46 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN NĂM 2023 (BẢN HS-GV).pdf

Ô N T H I T Ố T N G H I Ệ P T H P T
M Ô N T O Á N
Ths Nguyễn Thanh Tú
eBook Collection
46 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
MÔN TOÁN NĂM 2023 (B
ẢNHS-GV)
WORD VERSION | 2023 EDITION
ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL
TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
Hỗ trợ trực tuyến
Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon
Mobi/Zalo 0905779594
Tài liệu chuẩn tham khảo
Phát triển kênh bởi
Ths Nguyễn Thanh Tú
Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật :
Nguyen Thanh Tu Group
vectorstock.com/28062405

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Page 1
Sưu tầm và biên soạn
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. CẤP SỐ CỘNG:
1.1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng
thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi,
nghĩa là
 
n
u là cấp số cộng 1 1 2 1 3 2
1, n n n n
n u u d d u u u u u u
 
           
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
1.2. Định lí 1: Nếu  
n
u là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng
cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy,
tức là 1 1
.
2
k k
k
u u
u  


Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a + c = 2b.
1.3. Định lí 2: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu 1
u và công sai d thì số hạng tổng quát n
u
của nó được xác định bởi công thức sau:  
1 1
n
u u n d
   .
1.4. Định lí 3: Giả sử  
n
u là một cấp số cộng có công sai d. Gọi 1 2
1
...
n
n k n
k
S u u u u

    

( n
S là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng).
Ta có
   
1
1
2 1
.
2 2
n
n
n u n d
n u u
S
 
 
  
 
2. CẤP SỐ NHÂN
2.1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy sô (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ
hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân
Nếu  
n
u là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi 1 .
n n
u u q
  với *
n
*
1
, 0,
n
n
n
u
q u n
u

   
2.2. Định lí 1. (Số hạng tổng quát) Nếu cấp số nhân có số hạng đầu 1
u và công bội q thì số
hạng tổng quát n
u được xác định bởi công thức: 1
1. n
n
u u q 
 với 2
n 
2.3. Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối)
đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
2
1 1
.
k k k
u u u
 
 với 2
k 
2.4. Định lí 3. Cho cấp số nhân  
n
u với công bội 1
q 
Đặt 1 2 ...
n n
S u u u
    . Khi đó
 
1 1
1
n
n
u q
S
q



CHUYÊN ĐỀ 01: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Page 2
Câu 1: ĐTK2022 Cho cấp số cộng  
n
u với 1 7
u  và công sai 4
d  . Giá trị của 2
u bằng
A. 11. B. 3. C.
7
4
. D. 28 .
Câu 2: (ĐTK2021) Cho cấp số cộng  
n
u có 1 1
u  và 2 3
u  . Giá trị của 3
u bằng
A. 6 . B. 9. C. 4. D. 5.
Câu 3: Cho cấp số cộng  
n
u với 3 2
u  và 4 6
u  . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. 4
 . B. 4 . C. 2
 . D. 2.
n
u với 1 2
d  . Khi đó 3
u bằng
A. 3. B. 1. C. 4 . D. 2.
n
u với 10
u 25
 và công sai 3.
d  Khi đó 1
u bằng
A. 1
u 2
 . B. 1
u 3
 . C. 1
u 3
  . D. 1
u 2
  .
n
u với số hạng đầu 1 1
u  và công sai 3.
d  Hỏi số 34 là số hạng thứ mấy?
A. 12 B. 9 C. 11 D. 10
n
u với 1 21
u   và công sai 3.
d  Tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số
cộng bằng
A. 16 24
S  . B. 16 24
S   . C. 16 26
S  . D. 16 25
S   .
Câu 8: Cho cấp số cộng  : 2, ,6, .
n
u a b Khi đó tích .
a b bằng
A. 22 . B. 40 . C. 12. D. 32.
Câu 9: Cho cấp số nhân  
n
u với 1 2
u   và công bội 3
q  . Khi đó 2
u bằng
A. 2 1
u  . B. 2 6
u   . C. 2 6
u  . D. 2 18
u   .
n
u   và công bội
2
3
q  . Số hạng thứ năm của cấp số
nhân bằng
A.
27
16
. B.
16
27
 . C.
27
16
 . D.
16
27
.
n
u với 4 1
u  ; 3
q  . Tìm 1
u ?
A. 1
1
9
u  . B. 1 9
u  . C. 1 27
u  . D. 1
1
27
u  .
n
u với 1 7
1
; 32
2
u u
    . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. 2


q B.
2
1


q C. 4


q D. 1


q
Câu 13: Một cấp số nhân có số hạng đầu 1 3
u  , công bội 2
q  . Tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số
nhân bằng
A. 8 381.
S  B. 8 189
S  . C. 8 765
S  . D. 8 1533
S  .

Page 3
n
u  và công bội 2
q  . Hỏi số 1024 là số hạng thứ
mấy?
A. 11 B. 9 C. 8 D. 10
Câu 15: Cho một cấp số cộng có 4 2
u  , 2 4
u  . Hỏi 1
u và công sai d bằng bao nhiêu?
A. 1 6
u  và 1.
d  B. 1 1
u  và 1.
d  C. 1 5
u  và 1.
d   D. 1 1
u   và 1.
d  
n
u có số hạng đầu 1 5
u  và 6 160.
u   Công sai q của cấp số nhân đã cho
là
A. 2.
q  B. 2.
q   C. 3.
q  D. 3.
q  
Câu 17: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho cấp số nhân  
n
u với 1 3
q  . Giá trị của 2
u bằng
A. 8. B. 9. C. 6 . D.
3
2
.
Câu 18: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho cấp số cộng  
n
u với 1 9
u bằng
A. 11. B.
9
2
. C. 18. D. 7 .
n
u với 1 2
u  và 2 6
u  . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. 3 . B. 4
 . C. 4 . D.
1
3
.
n
u với 1 3
u  ; 2 9
A. 6. B. 3. C. 12. D. -6.
Câu 21: Cho cấp số cộng với 1 2
u  và 7 10
u   . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. 2 . B. 3. C. 1
 . D. 2
 .
n
u với 1
1
2
u bằng
A. 8
2 . B. 9
2 . C. 10
1
2
. D.
37
2
.
Câu 23: Xác định xđể 3 số 1; 3; 1
x x
  theo thứ tự lập thành một cấp số nhân:
A. 2 2.
x  B. 5.
x C. 10.
x D. 3.
x 
n
u với 1 2
3; 1
u u
  . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. 1
3
. B. 2
 C. 3 D. 2
n
u với 1 2
u  ; 9
d  . Khi đó số 2018 là số hạng thứ mấy trong dãy?
A. 226 . B. 225 . C. 223 . D. 224 .
n
u với 1 3
u  ; 2
q  . Khi đó số 48 là số hạng thứ mấy trong dãy?
A. 6. B. 5. C. 3. D. 16.
 
n
u

Page 2
Câu 1: ĐTK2022 Cho cấp số cộng  
n
u với 1 7
u bằng
A. 11. B. 3. C.
7
4
. D. 28 .
Lời giải
Chọn A
Ta có 2 1 7 4 11
u u d
     .
Câu 2: (ĐTK2021) Cho cấp số cộng  
n
u có 1 1
u  và 2 3
u  . Giá trị của 3
u bằng
A. 6 . B. 9. C. 4. D. 5.
Lời giải
Chọn D
Gọi d là công sai của cấp số cộng  
n
u
Ta có 2 1 3 1 2
u u d d d
      
Do đó 3 2 3 2 5
u u d
    
Vậy 3 5
u  .
n
u với 3 2
u  và 4 6
A. 4
 . B. 4 . C. 2
 . D. 2.
Lời giải
Chọn B
Ta có 4 3 4 3 6 2 4
u u d d u u
        .
n
u với 1 2
d  . Khi đó 3
u bằng
A. 3. B. 1. C. 4 . D. 2.
Lời giải
Chọn C
Ta có 3 1 2 2 2.1 4
u u d
     .
n
u với 10
u 25
 và công sai 3.
d  Khi đó 1
u bằng
A. 1
u 2
 . B. 1
u 3
 . C. 1
u 3
  . D. 1
u 2
  .
Lời giải
Chọn D
Ta có 10 1 1 10
9 25 9.3 2
9d
u u d u u
   
   
 .
n
u  và công sai 3.
d  Hỏi số 34 là số hạng thứ mấy?
A. 12 B. 9 C. 11 D. 10
Lời giải
Chọn A
Ta có      
1 1 34 1 1 .3 1 .3 33 1 11 12
n
u u n d n n n n
               .
n
u với 1 21
u   và công sai 3.
d  Tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số
cộng bằng
A. 16 24
S  . B. 16 24
S   . C. 16 26
S  . D. 16 25
S   .
Lời giải
Chọn A

Page 3
Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên ta có:
 
     
1
16
1
2 1 16 2. 2 16 1 .3
24.
2
2
S
n u n d  
 
   
 
 
Câu 8: Cho cấp số cộng  : 2, ,6, .
n
u a b Khi đó tích .
a b bằng
A. 22 . B. 40 . C. 12. D. 32.
Lời giải
Chọn D
Theo tính chất của cấp số cộng:
2 6 2 4
32
12 8
a a
a.b
a b b
  
 
  
 
  
 
.
n
u với 1 2
u   và công bội 3
q  . Khi đó 2
u bằng
A. 2 1
u  . B. 2 6
u   . C. 2 6
u  . D. 2 18
u   .
Lời giải
Chọn B
Số hạng 2
u là 2 1.
u u q
 6
  .
n
u   và công bội
2
3
q  . Số hạng thứ năm của cấp số
nhân bằng
A.
27
16
. B.
16
27
 . C.
27
16
 . D.
16
27
.
Lờigiải
Chọn D
Ta có 1
1. n
n
u u q 

4
5
2
3.
3
u
 
    
 
16
27
  .
n
u với 4 1
u  ; 3
q  . Tìm 1
u ?
A. 1
1
9
u  . B. 1 9
u  . C. 1 27
u  . D. 1
1
27
u  .
Lời giải
Chọn D
Ta có: 3 4
4 1 1 3 3
1 1
.
3 27
u
u u q u
q
     .
n
u với 1 7
1
; 32
2
u u
    . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. 2


q B.
2
1


q C. 4


q D. 1


q
Lời giải
Chọn A
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có
1 6 6
1 7 1
2
. 64
2
n
n
q
u u q u u q q
q
 

        

.

