2. COSA SONO?
Dicasi integrale singolare (o di frontiera) qualunque
curva integrale (o integrale particolare) che delimita
la soglia dell’esistenza dell’integrale generale.
Solitamente, l’integrale singolare non è ricavabile per
qualsiasi valore della costante c.
Umanamente parlando, la sua equazione è ottenibile
dall’integrale generale, ma ciò renderebbe
impossibile l’equazione differenziale.
3. LEARNING BY EXAMPLES
Facciamo un piccolo esempio aiutandoci con lord
Derive sesto.
Si supponga di avere in esame l’equazione
differenziale
y 2 y
E si calcoli l’integrale generale
dy
2 y
dx
dy
dx
2 y
1
dy dx
2 y
4. Osservando quest’ultima uguaglianza, notiamo che al
denominatore appare la variabile dipendente y
sotto una radice posta al denominatore.
In questo caso, per dare un senso a questa scrittura
si è obbligati a porre y ≥ 0 e di conseguenza y’ ≥ 0.
Continuando la risoluzione, otteniamo che
1
1 2
y x c
2
1
2
y x c
y x c
2
y x c
5. Osserviamo quindi che, teoricamente, y=0 è una
soluzione dell’equazione differenziale (nel caso in
cui c valga –x) ma, per la condizione d’esistenza
espressa prima, non può essere accettata.
Per tale motivo y = 0 rappresenta l’integrale singolare
fra il semipiano delle y positive (ed accettabili) e
quello delle y negative (non accettabili).
Proviamo a verificare la tesi appena fatta disegnando
l’inviluppo con derive creando un vettore di integrali
particolari, con c compresa fra -10 e 10 e passo
uguale a 1.
6. Non vi è nessuna curva nel semipiano delle y negative.
CVD.
7. Verifichiamo, ora, che l’integrale particolare y = 0 sia
veramente integrale singolare.
Per far ciò, mettiamo in sistema l’equazione generale
con l’asse delle x e calcoliamo l’inviluppo della
nuova funzione y-c2=0 fra -10 e 10.
Il risultato sarà esattamente quello che ci
aspettavamo,
[false, false, false, false, false, false, false, false, false, false, c = 0, c = -1
∨ c = 1, c = - √2 ∨ c = √2, c = - √3 ∨ c = √3, c = -2 ∨ c = 2, c = - √5 ∨ c =
√5, c = - √6 ∨ c = √6, c = - √7 ∨ c = √7, c = - 2·√2 ∨ c = 2·√2, c = -3 ∨ c =
3, c = - √10 ∨ c = √10]
Ovvero che non esistono valori di c per cui y è
negativa e che il valore che bipartisce la
distribuzione poissoniana di accettabilità è c = 0
(e quindi, per la nuova equazione, y = 0).
