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TNS H. Garnier
1
Hugues GARNIER
hugues.garnier@univ-lorraine.fr
Version du 2 novembre 2020
Signaux à temps continu
-
Rappels
TNS H. Garnier
2
Signaux à temps continu
• Définition
– Ils sont généralement décrits mathématiquement sous la
forme d’une fonction s(t) où la variable t est associée au temps
– La continuité porte sur le temps, ceci par opposition aux
signaux à temps discret qui ne sont définis que pour un
ensemble dénombrable de valeurs du temps
0
s(k )
k
t
0
s(t)
TNS H. Garnier
3
Causalité
• Signal causal
– Un signal est causal s’il est nul pour tous les instants négatifs
• Signal non causal
– Un signal est non causal s’il n’est pas nul pour tous les
instants négatifs.
• Signal anti-causal
– Un signal est anti-causal s’il est nul pour tous les instants
positifs
t
x(t)
0
t
x(t)
0
t
x(t)
0
x(t ) = 0 ∀ t < 0
x(t ) = 0 ∀ t > 0
TNS H. Garnier
4
Modélisation mathématique de signaux
• Signal expérimental (ou réel)
– Un signal expérimental est souvent un signal électrique délivré
par un appareil. On mesure son évolution au cours du temps.
– Il répond à un ensemble de contraintes. Il doit être :
• à amplitude bornée
• à support borné (existence de durée finie)
• continu
• causal
• à énergie finie
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5
Modélisation mathématique de signaux
• Signal théorique
– Sur le plan théorique, un signal est représenté par une fonction
à valeurs réelles ou complexes qui permet de faciliter son étude
– Ainsi les modèles de signaux théoriques possèdent des
caractéristiques différentes des signaux expérimentaux. Un
signal théorique peut être :
• à amplitude non bornée
• à support non borné (existence de durée infinie)
• discontinu
• non causal (amplitude non nulle pour les instants négatifs)
• à énergie infinie
TNS H. Garnier
6
Signal expérimental/théorique - Exemples
Signal théorique
• à support non borné
(existence de durée
infinie)
• non causal
s (t)
t
0
To
1
-1
0
1
t
s(t)
Signal expérimental
• à amplitude bornée
• continu
• à support borné (existence de
durée finie)
• causal (nul pour tous les instants
négatifs)
• à énergie finie
TNS H. Garnier
7
Sous-classes de signaux à temps continu
Classification en fonction de leur caractère périodique
Sinusoïdaux Périodiques
composites
Pseudo
aléatoires
Périodiques
Non
transitoires
Transitoires
Non périodiques
Signaux à temps continu
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8
Signal périodique
Graphiquement, un signal périodique x(t)
est la répétition à l’infini d’un signal défini
sur une période appelé motif m(t). x(t) peut
s’écrire comme la somme infinie des versions
avancées/retardées du motif m(t) :
x(t + kT0 ) = x(t ), k ∈ Z
Symétrie par
rapport à l’axe
des ordonnées
x(t ) =…+ m(t +T0
)+ m(t )+ m(t −T0
)+…
x(t ) = m(t − kT0
)
k=−∞
+∞
∑ , k ∈ Z
TNS H. Garnier
9
Heinrich Rudoff Hertz (1857-1894)
• Ingénieur et physicien allemand. Hertz mit en évidence en 1888
l’existence des ondes électromagnétiques imaginées par James Maxwell
en 1873
• Il a découvert la photo électricité et a donné son nom aux ondes radio
dites ondes hertziennes ainsi qu’à l’unité de mesure des fréquences
TNS H. Garnier
10
Signal périodique essentiel :
signal sinusoïdal
– C’est le signal périodique par excellence. C'est une sinusoïde
éternelle. Sa loi d’évolution s’exprime à l’aide de la fonction sinus
ou cosinus :
A représente l’amplitude maximale du signal
j(t) =wot+ j0 représente la phase instantanée (phase à l’instant t)
wo est la pulsation en rad/s et vérifie :
To est la période du signal en s et fo la fréquence fondamentale en Hz
j0=wot la phase à l’origine (pour t=0) du signal en rad
t : le décalage en s du signal sinusoïdal par rapport à l’origine des temps
s(t) = A sin ωot +ϕ0
( )= A sin ωo(t +τ )
( )
ωo =
2π
To
= 2πfo
TNS H. Garnier
11
Signal sinusoïdal
t
0
T o
A
-A
t
s(t) = A sin
2π
To
t-τ
( )
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
