Dokumen tersebut membahas tentang penyelesaian pertidaksamaan dan persamaan trigonometri bentuk acosx + bsinx dengan mengubahnya menjadi bentuk kcos(x - α). Terdapat contoh-contoh penyelesaian pertidaksamaan trigonometri dan pengubahan bentuk acosx + bsinx.

1. 1

2. 2
Setelah menyaksikanSetelah menyaksikan
tayangan ini anda dapattayangan ini anda dapat
MenyelesaikanMenyelesaikan
pertidaksamaan trigonometripertidaksamaan trigonometri
dan persamaan trigonometridan persamaan trigonometri
bentuk acosx + bsinxbentuk acosx + bsinx

3. 3
Pertidaksamaan TrigonomteriPertidaksamaan Trigonomteri
pertidaksamaan yang memuatpertidaksamaan yang memuat
fungsi trigonometri dengan peubahfungsi trigonometri dengan peubah
sudutnya belum diketahuisudutnya belum diketahui

4. 4
ContohContoh
bentuk-bentukbentuk-bentuk
pertidaksamaan trigonometripertidaksamaan trigonometri
1.1. sinx < 0, untuk 0sinx < 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360°≤ x ≤ 360°
2.2. √√2.cosx -2.cosx - 11 ≥ 0, untuk 0 ≤ x ≤ 2≥ 0, untuk 0 ≤ x ≤ 2ππ
3.3. tanx ≤ √3, untuk 0 ≤ x ≤ 180°tanx ≤ √3, untuk 0 ≤ x ≤ 180°
4.4. sinsin22
x >x > ¼,¼, untukuntuk ––ππ ‹‹ xx ‹‹ ππ

5. 5
Himpunan penyelesaian dari suatuHimpunan penyelesaian dari suatu
pertidaksamaan trigonometripertidaksamaan trigonometri
berupa satu atau beberapaberupa satu atau beberapa
interval peubah sudutinterval peubah sudut

6. 6
Himpunan penyelesaian dari suatuHimpunan penyelesaian dari suatu
pertidaksamaan trigonometripertidaksamaan trigonometri
ditentukan dengan dua cara:ditentukan dengan dua cara:
• sketsa grafik fungsi trigonometrisketsa grafik fungsi trigonometri
• garis bilangangaris bilangan

7. 7
Dengan garis bilanganDengan garis bilangan
langkah-langkahnyalangkah-langkahnya
1.1. Tentukan harga-harga nolTentukan harga-harga nol
(pembuat nol fungsi).(pembuat nol fungsi).
2.2. Gambarkan harga-harga nolGambarkan harga-harga nol
pada garis bilangan.pada garis bilangan.

8. 8
3. Tentukan tanda (positif atau3. Tentukan tanda (positif atau
negatif) pada setiap ruas garisnegatif) pada setiap ruas garis
dengan menguji salah satudengan menguji salah satu
harga x di salah satu ruas garis.harga x di salah satu ruas garis.
4. Tentukan himpunan penyelesaian4. Tentukan himpunan penyelesaian
sesuai dengan soal.sesuai dengan soal.

9. 9
Contoh 1Contoh 1
Himpunan penyelesaian dariHimpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan sinxpertidaksamaan sinx° >° > ½½,,
untuk 0 ≤ x ≤ 360untuk 0 ≤ x ≤ 360
adalah….adalah….

10. 10
PenyelesaianPenyelesaian
▪▪ Harga nol dari persamaan sinxHarga nol dari persamaan sinx° =° = ½½,,
pada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalahpada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalah
30° dan 150°30° dan 150°
▪▪
▪▪ tentukan nilai sinx -tentukan nilai sinx - ½½ pada salahpada salah
satu ruas garis (interval garis)satu ruas garis (interval garis)
misal x = 90°misal x = 90° →→ sin90° -sin90° - ½½ == ½½ > 0> 0
30° 150°
+
0° 360°