Page 4
Câu 13: Một cấp số nhân có số hạng đầu 1 3
u  , công bội 2
q  . Tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số
nhân bằng
A. 8 381.
S  B. 8 189
S  . C. 8 765
S  . D. 8 1533
S  .
Lời giải
Chọn C
Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân ta có:
   
8 8
1
8
1 3. 1 2
765
1 1 2
u q
S
q
 
  
 
.
n
q  . Hỏi số 1024 là số hạng thứ
mấy?
A. 11 B. 9 C. 8 D. 10
Lời giải
Chọn A
Ta có
1 1 1 10
1. 1.2 1024 2 2 1 10 11
n n n
n
u u q n n
  
          .
Câu 15: Cho một cấp số cộng có 4 2
u  , 2 4
u  . Hỏi 1
u và công sai d bằng bao nhiêu?
A. 1 6
u  và 1.
d  B. 1 1
u  và 1.
d  C. 1 5
u  và 1.
d   D. 1 1
u   và 1.
d  
Lời giải
Chọn C
Ta có:  
1 1
n
u u n d
   . Theo giả thiết ta có hệ phương trình
4
2
2
4
u
u





1
1
3 2
4
u d
u d
 

 
 

1 5
1
u
d


 
 

.
Vậy 1 5
u  và 1.
d  
n
u có số hạng đầu 1 5
u  và 6 160.
u   Công sai q của cấp số nhân đã cho
là
A. 2.
q  B. 2.
q   C. 3.
q  D. 3.
q  
Lời giải
Chọn B
Ta có 1
1. n
n
u u q 

Suy ra 5 5 6
6 1
1
160
. 32
5
u
u u q q
u

      2.
q
  
Vậy 2.
q  
Câu 17: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho cấp số nhân  
n
u với 1 3
u bằng
A. 8. B. 9. C. 6 . D.
3
2
.
Lời giải
Chọn C
Ta có: 2 1. 3.2 6
u u q
   .
Câu 18: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho cấp số cộng  
n
u với 1 9
u bằng
A. 11. B.
9
2
. C. 18. D. 7 .

Page 5
Lời giải
Chọn A
Ta có: 2 1 9 2 11
u u d
     .
n
u với 1 2
u  và 2 6
u  . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. 3 . B. 4
 . C. 4 . D.
1
3
.
Lời giải
Chọn A
Ta có 2
2 1
1
6
. 3
2
u
u u q q
u
     .
n
u với 1 3
u  ; 2 9
A. 6. B. 3. C. 12. D. -6.
Lời giải
Chọn A
Cấp số cộng  
n
u có số hạng tổng quát là:  
1 1
n
u u n d
   ;
(Với 1
u là số hạng đầu và d là công sai).
Suy ra có: 2 1
u u d
  9 3 d
   6
d
  .
Vậy công sai của cấp số cộng đã cho bằng 6.
Câu 21: Cho cấp số cộng với 1 2
u  và 7 10
u   . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. 2 . B. 3. C. 1
 . D. 2
 .
Lời giải
Chọn D
Ta có: 7 1
7 1 6
6

   
u u
u u d d hay
10 2
2
6
 
  
d .
n
u với 1
1
2
u bằng
A. 8
2 . B. 9
2 . C. 10
1
2
. D.
37
2
.
Lời giải
Chọn A
Ta có: 9 9 8
1
10 1
1
1
. .2 2
2
2
2
u
u u q
q



   

 

.
 
n
u

Page 6
Câu 23: Xác định xđể 3 số 1; 3; 1
x x
  theo thứ tự lập thành một cấp số nhân:
A. 2 2.
x  B. 5.
x C. 10.
x D. 3.
x 
Lời giải
Chọn C
Ba số 1; 3; 1
x x
  theo thứ tự lập thành một cấp số nhân
   2 2
1 1 3 10 10
x x x x
       
n
u với 1 2
3; 1
u u
  . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A.
1
3
. B. 2
 C. 3 D. 2
Lời giải
Chọn A
Ta có: 2
2 1
1
1
.
3
u
u u q q
u
    .
n
u với 1 2
u  ; 9
d  . Khi đó số 2018 là số hạng thứ mấy trong dãy?
A. 226 . B. 225 . C. 223 . D. 224 .
Lời giải
Chọn B
Ta có:  
1 1
n
u u n d
    
2018 2 1 .9
n
    225
n
  .
n
u với 1 3
u  ; 2
q  . Khi đó số 48 là số hạng thứ mấy trong dãy?
A. 6. B. 5. C. 3. D. 16.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
1
1. n
n
u u q 
 1 4 1
48 3.2 3.2 3.2 1 4 5
n n
n n
 
         .

Page 4
1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này
có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của
hành động thứ nhất thì công việc đó có m n
 cách thực hiện.
 Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì:      
n A B n A n B
   .
2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoành thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách
thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì
có .
m n cách hoàn thành công việc.
 Dạng toán tìm số các số tạo thành: Gọi số cần tìm có dạng: ...
abc , tuỳ theo yêu cầu bài toán:
Nếu số lẻ thì số tận cùng là số lẻ.
Nếu số chẵn thì số tận cùng là số chẵn.
3. Hoán vị: Cho tập A có n (n 1)
 phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta
được một hoán vị các phần tử của tập A ( gọi tắt là một hoán vị của A).
Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là
n
P n! n(n 1)(n 2)...1.
   
4. Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n
  . Khi lấy ra k phần
tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A
(gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).
Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử 1 k n
  là
 
k
n
n!
A n(n 1)(n 2)...(n k 1)
n k !
     

.
5. Tổ hợp: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1 k n
  . Mỗi tập con của A có k
phần tử được được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A ( gọi tắt là một tổ hợp chập
k của A ).
Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n)
  là
 
k
k n
n
A n(n 1)(n 2)...(n k 1) n!
C
k! k! k! n k !
   
  

Câu 1: ĐTK2022 Với n là số nguyên dương, công thức nào dưới đây đúng?
A. !
n
P n
 . B. 1
n
P n
  . C. ( 1)!
n
P n
  . D. n
P n
 .
Câu 2: Tập hợp M có 12 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là
A. 2
12 . B. 2
12
C . C. 10
12
A . D. 2
12
A .
Câu 3: Một tổ có 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong đó
có 2 học sinh nam?
A. 2 1
4 6

C C . B. 2 1
4 6
.
C C . C. 2 1
4 6
.
A A . D. 2 1
4 6

A A .
Câu 4: Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đen được đánh số
từ 7 đến 9 . Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?
A. 1. B. 3 . C. 6 . D. 9 .
CHUYÊN ĐỀ 2: PHÉP ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

Page 5
Câu 5: Lớp 12A có 43 học sinh, lớp 12B có 30 học sinh. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh từ lớp 12A và 12B.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
A. 43. B. 30. C. 73. D. 1290.
Câu 6: Từ các chữ số 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 1 chữ số?
A. 5. B. 3. C. 1. D. 4 .
Câu 7: Bạn muốn mua một cây bút mực và một cây bút chì. Các cây bút mực có 8 màu khác nhau, các
cây bút chì cũng có 8 màu khác nhau. Như vậy bạn có bao nhiêu cách chọn?
A. 16 . B. 2 . C. 64 . D. 3 .
Câu 8: Bạn cần mua một cây bút để viết bài. Bút mực có 8 loại khác nhau, bút chì có 8 loại khác nhau.
Như vậy bạn có bao nhiêu cách chọn?
A. 16. B. 2 . C. 64 . D. 3 .
Câu 9: Từ thành phố A có 10 con đường đến thành phố B, từ thành phố B có 7 con đường đến thành phố
C. Từ A đến C phải qua B, hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C?
A. 10. B. 7 . C. 17 . D. 70 .
Câu 10: Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả trong
5 loại, 1 loại nước uống trong 3 loại. Hỏi có bao nhiêu cách lập thực đơn?
A. 73. B. 75. C. 85. D. 95.
Câu 11: Có bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 ?
A. 5
6
A . B. 6
P . C. 5
6
C . D. 5
P .
Câu 12: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh thành một hàng dọc?
A. 6
6 . B. 5!. C. 6!. D. 6 .
Câu 13: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh?
A. 3
8
A . B. 8
3 . C. 3
8 . D. 3
8
C .
Câu 14: Một câu lạc bộ có 30 thành viên. Có bao nhiêu cách chọn một ban quản lí gồm 1 chủ tịch, 1 phó
chủ tịch và 1 thư kí?
A. 3
30
A . B. 3
30
C . C. 30!. D. 3!.
Câu 15: Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện
viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong 11 cầu thủ để
đá luân lưu 5 quả 11 mét. Hỏi huấn luyện viên của mỗi đội sẽ có bao nhiêu cách chọn?
A. 5
11
C . B. 5
11
A . C. 5!. D. 11!.
Câu 16: Cho đa giác lồi 20 đỉnh. Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác đã cho là
A. 3
20
A . B.
3
20
3!
C
. C. 20!. D. 3
20
C .
có 2 học sinh nữ?
A. 2 4
5 7
.
A A . B. 2 4
5 7
.
C C . C. 2 4
5 7

C C . D. 2 4
5 7

A A .
Câu 18: Có 15 học sinh giỏi gồm 6 học sinh khối 12, 5 học sinh khối 11 và 4 học sinh khối 10. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có đúng 2 học sinh?

Page 6
A. 2 2 2
6 5 4
. .
C C C . B. 2 2 2
6 5 4
. .
A A A . C. 2 2 2
6 5 4
 
C C C . D. 2 2 2
6 5 4
 
A A A .
Câu 19: Một hộp có 8 bi xanh,5 bi đỏ và 4 bi vàng. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 bi sao cho có đúng 1
bi đỏ?
A. 1 1 1
5 8 4
. .
C C C . B. 1 2
5 12
.
A A . C. 1 2
5 12
.
C C . D. 1 1 1
5 8 4
. .
A A A .
Câu 20: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc?
A. 36. B. 720 . C. 6 . D. 1.
Câu 21: (Mã 103 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cách chọn một học sinh từ một nhóm gồm 5 học sinh nam
và 7 học sinh nữ là
A. 7 . B. 12. C. 5. D. 35.
Câu 22: Từ một nhóm học sinh gồm 6 nam và 8 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh?
A. 14. B. 48 . C. 6 . D. 8 .
Câu 23: Trên mặt phẳng cho 2019 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ, khác vectơ – không có điểm đầu
và điểm cuối được lấy từ 2019 điểm đã cho?
A. 2019
2 . B. 2
2019 . C. 2
2019
C . D. 2
2019
A .
Câu 24: Trong hộp có 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 3viên bi. Số
cách chọn là
A. 9. B. 3 3 3
4 5 6
C C C
  . C. 3
15
C . D. 3
15
A .
Câu 25: Một tổ có 12 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh trong tổ làm nhiệm vụ trực nhật.
A. 132 . B. 66 . C. 23. D. 123 .
Câu 26: Lớp 11A có 32 học sinh, giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra 3 học sinh trong đó một bạn làm lớp
trưởng, một bạn làm lớp phó, một bạn làm sao đỏ. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn.
A. 6 . B. 3. C. 3
32
C . D. 3
32
A .
Câu 27: Cần chọn 4 người đi công tác trong một tổ có 30 người, khi đó số cách chọn là:
A. 4
30
C . B. 4
30
A . C. 4
30 . D. 30
4 .
Câu 28: Cho tập hợp A có 20 phần tử. Hỏi A có bao nhiêu tập con gồm 6 phần tử?
A. 6
20
C . B. 20. C. 6
P . D. 6
20
A .
Câu 29: Một hộp chứa 10 quả cầu phân biệt. Số cách lấy ra từ hộp đó cùng lúc 3 quả cầu là:
A. 720 . B. 120. C. 3
10 . D. 10
3 .
Câu 30: Giả sử ta dùng 6 màu để tô cho 4 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng
hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là
A. 4
6 .
A B. 10 C. 4
6 .
C D. 4
6 .
Câu 31: Từ các chữ số 1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
A. 120. B. 5. C. 625. D. 24 .
Câu 32: Cho tập hợp M có 30 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của M là
A. 4
30
A . B. 5
30 . C. 5
30 . D. 5
30
C .
Câu 33: Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác
nhau?