TNS H. Garnier
12
Inversion temporelle
Graphiquement, s(t)=x(-t) correspond à la version symétrisée
de x(t) par rapport à l’axe des ordonnées
s(t ) = x(−t )
Symétrie par
rapport à l’axe
des ordonnées
TNS H. Garnier
13
Décalage temporel (avance/retard)
- Si t0>0, on opère une avance : translation horizontale de t0 vers la gauche
- Si t0<0, on opère un retard : translation horizontale de t0 vers la droite
Graphiquement, le signal avancé x(t+t0) ou retardé x(t-t0) correspond à
la version translatée horizontalement du signal original x(t)
y(t ) = x(t +t0 )
Translation
horizontale
TNS H. Garnier
14
Changement d’échelle (compression/dilatation)
Graphiquement, y(t)=x(at) (avec a le facteur d’échelle)
Si 0<a<1, y(t) est une version dilatée de x(t)
Si a>1, y(t) est une version comprimée de x(t)
y(t ) = x(at ) a > 0
Dilatation/com
pression
TNS H. Garnier
15
Signal pair
Graphiquement, un signal pair présente une symétrie par rapport à
l’axe des ordonnées
Exemples : cos(t), tn (avec n pair), ΙtΙ , etc
x(−t ) = x(t ) ∀ t
Symétrie par
rapport à l’axe
des ordonnées
x(t)
t
0
1
-1
TNS H. Garnier
16
Signal impair
Graphiquement, un signal impair présente une symétrie par
rapport à l’origine
Exemples : sin(t), tan(t), tn (avec n impair), 1/t , etc
x(−t ) = −x(t ) ∀ t
Symétrie par
rapport à
l’origine
x(t)
t
0
1
-1
TNS H. Garnier
17
Synthèse paire/impaire
Tout signal x(t) n’étant ni pair, ni impair peut s’écrire
sous la forme d’une somme de 2 signaux, l’un pair
xp(t), l’autre impair xi(t) tel que :
x(t ) = xp(t )+ xi (t )
avec
xp(t ) =
1
2
x(t )+
1
2
x(−t )
xi (t ) =
1
2
x(t )−
1
2
x(−t )
"
#
$
$
%
$
$
TNS H. Garnier
18
Valeurs caractéristiques
des signaux à temps continu
• Valeur moyenne
– signal non périodique
– signal périodique de période To
• Valeur efficace
Le carré de la valeur efficace ou valeur RMS (Root Mean Squares)
d’un signal s(t) est défini par :
– signal non périodique
– signal périodique de période To
s = lim
T→∞
1
T
s(t )dt
−
T
2
T
2
∫
s =
1
To
s(t )
0
T
o
∫ dt
Seff
2
= lim
T→∞
1
T
s2
(t )dt
−
T
2
T
2
∫
Seff
2
=
1
To
s2
(t )
0
To
∫ dt
TNS H. Garnier
19
Exemple
• Soit un signal sinusoïdal de période To tel que :
Calculer la valeur moyenne et efficace de ce signal
s(t ) = sin
2π
To
t
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
s(t)
t
0
T
o
1
-1
Seff
=
1
2
=
2
2
= 0,707
s = 0
TNS H. Garnier
20
Puissance et énergie
• Moyenne (valeur moyenne) calculée sur [t1 ; t2] d’un signal s(t) :
• Energie (valeur quadratique) calculée sur [t1 ; t2] d’un signal s(t) :
• Puissance moyenne (valeur quadratique moyenne) calculée sur [t1 ; t2]
d’un signal s(t) :
s T
( )=
1
T
s(t )dt
t1
t2
∫ avec T = t2 −t1
Es T
( )= s(t )
2
dt
t1
t2
∫ avec T = t2 −t1
Ps T
( )=
1
T
s(t )
2
dt
t1
t2
∫ avec T = t2 −t1
TNS H. Garnier
21
Classification énergétique
• Energie totale :
• Puissance moyenne totale :
On distingue alors :
– les signaux à énergie finie ou à puissance moyenne nulle :
– les signaux à puissance moyenne finie non nulle (énergie infinie) :
– les signaux à puissance moyenne infinie (énergie infinie) :
Es = s(t )
2
dt < ∞
−∞
∞
∫
0 < Ps = lim
T→∞
1
T
s(t )
2
dt < ∞
−T / 2
T / 2
∫
Ps = lim
T→∞
1
T
s(t )
2
dt → +∞
−T / 2
T / 2
∫
Ps = lim
T→∞
1
T
s(t ) 2
dt
−T / 2
T / 2
∫
Es = s(t )
2
dt
−∞
∞
∫
Ps =
1
To
s(t )
2
dt
0
To
∫
s(t) non périodique
s(t) périodique
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22
Energie et puissance moyenne : Exemple
Soit un signal sinusoïdal de période To tel que :
Calculer l’énergie et la puissance de ce signal
Es = s(t )
2
dt
−∞
∞
∫ Ps =
1
To
s(t )
2
dt = Seff
2
0
To
∫
s(t ) = sin
2π
To
t
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
s(t)
t
0
To
1
-1
Seff =
1
2
=
2
2
= 0,707
s = 0 Ps = Seff
2
= 0,5
Es = ∞
t
0 To
1
2
)
t
(
s
Ps = Seff
2
= 0,5
TNS H. Garnier
23
Classification énergétique des signaux
à temps continu
Signaux physiquement
mesurés ou transitoires
Puissance moyenne
nulle
Energie finie
Echelon, constante,
Signaux périodiques, ...
