase que la producción diaria Q de una fàbrica depende de la cantidad K del
capital (medido en unidades de US$1.000) invertido en la planta y el equipo, y
tambièn del tamaño L de la fuerza laboral(medida en horas-trabajador). En
∂Q ∂Q
economía las derivadas parciales y se conocen como productos
∂K ∂L
marginales (o productividades marginales) del capital y de la mano de obra,
respectivamente. Del punto de vista de la economía, significan:
∂Q
El producto marginal de la mano obra es la razón a la que
∂L
cambia la producción Q con respecto a la mano de obra L para un
∂Q
nivel fijo K de inversión de capital. Por tanto, es
∂L
aproximadamente el cambio resultante en la producción si la
inversión de capital se mantiene fija, y la mano obra aumenta en
una hora-trabajador.
∂Q
Del mismo modo, el producto marginal del capital es
∂K
aproximadamente el cambio resultante en la producción si el
tamaño de la fuerza laboral se mantiene fijo y la inversión de
capital aumenta en US$1.000.
2. Se estima que la producción semanal en cierta planta està dada por la función:
Q(x,y) = 1200x + 500y + x2y – x3 – y2
donde x es el nùmero de trabajadores calificados e y el nùmero de trabajadores
no calificados empleados en la planta. En la actualidad, la fuerza laboral està
conformada por 30 trabajadores calificados y 60 no calificados. Aplicar el
análisis marginal para calcular el cambio resultante en la producción semanal al
adicionar un trabajador calificado, si no cambia el nùmero de trabajadores no
calificados.
3. En determinada fàbrica, la producción diaria es Q(K,L) = 60K1/2⋅L1/3 unidades,
donde K representa la inversiòn de capital medida en unidades de US $1000 y L
el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Si la inversiòn actual de
capital es US $900,000 y se utilizan 1000 horas-trabajador de mano de obra cada
dìa, aplicar el análisis marginal para calcular el efecto provocado en la producción
diaria por una inversión adicional de capital de US $1,000, si el tamaño de la fuerza
laboral no cambia.

5. -5-
UNA APLICACIÓN DE LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
EN MICROECONOMÍA.
1. Definición. Curva de indiferencia en IR2 o Superficie de indiferencia en IRn
muestra un conjunto ( x, y ) o ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) , respectivamente, de cestas de
consumo entre las que el individuo es indiferente por el hecho de que todas las
cestas reportan el mismo nivel de utilidad.
2. Definición. Relación Marginal de Sustitución (RMS) es la pendiente negativa de
una curva de indiferencia ; es decir:
dy
RMS = − C
dx
donde la notación indica que la pendiente ha de calcularse a lo largo de la curva de
indiferencia.
Supongamos que la curva de indiferencia C está dado por f ( x, y ) = 0 la cual es
una función implícita y que de acuerdo con la definición de la RMS, se debe determinar
dy
, y por ello:
dx
dy f ( x. y )
=− x
dx f y ( x, y )
f x ( x, y )
Por lo tanto: RMS =
f y ( x, y )
Trabajo de Investigación: Como una forma de lograr el dominio de la derivación parcial,
el trabajo que Ud. debe realizar tiene que ver con el siguiente problema::
d ( RMS )
Problema. ¿Cómo se obtiene con resultado expresado en la forma más simple?
dx
Importante. Este trabajo será evaluado en la Primera Prueba Solemne del presente Curso.