Page 7
A. 4
7 . B. 7
P . C. 4
7
C . D. 4
7
A .
Câu 34: Một tổ có 10 học sinh. Số cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ 2 chức vụ tổ trưởng và tổ phó
là
A. 2
10
C . B. 8
10
A . C. 2
10 . D. 2
10
A .
Câu 35: Cho 20 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành
từ các điểm này?
A. 8000. B. 6480. C. 1140. D. 600.
Câu 36: Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là
A. 35. B. 120. C. 240 . D. 720 .

Page 1
1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này
có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của
hành động thứ nhất thì công việc đó có m n
 cách thực hiện.
 Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì:      
n A B n A n B
   .
2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoành thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách
thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì
có .
m n cách hoàn thành công việc.
 Dạng toán tìm số các số tạo thành: Gọi số cần tìm có dạng: ...
abc , tuỳ theo yêu cầu bài toán:
Nếu số lẻ thì số tận cùng là số lẻ.
Nếu số chẵn thì số tận cùng là số chẵn.
3. Hoán vị: Cho tập A có n (n 1)
 phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta
được một hoán vị các phần tử của tập A ( gọi tắt là một hoán vị của A).
Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là
n
P n! n(n 1)(n 2)...1.
   
4. Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n
  . Khi lấy ra k phần
tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A
(gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).
Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử 1 k n
  là
 
k
n
n!
A n(n 1)(n 2)...(n k 1)
n k !
     

.
5. Tổ hợp: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1 k n
  . Mỗi tập con của A có k
phần tử được được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A ( gọi tắt là một tổ hợp chập
k của A ).
Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n)
  là
 
k
k n
n
A n(n 1)(n 2)...(n k 1) n!
C
k! k! k! n k !
   
  

Câu 1: ĐTK2022 Với n là số nguyên dương, công thức nào dưới đây đúng?
A. !
n
P n
 . B. 1
n
P n
  . C. ( 1)!
n
P n
  . D. n
P n
 .
Lời giải
Chọn A
 Ta đã biết, n
P là kí hiệu số các hoán vị của n phần tử, với n là số nguyên dương.
Do đó, công thức đúng là !
n
P n
 .
Câu 2: Tập hợp M có 12 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là
A. 2
12 . B. 2
12
C . C. 10
12
A . D. 2
12
A .
Lời giải
Chọn B
CHUYÊN ĐỀ 2: PHÉP ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

Page 2
Số tập con thỏa mãn đề bài chính là số cách chọn 2 phần tử lấy trong tập hợp M có 12 phần tử.
Số tập con gồm 2 phần tử của tập hợp M là 2
12
C .
có 2 học sinh nam?
A. 2 1
4 6

C C . B. 2 1
4 6
.
C C . C. 2 1
4 6
.
A A . D. 2 1
4 6

A A .
Lời giải.
Chọn B
 Chọn 2 học sinh nam có 2
4
C cách.
 Chọn 1 học sinh nữ có 1
6
C cách.
Theo quy tắc nhân, ta có 2 1
4 6
.
C C cách chọn thỏa yêu cầu.
Câu 4: Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đen được đánh số
từ 7 đến 9 . Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?
A. 1. B. 3 . C. 6 . D. 9 .
Lời giải
Chọn D
Mỗi quả cầu được đánh một số khác nhau, nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là một lần chọn.
Số quả cầu là 6 3 9
  .
Tương ứng với 9 cách chọn.
Câu 5: Lớp 12A có 43 học sinh, lớp 12B có 30 học sinh. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh từ lớp 12A và 12B.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
A. 43. B. 30. C. 73. D. 1290.
Lời giải
Chọn C
Tổng số học sinh 2 lớp là 43 30 73
 
Số cách chọn là 73.
Câu 6: Từ các chữ số 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 1 chữ số?
A. 5. B. 3. C. 1. D. 4 .
Lời giải
Chọn D
Số tự nhiên cần lập có 1 chữ số được lấy ra từ 4 số trên, do đó có 4 cách.
Câu 7: Bạn muốn mua một cây bút mực và một cây bút chì. Các cây bút mực có 8 màu khác nhau, các
cây bút chì cũng có 8 màu khác nhau. Như vậy bạn có bao nhiêu cách chọn?
A. 16 . B. 2 . C. 64 . D. 3 .
Lời giải
Chọn C
Mua một cây bút mực có 8 cách
Mua một cây bút chì có 8 cách.
Công việc mua bút là hành động liên tiếp, theo quy tắc nhân ta có 8.8 64
 cách.
Câu 8: Bạn cần mua một cây bút để viết bài. Bút mực có 8 loại khác nhau, bút chì có 8 loại khác nhau.
Như vậy bạn có bao nhiêu cách chọn?
A. 16. B. 2 . C. 64 . D. 3 .
Lời giải

Page 3
Chọn A
Công việc mua bút có 2 phương án độc lập nhau.
Phương án 1 mua một cây bút mực có 8 cách.
Phương án 2 mua một cây bút chì có 8 cách.
Theo quy tắc cộng, ta có: 8 8 16
  cách.
Câu 9: Từ thành phố A có 10 con đường đến thành phố B, từ thành phố B có 7 con đường đến thành phố
C. Từ A đến C phải qua B, hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C?
A. 10. B. 7 . C. 17 . D. 70 .
Lời giải
Chọn D
Công việc đi từ A đến C gồm 2 hành động liên tiếp.
Hành động 1: đi từ A đến B có 10 cách.
Hành động 2: đi từ B đến C có 7 cách.
Theo quy tắc nhân, đi từ A đến C có 10.7 70
 cách.
Câu 10: Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả trong
5 loại, 1 loại nước uống trong 3 loại. Hỏi có bao nhiêu cách lập thực đơn?
A. 73. B. 75. C. 85. D. 95.
Lời giải
Chọn B
Lập thực đơn gồm 3 hành động liên tiếp:
Chọn món ăn có 5 cách.
Chọn quả có 5 cách.
Chọn nước uống có 3 cách.
Theo quy tắc nhân: 5.5.3 75
 cách
Câu 11: Có bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 ?
A. 5
6
A . B. 6
P . C. 5
6
C . D. 5
P .
Lời giải.
Chọn A
Số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 là một chỉnh
hợp chập 5 của 6 phần tử. Vậy có 5
6
A số cần tìm.
Câu 12: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh thành một hàng dọc?
A. 6
6 . B. 5!. C. 6!. D. 6 .
Lời giải.
Chọn C
Mỗi cách sắp xếp 6 học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của tập có 6 phần tử. Vậy có
tất cả 6! cách sắp xếp.
Câu 13: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh?
A. 3
8
A . B. 8
3 . C. 3
8 . D. 3
8
C .
Lời giải.
Chọn D
Số cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh là tổ hợp chập 3 của 8 phần tử. Vậy có
3
8
C cách chọn.

Page 4
Câu 14: Một câu lạc bộ có 30 thành viên. Có bao nhiêu cách chọn một ban quản lí gồm 1 chủ tịch, 1 phó
chủ tịch và 1 thư kí?
A. 3
30
A . B. 3
30
C . C. 30!. D. 3!.
Lời giải.
Chọn A
Mỗi cách chọn 3 người ở 3 vị trí là một chỉnh hợp chập 3 của 30 thành viên.
Vậy số cách chọn là: 3
30
A .
Câu 15: Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện
viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong 11 cầu thủ để
đá luân lưu 5 quả 11 mét. Hỏi huấn luyện viên của mỗi đội sẽ có bao nhiêu cách chọn?
A. 5
11
C . B. 5
11
A . C. 5!. D. 11!.
Lời giải.
Chọn B
Mỗi cách chọn 5 cầu thủ trong 11 cầu thủ để đá luân lưu là một chỉnh hợp chập 5 của 11 phần
tử. Vậy số cách chọn là: 5
11
A .
Câu 16: Cho đa giác lồi 20 đỉnh. Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác đã cho là
A. 3
20
A . B.
3
20
3!
C
. C. 20!. D. 3
20
C .
Lời giải.
Chọn D
Mỗi tam giác được tạo thành là một tổ hợp chập 3 của 20 phần tử.
Vậy số tam giác là: 3
20
C .
có 2 học sinh nữ?
A. 2 4
5 7
.
A A . B. 2 4
5 7
.
C C . C. 2 4
5 7

C C . D. 2 4
5 7

A A .
Lời giải.
Chọn B
Để chọn được học sinh theo yêu cầu ta cần chọn liên tục học sinh nữ và học sinh nam.
 Chọn 2 học sinh nữ có 2
5
C cách.
 Chọn học sinh nam có 4
7
C cách.
5 7
.
Câu 18: Có 15 học sinh giỏi gồm 6 học sinh khối 12, 5 học sinh khối 11 và 4 học sinh khối 10. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có đúng 2 học sinh?
A. 2 2 2
6 5 4
. .
C C C . B. 2 2 2
6 5 4
. .
A A A . C. 2 2 2
6 5 4
 
C C C . D. 2 2 2
6 5 4
 
A A A .
Lời giải.
Chọn A
 Chọn 2 học sinh khối 12 có 2
6
C cách.
5
C cách.
4
C cách.
Theo quy tắc nhân, ta có 2 2 2
6 5 4
. .
C C C cách chọn thỏa yêu cầu.
6 2 4
4

Page 5
Câu 19: Một hộp có 8 bi xanh,5 bi đỏ và 4 bi vàng. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 bi sao cho có đúng 1
bi đỏ?
A. 1 1 1
5 8 4
. .
C C C . B. 1 2
5 12
.
A A . C. 1 2
5 12
.
C C . D. 1 1 1
5 8 4
. .
A A A .
Lời giải.
Chọn C
 Chọn 1 bi đỏ có 1
5
C cách.
 Chọn 2 bi còn lại có 2
12
C cách.
5 12
.
Câu 20: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc?
A. 36. B. 720 . C. 6 . D. 1.
Lời giải
Chọn B
Có 6! 720
 cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc
Câu 21: (Mã 103 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cách chọn một học sinh từ một nhóm gồm 5 học sinh nam
và 7 học sinh nữ là
A. 7 . B. 12 . C. 5. D. 35.
Lời giải
Chọn B
Tổng số học sinh là: 5 7 12.
 