11. 11
▪▪ x = 90°x = 90° →→ sin90° -sin90° - ½½ = 1 -= 1 - ½½ > 0> 0
▪▪ karena sinx >½ atau sinx - ½ > 0karena sinx >½ atau sinx - ½ > 0
maka himpunan penyelesaiannyamaka himpunan penyelesaiannya
adalah {x / 30° < x < 150°}adalah {x / 30° < x < 150°}
0° 360°
30° 150°
+

12. 12
Contoh 2Contoh 2
Himpunan penyelesian dariHimpunan penyelesian dari
pertidaksamaan cosxpertidaksamaan cosx° ≤° ≤ ½½√2,√2,
untuk 0 ≤ x ≤ 360untuk 0 ≤ x ≤ 360
adalah….adalah….

13. 13
PenyelesaianPenyelesaian
▪▪ Harga nol dari cosxHarga nol dari cosx° =° = ½√2½√2,,
pada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalahpada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalah
45° dan 315°45° dan 315°
▪▪
▪▪ uji interval 0°≤ x < 45° denganuji interval 0°≤ x < 45° dengan
mengambil x = 30°→ cosx - ½√2 =mengambil x = 30°→ cosx - ½√2 =
cos30°-cos30°- ½½√2 =√2 = ½½√3 -√3 - ½½√2 > 0√2 > 0
45° 315°
+
0° 360°
+

14. 14
▪▪ x = 30°x = 30° →→ cos30° -cos30° - ½√2½√2 > 0> 0
▪▪ karena cosx ≤karena cosx ≤ ½√2½√2 atauatau
cosx -cosx - ½√2½√2 ≤ 0 (berarti negatif)≤ 0 (berarti negatif)
maka himpunan penyelesaiannyamaka himpunan penyelesaiannya
adalah {x / 45° ≤ x ≤ 315°}adalah {x / 45° ≤ x ≤ 315°}
+
0° 360°45° 315°
+

15. 15
Contoh 3Contoh 3
Himpunan penyelesian dariHimpunan penyelesian dari
pertidaksamaan 2sin2xpertidaksamaan 2sin2x° <° < 11,,
untuk 0 ≤ x ≤ 180untuk 0 ≤ x ≤ 180
adalah….adalah….

16. 16
PenyelesaianPenyelesaian
▪▪ Pembuat nol dari 2sin2x = 1Pembuat nol dari 2sin2x = 1
→→ sin2x =sin2x = ½½ → sin2x = sin 30→ sin2x = sin 30
2x = 30 +2x = 30 + kk.360.360
x = 15 +x = 15 + kk.180.180
kk = 0 diperoleh x = 15°= 0 diperoleh x = 15°
2x = (180 – 30) + k.3602x = (180 – 30) + k.360
x = 75 +x = 75 + kk.180.180

17. 17
x = 75 +x = 75 + kk.180.180
kk = 0 → x = 75°= 0 → x = 75°
▪▪ harga x = 15° dan x = 75° digambarharga x = 15° dan x = 75° digambar
pada garis bilanganpada garis bilangan
▪▪ diuji x = 45° → sin2x -diuji x = 45° → sin2x - ½½ = 1 - ½ > 0= 1 - ½ > 0
▪▪ yang diminta sin2x - ½ < 0 (negatif)yang diminta sin2x - ½ < 0 (negatif)
jadi, himpunan penyelesaiannya:jadi, himpunan penyelesaiannya:
{x/0° ≤ x < 15° atau 75°< x ≤ 180°}{x/0° ≤ x < 15° atau 75°< x ≤ 180°}
0° 180°15° 75°
+

18. 18
Contoh 4Contoh 4
Himpunan penyelesian dariHimpunan penyelesian dari
pertidaksamaan cos(2xpertidaksamaan cos(2x + 30)° <+ 30)° < ½½,,
untuk 0 ≤ x ≤ 180untuk 0 ≤ x ≤ 180
adalah….adalah….

