FMIPA Unpad

1. 1. FUNGSI GAMMA &
FUNGSI BETA
KPB 1

2. KPB 2
FUNGSI GAMMA
Fungsi Gamma, ditulis sebagai
1
0
( ) n x
n x e dx
∞
− −
Γ = ∫
( 1) ( ), dengan (1) 1n n nΓ + = Γ Γ =
( ),nΓ didefinisikan sebagai
yang konvergen untuk 0.n >
Formula berulang (rekursif) untuk fungsi gamma :
(1)
(2)

3. KPB 3
Bukti:
0
( 1) n x
n x e dx
∞
−
Γ + = ∫
0
lim
a
n x
a
x e dx−
→∞
= ∫
1
0
lim ( ) ( )( )
0
a
n x n x
a
a
x e n x e dx− − −
→∞
 
= − − − 
 
∫
1
0
lim
a
n a n x
a
a e n x e dx− − −
→∞
 
= − + 
 
∫
( )n n= Γ jika 0n >

4. KPB 4
0
(1) x
e dx
∞
−
Γ = ∫
0
lim lim
0
a
x x
a a
a
e dx e− −
→∞ →∞
= = −∫
( )lim 1 1.a
a
e−
→∞
= − + =
Dari (2),
(2) 1 (1) 1, (3) 2 (2) 2.1 2, (4) 3.2.1 3! 6Γ = Γ = Γ = Γ = = Γ = = =
dapat ditentukan untuk semua harga( )nΓ 0, jika1 2n n> ≤ <
(atau sebarang interval yang panjangnya satu) diketahui.

5. KPB 5
jika n bilangan bulat positif, maka
( 1) !, 1,2,3,...n n nΓ + = =
( dari bentuk ini, ( )nΓ disebut juga fungsi faktorial.
Sehingga, kita punyai,
(6) 5! 120Γ = =
(5) 4!
12.
(3) 2!
Γ
= =
Γ
(3)
Bagaimana fungsi gamma untuk n= 0 dan n < 0 ?

6. KPB 6
1/2 2
0
1
,misal 2
2
x
x e dx x u dx udu
∞
− − 
Γ = = → = ÷
 
∫
2 2
2
0 0
1
2 2
2
u v
e du e dv
∞ ∞
− −
    
Γ =    ÷ ÷
     
∫ ∫
2 2
( )
0 0
4 u v
e dudv
∞ ∞
− +
= ∫∫
2
2 1/2
0
2 ( ) u
u e udu
∞
− −
= ∫
Ubah ke polar, karena u,v di kuadran 1, maka 0 ,0
2
r
π
θ≤ < ∞ ≤ ≤
Disini,
2
0
2 u
e du
∞
−
= ∫

7. KPB 7
2 2
2
( )
0 0
1
4
2
u v
e dudv
∞ ∞
− +  
Γ = ÷ ÷
  
∫∫
2
/ 2
0 0
4 r
e r dr d
π
θ
∞
−
= ∫ ∫
2
/ 2
0 0
4 lim
a
r
a
e rdr d
π
θ−
→∞
 
=  ÷
 
∫ ∫
2
/ 2
0
1
4 lim
02
r
a
a
e d
π
θ−
→∞
  
= − ÷ ÷ ÷
  
∫
2
/2
0
1 1
4 lim
2 2
a
a
e d
π
θ−
→∞
  
= − + ÷ ÷
  
∫
/2
0
/ 2
2 2
0
d
π
π
θ θ π= = =∫
1
2
π
 
Γ = ÷
 
Jadi,

8. KPB 8
Dari hasil ini dan (2), bentuk ( ),nΓ dapat diperumum untuk n < 0,
( 1)
( )
n
n
n
Γ +
Γ =
Contoh : Tentukan nilai dari
1
1 2
2 ,
2 1/ 2
π
 
Γ ÷
   Γ − = = − ÷
− 
1 3 5
, ,
2 2 2
     
Γ − Γ Γ − ÷  ÷  ÷
     
Jawab:
1
3 42
2 3/ 2 3
π
 
Γ − ÷
   Γ − = = ÷
− 
3
5 4 2 82
.
2 5/ 2 3 5 15
π
π
 
Γ − ÷
    ⇒ Γ − = = − = − ÷  ÷
−   
3 1 1
2 2 2 2
π   
Γ = Γ = ÷  ÷
   
(4)

9. KPB 9
Untuk n = 0 ;
( ) 1
0
0 x
x e dx
∞
− −
Γ = ∫
Untuk n = -1,-2,… ;
Dari persamaan (4),
( )
( )1 (0)
( 1)
1
n
n
n
Γ + Γ
Γ = ⇒Γ − =
−
Karena (0)Γ tidak terdefinisi, maka ( 1)Γ − tidak terdefinisi.
Akibatnya fungsi gamma tidak terfdefinisi pada bilangan bulat negatif.
 divergen
Maka (0)Γ tidak terdefinisi.