Số chọn một học sinh là: 12 cách.
Câu 22: Từ một nhóm học sinh gồm 6 nam và 8 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh?
A. 14. B. 48 . C. 6 . D. 8 .
Lời giải
Chọn A
Số cách chọn 1học sinh từ nhóm gồm 14 học sinh là 14.
Câu 23: Trên mặt phẳng cho 2019 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ, khác vectơ – không có điểm đầu
và điểm cuối được lấy từ 2019 điểm đã cho?
A. 2019
2 . B. 2
2019 . C. 2
2019
C . D. 2
2019
A .
Lời giải
Chọn D
Để lập véc tơ, ta có 2019 cách chọn điểm đầu, ứng với mỗi cách chọn điểm đầu có 2018 cách
chọn điểm cuối.
Vậy theo quy tắc nhân, ta có số vectơ thỏa mãn yêu cầu là 2
2019
2019.2018 A
 .
Cách khác:
Qua 2 điểm phân biệt ,
A B có 2 vectơ là AB


và BA


.
Vậy số vectơ, khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối được lấy từ 2019 điểm đã cho là
số chỉnh hợp chập 2 của 2019 phần tử, bằng 2
2019
A .
Câu 24: Trong hộp có 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 3viên bi. Số
cách chọn là
A. 9. B. 3 3 3
4 5 6
C C C
  . C. 3
15
C . D. 3
15
A .
Lời giải
Chọn C

Page 6
Tất cả có 4 5 6 15
   viên bi.
Vì lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên bi nên mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 3 của 15 phần tử.
Vậy số cách chọn bằng 3
15
C .
Câu 25: Một tổ có 12 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh trong tổ làm nhiệm vụ trực nhật.
A. 132 . B. 66 . C. 23. D. 123 .
Lời giải
Chọn B
Mỗi cách chọn 2 học sinh trong tổ làm nhiệm vụ trực nhật là một tổ hợp chập 2 của 12 phần
tử. Vậy số cách chọn là 2
12 66
C  cách.
Câu 26: Lớp 11A có 32 học sinh, giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra 3 học sinh trong đó một bạn làm lớp
trưởng, một bạn làm lớp phó, một bạn làm sao đỏ. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn.
A. 6 . B. 3. C. 3
32
C . D. 3
32
A .
Lời giải
Chọn D
Mỗi cách chọn ra 3 học sinh trong 32 học sinh vào 3 vị trí: lớp trưởng, lớp phó, sao đỏ là một chỉnh
hợp chập 3 của 32 phần tử.
Vậy số cách chọn là 3
32
A .
Câu 27: Cần chọn 4 người đi công tác trong một tổ có 30 người, khi đó số cách chọn là:
A. 4
30
C . B. 4
30
A . C. 4
30 . D. 30
4 .
Lời giải
Chọn A
Số cách chọn 4 người đi công tác trong một tổ có 30 người là 4
30
C .
Câu 28: Cho tập hợp A có 20 phần tử. Hỏi A có bao nhiêu tập con gồm 6 phần tử?
A. 6
20
C . B. 20. C. 6
P . D. 6
20
A .
Lời giải
Chọn A
Số tập con có 6 phần tử của tập A là: 6
26
C .
Câu 29: Một hộp chứa 10 quả cầu phân biệt. Số cách lấy ra từ hộp đó cùng lúc 3 quả cầu là:
A. 720 . B. 120. C. 3
10 . D. 10
3 .
Lời giải
Chọn B
Số cách chọn cùng một lúc 3 quả cầu từ một hộp chứa 10 quả cầu phân biệt là 3
10 120
C  .
Câu 30: Giả sử ta dùng 6 màu để tô cho 4 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng
hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là
A. 4
6 .
A B. 10 C. 4
6 .
C D. 4
6 .
Lời giải
Chọn A
Vì không có màu nào được dùng 2 lần nên ta có: 4
6
A cách
Câu 31: Từ các chữ số 1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
A. 120. B. 5. C. 625. D. 24 .
Lời giải

Page 7
Chọn A
Mỗi số có 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1;2;3;4;5 là một chỉnh hợp chập 4 của 5
phần tử.
Số các số được tạo thành là: 4
5 120
A 
Câu 32: Cho tập hợp M có 30 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của M là
A. 4
30
A . B. 5
30 . C. 5
30 . D. 5
30
C .
Lời giải
Chọn D
Số tập con gồm 5 phần tử của M chính là số tổ hợp chập 5 của 30 phần tử, nghĩa là bằng 5
30
C .
Câu 33: Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác
nhau?
A. 4
7 . B. 7
P . C. 4
7
C . D. 4
7
A .
Lời giải
Chọn D
Mỗi số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 là
một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử. Nên số tự nhiên tạo thành là: 4
7
A (số).
Câu 34: Một tổ có 10 học sinh. Số cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ 2 chức vụ tổ trưởng và tổ phó
là
A. 2
10
C . B. 8
10
A . C. 2
10 . D. 2
10
A .
Lời giải
Chọn D
Theo yêu cầu bài toán thì chọn ra 2 học sinh từ 10 học sinh có quan tâm đến chức vụ của mỗi
người nên mỗi cách chọn sẽ là một chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử.
Số cách chọn là 2
10
A .
Câu 35: Cho 20 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành
từ các điểm này?
A. 8000. B. 6480. C. 1140. D. 600.
Lời giải
Chọn C
Chọn 3 điểm từ 20 điểm ta có một tam giác nên số tam giác tạo thành từ 20 điểm đã cho là
3
20 1140.
C  .
Câu 36: Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là
A. 35. B. 120. C. 240 . D. 720 .
Lời giải
Chọn B
Cứ ba đỉnh của đa giác đều sẽ tạo thành một tam giác.
Chọn 3 trong 10 đỉnh của đa giác đều, có 3
10 120
C  .
Vậy có 120 tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác đều 10 cạnh.

Page 8
 Tính xác suất bằng định nghĩa : Công thức tính xác suất của biến cố A:  
 
 
n A
P A
n


.
 Tính xác suất bằng công thức :
+ Quy tắc cộng xác suất:
* Nếu hai biến cố ,
A B xung khắc nhau thì      
P A B P A P B
  
* Nếu các biến cố 1 2 3
, , ,..., k
A A A A xung khắc nhau thì
       
1 2 1 2
... ...
k k
P A A A P A P A P A
      
+ Công thức tính xác suất biến cố đối: Xác suất của biến cố A của biến cố A là:
   
1
P A P A
 
+ Quy tắc nhân xác suất:
* Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì
     
.
P AB P A P B

* Một cách tổng quát, nếu k biến cố 1 2 3
, , ,..., k
A A A A là độc lập thì
       
1 2 3 1 2
, , , . .
..., . .
k k
A A A A A
P P A P P A

Câu 1: ĐTK2022 Từ một hộp chứa 16 quả cầu gồm 7 quả màu đỏ và 9quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên
đồng thời hai quả. Xác suất để lấy được hai quả có màu khác nhau bằng.
A.
7
40
. B.
21
40
. C.
3
10
. D.
2
.
15
Câu 2: Có 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Xác suất để
rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng
A.
2
3
. B.
13
18
. C.
5
18
. D.
1
3
.
Câu 3: Trong một hòm phiếu có 9 lá phiếu ghi các số tự nhiên từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên cùng lúc hai
lá phiếu. Tính xác suất để tổng hai số ghi trên hai lá phiếu rút được là một số lẻ lớn hơn hoặc
bằng 15.
A.
5
18
. B.
1
6
. C.
1
12
. D.
1
9
.
Câu 4: Một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20 . Lấy ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp đó. Tính xác suất
thẻ lấy được ghi số lẻ và chia hết cho 3.
A. 0,3. B. 0,15. C. 0,5. D. 0,2 .
Câu 5: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để tích số chấm xuất hiện trên con
súc sắc trong 2 lần gieo là một số lẻ.
A. 0,25. B. 0,75. C. 0,85. D. 0,5.
CHUYÊN ĐỀ 3: XÁC SUẤT

Page 9
Câu 6: Trong một hộp có 10 viên bi đánh số từ 1 đến 10, lấy ngẫu nhiên ra hai bi. Tính xác suất để hai
bi lấy ra có tích hai số trên chúng là một số lẻ.
A.
1
2
. B.
4
9
. C.
2
9
. D.
1
9
.
Câu 7: Một hộp chứa 30 thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Người ta lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp đó.
Tính xác suất để thẻ lấy được mang số lẻ và không chia hết cho 3.
A.
2
5
. B.
1
3
. C.
3
10
. D.
4
15
.
Câu 8: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất, xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện
A. 1. B.
1
2
. C.
1
3
. D.
2
3
.
Câu 9: Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20 . Chọn ngẫu nhiên 8 tấm, tính xác suất để chọn được
5 tấm mang số lẻ, 3 tấm mang số chẵn trong đó ít nhất có 2 tấm mang số chia hết cho 4, kết
quả gần đúng là
A. 12%. B. 23%. C. 2%. D. 3%.
Câu 10: Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ.
Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong đó
chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
A.
8
11
. B.
99
667
. C.
3
11
. D.
99
167
.
Câu 11: Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7 , 8 ta lập các số tự nhiên có 6 chữ số, mà các chữ số đôi
một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số vừa lập, tính xác suất để chọn được một số có đúng 3
chữ số lẻ mà các chữ số lẻ xếp kề nhau.
A.
1
840
. B.
4
35
. C.
1
210
. D.
1
35
.
Câu 12: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập
hợp  
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó không có hai
chữ số liên tiếp nào cùng lẻ bằng
A.
17
42
. B.
41
126
. C.
31
126
. D.
5
21
.
Câu 13: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập
hợp  
1;2;3;4;5;6;7 . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó không có hai chữ số
liên tiếp nào cùng chẵn bằng
A.
9
35
. B.
16
35
. C.
22
35
. D.
19
35
.
Câu 14: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số
thuộc S , xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng có cùng tính chẵn lẻ bằng
A.
4
9
. B.
2
9
. C.
2
5
. D.
1
3
.

Page 10
thuộc S , xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng khác tính chẵn lẻ bằng
A.
50
81
. B.
1
2
. C.
5
18
. D.
5
9
.
Câu 16: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp số có ba chữ số khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng
các chữ số là số chẳn bằng
A.
41
81
. B.
4
9
. C.
1
2
. D.
16
81
.
Câu 17: Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp
A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C , ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một
học sinh. Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B bằng
A.
1
6
. B.
3
20
. C.
2
15
. D.
1
5
.
Câu 18: Từ một đội văn nghệ gồm 5 nam và 8 nữ cần lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca. Xác suất để
trong 4 người được chọn đều là nam bằng
A.
C
C
4
8
4
13
. B.
A
C
4
5
4
8
. C.
C
C
4
5
4
13
. D.
C
A
4
8
4
13
.
Câu 19: Một chiếc hộp chứa 9 quả cầu gồm 4 quả màu xanh, 3 quả màu đỏ và 2 quả màu vàng. Lấy ngẫu
nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để trong 3 quả cầu lấy được có ít nhất 1 quả màu đỏ bằng
A.
1
3
. B.
19
28
. C.
16
21
. D.
17
42
.
Câu 20: Ban chỉ đạo phòng chống dịch Covid-19 của sở Y tế Nghệ An có 9 người, trong đó có đúng 4
bác sĩ. Chia ngẫu nhiên Ban đó thành ba tổ, mỗi tổ 3 người để đi kiểm tra công tác phòng dịch ở
địa phương. Trong mỗi tổ, chọn ngẫu nhiên một người làm tổ trưởng. Xác suất để ba tổ trưởng
đều là bác sĩ là
A.
1
42
. B.
1
21
. C.
1
14
. D.
1
7
.
Câu 21: Cho tập  
1;2;...;19;20
S  gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S . Xác
suất để ba số lấy được lập thành cấp số cộng là
A.
5
38
. B.
7
38
. C.
3
38
. D.
1
114
.
Câu 22: Xếp ngẫu nhiên 5 học sinh , , , ,
A B C D E ngồi vào một dãy 5 ghế thẳng hàng. Tính xác suất để
hai bạn A và B không ngồi cạnh nhau.
A.
1
5
. B.
3
5
. C.
2
5
. D.
4
5
.
Câu 23: Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học
sinh từ nhóm 10 học sinh đó đi lao động. Tinh xác suất để trong 3 học sinh được chọn có ít nhất
1 học sinh nữ.
A.
4
9
. B.
1 7
2 4
. C.
17
48
. D.
2
3
.