19. 19
PenyelesaianPenyelesaian
▪▪ Pembuat nol dari cos(2x + 30) =Pembuat nol dari cos(2x + 30) = ½½
→→ cos(2x + 30) = cos 60cos(2x + 30) = cos 60
2x + 30 = 60 +2x + 30 = 60 + kk.360.360
2x = 30 +2x = 30 + kk.360.360
x = 15 +x = 15 + kk.180.180
kk = 0 diperoleh x = 15°= 0 diperoleh x = 15°
2x + 30 = -60 + k.3602x + 30 = -60 + k.360

20. 20
cos(2x + 30) = cos 60cos(2x + 30) = cos 60
2x + 30 = -60 +2x + 30 = -60 + kk.360.360
2x = -90 +2x = -90 + kk.360.360
x = -45 +x = -45 + kk.180.180
kk = 1 diperoleh x = 135°= 1 diperoleh x = 135°
▪▪ harga x = 15° dan x = 135°harga x = 15° dan x = 135°
digambar pada garis bilangandigambar pada garis bilangan
0° 180°15° 135°

21. 21
0° 180°15° 135°
▪▪ Diuji interval 15 < x < 135 denganDiuji interval 15 < x < 135 dengan
mengambil x = 30mengambil x = 30 →→
cos(2x + 30) - ½ = cos90 - ½ < 0cos(2x + 30) - ½ = cos90 - ½ < 0
▪▪ yang diminta cos(2x + 30)° -yang diminta cos(2x + 30)° - ½½ < 0< 0
(negatif). Jadi, himpunan(negatif). Jadi, himpunan
penyelesaiannya adalahpenyelesaiannya adalah
{x / 15°< x < 135°}{x / 15°< x < 135°}
+ +

22. 22
Bentuk : a.cosx + b.sinxBentuk : a.cosx + b.sinx
Bentuk acosx + bsinxBentuk acosx + bsinx
dapat diubah ke bentukdapat diubah ke bentuk
k.cos(x –k.cos(x – αα))
dengan k =dengan k =
tantan αα ==
0 ≤0 ≤ αα ≤ 360≤ 360
22
ba +
a
b

23. 23
tan α =
sudut α dapat terletak
di kuadran I, II, III atau IV
tergantung tanda a dan b
a
b
tanda a dan btanda a dan b αα di kuadrandi kuadran
a > 0, b > 0a > 0, b > 0
a < 0, b > 0a < 0, b > 0
a < 0, b < 0a < 0, b < 0
a > 0, b < 0a > 0, b < 0
II
IIII
IIIIII
IVIV

24. 24
Contoh 1Contoh 1
Ubahlah bentuk cosx +Ubahlah bentuk cosx + √3sinx√3sinx
menjadi bentuk kcos(x –menjadi bentuk kcos(x – αα))

25. 25
JawabJawab
cosx + √3sinxcosx + √3sinx →→ a = 1 dan b = √3a = 1 dan b = √3
k =k =
k =k =
tantan αα ==
αα = 60°= 60°
Jadi,Jadi, cosx + √3sinxcosx + √3sinx dapat di ubahdapat di ubah
menjadimenjadi 2cos(x – 60°)2cos(x – 60°)
22
ba +
22
)3(1 + 2=
a
b
I)kuadrandi(3
1
3
α==

26. 26
Contoh 2Contoh 2
Ubahlah bentuk -Ubahlah bentuk -√3√3cosx +cosx + sinxsinx
menjadi bentuk kcos(x –menjadi bentuk kcos(x – αα))

27. 27
JawabJawab
-√3cosx + sinx-√3cosx + sinx →→ a = -√3 dan b = 1a = -√3 dan b = 1
k =k =
k =k =
tantan αα ==
αα = (180 – 30)° = 150°= (180 – 30)° = 150°
Jadi,Jadi, -√3cosx + sinx-√3cosx + sinx dapat di ubahdapat di ubah
menjadimenjadi 2cos(x – 150°)2cos(x – 150°)
22
ba +
22
1)3( +− 2=
a
b
II)kuadrandi(3
3
1
3
1
α−=
−
=

