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     Etude d'une fonction - Bac S Liban 2009
     Exercice 2

     8 points - Commun à tous candidats


     On considère la fonction        définie sur    par




     La courbe      représentative de la fonction  dans le plan muni d'un repère orthogonal est donnée en annexe.
     Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.




     Partie A


1.
a.Déterminer la limite de la fonction          en     .


b.Montrer que la droite          d'équation               est asymptote à la courbe   . Tracer   .

c.Étudier la position relative de          et de      .


d.Montrer que pour tout réel                                          .

e.En déduire la limite de       en         .

2.
a.On note       la fonction dérivée de la fonction        .


     Montrer que pour tout      réel,                           .
b.En déduire les variations de la fonction           .


   Partie B


   Soit     un entier naturel non nul. On appelle             , l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la

   courbe         , la droite      d'équation                  et les droites d'équations            et        .




1.Justifier que pour tout entier naturel       non nul,                                          .


2.On admet que pour tout réel        ,                                   .
   Montrer que pour tout entier naturel            supérieur ou égal à 1,              .

   La suite              est-elle convergente?


   Partie C


   Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe                     .


   On note           la tangente à la courbe             au point d'abscisse 0.


1.Calculer le coefficient directeur de             puis construire           sur le graphique.

2.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise
   en compte dans l'évaluation.
   Soient       et      deux points de la courbe              d'abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite
              est parallèle à la droite        .




   §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§


   Bac S Amérique du Nord 2011 - Fonctions et
   suites
   Exercice 4

   Partie A

   On considère la fonction       définie sur                 par



1. Étudier les variations de la fonction       .

2. Déterminer le signe de           suivant les valeurs de           .
3. En déduire que pour tout        de                :            .

     Partie B

     On considère la fonction      définie sur [0;1] par




     La courbe       représentative de la fonction         dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée ci-
     dessous.




     Cette figure sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.


     On admet que      est strictement croissante sur [0;1].


1. Montrer que pour tout        de [0;1],                   .

2. Soit (D) la droite d'équation             .


a. Montrer que pour tout        de [0;1],                                  .

b. Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe         sur [0;1].

3.
a. Déterminer une primitive de          sur [0;1].

b. Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe          , la droite (CD) et les droites
   d'équations           et          .
Partie C

   On considère la suite        définie par :



                      , pour tout entier naturel


1. Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de
   construction.


2. Montrer que pour tout entier naturel    :                         .

3. En déduire que la suite       est convergente et déterminer sa limite.

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  • 1. Partager|Share on printShare on emailShare on twitterShare on facebookShare on googleShare on favorites Etude d'une fonction - Bac S Liban 2009 Exercice 2 8 points - Commun à tous candidats On considère la fonction définie sur par La courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthogonal est donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve. Partie A 1. a.Déterminer la limite de la fonction en . b.Montrer que la droite d'équation est asymptote à la courbe . Tracer . c.Étudier la position relative de et de . d.Montrer que pour tout réel . e.En déduire la limite de en . 2. a.On note la fonction dérivée de la fonction . Montrer que pour tout réel, .
  • 2. b.En déduire les variations de la fonction . Partie B Soit un entier naturel non nul. On appelle , l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe , la droite d'équation et les droites d'équations et . 1.Justifier que pour tout entier naturel non nul, . 2.On admet que pour tout réel , . Montrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, . La suite est-elle convergente? Partie C Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe . On note la tangente à la courbe au point d'abscisse 0. 1.Calculer le coefficient directeur de puis construire sur le graphique. 2.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Soient et deux points de la courbe d'abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite est parallèle à la droite . §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ Bac S Amérique du Nord 2011 - Fonctions et suites Exercice 4 Partie A On considère la fonction définie sur par 1. Étudier les variations de la fonction . 2. Déterminer le signe de suivant les valeurs de .
  • 3. 3. En déduire que pour tout de : . Partie B On considère la fonction définie sur [0;1] par La courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée ci- dessous. Cette figure sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve. On admet que est strictement croissante sur [0;1]. 1. Montrer que pour tout de [0;1], . 2. Soit (D) la droite d'équation . a. Montrer que pour tout de [0;1], . b. Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe sur [0;1]. 3. a. Déterminer une primitive de sur [0;1]. b. Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe , la droite (CD) et les droites d'équations et .
  • 4. Partie C On considère la suite définie par : , pour tout entier naturel 1. Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction. 2. Montrer que pour tout entier naturel : . 3. En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite. Corrigé