Puissance moyenne
finie (non nulle)
Signaux divergents
dans le temps
Puissance moyenne
infinie
Energie infinie
Signaux à temps continu
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24
Classification énergétique des signaux
Exemples
Ces signaux sont-ils à énergie finie, à puissance moyenne finie, infinie ?
r(t)
t
0 1
1
(t)
t
0
u
1
0
rect (t/T)
1
2
T
2
T
-
Aire = T
s (t)
t
0
To
1
-1
TNS H. Garnier
25
Signaux usuels
• La rampe unitaire
• L'échelon unité
• La fonction signe
r(t) = 0 pour t < 0
t pour t ≥ 0
⎧
⎨
⎩
u(t) = 0 pour t < 0
1 pour t ≥ 0
⎧
⎨
⎩
sgn(t ) =
1 ∀ t > 0
−1 ∀ t < 0
0 t = 0 t
0
sgn(t)
1
-1
(t)
t
0
u
1
r(t)
t
0 1
1
TNS H. Garnier
26
Signal exponentiel à valeurs réelles
s(t ) = Aet / τ ou s(t ) = Ae−t / τ
TNS H. Garnier
27
Réponses de forme exponentielle
courantes en pratique
TNS H. Garnier
28
La fenêtre rectangulaire
Signal très utilisé en traitement du signal, notamment au travers
des notions de filtrage et de fenêtrage
Reconstitution à l’aide de signaux échelon
rect(t ) =
1 ∀ t ≤
1
2
0 ∀ t >
1
2 t
0
rect (t)
1
2
1
2
1
-
Aire = 1
rect(t ) = u t +
1
2
!
"
#
$
%
&−u t −
1
2
!
"
#
$
%
&
0
rect (t)
1
2
1
2
1
-
u(t+1/2)
-u (t-1/2)
t
TNS H. Garnier
29
La fenêtre rectangulaire – cas général
T : durée de la fenêtre rectangulaire
t : localisation du centre de la fenêtre
Reconstitution à l’aide de signaux échelon
rect
t −τ
T
"
#
$
%
&
' =
0 ∀ t < τ −
T
2
1 ∀ τ −
T
2
≤ t ≤ τ +
T
2
0 ∀ t > τ +
T
2 t
0
1
rect
t −τ
T
"
#
$
%
&
' = u t − τ −
T
2
"
#
$
%
&
'
"
#
$
%
&
'−u t − τ +
T
2
"
#
$
%
&
'
"
#
$
%
&
'
rect
t −τ
T
"
#
$
%
&
'
τ −
T
2
τ +
T
2
τ
T
TNS H. Garnier
30
Fenêtre rectangulaire – Exemple
T=2 : durée de la fenêtre rectangulaire
t =1 : localisation du centre de la fenêtre
Reconstitution à l’aide de signaux échelon
rect
t −1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
0 ∀ t < 0
1 si 0 ≤ t ≤ 2
0 ∀ t > 2
t
1
rect
t −1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = u t
( )−u t − 2
( )
rect
t −1
2
"
#
$
%
&
'
0 2
τ =1
T = 2
TNS H. Garnier
31
La fenêtre triangulaire
Reconstitution à l’aide de signaux de type rampe
t
0
tri(t)
1
2
1
2
1
-
2
1
Aire=
tri(t ) =
1− 2 t ∀ t ≤
1
2
0 ∀ t >
1
2
tri(t ) = 2r t +
1
2
!
"
#
$
%
&− 4r t
( )+ 2r t −
1
2
!
"
#
$
%
&
TNS H. Garnier
32
Signal essentiel : l'impulsion de Dirac
• Définition pratique : considérons la limite de la fenêtre
rectangulaire de largeur T ci-dessous lorsque T tend vers 0
d(t) n’est pas une fonction. C’est un “être” à valeur infinie en un
point et à valeur nulle partout ailleurs qui n’est pas
représentable graphiquement.