28. 28
Contoh 3Contoh 3
Ubahlah bentuk cosx –Ubahlah bentuk cosx – sinxsinx
menjadi bentuk kcos(x –menjadi bentuk kcos(x – αα))

29. 29
JawabJawab
cosx – sinxcosx – sinx →→ a = 1 dan b = -1a = 1 dan b = -1
k =k =
k =k =
tantan αα ==
αα = (360 – 45)° = 315°= (360 – 45)° = 315°
Jadi,Jadi, cosx - sinxcosx - sinx dapat di ubahdapat di ubah
menjadimenjadi √2cos(x – 315°)√2cos(x – 315°)
22
ba +
22
)1(1 −+ 2=
a
b
IV)kuadrandi(1
1
1
α−=
−
=

30. 30
Contoh 4Contoh 4
BentukBentuk √3√3cosx –cosx – sinx dapat diubahsinx dapat diubah
menjadi bentuk kcos(x –menjadi bentuk kcos(x – αα))
adalah….adalah….
a. 2cos(x - )a. 2cos(x - )
b. 2cos(x - )b. 2cos(x - )
c. 2cos(x - )c. 2cos(x - )
d. 2cos(x - )d. 2cos(x - )
e. 2cos(x - )e. 2cos(x - )
π6
1
π3
1
π6
5
π3
4
π6
11

31. 31
Jawab
√3cosx – sinx → a = √3 dan b = -1
k =
k =
tan α =
α = (2π – ) =
Jadi, √3cosx - sinx dapat di ubah
menjadi 2cos(x – ) → e→ e
22
ba +
22
)1()3( −+ 2=
a
b
IV)kuadrandi(3
3
1
3
1
α−=
−
=
π6
1 π6
11
π6
11

32. 32
Contoh 4Contoh 4
BentukBentuk √3√3cosx –cosx – sinx dapat diubahsinx dapat diubah
menjadi bentuk kcos(x –menjadi bentuk kcos(x – αα))
adalah….adalah….
a. 2cos(x - )a. 2cos(x - )
b. 2cos(x - )b. 2cos(x - )
c. 2cos(x - )c. 2cos(x - )
d. 2cos(x - )d. 2cos(x - )
e. 2cos(x - )e. 2cos(x - )
π6
1
π3
1
π6
5
π3
4
π6
11

33. 33
Persamaan : a.cosx + b.sinx = cPersamaan : a.cosx + b.sinx = c
Langkah-langkah penyelesaiannya:Langkah-langkah penyelesaiannya:
▪▪ ruas kiri ubah ke bentuk kcos(x –ruas kiri ubah ke bentuk kcos(x – αα))
▪▪ kcos(x –kcos(x – αα) = c → cos(x –) = c → cos(x – αα) = c/k) = c/k
▪▪ selesaikan persamaan sederhananyaselesaikan persamaan sederhananya
Syarat dapat diselesaikan:Syarat dapat diselesaikan:
-k ≤ c ≤ k atau lcl ≤-k ≤ c ≤ k atau lcl ≤
22
ba +

34. 34
Contoh 1Contoh 1
Nilai x yang memenuhi persamaanNilai x yang memenuhi persamaan
--√2 cosx° + √2 sinx° = 1√2 cosx° + √2 sinx° = 1
untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah….untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah….
jawab:jawab:
▪▪ a = -√2 dan b = √2a = -√2 dan b = √2
→→ k =k =
tantanαα ==
22
)2()2( +− 222 =+=
II)kuadrandi(1
2
2
α−=
−

35. 35
tantanαα ==
→→ αα = 135= 135
▪▪ 2cos(x – 135) = 12cos(x – 135) = 1
→→ cos(x – 135) =cos(x – 135) = ½½
x – 135 = 60 +x – 135 = 60 + kk.360.360
x = 195 +x = 195 + kk.360.360
kk = 0 → x = 195= 0 → x = 195
II)kuadrandi(α1
2
2
−=
−

