Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.
WWW.ToanCapBa.Net                      Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốMOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP TÌM GIÔÙI HAÏN CUÛA MOÄT H...
WWW.ToanCapBa.Net                     Phương pháp tìm giới hạn của hàm số   • Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng(...
WWW.ToanCapBa.Net                      Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốb) Neáu f(x)≥ 0 vaø                   , thì L ≥ ...
WWW.ToanCapBa.Net                     Phương pháp tìm giới hạn của hàm số             B. Phöông phaùp tìm giôùi haïn cuûa ...
WWW.ToanCapBa.Net                     Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốII. Moät soá daïngvoâ ñònh thöôøng gaëp vaø caùch...
WWW.ToanCapBa.Net                       Phương pháp tìm giới hạn của hàm số* Khi u(x) hoaëc v(x) chöùa caên thöùc cuøng ba...
WWW.ToanCapBa.Net                     Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốVí duï 2 ( Baøi 4.59-tr144-BTGT11-NC)Tìm caùc giô...
WWW.ToanCapBa.Net                      Phương pháp tìm giới hạn của hàm số   2. Ñeå tìm giôùi haïn :(Daïng : )Ta coù theå ...
WWW.ToanCapBa.Net                     Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốBaøi giaûi :Ví duï 2. (Baøi 44-tr167-GT11NC)Tìm c...
WWW.ToanCapBa.Net                                  Phương pháp tìm giới hạn của hàm số  Ví duï 3. Tìm caùc giôùi haïn sau ...
WWW.ToanCapBa.Net                                 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số                                     ...
WWW.ToanCapBa.Net                              Phương pháp tìm giới hạn của hàm số   Tìm caùc giôùi haïn sau:             ...
WWW.ToanCapBa.Net                             Phương pháp tìm giới hạn của hàm số                                         ...
WWW.ToanCapBa.Net                     Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốBaøi giaûi :Ví duï 3. ( Baøi 40-tr166-GT11-NC)1.T...
WWW.ToanCapBa.Net                           Phương pháp tìm giới hạn của hàm số                                          B...
WWW.ToanCapBa.Net                    Phương pháp tìm giới hạn của hàm số  4. Ñeå tìm giôùi haïnKhi u(x) hoaëc v(x) chöùa c...
WWW.ToanCapBa.Net                     Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốVí duï 2. Tìm caùc giôùi haïn sau.Baøi giaûi :Ngu...
WWW.ToanCapBa.Net                     Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốVí duï 3. Tìm caùc giôùi haïn sauBaøi giaûi :Ví d...
WWW.ToanCapBa.Net                       Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốVí duï 5. Tìm giôùi haïn sau :Giaûi :Ta theâm ,...
WWW.ToanCapBa.Net                     Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốBaøi giaûi :Ta coù :     • Ñaët :     • Ñaët :   ...
WWW.ToanCapBa.Net                     Phương pháp tìm giới hạn của hàm số  6 Phaàn naâng cao . AÙp duïng giôùi haïn :     ...
WWW.ToanCapBa.Net                    Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốVí duï 2. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau.Ba...
WWW.ToanCapBa.Net                    Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốBaøi 4. Tìm caùc giôùi haïn sauBaøi 5. Tìm giôùi h...
WWW.ToanCapBa.Net                     Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốVôùi :Ví duï 2. Tìm caùc giôùi haïn sauBaøi giaûi...
WWW.ToanCapBa.Net                     Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốVí duï 3. Tìm caùc giôùi haïn sauBaøi giaûiNguyễn...
WWW.ToanCapBa.Net                      Phương pháp tìm giới hạn của hàm số* Chuù yù : Coù theå söû duïng moät soá keát qua...
WWW.ToanCapBa.Net                    Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốKết quả 2 .Tìm giới hạn sauVí dụ 1:Bài giải :Ví dụ...
WWW.ToanCapBa.Net                         Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốBaøi 1. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau...
WWW.ToanCapBa.Net                              Phương pháp tìm giới hạn của hàm số  1. Tìm caùc giôùi haïn sau:           ...
WWW.ToanCapBa.Net                                    Phương pháp tìm giới hạn của hàm số                            x 4 − ...