Page 11
Câu 24: Đội học sinh giỏi trường trung học phổ thông chuyên bến tre gồm có 8 học sinh khối 12, 6 học
sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh. Xác suất để trong 8 học sinh
được chọn có đủ 3 khối là
A.
71131
75582
. B.
35582
3791
. C.
143
153
. D.
71128
75582
.
Câu 25: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất để tích số chấm 3 lần gieo là chẵn.
A. 7
8
B. 1
8
C. 5
8
D. 3
8
Câu 26: Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh gồm 3 nam 3 nữ
ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học
sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng
A. 1
10
. B. 3
5
. C. 1
2 0
D. 2
5
.
Câu 27: Xếp ngẫu nhiên 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C vào sáu ghế xếp quanh
một bàn tròn. Tính xác suất để học sinh lớp C ngồi giữa 2 học sinh lớp B
A.
2
13
. B.
1
10
. C.
2
7
. D.
3
14
.
Câu 28: Có 50 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 50. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Xác suất để tổng các số ghi trên thẻ
chia hết cho 3 bằng
A.
8
89
. B.
11
171
. C.
769
2450
. D.
409
1225
.
Câu 29: Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 10, lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu. Xác
suất để tích các số ghi trên 5 quả cầu đó chia hết cho 3 bằng
A. 5
12
. B. 7
12
. C. 1
12
. D. 11
12
.
Câu 30: Một hộp đựng 15 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 15. Chọn ngẫu nhiên 6 tấm thẻ trong hộp. Xác
suất để tổng các số ghi trên 6 tấm thẻ được chọn là một số lẻ bằng.
A.
71
143
. B.
56
715
. C.
72
143
. D.
56
143
.
Câu 31: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lập thành từ các chữ số
0,1, 2,3, 4,5,6,7 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S . Tính xác suất để số được chọn có đúng 2
chữ số chẵn.
A.
24
35
. B.
144
245
. C.
72
245
. D.
18
35
.
1;2;3;...;19;20
S  gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc .
S
Xác suất để ba số lấy được lập thành một cấp số cộng là
A.
7
38
. B.
5
38
. C.
3
38
. D.
1
114
.
Câu 33: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ tập  
X 0;1;2;3;4;5;6;7 .
 Rút
ngẫu nhiên một số thuộc tập S. Tính xác suất để rút được số mà trong số đó, chữ số đứng sau
luôn lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước.

Page 12
A.
2
7
B.
11
64
C.
3
16
D.
3
32
Câu 34: Đội thanh niên tình nguyện của một trường THPT gồm 15 HS, trong đó có 4 HS khối 12, 5 HS
khối 11 và 6 HS khối 10. Chọn ngẫu nhiên 6 HS đi thực hiện nhiệm vụ. Tính xác suất để 6 HS
được chọn có đủ 3 khối.
A. 4248
.
5005
B. 757
.
5005
C. 151
.
1001
D. 850
.
1001
Câu 35: Từ một hộp chứa 12 quả cầu, trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng, lấy
ngẫu nhiên 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu bằng:
A. . B. . C. . D.
Câu 36: Có 6 viên bi gồm 2 bi xanh, 2 bi đỏ, 2 bi vàng. Tính xác suất để khi xếp 6 viên bi trên thành
một hàng ngang thì có đúng một cặp bi cùng màu xếp cạnh nhau.
A.
1
3
. B.
2
3
. C.
2
5
. D.
3
5
.
Câu 37: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Gọi S là tập hợp số tự nhiên có năm chữ số trong đó chữ số 3 có mặt
3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Chọn ngẫu nhiên trong tập S một số, tính xác suất
để số chọn được chia hết cho 3.
A.
2
5
. B.
1
4
. C.
1
3
. D.
2
3
.
Câu 38: Từ một hộp chứa 13 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ, 6 quả màu xanh và 3 quả màu vàng. Lấy ngẫu
nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả có màu khác nhau bằng
A.
33
143
. B.
1
22
. C.
25
286
. D.
40
143
.
Câu 39: Một hộp đựng 4 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ, 5 quả cầu vàng. Biết rằng các quả cầu đều giống
nhau về kích thước và chất liệu. Chọn đồng thời cùng một lúc 4 quả cầu. Xác suất chọn được 4
quả cầu có đủ cả 3 màu bằng
A.
1
2
. B.
5
11
. C.
6
11
. D.
5
8
.
1;2;3;...;19;20
S  gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20 . Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S .
A.
7
38
. B.
1
114
. C.
3
38
. D.
5
38
.
Câu 41: Một chữ cái được lấy ra ngẫu nhiêu từ các chữ cái của từ “ASSISTANT” và một chữ cái được
lấy ngẫu nhiên từ các chữ cái của từ “STATISTICS”. Xác suất để lấy được hai chữ cái giống
nhau là
A.
13
90
. B.
1
45
. C.
19
90
. D.
1
10
.
Câu 42: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ra ngẫu nhiên 10 thẻ. Tính xác suất để 10 thẻ được chọn
có 5 thẻ lẻ và 5 thẻ chẵn trong đó chỉ có đúng 1 thẻ chia hết cho 10
A.
200
3335
. B.
1001
3335
. C.
99
667
. D.
568
667
.
23
44
21
44
139
220
81
220

Page 13
Câu 43: Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ. Xác suất để tổng
số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ bằng
A.
12
33
. B.
17
33
. C.
4
33
. D.
16
33
.
Câu 44: Cho một đa giác đều có 24 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O . Gọi S là tập hợp các tam
giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác trên. Chọn ngẫu nhiên một tam giác từ tập S , tính xác
suất để chọn được tam giác cân nhưng không phải tam giác đều.
A.
3
11
 B.
3
23
 C.
30
.
253
D.
32
253

Câu 45: Ba bạn Chuyên, Quang, Trung mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn
 
1;17 . Xác suất để ba số viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng
A.
1079
4913
. B.
23
68
. C.
1637
4913
. D.
1728
4913
.
Câu 46: An và Bình cùng chơi một trò chơi, mỗi lượt chơi một bạn đặt úp năm tấm thẻ, trong đó có hai
thẻ ghi số 2, hai thẻ ghi số 3 và một thẻ ghi số 4, bạn còn lại chọn ngẫu nhiên ba thẻ trong năm
tấm thẻ đó. Người chọn thẻ thắng lượt chơi nếu tổng các số trên ba tấm thẻ được chọn bằng 8,
ngược lại người kia sẽ thắng. Xác suất để An thắng lượt chơi khi An là người chọn thẻ bằng
A.
1
5
. B.
1
10
. C.
3
20
. D.
3
10
.
Câu 47: Một tổ gồm 6 học sinh nữ và 4 học sinh nam được xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Xác
suất để giữa hai bạn nam liên tiếp có đúng hai bạn nữ bằng
A.
1
1680
. B.
1
210
. C.
1
1260
. D.
1
280
.
Câu 48: ` Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Xác suất để
trong 5 học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ mà số học sinh nam nhiều hơn số
học sinh nữ là
A.
70
.
143
B.
60
.
143
C.
238
.
429
D.
82
.
143
Câu 49: Từ một hộp chứa 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời năm bi. Xác suất để
5 bi lấy được có đủ ba màu bằng
A.
185
273
. B.
310
429
. C.
106
273
. D.
136
231
.
Câu 50: Cho đa giác đều có 15 đỉnh, gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác
đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập .
M Xác suất để chọn được một tam giác cân
nhưng không phải tam giác đều bằng
A.
3
.
11
B.
20
.
91
C.
3
.
13
D.
18
.
91
Câu 51: Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của một đa giác đều 20 đỉnh. Tính xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3
đỉnh của một tam giác tù.
A.
3
.
95
B.
15
.
19
C.
12
.
19
D.
3
.
76

Page 14
Câu 52: Một hộp bút gồm 6 bút màu xanh, 4 bút màu đỏ, 5 bút màu đen. Chọn ngẫu nhiên 6 bút bất
kỳ. Tính xác suất để 6 bút được chọn có đúng 2 màu.
A.
58
385
. B.
6
323
. C.
158
1001
. D.
108
715
.
Câu 53: Xếp ngẫu nhiên 3 học sinh lớp A , 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C vào 6 ghế xếp xung
quanh một bàn tròn. Tính xác suất để học sinh lớp C ngồi giữa hai học sinh lớp B .
A. 2
13
. B. 1
10
. C. 2
7
. D. 3
14
.
Câu 54: Ban chỉ đạo phòng chống dịch Covid – 19 của sở Y tế Bắc Ninh có 9 người, trong đó có đúng 4
bác sĩ. Chia ngẫu nhiên Ban đó thành 3 tổ, mỗi tổ 3 người để đi kiểm tra công tác phòng dịch của
địa phương. Trong mỗi tổ đó chọn ngẫu nhiên 1 người làm tổ trưởng. Xác suất để ba tổ trưởng
đều là bác sĩ là:
A.
1
.
42
B.
1
.
7
C.
1
.
21
D.
1
.
14
Câu 55: Gọi S là tập các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập
S . Tính xác suất để số được chọn có đúng 3 chữ số chẵn.
A.
10
21
. B.
10
189
. C.
1
21
. D.
100
189
.
Câu 56: Vì yêu toán nên khi đặt mật khẩu cho tài khoản facebook của mình, bạn Toàn đã dùng dãy các
chữ cái “TOANYEUTOAN” rồi thay đổi ngẫu nhiên vị trí các chữ cái này để tạo ra mật khẩu.
Tính xác suất để mật khẩu đó là một dãy chữ cái mà các chữ cái nếu xuất hiện 1 lần thì không
đứng cạnh nhau, đồng thời các chữ T, N giống nhau thì đứng cạnh nhau.
A.
1
264
. B.
1
1584
. C.
1
54
. D.
1
66
.
Câu 57: Xếp ngẫu nhiên 7 học sinh nữ và 5học sinh nam vào 12ghế thành một hàng ngang. Tính xác
suất để không có bất kỳ hai học sinh nam nào ngồi cạnh nhau
A.
7
.
99
B.
1
.
132
C.
7
.
264
D.
7
.
11880
Câu 58: Cho Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ thành một hàng ngang.
Xác suất để trong 10 học sinh trên không có hai học sinh cùng giới đứng cạnh nhau, đồng thời
Phúc và Mơ cũng không đứng cạnh nhau bằng
A.
1
350
. B.
1
450
. C.
4
1575
. D.
8
1575
.
Câu 59: Đặt ngẫu nhiên hết các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 vào 9 ô vuông của lưới sao cho mỗi ô vuông chỉ
được đặt đúng một số. Tính xác suất để tổng các số trên mỗi hàng là số lẻ và tổng các số trên mỗi
cột cũng là số lẻ.
A.
2
21
. B.
5
7
. C.
5
63
. D.
1
14
.

Page 15
Câu 60: Có 3 quyển sách Văn học khác nhau, 4 quyển sách Toán học khác nhau và 7 quyển sách Tiếng
anh khác nhau được xếp lên một kệ ngang. Tính xác suất để hai cuốn sách cùng môn không ở
cạnh nhau.
A.
5
8008
. B.
19
12012
. C.
19
1202
. D.
19
1012
.
Câu 61: Cho A là tập hợp các số tự nhiên có 9 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập A. Xác suất lấy
được một số lẻ và chia hết cho 9 bằng
A.
1
18
. B.
1250
1710
. C.
625
1710
. D.
1
9
.
Câu 62: Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi độc lập. Mỗi câu hỏi có 4 đáp án trả lời, trong đó chỉ có
một đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, câu trả lời sai được 0 điểm. Học sinh A
làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho tất cả 50 câu hỏi. Biết xác suất làm đúng k
câu hỏi của học sinh A đạt giá trị lớn nhất, khi đó giá trị k bằng
A. 11. B. 10. C. 13. D. 12.