Par convention, la représentation graphique d’une impulsion de
Dirac est une flèche verticale placée en t=0 de hauteur
proportionnelle à la constante de pondération ici égale à 1.
lim
T→0
1
T
r ect(
t
T
) = δ(t )
t
0
rect (t/T)
2
T
2
T
-
T
1
T
1
Aire=1
t
0
d(t)
1
δ(t )dt =1
−∞
+∞
∫
TNS H. Garnier
33
L'impulsion de Dirac retardée
t
0
d(t-t)
1
t
1
TNS H. Garnier
34
Signal essentiel : l'impulsion de Dirac
Mathématiquement, l’impulsion de Dirac n’est pas une fonction et
se définit rigoureusement grâce à la théorie des distributions qui
permet d’étendre le calcul intégral ordinaire aux impulsions en
conservant les notations employées habituellement pour les
fonctions
L’application aveugle du calcul différentiel ou intégral ordinaire à
des impulsions de Dirac peut donc conduire à des résultats erronés
Il faut ici considérer la théorie générale des distributions (établie
par Laurent Schwartz) dont les propriétés essentielles sont
rappelées
TNS H. Garnier
35
Propriétés de l’impulsion de Dirac
s(t)δ(t-to )dt
−∞
+∞
∫ = s(to )
s(t )δ(t −to ) = s(to )δ(t −to )
δ(at ) =
1
a
δ(t )
Cas particulier
s(t )δ(t ) = s(0)δ(t ) (si to
= 0)
Cas particuliers
s(t)δ(t)dt
−∞
+∞
∫ = s(0) (si to
= 0)
δ(t)dt
−∞
+∞
∫ =1 (si s(t) = 1 et to
= 0)
δ(τ )dτ
−∞
t
∫ = u(t)
TNS H. Garnier
36
Le peigne de Dirac
• Un peigne de Dirac est une suite d’impulsions de Dirac se
répétant sur l’axe des temps avec une période Te
Signal très utilisé notamment au travers des notions
d’échantillonnage,…
δTe
(t ) = δ(t − kTe )
k=−∞
+∞
∑ k ∈ Z
t
0
1
(t)
e
T
δ
Te
TNS H. Garnier
37
Signal essentiel : le sinus cardinal
La fonction obtenue en effectuant le rapport d’une fonction
sinusoïdale et de son argument joue un rôle très important en
traitement du signal. Elle porte le nom de sinus cardinal et est
définie par :
Propriétés :
Elle est paire
sinc(t ) =
sinπt
πt
sinc(0) =1
sinc(t ) = 0 si t = k ∈ Z*
sinc(t)
1
1 7 t
-7 -1
sinc(t )dt
−∞
+∞
∫ =1 sinc2
(t )dt
−∞
+∞
∫ =1
(par définition)
TNS H. Garnier
38
Convolution
• Définition
Le produit de convolution est très utilisé en traitement du signal,
notamment pour :
ü le filtrage
ü l’échantillonnage
ü les différentes techniques de modulation
• Remarque : si x(t) et y(t) sont causals
x(t )* y(t ) = x(τ )y(t −τ )dτ =
−∞
+∞
∫ y(τ )x(t −τ )dτ
−∞
+∞
∫
x(t )* y(t ) = x(τ )y(t −τ )dτ
0
t
∫
TNS H. Garnier
39
Propriétés du produit de convolution
• Commutativité
• Associativité
• Distributivité sur « + » et « - »
• Elément neutre : impulsion de Dirac
x(t )* y(t ) = y(t )* x(t )
x(t )∗ y(t )+ z(t )
( )= x(t )∗ y(t )+ x(t )∗ z(t )
x(t )∗ y(t )* z(t )
( )= x(t )∗ y(t )
( )∗ z(t ) = x(t )∗ y(t )∗ z(t )
x(t )∗δ(t ) = δ(t )∗ x(t ) = x(t )
TNS H. Garnier
40
Convolution d’un signal par une
impulsion de Dirac
• Convoluer un signal s(t) par une impulsion de Dirac
positionnée en to revient à décaler le signal de to
s(t )∗δ(t −to ) = s(t −to )
t
0 t0
1
)
t
t
( 0
−
δ
t
0
s(t)
t
0 t0
)
t
t
(
*
)
t
(
s
)
t
t
(
s 0
0 −
δ
=
−
TNS H. Garnier
41
Convolution d’un signal par
un peigne de Dirac
• Convoluer un signal s(t) par un peigne de Dirac revient à
périodiser le signal à la période Te
t
0 Te
1
δTe(t)
t
0
s(t)
t
0
s(t)*δTe(t)
2Te
-Te
Te 2Te
-Te
s(t )∗δTe
(t ) = s(t − kTe )
k=−∞
+∞
∑
TNS H. Garnier
42
Objectifs à l'issue des rappels
sur les signaux à temps continu
• Connaître les signaux à temps continu usuels : échelon, sinus,
fenêtre rectangulaire, sinus cardinal,…
• Connaître la classification énergétique
• Savoir opérer les transformations usuelles (inversion, retard,
compression, …) sur des signaux
• Connaître l’opération de convolution et ses propriétés
• Connaître l’impulsion et le peigne de Dirac et leurs propriétés