WWW.ToanCapBa.Net                                  Phương pháp tìm giới hạn của hàm số                                    ...
WWW.ToanCapBa.Net                                       Phương pháp tìm giới hạn của hàm số                        x 2 − 2...
WWW.ToanCapBa.Net                                   Phương pháp tìm giới hạn của hàm số                sin5x              ...
WWW.ToanCapBa.Net                                           Phương pháp tìm giới hạn của hàm số                           ...
WWW.ToanCapBa.Net                                         Phương pháp tìm giới hạn của hàm số                          5 −...
WWW.ToanCapBa.Net                                                  Phương pháp tìm giới hạn của hàm số                    ...
WWW.ToanCapBa.Net                                   Phương pháp tìm giới hạn của hàm số                   cos x − cos b   ...
WWW.ToanCapBa.Net                                   Phương pháp tìm giới hạn của hàm số                1 + cos x          ...
WWW.ToanCapBa.Net                 Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608                  ...
WWW.ToanCapBa.Net                 Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608                  ...
WWW.ToanCapBa.Net                 Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608                  ...
WWW.ToanCapBa.Net                 Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608                  ...
WWW.ToanCapBa.Net                 Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608                  ...
WWW.ToanCapBa.Net                 Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608                  ...
WWW.ToanCapBa.Net                 Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608                  ...
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

[Www.toan capba.net] cac phuong phap tim gioi han ham so tsy

  • Soyez le premier à commenter

[Www.toan capba.net] cac phuong phap tim gioi han ham so tsy

  1. 1. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốMOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP TÌM GIÔÙI HAÏN CUÛA MOÄT HAØM SOÁ I. Toùm taét lyù thuyeát1. Giôùi haïn höõu haïn • Cho khoaûng K chöùa ñieåm x0 vaø haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân K hoaëc treân K{x0}. khi vaø chæ khi vôùi daõy soá ( baát kyø ,xn {x0} vaø xn ,ta coù limf(xn)=L . • Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (x o;b) . khi vaø chæ khi vôùi daõy soá (xn) baát kyø x0<xn<b vaø xn , ta coù limf(x)=L . • Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;x 0). , khi vaø chæ khi vôùi daõy soá (xn) baát kyø , a<xn<x0 vaø xn , ta coù limf(xn)=L . • Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;+∞) . , khi vaø chæ khi vôùi daõy (xn) baát kyø ,xn>a vaø xn , thì limf(xn)=L • Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (-∞;a) . , khi vaø chæ khi vôùi daõy soá (xn) baát kyø ,xn<a vaø thì limf(xn)=L.2. Giôùi haïn ôû voâ cöïcNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 1 WWW.ToanCapBa.Net