Page 1
 Tính xác suất bằng định nghĩa : Công thức tính xác suất của biến cố A:  
 
 
n A
P A
n


.
 Tính xác suất bằng công thức :
+ Quy tắc cộng xác suất:
* Nếu hai biến cố ,
A B xung khắc nhau thì      
P A B P A P B
  
* Nếu các biến cố 1 2 3
, , ,..., k
A A A A xung khắc nhau thì
       
1 2 1 2
... ...
k k
P A A A P A P A P A
      
+ Công thức tính xác suất biến cố đối: Xác suất của biến cố A của biến cố A là:
   
1
P A P A
 
+ Quy tắc nhân xác suất:
* Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì
     
.
P AB P A P B

* Một cách tổng quát, nếu k biến cố 1 2 3
, , ,..., k
A A A A là độc lập thì
       
1 2 3 1 2
, , , . .
..., . .
k k
A A A A A
P P A P P A

Câu 1: ĐTK2022 Từ một hộp chứa 16 quả cầu gồm 7 quả màu đỏ và 9quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên
đồng thời hai quả. Xác suất để lấy được hai quả có màu khác nhau bằng.
A.
7
40
. B.
21
40
. C.
3
10
. D.
2
.
15
Lời giải
Chọn B
Không gian mẫu:   2
16
n C
  .
Gọi A là biến cố lấy được hai quả cầu có màu khác nhau:   7.9 63
n A  
Xác suất cần tìm là:  
 
 
63 21
.
120 40
n A
P A
n
  

Câu 2: Có 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Xác suất để
rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng
A.
2
3
. B.
13
18
. C.
5
18
. D.
1
3
.
Lời giải
Rút ra hai thẻ tùy ý từ 9 thẻ nên có   2
9
n C
  36
 .
Gọi A là biến cố: “Rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn”.
Suy ra   2 2
9 5
n A C C
  26
 .
Xác suất của A là  
26
36
P A 
13
18
 .
CHUYÊN ĐỀ 3: XÁC SUẤT

Page 2
Câu 3: Trong một hòm phiếu có 9 lá phiếu ghi các số tự nhiên từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên cùng lúc hai
lá phiếu. Tính xác suất để tổng hai số ghi trên hai lá phiếu rút được là một số lẻ lớn hơn hoặc
bằng 15.
A.
5
18
. B.
1
6
. C.
1
12
. D.
1
9
.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là   2
9 36
n C
   .
Gọi "
A  Tổng hai số ghi trên hai lá phiếu rút được là một số lẻ lớn hơn hoặc bằng 15".
Ta có các cặp số có tổng là số lẻ và lớn hơn hoặc bằng 15 là      
6;9 ; 7;8 ; 9;8   3
n A
  .
Vậy xác suất của biến cố A là  
3 1
36 12
P A   .
Câu 4: Một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20 . Lấy ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp đó. Tính xác suất
thẻ lấy được ghi số lẻ và chia hết cho 3.
A. 0,3. B. 0,15. C. 0,5. D. 0,2 .
Lời giải
Ta có   1
20 20
n C
   .
Gọi A là biến cố lấy được một tấm thẻ ghi số lẻ và chia hết cho 3.  
3;9;15
A
  .
Do đó   3
n A   
3
0,15
20
P A
   .
Câu 5: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để tích số chấm xuất hiện trên con
súc sắc trong 2 lần gieo là một số lẻ.
A. 0,25. B. 0,75. C. 0,85. D. 0,5.
Lời giải
Số kết quả có thể xảy ra 6.6 36
   .
Gọi A là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên con súc sắc trong 2 lần gieo là một số lẻ “.
   
9 1
3.3 9
36 4
n A P A
      .
Câu 6: Trong một hộp có 10 viên bi đánh số từ 1 đến 10, lấy ngẫu nhiên ra hai bi. Tính xác suất để hai
bi lấy ra có tích hai số trên chúng là một số lẻ.
A.
1
2
. B.
4
9
. C.
2
9
. D.
1
9
.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu:   2
10
n C
  .
Gọi biến cố A : “Hai bi lấy ra có tích hai số trên chúng là một số lẻ”.
  2
5
n A C
 .
Vậy  
2
5
2
10
2
9
C
P A
C
  .

Page 3
Câu 7: Một hộp chứa 30 thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Người ta lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp đó.
Tính xác suất để thẻ lấy được mang số lẻ và không chia hết cho 3.
A.
2
5
. B.
1
3
. C.
3
10
. D.
4
15
.
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu:   30
n   .
Gọi A là biến cố: “Thẻ lấy được là số lẻ và không chia hết cho 3”.
 
1;5;7;11;13;17;19;23;25;29
A
    10
n A
  .
Xác suất để thẻ lấy được mang số lẻ và không chia hết cho 3 là  
 
 
n A
P A
n


10
30

1
3
 .
Câu 8: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất, xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện
A. 1. B.
1
2
. C.
1
3
. D.
2
3
.
Lời giải
Ta có không gian mẫu  
1,2,3,4,5,6
  suy ra   6
n   .
Gọi biến cố A : “Con súc sắc có số chấm chẵn xuất hiện” hay  
2;4;6
A  suy ra   3
n A 
Từ đó suy ra  
 
 
3 1
6 2
n A
p A
n
  

Vậy xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là
1
2
.
Câu 9: Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20 . Chọn ngẫu nhiên 8 tấm, tính xác suất để chọn được
5 tấm mang số lẻ, 3 tấm mang số chẵn trong đó ít nhất có 2 tấm mang số chia hết cho 4, kết
quả gần đúng là
A. 12 %. B. 23%. C. 2%. D. 3%.
Lời giải
Trong 20 tấm thẻ có 10 số lẻ, 10 số chẵn và 5 số chia hết cho 4.
Số phần tử của không gian mẫu:   8
20
n C
  .
Gọi A là biến cố chọn được 8 tấm thẻ thỏa đề bài.
Số cách chọn 8 tấm thẻ trong đó có 5 tấm mang số lẻ, 3 tấm mang số chẵn trong đó ít nhất có
2 tấm mang số chia hết cho 4 là:   5 2 1 5 3
10 5 5 10 5
. . .
n A C C C C C
  .
Xác suất cần tìm:  
 
 
5 2 1 5 3
10 5 5 10 5
8
20
. . . 90
0,02
4199
n A C C C C C
P A
n C

   

.
Câu 10: Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ.
Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong đó
chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
A.
8
11
. B.
99
667
. C.
3
11
. D.
99
167
.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là:   10
30
n C
  .
Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán.
Lấy 5 tấm thẻ mang số lẻ, có 5
15
C cách.

Page 4
Lấy 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10, có 1
3
C cách.
Lấy 4 tấm thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10, có 4
12
C .
Vậy  
5 1 4
15 3 12
10
30
. . 99
667
C C C
P A
C
  .
Câu 11: Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7 , 8 ta lập các số tự nhiên có 6 chữ số, mà các chữ số đôi
một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số vừa lập, tính xác suất để chọn được một số có đúng 3
chữ số lẻ mà các chữ số lẻ xếp kề nhau.
A.
1
840
. B.
4
35
. C.
1
210
. D.
1
35
.
Lời giải
Ta có số phần từ của không gian mẫu là   6
8 20160
n A
   .
Gọi A : "Số được chọn có đúng 3 chữ số lẻ mà các chữ số lẻ xếp kề nhau".
Chọn 3 chữ số lẻ có 3
4 24
A  cách. Ta coi 3 chữ số lẻ này là một số a ;
Sắp xếp số a vào 4 vị trí có 4 cách;
Còn 3 vị trí còn lại sắp xếp các chữ số chẵn có 3
4 24
A  cách;
Khi đó   24.4.24 2304
n A   .
Vậy xác suất cần tính là  
 
 
4
35
n A
P A
n
 

.
Câu 12: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập
hợp  
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó không có hai
chữ số liên tiếp nào cùng lẻ bằng
A.
17
42
. B.
41
126
. C.
31
126
. D.
5
21
.
Lời giải
Chọn A
Số các phần tử của S là 4
9 3024
A  .
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S có 3024. Suy ra   3024
n   .
Gọi biến cố :
A “ Chọn được số không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ”.
Trường hợp 1: Số được chọn có 4 chữ số chẵn, có 4! 24
 .
Trường hợp 2: Số được chọn có 1 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn, có 5.4.4! 480
 .
Trường hợp 3: Số được chọn có 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn, có 2 2
5 4
3. . 720
A A  .
Do đó,   24 480 720 1224
n A     .
Vậy xác suất cần tìm là  
 
 
1224 17
3024 42
n A
P A
n
  

.
Câu 13: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập
hợp  
1;2;3;4;5;6;7 . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó không có hai chữ số
liên tiếp nào cùng chẵn bằng
A.
9
35
. B.
16
35
. C.
22
35
. D.
19
35
.
Lời giải

Page 5
Chọn C
Không gian mẫu 4
7 840
A
   .
Gọi biến cố A thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Có các trường hợp sau:
TH1: 4 chữ số đều lẻ: 4! số.
TH2: 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn: 3 1
4 3
. .4!
C C số.
TH3: 2 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn: 2 2 2
4 3 3
. .2!.
C C A số.
Như vậy 528
A  . Vậy xác suất  
528 22
840 35
P A   .
thuộc S , xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng có cùng tính chẵn lẻ bằng
A.
4
9
. B.
2
9
. C.
2
5
. D.
1
3
.
Lời giải
Chọn A
Gọi số cần lập là 1 2 3 4 5 6
a a a a a a ,   1
0,1,...,9 ; 1,6; 0
i
a i a
   .
Gọi A là biến cố: “chọn được số tự nhiên thuộc tập S sao cho số đó có hai chữ số tận cùng có
cùng tính chẵn lẻ”.
Do đó   5
9
9. 136080
n A
   .
Trường hợp 1: 1
a chẵn và hai chữ số tận cùng chẵn.
Số cách lập: 2 3
4 7
4. . 10080
A A  .
a chẵn và hai chữ số tận cùng lẻ.
5 7
4. . 16800
A A  .
a lẻ và hai chữ số tận cùng chẵn.
5 7
5. . 21000
A A  .
a lẻ và hai chữ số tận cùng lẻ.
4 7
5. . 12600
A A  .
Xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng có cùng tính chẵn lẻ bằng:
 
 
 
60480 4
1360809 9
n A
P A
n
  

.
thuộc S , xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng khác tính chẵn lẻ bằng
A.
50
81
. B.
1
2
. C.
5
18
. D.
5
9
.
Lời giải
Chọn D
Gọi , 0
x abcde a
  là số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
Khi đó có 9.9.8.7.6 27216
 số.
Số phần tử của không gian mẫu là   27216.
n  
Gọi F là biến cố số x có hai chữ số tận cùng khác tính chẵn lẻ.