10. KPB 10
Tabel nilai fungsi Gamma
( )nΓn
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,8
1,7
1,9
1,000
0,9182
0,9514
0,8975
0,8873
0,8862
0,8935
0,9086
0,9314
0,9618
2,0 1,000

11. KPB 11
Penggunaan fungsi Gamma dalam perhitungan integral
Contoh:
Hitung
3
0
. y
a y e dy
∞
−
∫
2
4
0
. 3 z
b dz
∞
−
∫
1
0
.
ln
dx
c
x−
∫

12. KPB 12
Jawab:
3
3 2
2
0
. ; misal 3
3
y dx
a y e dy y x y dy dx dy
y
∞
−
= → = → =∫
3
0
y
y e dy
∞
−
=∫
1/3
2
0
1
3
x
x e dx
y
∞
−
∫
1/6 2/3
0
1
3
x
x e x dx
∞
− −
= ∫
1/2
0
1
3
x
x e dx
∞
− −
= ∫
(1/ 2)Γ
1
(1/ 2)
3
= Γ .
3
π
=

13. KPB 13
Jawab:
2
4
0
. 3 z
b dz
∞
−
∫ ( )
2
ln3 4
0
z
e dz
∞
−
= ∫
2
(4ln3)
0
z
e dz
∞
−
= ∫
misal
2
(4ln3) (2.4ln3)z x z dz dx= → =
2
(4ln3)
0 0
(2.4ln3)
z x dx
e dz e
z
∞ ∞
− −
=∫ ∫
1/ 2
0
4ln3
2.4ln3
x x
e dx
∞ −
−
= ∫
1
(1/ 2)
2 4ln3
= Γ
ln3
4ln34 ln3
π π
= =
;
4ln3
x
z =

14. KPB 14
1
0
.
ln
dx
c
x−∫
misal ln u u
x u x e dx e du− −
− = → = → = −
bila 1 0, 0x u x u= → = = → = ∞
maka
1 0
0 ln
u
dx e
du
x u
−
∞
= −
−∫ ∫
1/2
0 0
u
ue
du u e du
u
∞ ∞−
− −
= =∫ ∫
1
.
2
π
 
= Γ = ÷
 

15. KPB 15
Latihan
(6)
.
2 (3)
a
Γ
Γ
1. Tentukan nilai dari
(7 / 2)
.
(1/ 2)
b
Γ
Γ
8
2
3
.
2
5
3
d
 
Γ ÷
 
 
Γ ÷
 
2. Hitung
3
0
. x
a x e dx
∞
−
∫
6 3
0
. x
b x e dx
∞
−
∫
2
2 2
0
. x
c x e dx
∞
−
∫
3
0
. x
d e dx
∞
−
∫ 4
0
. x
e x e dx
∞
−
∫
5
3 2
0
. y
f y e dy
∞
−
∫
. ( 7 / 2)c Γ −

16. KPB 16
3. Hitung
( )
1
4
0
. lna x dx∫
( )
1
3
0
. lnb x x dx∫
1
3
0
. ln(1/ )c x dx∫

17. KPB 17
FUNGSI BETA
Fungsi Beta, ditulis sebagai
1
1 1
0
( , ) (1 )m n
m n x x dx− −
Β = −∫
1. ( , ) ( , )m n n mΒ = Β
( , ),m nΒ didefinisikan sebagai
yang konvergen untuk , 0.m n >
Sifat-sifat fungsi Beta:
(5)
(6)
/ 2
2 1 2 1
0
2. ( , ) 2 sin cosm n
m n d
π
θ θ θ− −
Β = ∫ (7)

18. KPB 18
1. ( , ) ( , )m n n mΒ = Β
Bukti :
1
1 1
0
( , ) (1 )m n
m n x x dx− −
Β = −∫
misal 1x y= −
1
1 1
0
( , ) (1 )m n
m n y y dy− −
Β = −∫
1
1 1
0
(1 )n m
y y dy− −
= −∫
( , ) ( , )m n n mΒ = Β

19. KPB 19
Bukti :
1
1 1
0
( , ) (1 )m n
m n x x dx− −
Β = −∫
misal
2
sin 2sin cosx dx dθ θ θ θ= → =
/ 2
2 1 2 1
0
( , ) (sin ) (cos ) 2sin cosm n
m n d
π
θ θ θ θ θ− −
Β = ∫
/2
2 1 2 1
0
( , ) 2 sin cosm n
m n d
π
θ θ θ− −
Β = ∫
/ 2
2 1 2 1
0
2. ( , ) 2 sin cosm n
m n d
π
θ θ θ− −
Β = ∫