  2. 2. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số • Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng(a;+∞) . , khi vaø chæ khi vôùi daõy soá (xn) baát kyø , xn>a vaø ,ta coù limf(xn)=-∞ . • Cho K laø khoaûng chöùa ñieåm x0 vaø haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân K hoaëc treân K{x0}. .khi vaø chæ khi vôùi moïi daõy soá baát kyø (xn) ,xn thuoäc K{x0} vaø xn , ta coù limf(xn)=+∞ .Chuù yù : f(x) coù giôùi haïn +∞ ,khi vaø chæ khi -f(x) coù giôùi haïn -∞3.Caùc giôùi haïn ñaëc bieätVôùi k laø moät soá nguyeân döông4. Ñònh lyù veà giôùi haïn höõu haïn* Ñònh lyù 1a) Neáu vaø , thì • • • •Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 2 WWW.ToanCapBa.Net
  3. 3. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốb) Neáu f(x)≥ 0 vaø , thì L ≥ 0 vaøÑònh lyù 25. Quy taéc veà giôùi haïn voâ cöïc a) Quy taéc tìm giôùi haïn cuûa tích f(x).g(x) . +∞ +∞ L>0 -∞ -∞ +∞ -∞ L <0 -∞ +∞ b) Quy taéc tìm giôùi haïn cuûa thöông Daáu cuûa g(x) L ±∞ Tuyø yù 0 + +∞ L>0 0 - -∞ + -∞ L <0 0 - +∞Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 3 WWW.ToanCapBa.Net
  4. 4. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số B. Phöông phaùp tìm giôùi haïn cuûa haøm soáI. Thoâng thöôøng ta aùp duïng caùc quy taéc vaø ñònh lyù veà giôùi haïn cuûa haømsoá laø ta tìm ñöôïc ngay giaù trò cuûa giôùi haïn .Ví duï , Tìm caùc giôùi haïn sauBaøi giaûi :Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 4 WWW.ToanCapBa.Net
  5. 5. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốII. Moät soá daïngvoâ ñònh thöôøng gaëp vaø caùch bieán ñoåi . 1. Ñeå tính . Ta laøm nhö sau: • Phaân tích töû vaø maãu thaønh nhaân töû . Sau ñoù giaûn öôùc nhaân töû chung : • Neáu u(x) vaø v(x) chöùa bieán soá döôùi daáu caên ,thì coù theå nhaân töû vaø maãu vôùi bieåu thöùc lieân hôïp ,tröôùc khi phaân tích chuùng thaønh tích ñeå giaûn öôùc . • Moät soá bieåu thöùc lieän hôïp thöôøng duøng : * Chuù yù : Trong (**) neáu A(x0)=B(x0)=0 ,ta laïi phaân tích tieáp chuùng thaønh :Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 5 WWW.ToanCapBa.Net
  6. 6. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số* Khi u(x) hoaëc v(x) chöùa caên thöùc cuøng baäc : Ta söû duïng phöông phaùp nhaân lieân hôïp ( nhö ñaõ cho ôû treân ) Sau ñoù ruùt goïn laøm xuaát hieän thöøa soá chung . Giaûn öôùc thöøa soá chung ,seõ maát daïng voâ ñònhVí duï1 . ( Baøi 4.57-tr-143-BTGT11-NC).Tìm caùc giôùi haïn sauBaøi giaûi :Vì , thì x+2<0 ,cho neânNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 6 WWW.ToanCapBa.Net
  7. 7. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốVí duï 2 ( Baøi 4.59-tr144-BTGT11-NC)Tìm caùc giôùi haïn sauBaøi giaûi :Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 7 WWW.ToanCapBa.Net
  8. 8. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số 2. Ñeå tìm giôùi haïn :(Daïng : )Ta coù theå laøm nhö sau : • Chia töû vaø maãu cho , vôùi n laø soá muõ cao nhaát cuûa bieán soá n x ( hay phaân tích töû vaø maãu thaønh tích chöùa nhaân töû x ,roài giaûn öôùc ). k • Neáu u(x) vaø v(x) coù chöùa bieán x trong daáu caên thöùc ,thì ñöa x ra ngoaøi daáu caên ( vôùi k laø soá muõ cao nhaát cuûa x trong daáu caên ), tröôùc khi chia töû vaø maãu cho luyõ thöøa cuûa x . • - Chuù yù ñeán caän : Khi x nghóa laø x>0 ; coøn x , nghóa laø x<0 • - Gioáng nhö ñoái vôùi daïng , hoaëc ta phaân tích thaønh nhaân töû ,hoaëc ta nhaân lieân hôïp ,hoaëc ta ñöa x ra ngoaøi daáu caên thöùc ( phaûi chuù yù ñeán caän maø boû daáu trò tuyeät ñoái )Ví duï 1. (Baøi 32-tr159-GT11-NC)Tìm caùc giôùi haïn sauNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 8 WWW.ToanCapBa.Net