Page 6
TH1: Một trong hai chữ số cuối có chữ số 0 : Có 1 3
5 2 8
. . 3360
C P A  số.
TH2: Hai chữ số tận cùng không có chữ số 0 : Có 1 1
4 5 2
. . .7.7.6 11760
C C P  số.
Suy ra   3360 11760 15120.
n F   
Vậy  
 
 
5
.
9
n F
P F
n
 

Câu 16: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp số có ba chữ số khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng
các chữ số là số chẳn bằng
A.
41
81
. B.
4
9
. C.
1
2
. D.
16
81
.
Lời giải
Chọn A
Gọi A là biến cố số được chọn có tổng các chữ số là số chẳn.
Ta có   9.9.8 648
n    .
Vì số được chọn có tổng các chữ số là số chẳn nên sãy ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Ba chữ số được chọn đều là số chẳn
Số cách chọn ra và sắp xếp ba chữ số chẳn là 3
5
A .
Số cách chọn ra và sắp xếp ba chữ số chẳn trong đó số 0 đứng đầu là 2
4
A .
Vậy nên số số thỏa biến cố A là: 3 2
5 4 48
A A
  số.
Trường hợp 2: Ba chữ số được chọn có 2 chữ số là số lẽ và 1 chữ số là số chẳn.
Số cách chọn ra và sắp xếp 2 chữ số là số lẽ và 1 chữ số là số chẳn là 2 1
5 5
. .3!
C C .
Số cách chọn ra và sắp xếp 2 chữ số là số lẽ và 1 chữ số chẳn là số 0 đứng đầu là
2
5 .2!
C .
Vậy nên số số thỏa biến cố A là: 2 1 2
5 5 5
. .3! .2! 280
C C C
  số.
Do vậy   280 48 328
n A    .
Ta có  
 
 
328 41
648 81
n A
P A
n
  

.
Câu 17: Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp
A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C , ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một
học sinh. Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B bằng
A.
1
6
. B.
3
20
. C.
2
15
. D.
1
5
.
Lời giải
Chọn D
Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh thành hàng ngang, không gian mẫu có số phần tử là: 6!.
Gọi M là biến cố “học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B ”.
Xét các trường hợp:
Trường hợp 1. Học sinh lớp C ngồi đầu dãy
+ Chọn vị trí cho học sinh lớp C có 2 cách.
+ Chọn 1 học sinh lớp B ngồi cạnh học sinh lớp C có 2 cách.
+ Hoán vị các học sinh còn lại cho nhau có 4! cách.
Trường hợp này thu được: 2.2.4! 96
 cách.

Page 7
Trường hợp 2. Học sinh lớp C ngồi giữa hai học sinh lớp B , ta gộp thành 1 nhóm, khi đó:
+ Hoán vị 4 phần tử gồm 3 học sinh lớp A và nhóm gồm học sinh lớp B và lớp C có: 4!
cách.
+ Hoán vị hai học sinh lớp B cho nhau có: 2! cách.
Trường hợp này thu được: 4!.2! 48
 cách.
Như vậy số phần tử của biến cố M là: 48 96 144
  .
Xác suất của biến cố M là  
144 1
6! 5
P M   .
Câu 18: Từ một đội văn nghệ gồm 5 nam và 8 nữ cần lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca. Xác suất để
trong 4 người được chọn đều là nam bằng
A.
C
C
4
8
4
13
. B.
A
C
4
5
4
8
. C.
C
C
4
5
4
13
. D.
C
A
4
8
4
13
.
Lời giải
Chọn C
Chọn 4 người trong 13 người hát tốp ca có C4
13 . Nên ( )
n C
  4
13
Gọi A là biến cố chọn được 4 người đều là nam và ( )
n A C
 4
5
Nên xác suất của biến cố A là ( )
C
P A
C

4
5
4
13
.
Câu 19: Một chiếc hộp chứa 9 quả cầu gồm 4 quả màu xanh, 3 quả màu đỏ và 2 quả màu vàng. Lấy ngẫu
nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để trong 3 quả cầu lấy được có ít nhất 1 quả màu đỏ bằng
A.
1
3
. B.
19
28
. C.
16
21
. D.
17
42
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:   3
9 84
n C
   .
Gọi biến cố A: “3 quả cầu có ít nhất 1 quả màu đỏ”.
Suy biến cố đối là A: “3 quả cầu không có quả màu đỏ”.
Vậy      
3
6
20 20 16
20 1
84 84 21
n A C P A P A
        .
Câu 20: Ban chỉ đạo phòng chống dịch Covid-19 của sở Y tế Nghệ An có 9 người, trong đó có đúng 4
bác sĩ. Chia ngẫu nhiên Ban đó thành ba tổ, mỗi tổ 3 người để đi kiểm tra công tác phòng dịch ở
địa phương. Trong mỗi tổ, chọn ngẫu nhiên một người làm tổ trưởng. Xác suất để ba tổ trưởng
đều là bác sĩ là
A.
1
42
. B.
1
21
. C.
1
14
. D.
1
7
.
Lời giải
Chọn B
Chọn 3 người vào nhóm A và có một tổ trưởng ta có: 3
9 .3
C cách.
Chọn 3 người vào nhóm B và có một tổ trưởng ta có: 3
6 .3
C cách.
3 người còn lại vào nhóm C và có một tổ trưởng ta có: 3
3 .3
C cách.
Từ đó ta có số phần tử của không gian mẫu là:   3 3 3
9 6 3
.3. .3. .3 45360.
n C C C
  
Gọi M là biến cố thỏa mãn bài toán.

Page 8
Vì có 4 bác sĩ nên phải có một nhóm có 2 bác sĩ.
Chọn nhóm có 2 bác sĩ mà có 1 tổ trưởng là bác sĩ có 2 1
4 5
. .2
C C
Chọn nhóm có 1 bác sĩ và bác sí là tổ trưởng có: 1 2
2 4
.
C C .
1 bác sĩ còn lại và 2 người còn lại vào nhóm có 1 cách.
Chọn một trong 3 nhóm , ,
A B C có 2 bác sĩ có 1
3
C cách.
  2 1 1 2 1
4 5 2 4 3
, .2. . . 2160
n M C C C C C
   .  
2160 1
45360 21
P M   .
1;2;...;19;20
S  gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S . Xác
suất để ba số lấy được lập thành cấp số cộng là
A.
5
38
. B.
7
38
. C.
3
38
. D.
1
114
.
Lời giải
Chọn C
Ta có: 3
20
( )
n C
  .
Gọi A là biến cố: “ba số lấy được lập thành cấp số cộng “.
Giả sử ba số , b, c
a theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng, khi đó ta có 2
a c b
  . Hay a c
 là
một số chẵn và mỗi cách chọn 2 số a và c thỏa mãn a c
 là số chẵn sẽ có duy nhất cách chọn
b. Số cách chọn hai số có tổng chẵn sẽ là số cách chọn ba số tạo thành cấp số cộng.
TH1: Hai số lấy được đều là số chẵn, có: 2
10
C cách lấy.
TH2: Hai số lấy được đều là số lẻ, có: 2
10
C cách lấy.
2 2
10 10
( )
n A C C
  
2 2
10 10
3
10
( ) 3
( )
( ) 38
C C
n A
P A
n C

  

.
Câu 22: Xếp ngẫu nhiên 5 học sinh , , , ,
A B C D E ngồi vào một dãy 5 ghế thẳng hàng. Tính xác suất để
hai bạn A và B không ngồi cạnh nhau.
A. 1
5
. B. 3
5
. C. 2
5
. D. 4
5
.
Lời giải
Chọn B
Số phần tử của không gian mẫu:   5! 120
n    .
Gọi X là biến cố “Hai bạn A và B không ngồi cạnh nhau”.
X
 “Hai bạn A và B ngồi cạnh nhau”
Có 4 vị trí để hai bạn A và B ngồi cạnh nhau, hai bạn đổi chỗ được một cách xếp mới.
Nên số cách xếp để hai bạn A và B ngồi cạnh nhau là 4.2!.3! 48

Xác suất của biến cố X là:  
 
 
48 2
120 5
n X
P X
n
  

Vây xác suất của biến cố X là:     3
1
5
P X P X
  
Câu 23: Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học
sinh từ nhóm 10 học sinh đó đi lao động. Tinh xác suất để trong 3 học sinh được chọn có ít nhất
1 học sinh nữ.

Page 9
A.
4
9
. B.
1 7
2 4
. C.
17
48
. D.
2
3
.
Lời giải
Chọn B
Ta có   3
10 120.
n C
  
Đặt A ”3 học sinh được chọn có ít nhất 1 nữ”
A  ”3 học sinh được chọn không có nữ”
Khi đó   3
7 35
n A C
   
 
 
7
24
n A
p A
n
  

Vậy     17
1 .
24
p A p A
  
Câu 24: Đội học sinh giỏi trường trung học phổ thông chuyên bến tre gồm có 8 học sinh khối 12, 6 học
sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh. Xác suất để trong 8 học sinh
được chọn có đủ 3 khối là
A.
71131
75582
. B.
35582
3791
. C.
143
153
. D.
71128
75582
.
Lời giải
Chọn D
Số phần tử không gian mẫu:   8
19 75582
n C
   .
Gọi A là biến cố:” trong 8 học sinh được chọn có đủ 3 khối”.
Ta có:    
8 8 8 8 8
19 14 13 11 8 21128
n C C C C C
       .
 
71128
75582
P A  .
Câu 25: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất để tích số chấm 3 lần gieo là chẵn.
A.
7
8
B.
1
8
C.
5
8
D.
3
8
Lời giải
Chọn A
Số phần tử không gian mẫu:
3
6 .
 
Gọi biến cố A: “tích số chấm 3 lần gieo là chẵn”.
Suy ra A : “tích số chấm 3 lần gieo là lẻ”.
Để xảy ra biến cố A thì cả ba lần gieo đều xảy ra chấm lẻ 3.3.3
A
    
3
3
3 1
6 8
P A
   .
Vậy xác suất cần tìm là  
7
8
P A  .
Câu 26: Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh gồm 3 nam 3 nữ
ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học
sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng
A. 1
10
. B. 3
5
. C. 1
2 0
D. 2
5
.
Lời giải
Chọn D
Sắp 6 học sinh vào 6 cái ghế có 6! cách.

Page 10
Suy ra   6!
n   .
Đánh số thự tự 6 cái ghế như hình bên dưới
Gọi A là biến cố: “Nam nữ ngồi đối diện”.
Học sinh nam thứ nhất có 6 cách chọn một vị trí ngồi.
Học sinh nam thứ hai có 4 cách chọn một vị trị ngồi.
Học sinh nam thứ ba có hai cách chọn một vị trí ngồi.
Xếp ba học sinh nữ vào ba vị trí còn lại có 3! cách.
  6.4.2.3!
n A 
 
6.4.2.3! 2
6! 5
P A   .
Câu 27: Xếp ngẫu nhiên 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C vào sáu ghế xếp quanh
một bàn tròn. Tính xác suất để học sinh lớp C ngồi giữa 2 học sinh lớp B
A.
2
13
. B.
1
10
. C.
2
7
. D.
3
14
.
Lời giải
Chọn B
Xếp ngẫu nhiên sáu học sinh vào sáu ghế xếp quanh bàn tròn ta có 5! 120
 cách sắp xếp.
Ghép hai học sinh lớp B và một học sinh lớp C thành một nhóm sao cho học sinh lớp C ở giữa
hai học sinh lớp B ta có 2 cách sắp xếp.
Lúc này xếp 3 học sinh lớp A và nhóm học sinh B_C vào 4 vị trí quanh bàn tròn ta có 3! 6

cách sắp xếp.
Do đó: để sắp xếp được 6 học sinh vào 6 ghế theo yêu cầu có 2.6 12
 cách sắp xếp.
Nên ta có xác suất: 12 1
120 10
P   .
Câu 28: Có 50 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 50. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Xác suất để tổng các số ghi trên thẻ
chia hết cho 3 bằng
A.
8
89
. B.
11
171
. C.
769
2450
. D.
409
1225
.
Lời giải
Chọn D
Gọi  là không gian mẫu của phép thử rút ngẫu nhiên 3 thẻ.
Ta có:   3
50 19600
n C
   .
Gọi A là biến cố “tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3”.
50 thẻ được chia thành 3 loại gồm:
+ 16 thẻ có số chia hết cho 3 là {3;6;...; 48} .
+ 17 thẻ có số chia cho 3 dư 1 là {1;4;7;...;49}.
+ 17 thẻ có số chia cho 3 dư 2 là {2;5;8;...;50} .
Ta xét các trường hợp sau:
TH1: 3 thẻ được chọn cùng một loại có  
3 3 3
16 17 17
C C C
  cách.
TH2: 3 thẻ được chọn mỗi loại 1 thẻ có
1 1 1
16 17 17
. .
C C C cách.