• Savoir opérer la convolution graphique d’un signal par
impulsion de Dirac

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  • 1. TNS H. Garnier 1 Hugues GARNIER hugues.garnier@univ-lorraine.fr Version du 2 novembre 2020 Signaux à temps continu - Rappels
  • 2. TNS H. Garnier 2 Signaux à temps continu • Définition – Ils sont généralement décrits mathématiquement sous la forme d’une fonction s(t) où la variable t est associée au temps – La continuité porte sur le temps, ceci par opposition aux signaux à temps discret qui ne sont définis que pour un ensemble dénombrable de valeurs du temps 0 s(k ) k t 0 s(t)
  • 3. TNS H. Garnier 3 Causalité • Signal causal – Un signal est causal s’il est nul pour tous les instants négatifs • Signal non causal – Un signal est non causal s’il n’est pas nul pour tous les instants négatifs. • Signal anti-causal – Un signal est anti-causal s’il est nul pour tous les instants positifs t x(t) 0 t x(t) 0 t x(t) 0 x(t ) = 0 ∀ t < 0 x(t ) = 0 ∀ t > 0
  • 4. TNS H. Garnier 4 Modélisation mathématique de signaux • Signal expérimental (ou réel) – Un signal expérimental est souvent un signal électrique délivré par un appareil. On mesure son évolution au cours du temps. – Il répond à un ensemble de contraintes. Il doit être : • à amplitude bornée • à support borné (existence de durée finie) • continu • causal • à énergie finie
  • 5. TNS H. Garnier 5 Modélisation mathématique de signaux • Signal théorique – Sur le plan théorique, un signal est représenté par une fonction à valeurs réelles ou complexes qui permet de faciliter son étude – Ainsi les modèles de signaux théoriques possèdent des caractéristiques différentes des signaux expérimentaux. Un signal théorique peut être : • à amplitude non bornée • à support non borné (existence de durée infinie) • discontinu • non causal (amplitude non nulle pour les instants négatifs) • à énergie infinie
  • 6. TNS H. Garnier 6 Signal expérimental/théorique - Exemples Signal théorique • à support non borné (existence de durée infinie) • non causal s (t) t 0 To 1 -1 0 1 t s(t) Signal expérimental • à amplitude bornée • continu • à support borné (existence de durée finie) • causal (nul pour tous les instants négatifs) • à énergie finie
  • 7. TNS H. Garnier 7 Sous-classes de signaux à temps continu Classification en fonction de leur caractère périodique Sinusoïdaux Périodiques composites Pseudo aléatoires Périodiques Non transitoires Transitoires Non périodiques Signaux à temps continu
  • 8. TNS H. Garnier 8 Signal périodique Graphiquement, un signal périodique x(t) est la répétition à l’infini d’un signal défini sur une période appelé motif m(t). x(t) peut s’écrire comme la somme infinie des versions avancées/retardées du motif m(t) : x(t + kT0 ) = x(t ), k ∈ Z Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées x(t ) =…+ m(t +T0 )+ m(t )+ m(t −T0 )+… x(t ) = m(t − kT0 ) k=−∞ +∞ ∑ , k ∈ Z
  • 9. TNS H. Garnier 9 Heinrich Rudoff Hertz (1857-1894) • Ingénieur et physicien allemand. Hertz mit en évidence en 1888 l’existence des ondes électromagnétiques imaginées par James Maxwell en 1873 • Il a découvert la photo électricité et a donné son nom aux ondes radio dites ondes hertziennes ainsi qu’à l’unité de mesure des fréquences
  • 10. TNS H. Garnier 10 Signal périodique essentiel : signal sinusoïdal – C’est le signal périodique par excellence. C'est une sinusoïde éternelle. Sa loi d’évolution s’exprime à l’aide de la fonction sinus ou cosinus : A représente l’amplitude maximale du signal j(t) =wot+ j0 représente la phase instantanée (phase à l’instant t) wo est la pulsation en rad/s et vérifie : To est la période du signal en s et fo la fréquence fondamentale en Hz j0=wot la phase à l’origine (pour t=0) du signal en rad t : le décalage en s du signal sinusoïdal par rapport à l’origine des temps s(t) = A sin ωot +ϕ0 ( )= A sin ωo(t +τ ) ( ) ωo = 2π To = 2πfo