36. 36
→→ cos(x – 135) =cos(x – 135) = ½½
x – 135 = -60 +x – 135 = -60 + kk.360.360
x = 75 +x = 75 + kk.360.360
kk = 0 → x = 75= 0 → x = 75
Jadi, nilai x yang memenuhiJadi, nilai x yang memenuhi
adalahadalah 7575 atauatau 195195

37. 37
Contoh 2Contoh 2
Himpunan penyelesaian persamaanHimpunan penyelesaian persamaan
√√3 cosx° - 3sinx° = √33 cosx° - 3sinx° = √3
untuk 0 ≤ x < 360 adalah….untuk 0 ≤ x < 360 adalah….
jawab:jawab:
▪▪ a = √3 dan b = -3a = √3 dan b = -3
→→ k =k =
tantanαα ==
22
3)()3( −+ 3212 ==
IV)kuadrandi(α3
3
3
−=
−

38. 38
tantanαα ==
→→ αα = 300= 300
▪▪ 2√3cos(x – 300) = √32√3cos(x – 300) = √3
→→ cos(x – 300) =cos(x – 300) = ½½
x – 300 = 60 +x – 300 = 60 + kk.360.360
x = 360 +x = 360 + kk.360.360
kk = -1 → x = 0= -1 → x = 0
IV)kuadrandiα(3
3
3
−=
−
1

39. 39
→→ cos(x – 300) =cos(x – 300) = ½½
x – 300 = -60 +x – 300 = -60 + kk.360.360
x = 240 +x = 240 + kk.360.360
kk = 0 → x = 240= 0 → x = 240
Jadi, himpunan penyelesaiannyaJadi, himpunan penyelesaiannya
adalah {adalah { 0, 2400, 240 }}

40. 40
Contoh 3Contoh 3
Himpunan penyelesaian persamaanHimpunan penyelesaian persamaan
2√3 cos2x° - 4sinxcosx = 22√3 cos2x° - 4sinxcosx = 2
untuk 0 ≤ x ≤ 2untuk 0 ≤ x ≤ 2ππ adalah….adalah….
jawab:jawab:
▪▪ 2√3cos2x – 2.2sinxcosx = 22√3cos2x – 2.2sinxcosx = 2
2√3cos2x – 2.sin2x = 22√3cos2x – 2.sin2x = 2
√√3cos2x – sin2x = 13cos2x – sin2x = 1
1

41. 41
▪ √▪ √3cos2x – sin2x = 13cos2x – sin2x = 1
a = √3, b = -1 → k =a = √3, b = -1 → k =
= 2= 2
tantan αα ==
αα = 360° – 30° = 330°= 360° – 30° = 330°
▪▪ 2cos(2x - 330°) = 12cos(2x - 330°) = 1
cos(2x – 330°) =cos(2x – 330°) = ½½
2x – 330 = 60 +2x – 330 = 60 + kk.360.360
22
1)3( +
IV)kuadrandiα(3
3
1
3
1
−=
−

42. 42
▪▪ 2x – 330° = 60° +2x – 330° = 60° + kk.360°.360°
2x = 390° +2x = 390° + k.k.360°360°
x = 195° +x = 195° + kk.180°.180°
kk = -1 → x = 15° → x == -1 → x = 15° → x =
kk = 0 → x = 195°→ x == 0 → x = 195°→ x =
▪▪ 2x – 330° = -60° +2x – 330° = -60° + kk.360°.360°
2x = 270° +2x = 270° + kk.360°.360°
x = 135° +x = 135° + kk.180°.180°
π12
1
π12
13

43. 43
x = 135° +x = 135° + kk.180°.180°
kk = 0 → x = 135° → x == 0 → x = 135° → x =
kk = 1 → x = 315° → x == 1 → x = 315° → x =
Jadi, himpunan penyelesaiannyaJadi, himpunan penyelesaiannya
adalahadalah
π4
3
π4
7
{ }ππππ 4
7
12
13
4
3
12
1
,,,

44. 44
SELAMAT BELAJARSELAMAT BELAJAR