20. KPB 20
( ) ( )
1. ( , ) , , 0
( )
m n
m n m n
m n
Γ Γ
Β = >
Γ +
Hubungan fungsi Beta dan fungsi Gamma :
(8)
Bukti :
1 2
0
( ) , 2m z
m z e dz z x dz xdx
∞
− −
Γ = = → =∫
2
2 1
0
2 m x
x e dx
∞
− −
= ∫
2
2 1
0
( ) 2 n y
n y e dy
∞
− −
Γ = ∫
1
0
2. ( ) (1 ) , 0 1
1 sin
p
x
dx p p p
x p
π
π
∞ −
= Γ Γ − = < <
+∫ (9)

21. KPB 21
2 2
2 1 2 1
0 0
( ) ( ) 2 2m x n y
m n x e dx y e dy
∞ ∞
− − − −
  
Γ Γ =  ÷ ÷
  
∫ ∫
2 2
2 1 2 1 ( )
0 0
4 m n x y
x y e dxdy
∞ ∞
− − − +
= ∫∫
2
/ 2
2 1 2 1
0 0
4 ( cos ) ( sin )m n r
r r e rdrd
π
θ θ θ
∞
− − −
= ∫ ∫
2
/ 2
2( ) 1 2 1 2 1
0 0
4 cos sinm n r m n
r e drd
π
θ θ θ
∞
+ − − − −
= ∫ ∫

22. KPB 22
2
/2
2( ) 1 2 1 2 1
0 0
( ) ( ) 4 cos sinm n r m n
m n r e drd
π
θ θ θ
∞
+ − − − −
Γ Γ = ∫ ∫
2
/2
2( ) 1 2 1 2 1
0 0
4 cos sinm n r m n
r e dr d
π
θ θ θ
∞
+ − − − −
  
=  ÷ ÷
  
∫ ∫
/ 2
2 1 2 1
0
2 ( ) sin cosn m
m n d
π
θ θ θ− −
= Γ + ∫
( ) ( , )m n n m= Γ + Β
( ) ( ) ( ) ( , )m n m n m nΓ Γ = Γ + Β
( ) ( )
( , ) , , 0.
( )
m n
m n m n
m n
Γ Γ
⇒ Β = >
Γ +
misalkan,
2
r u=

23. KPB
23
Penggunaan fungsi beta dalam perhitungan integral
Contoh :
1. Hitung ( )
1
34
0
1x x dx−∫
( )
1
34
0
1 (5,4)x x dx− = Β∫
(5) (4) 4!3! 4!6 1
(9) 8! 8.7.6.5.4! 280
Γ Γ
= = = =
Γ

24. 24
2. Hitung
2 2
0 2
x
dx
x−
∫
Misal 2 2x u dx du= → =
2 12 2
0 0
4
2
2 2 2
x u
dx du
x u
=
− −
∫ ∫
1 2
0
8
2 1
u
du
u
=
−∫
1
2 1/2
0
4 2 (1 )u u du−
= −∫
1
4 2 3,
2
 
= Β ÷
 
(3) (1/ 2) 4 2 2.
4 2
5 3 1(7 / 2) . . (1/ 2)
2 2 2
πΓ Γ
= =
Γ Γ
4 2 2. 64 2
.
5 3 1 15. .
2 2 2
π
π
= =

25. kPB 25
3. Hitung
/ 2
6
0
sin d
π
θ θ∫
7
2 1 6 ,
2
m m− = → =
Dengan menggunakan persamaan (7) dan (8), kita punya
/ 2
2 1 2 1
0
1 ( ) ( )
sin cos ( , )
2 2 ( )
m n m n
d B m n
m n
π
θ θ θ− − Γ Γ
= =
Γ +∫
Misal
1
2 1 0
2
n n− = → =
Maka
/ 2
6
0
1 7 1 (7/ 2) (1/ 2)
sin ,
2 2 2 2 (4)
d B
π
θ θ
Γ Γ 
= = ÷
Γ 
∫
5 3 1
(1/ 2) (1/ 2)
2 2 2
2.3!
   
Γ Γ ÷ ÷ ÷
   =
5
.
32
π
=

26. KPB 26
Latihan
3
. ,2
2
a
 
Β ÷
 
1. Hitung
2. Hitung
1
2 3
0
. (1 )a x x dx−∫
4
3/2 5/ 2
0
. (4 )c u u du−∫
1 2
. ,
3 3
b
 
Β ÷
 
1
0
1
.
x
b dx
x
−
∫
/2
5 2
0
. cos sind d
π
θ θ θ∫
3. Tunjukkan
/ 2
0
. tan
2
a d
π
π
θ θ =∫
2
4
0
.
1 2 2
y
b dy
y
π∞
=
+∫