Page 11
Do đó    
3 3 3 1 1 1
16 17 17 16 17 17
. . 6544
n A C C C C C C
     .
Xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3 bằng:  
 
 
6544 409
19600 1225
n
P A
n A

   .
Câu 29: Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 10, lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu. Xác
suất để tích các số ghi trên 5 quả cầu đó chia hết cho 3 bằng
A. 5
12
. B. 7
12
. C. 1
12
. D. 11
12
.
Lời giải
Chọn D
Không gian mẫu của phép thử là   5
10 252
n C
   .
Gọi A là biến cố để “tích các số ghi trên 5 quả cầu đó chia hết cho 3”.
Các quả cầu có số thứ tự chia hết cho 3 gồm các quả có số thứ tự 3, 6, 9.
Do vậy để tích các số ghi trên 5 quả cầu đó chia hết cho 3 thì 5 quả đó phải chứa ít nhất một
quả có số thứ tự 3, 6, 9.
Suy ra A là biến cố để “tích các số ghi trên 5 quả cầu đó không chia hết cho 3”.
Số phần tử của A là cách lấy 5 quả từ tập hợp gồm các phần tử  
1;2;4;5;7;8;10 .
Vậy ta có    
 
 
5
7
21 1
21
252 12
n A
n A C P A
n
     

.
Câu 30: Một hộp đựng 15 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 15. Chọn ngẫu nhiên 6 tấm thẻ trong hộp. Xác
suất để tổng các số ghi trên 6 tấm thẻ được chọn là một số lẻ bằng.
A. 71
143
. B. 56
715
. C. 72
143
. D. 56
143
.
Lời giải
Chọn C
Số phần tử của không gian mẫu của phép thử:   6
15 5005
n C
  
Chia 15 tấm thẻ thành 2 tập hợp nhỏ gồm:
+ Tập các tấm ghi số lẻ:  
1;3;5;7;9;11;13;15 8
 số
+ Tập các tấm ghi số chẵn:  
2;4;6;8;10;12;14 7
 số
Các trường hợp thuận lợi cho biến cố:
TH1. 1 tấm số lẻ: 5 tấm số chẵn
- Số phần tử:
1 5
8 7
. 168
C C 
- Số phần tử:
3 3
8 7
. 1960
C C 
- Số phần tử:
5 1
8 7
. 392
C C 
Tổng số phần tử thuận lợi của biến cố là: 168 1960 392 2520
  
Vậy xác suất của biến cố là: 2520 72
5005 143
P   .

Page 12
Câu 31: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lập thành từ các chữ số
0,1, 2,3, 4,5,6,7 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S . Tính xác suất để số được chọn có đúng 2
chữ số chẵn.
A.
24
35
. B.
144
245
. C.
72
245
. D.
18
35
.
Lời giải
Chọn D
Có
3
7
7.A số có 4chữ số khác nhau được lập từ tập S .
Xét các số có đúng hai chữ số chẵn, hai chữ số lẻ.
+ TH1: Số đó có chữ số 0
Có
1
3
C cách chọn thêm chữ số chẵn khác và
2
4
C cách chọn 2chữ số lẻ; có 3.3! cách sắp xếp 4
chữ số được chọn, suy ra có
1 2
3 4
. .3.3! 324
C C  số thỏa mãn.
+ TH2: Số đó không có chữ số 0
Có
2
3
C cách chọn 2chữ số chẵn,
2
4
C cách chọn 2chữ số lẻ; có 4! cách sắp xếp 4chữ số đã
chọn, suy ra có
2 2
3 4
. .4! 432
C C  số thỏa mãn.
Vậy có 324 432 756
  số có đúng hai chữ số chẵn thỏa mãn.
Xác suất cần tìm là 3
7
756 18
7. 35
P
A
  .
1;2;3;...;19;20
S  gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc .
S
A. 7
38
. B. 5
38
. C. 3
38
. D. 1
114
.
Lời giải
Chọn C
Số phần tử không gian mẫu   3
20
n C
  .
Gọi , ,
a b c là ba số lấy ra theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng, nên
2
a c
b

  . Do đó avà c
cùng chẵn hoặc cùng lẻ và hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị.
Số cách chọn bộ  
; ;
a b c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng bằng số cặp  
;
a c cùng chẵn hoặc
cùng lẻ, số cách chọn là
2
10
2.C . Vậy xác suất cần tính là
2
10
3
20
2 3
38
C
P
C
  .
Câu 33: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ tập  
X 0;1;2;3;4;5;6;7 .
 Rút
ngẫu nhiên một số thuộc tập S. Tính xác suất để rút được số mà trong số đó, chữ số đứng sau
luôn lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước.
A. 2
7
B. 11
64
C. 3
16
D. 3
32
Chọn C
Từ 8 số đã cho có thể lập được: số có3 chữ số.
Số cần chọn có dạng abc trong đó a b c
  .
TH1: a b c.
  Chọn ra 3 số thuộc tập  
1;2;3;4;5;6;7 ta được 1 số thỏa mãn.

Page 13
Do đó có
3
7
C 35
 số.
TH2: a b c
  có
2
7
C số thỏa mãn.
TH3: a b c
  có
2
7
C số thỏa mãn.
TH4: a b c
  có
1
7
C số thỏa mãn.
Vậy có:
3 2 1
7 7 7
C 2C C 84
   số thỏa mãn chữ số đứng sau luôn lớn hơn bằng chữ số đứng
trước.
Vậy xác suất cần tìm là: 84 3
P .
448 16
 
Câu 34: Đội thanh niên tình nguyện của một trường THPT gồm 15 HS, trong đó có 4 HS khối 12, 5 HS
khối 11 và 6 HS khối 10. Chọn ngẫu nhiên 6 HS đi thực hiện nhiệm vụ. Tính xác suất để 6 HS
được chọn có đủ 3 khối.
A.
4248
.
5005
B.
757
.
5005
C.
151
.
1001
D.
850
.
1001
Lời giải
Chọn D
Số phần tử của không gian mẫu   6
15 5005
n C
   .
Gọi A là biến cố: “6 HS được chọn có đủ 3 khối”.
Xét các trường hợp của biến cố A
+ Số cách chọn được 6 HS bao gồm cả khối 10 và 11:
6 6
11 6
C C

6 6
10 6
C C

6
9
C
+ Số cách chọn được 6 HS khối 10:
6
6
C
Vậy    
6 6 6 6
11 10 9 6 755 5005 755 4250
n A C C C C n A
        
Vậy xác suất cần tìm là:  
4250 850
.
5005 1001
P A  
Câu 35: Từ một hộp chứa 12 quả cầu, trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng, lấy
ngẫu nhiên 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu bằng:
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn C
Số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “Lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu”.
- Trường hợp 1: Lấy 1 quả màu vàng và 2 quả màu đỏ có: cách
- Trường hợp 2: Lấy 1 quả màu vàng và 2 quả màu xanh có: cách
- Trường hợp 3: Lấy 1 quả màu đỏ và 2 quả màu xanh có: cách
- Trường hợp 4: Lấy 1 quả màu xanh và 2 quả màu đỏ có: cách
Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: cách
23
44
21
44
139
220
81
220
  3
12 220
n C
  
2
8 28
C 
2
3 3
C 
1 2
8 3
. 24
C C 
1 2
3 8
. 84
C C 
  28 3 24 84 139
n A     

Page 14
Xác suất cần tìm là:
Câu 36: Có 6 viên bi gồm 2 bi xanh, 2 bi đỏ, 2 bi vàng. Tính xác suất để khi xếp 6 viên bi trên thành
một hàng ngang thì có đúng một cặp bi cùng màu xếp cạnh nhau.
A.
1
3
. B.
2
3
. C.
2
5
. D.
3
5
.
Lời giải
Ta có số phần tử của không gian mẫu là   6!
n  
Gọi A là biến cố “có đúng một cặp bi cùng màu xếp cạnh nhau”.
Chọn một màu bi trong ba màu và cặp màu bi đó xếp cạnh nhau: có 3 cách
Giả sử cặp bi cùng màu xanh xếp cạnh nhau.
TH1: Xếp 2 bi xanh ở vị trí 1,2: có 2 cách.
Vị trí 3 có 4 cách xếp
Vậy có 2.4.2.1.1.2 32
 cách.
TH2: Xếp 2 bi xanh ở vị trí 2, 3: có 2 cách.
Vậy có 2.4.2.1.1.2 32
 cách.
TH3: Xếp 2 bi xanh ở vị trí 3,4: có 2 cách.
Vậy có 2.4.2.2.1 32
 cách.
   
32 32 32 .3 288
n A
    
 
288 2
6! 5
P A
   .
+ Gộp 2 viên bi màu xanh thành 1 bi và gộp 4 viên bi còn lại. Khi đó ta có 2.5! cách xếp.
+ Gộp 2 viên bi màu xanh là 1 bi, gộp 2 bi khác màu xanh thành 1 bi và xếp cùng với 2 bi còn
lại: có 4!.2!.2! cách xếp.
Số cách xếp 2 viên bi màu xanh cạnh nhau và các bi còn lại cùng màu không cạnh nhau là
2.5! 4!.2!.2! 144
 
Câu 37: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Gọi S là tập hợp số tự nhiên có năm chữ số trong đó chữ số 3 có mặt
3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Chọn ngẫu nhiên trong tập S một số, tính xác suất
để số chọn được chia hết cho 3.
A.
2
5
. B.
1
4
. C.
1
3
. D.
2
3
.
Lời giải
 
 
 
139
220
n A
P A
n
 


46 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN NĂM 2023 (BẢN HS-GV).pdf

46 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN NĂM 2023 (BẢN HS-GV).pdf

46 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN NĂM 2023 (BẢN HS-GV).pdf

46 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN NĂM 2023 (BẢN HS-GV).pdf

Recommandé

Contenu connexe

Similaire à 46 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN NĂM 2023 (BẢN HS-GV).pdf

Similaire à 46 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN NĂM 2023 (BẢN HS-GV).pdf(20)

Plus de Nguyen Thanh Tu Collection

Plus de Nguyen Thanh Tu Collection(20)

Dernier

Dernier(14)