  • 11. TNS H. Garnier 11 Signal sinusoïdal t 0 T o A -A t s(t) = A sin 2π To t-τ ( ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟
  • 12. TNS H. Garnier 12 Inversion temporelle Graphiquement, s(t)=x(-t) correspond à la version symétrisée de x(t) par rapport à l’axe des ordonnées s(t ) = x(−t ) Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
  • 13. TNS H. Garnier 13 Décalage temporel (avance/retard) - Si t0>0, on opère une avance : translation horizontale de t0 vers la gauche - Si t0<0, on opère un retard : translation horizontale de t0 vers la droite Graphiquement, le signal avancé x(t+t0) ou retardé x(t-t0) correspond à la version translatée horizontalement du signal original x(t) y(t ) = x(t +t0 ) Translation horizontale
  • 14. TNS H. Garnier 14 Changement d’échelle (compression/dilatation) Graphiquement, y(t)=x(at) (avec a le facteur d’échelle) Si 0<a<1, y(t) est une version dilatée de x(t) Si a>1, y(t) est une version comprimée de x(t) y(t ) = x(at ) a > 0 Dilatation/com pression
  • 15. TNS H. Garnier 15 Signal pair Graphiquement, un signal pair présente une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées Exemples : cos(t), tn (avec n pair), ΙtΙ , etc x(−t ) = x(t ) ∀ t Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées x(t) t 0 1 -1
  • 16. TNS H. Garnier 16 Signal impair Graphiquement, un signal impair présente une symétrie par rapport à l’origine Exemples : sin(t), tan(t), tn (avec n impair), 1/t , etc x(−t ) = −x(t ) ∀ t Symétrie par rapport à l’origine x(t) t 0 1 -1
  • 17. TNS H. Garnier 17 Synthèse paire/impaire Tout signal x(t) n’étant ni pair, ni impair peut s’écrire sous la forme d’une somme de 2 signaux, l’un pair xp(t), l’autre impair xi(t) tel que : x(t ) = xp(t )+ xi (t ) avec xp(t ) = 1 2 x(t )+ 1 2 x(−t ) xi (t ) = 1 2 x(t )− 1 2 x(−t ) " # $ $ % $ $
  • 18. TNS H. Garnier 18 Valeurs caractéristiques des signaux à temps continu • Valeur moyenne – signal non périodique – signal périodique de période To • Valeur efficace Le carré de la valeur efficace ou valeur RMS (Root Mean Squares) d’un signal s(t) est défini par : – signal non périodique – signal périodique de période To s = lim T→∞ 1 T s(t )dt − T 2 T 2 ∫ s = 1 To s(t ) 0 T o ∫ dt Seff 2 = lim T→∞ 1 T s2 (t )dt − T 2 T 2 ∫ Seff 2 = 1 To s2 (t ) 0 To ∫ dt
  • 19. TNS H. Garnier 19 Exemple • Soit un signal sinusoïdal de période To tel que : Calculer la valeur moyenne et efficace de ce signal s(t ) = sin 2π To t ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ s(t) t 0 T o 1 -1 Seff = 1 2 = 2 2 = 0,707 s = 0
  • 20. TNS H. Garnier 20 Puissance et énergie • Moyenne (valeur moyenne) calculée sur [t1 ; t2] d’un signal s(t) : • Energie (valeur quadratique) calculée sur [t1 ; t2] d’un signal s(t) : • Puissance moyenne (valeur quadratique moyenne) calculée sur [t1 ; t2] d’un signal s(t) : s T ( )= 1 T s(t )dt t1 t2 ∫ avec T = t2 −t1 Es T ( )= s(t ) 2 dt t1 t2 ∫ avec T = t2 −t1 Ps T ( )= 1 T s(t ) 2 dt t1 t2 ∫ avec T = t2 −t1
  • 21. TNS H. Garnier 21 Classification énergétique • Energie totale : • Puissance moyenne totale : On distingue alors : – les signaux à énergie finie ou à puissance moyenne nulle : – les signaux à puissance moyenne finie non nulle (énergie infinie) : – les signaux à puissance moyenne infinie (énergie infinie) : Es = s(t ) 2 dt < ∞ −∞ ∞ ∫ 0 < Ps = lim T→∞ 1 T s(t ) 2 dt < ∞ −T / 2 T / 2 ∫ Ps = lim T→∞ 1 T s(t ) 2 dt → +∞ −T / 2 T / 2 ∫ Ps = lim T→∞ 1 T s(t ) 2 dt −T / 2 T / 2 ∫ Es = s(t ) 2 dt −∞ ∞ ∫ Ps = 1 To s(t ) 2 dt 0 To ∫ s(t) non périodique s(t) périodique
  • 22. TNS H. Garnier 22 Energie et puissance moyenne : Exemple Soit un signal sinusoïdal de période To tel que : Calculer l’énergie et la puissance de ce signal Es = s(t ) 2 dt −∞ ∞ ∫ Ps = 1 To s(t ) 2 dt = Seff 2 0 To ∫ s(t ) = sin 2π To t ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ s(t) t 0 To 1 -1 Seff = 1 2 = 2 2 = 0,707 s = 0 Ps = Seff 2 = 0,5 Es = ∞ t 0 To 1 2 ) t ( s Ps = Seff 2 = 0,5
  • 23. TNS H. Garnier 23 Classification énergétique des signaux à temps continu Signaux physiquement mesurés ou transitoires Puissance moyenne nulle Energie finie Echelon, constante, Signaux périodiques, ... Puissance moyenne finie (non nulle) Signaux divergents dans le temps Puissance moyenne infinie Energie infinie Signaux à temps continu
  • 24. TNS H. Garnier 24 Classification énergétique des signaux Exemples Ces signaux sont-ils à énergie finie, à puissance moyenne finie, infinie ? r(t) t 0 1 1 (t) t 0 u 1 0 rect (t/T) 1 2 T 2 T - Aire = T s (t) t 0 To 1 -1
  • 25. TNS H. Garnier 25 Signaux usuels • La rampe unitaire • L'échelon unité • La fonction signe r(t) = 0 pour t < 0 t pour t ≥ 0 ⎧ ⎨ ⎩ u(t) = 0 pour t < 0 1 pour t ≥ 0 ⎧ ⎨ ⎩ sgn(t ) = 1 ∀ t > 0 −1 ∀ t < 0 0 t = 0 t 0 sgn(t) 1 -1 (t) t 0 u 1 r(t) t 0 1 1
  • 26. TNS H. Garnier 26 Signal exponentiel à valeurs réelles s(t ) = Aet / τ ou s(t ) = Ae−t / τ
  • 27. TNS H. Garnier 27 Réponses de forme exponentielle courantes en pratique
  • 28. TNS H. Garnier 28 La fenêtre rectangulaire Signal très utilisé en traitement du signal, notamment au travers des notions de filtrage et de fenêtrage Reconstitution à l’aide de signaux échelon rect(t ) = 1 ∀ t ≤ 1 2 0 ∀ t > 1 2 t 0 rect (t) 1 2 1 2 1 - Aire = 1 rect(t ) = u t + 1 2 ! " # $ % &−u t − 1 2 ! " # $ % & 0 rect (t) 1 2 1 2 1 - u(t+1/2) -u (t-1/2) t
  • 29. TNS H. Garnier 29 La fenêtre rectangulaire – cas général T : durée de la fenêtre rectangulaire t : localisation du centre de la fenêtre Reconstitution à l’aide de signaux échelon rect t −τ T " # $ % & ' = 0 ∀ t < τ − T 2 1 ∀ τ − T 2 ≤ t ≤ τ + T 2 0 ∀ t > τ + T 2 t 0 1 rect t −τ T " # $ % & ' = u t − τ − T 2 " # $ % & ' " # $ % & '−u t − τ + T 2 " # $ % & ' " # $ % & ' rect t −τ T " # $ % & ' τ − T 2 τ + T 2 τ T
  • 30. TNS H. Garnier 30 Fenêtre rectangulaire – Exemple T=2 : durée de la fenêtre rectangulaire t =1 : localisation du centre de la fenêtre Reconstitution à l’aide de signaux échelon rect t −1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 0 ∀ t < 0 1 si 0 ≤ t ≤ 2 0 ∀ t > 2 t 1 rect t −1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = u t ( )−u t − 2 ( ) rect t −1 2 " # $ % & ' 0 2 τ =1 T = 2
  • 31. TNS H. Garnier 31 La fenêtre triangulaire Reconstitution à l’aide de signaux de type rampe t 0 tri(t) 1 2 1 2 1 - 2 1 Aire= tri(t ) = 1− 2 t ∀ t ≤ 1 2 0 ∀ t > 1 2 tri(t ) = 2r t + 1 2 ! " # $ % &− 4r t ( )+ 2r t − 1 2 ! " # $ % &
  • 32. TNS H. Garnier 32 Signal essentiel : l'impulsion de Dirac • Définition pratique : considérons la limite de la fenêtre rectangulaire de largeur T ci-dessous lorsque T tend vers 0 d(t) n’est pas une fonction. C’est un “être” à valeur infinie en un point et à valeur nulle partout ailleurs qui n’est pas représentable graphiquement. Par convention, la représentation graphique d’une impulsion de Dirac est une flèche verticale placée en t=0 de hauteur proportionnelle à la constante de pondération ici égale à 1. lim T→0 1 T r ect( t T ) = δ(t ) t 0 rect (t/T) 2 T 2 T - T 1 T 1 Aire=1 t 0 d(t) 1 δ(t )dt =1 −∞ +∞ ∫
  • 33. TNS H. Garnier 33 L'impulsion de Dirac retardée t 0 d(t-t) 1 t 1
  • 34. TNS H. Garnier 34 Signal essentiel : l'impulsion de Dirac Mathématiquement, l’impulsion de Dirac n’est pas une fonction et se définit rigoureusement grâce à la théorie des distributions qui permet d’étendre le calcul intégral ordinaire aux impulsions en conservant les notations employées habituellement pour les fonctions L’application aveugle du calcul différentiel ou intégral ordinaire à des impulsions de Dirac peut donc conduire à des résultats erronés Il faut ici considérer la théorie générale des distributions (établie par Laurent Schwartz) dont les propriétés essentielles sont rappelées
  • 35. TNS H. Garnier 35 Propriétés de l’impulsion de Dirac s(t)δ(t-to )dt −∞ +∞ ∫ = s(to ) s(t )δ(t −to ) = s(to )δ(t −to ) δ(at ) = 1 a δ(t ) Cas particulier s(t )δ(t ) = s(0)δ(t ) (si to = 0) Cas particuliers s(t)δ(t)dt −∞ +∞ ∫ = s(0) (si to = 0) δ(t)dt −∞ +∞ ∫ =1 (si s(t) = 1 et to = 0) δ(τ )dτ −∞ t ∫ = u(t)
  • 36. TNS H. Garnier 36 Le peigne de Dirac • Un peigne de Dirac est une suite d’impulsions de Dirac se répétant sur l’axe des temps avec une période Te Signal très utilisé notamment au travers des notions d’échantillonnage,… δTe (t ) = δ(t − kTe ) k=−∞ +∞ ∑ k ∈ Z t 0 1 (t) e T δ Te
  • 37. TNS H. Garnier 37 Signal essentiel : le sinus cardinal La fonction obtenue en effectuant le rapport d’une fonction sinusoïdale et de son argument joue un rôle très important en traitement du signal. Elle porte le nom de sinus cardinal et est définie par : Propriétés : Elle est paire sinc(t ) = sinπt πt sinc(0) =1 sinc(t ) = 0 si t = k ∈ Z* sinc(t) 1 1 7 t -7 -1 sinc(t )dt −∞ +∞ ∫ =1 sinc2 (t )dt −∞ +∞ ∫ =1 (par définition)
  • 38. TNS H. Garnier 38 Convolution • Définition Le produit de convolution est très utilisé en traitement du signal, notamment pour : ü le filtrage ü l’échantillonnage ü les différentes techniques de modulation • Remarque : si x(t) et y(t) sont causals x(t )* y(t ) = x(τ )y(t −τ )dτ = −∞ +∞ ∫ y(τ )x(t −τ )dτ −∞ +∞ ∫ x(t )* y(t ) = x(τ )y(t −τ )dτ 0 t ∫
  • 39. TNS H. Garnier 39 Propriétés du produit de convolution • Commutativité • Associativité • Distributivité sur « + » et « - » • Elément neutre : impulsion de Dirac x(t )* y(t ) = y(t )* x(t ) x(t )∗ y(t )+ z(t ) ( )= x(t )∗ y(t )+ x(t )∗ z(t ) x(t )∗ y(t )* z(t ) ( )= x(t )∗ y(t ) ( )∗ z(t ) = x(t )∗ y(t )∗ z(t ) x(t )∗δ(t ) = δ(t )∗ x(t ) = x(t )
  • 40. TNS H. Garnier 40 Convolution d’un signal par une impulsion de Dirac • Convoluer un signal s(t) par une impulsion de Dirac positionnée en to revient à décaler le signal de to s(t )∗δ(t −to ) = s(t −to ) t 0 t0 1 ) t t ( 0 − δ t 0 s(t) t 0 t0 ) t t ( * ) t ( s ) t t ( s 0 0 − δ = −
  • 41. TNS H. Garnier 41 Convolution d’un signal par un peigne de Dirac • Convoluer un signal s(t) par un peigne de Dirac revient à périodiser le signal à la période Te t 0 Te 1 δTe(t) t 0 s(t) t 0 s(t)*δTe(t) 2Te -Te Te 2Te -Te s(t )∗δTe (t ) = s(t − kTe ) k=−∞ +∞ ∑
  • 42. TNS H. Garnier 42 Objectifs à l'issue des rappels sur les signaux à temps continu • Connaître les signaux à temps continu usuels : échelon, sinus, fenêtre rectangulaire, sinus cardinal,… • Connaître la classification énergétique • Savoir opérer les transformations usuelles (inversion, retard, compression, …) sur des signaux • Connaître l’opération de convolution et ses propriétés • Connaître l’impulsion et le peigne de Dirac et leurs propriétés • Savoir opérer la convolution graphique d’un signal par impulsion de Dirac