  9. 9. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốBaøi giaûi :Ví duï 2. (Baøi 44-tr167-GT11NC)Tìm caùc giôùi haïn sauBaøi giaûi :Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 9 WWW.ToanCapBa.Net
  10. 10. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số Ví duï 3. Tìm caùc giôùi haïn sau : 3x(2x 2 − 1) x x +1 1. lim 2 2. lim 2 x → −∞ (5x − 1)(x + 2x) x →+∞ x + x +1 x 2 − 3x + 2x x 2 + x + 2 + 3x + 1 3 lim 4. lim x → −∞ 3x − 1 x→±∞ 2 4x + 1 + 1 − x ø giaûi:  1 1. lim 3x(2x − 1)2 = lim ( 2 3 2x − 1 )= lim 3 2 − 2 ÷  x  =6 x → −∞ (5x − 1)(x 2 + 2x) x→ −∞ ( 5x − 1) ( x + 2) x→ −∞  1 2 5  5 − ÷ 1 + ÷  x  x  . 1 1 + x x +1 x x2 2. lim = lim =0 x →+∞ x 2 + x + 1 x →+∞ 1 1 1+ + 2 x x 3 3 2 x 1− + 2x − 1− + 2 x − 3x + 2x x x 1 3 lim = lim = lim = x → −∞ 3x − 1 x → −∞  1 x → −∞ 1 3 x  3− ÷ 3−  x xNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 10 WWW.ToanCapBa.Net
  11. 11. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số 1 2  1 2 x 1+ + 2 + x  3 + ÷  4 khi x > 0 x + x + 2 + 3x + 1 x x  x 4. lim = lim = 2 x→±∞ 2 4x + 1 + 1 − x x→±∞ 1  1   − 3 khi < 0  x 4 + 2 + x  − 1÷ x x  Ví duï 4. Tìm caùc giôùi haïn sau 3 ( x 3 + 2x 2 )2 + x 3 x 3 + 2 x 2 + x 2 3 x + 2x + x 3 2 2 lim 1. lim x → −∞ 3x 2 − 2x x → −∞ 2x − 2 x 2 − 3x + 2x (x x + x − 1)( x + 1) 3. lim 4. lim x →−∞ 3x − 1 x → +∞ (x + 2)(x − 1) Baøi giaûi :  2  3 3 x  3 1 + + 1÷ x + 2x 2 + x x 1. lim = lim   =1 x → −∞ 2x − 2 x → −∞  1 2x  1 − ÷  x 2   2 2 2  x  3  1 + ÷ + 3 1+ + 1 3 ( x 3 + 2 x 2 )2 + x 3 x 3 + 2x 2 + x 2   x  x   =1 2 lim = lim x → −∞ 3x − 2x 2 x → −∞ 2 3− x ( ) ( ) 3  x + x − 1 2 ( ) ( ) 3 2 (x x + x − 1)( x + 1)   x + x −1 4. lim = lim   = lim ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 (x + 2)(x − 1) x →+∞  2 x + 2 x − 1 x →+∞ x →+∞ x − x +2 x −2     1 1 1+ − 3 t t = lim = 1 khi : t = x ; khix → +∞ ,t → ∞ x →+∞ 1 2 2 1− + 2 − 3 t t t Baøi taäp töï luyeänNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 11 WWW.ToanCapBa.Net
  12. 12. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số Tìm caùc giôùi haïn sau: 2x +1 x 2 +1 x x +1 a) lim b) lim c) lim x →+∞ x −1 2 x → −∞ 1 − 3x − 5x x → +∞ x2 + x+1 2 3x(2x − 1) d) lim 2 x → −∞ (5x − 1)(x + 2x) 3x 3 − 2x + 2 3x 3 − 2x 2 − 1 x 3 − 2x 2 − 2 e) xlim f) lim g) lim →±∞ −2x 3 + 2x 2 − 1 x →±∞ 4 x 4 + 3x − 2 x →±∞ 3x 2 − x − 1 x 4 − 3x 2 + 1 h) lim 3 x →±∞ − x + 2 x − 2 (x − 1) 2 (7x + 2) 2 (2x − 3)2 (4x + 7)3 4x 2 + 1 i) xlim j) lim k) lim → ±∞ (2x + 1) 4 x → ±∞ (3x − 4) 2 (5x 2 − 1) x →∞ 3x − 1 2 l) lim x 2 − 3x + 2x 4x − 2x + 1 + 2 − x o) lim x →+∞ 3x − 1 x→±∞ 9x 2 − 3x + 2x x 2 + 2x + 3 + 4x + 1 x x +3 p) lim q) lim x →+∞ x 2 +1 x → ±∞ 4x 2 + 1 + 2 − x 3. Ñeå tính giôùi haïn :( Daïng ∞-∞ ) .Hoaëc • Ta nhaân vaø chia vôùi bieåu thöùc lieân hôïp ( neáu coù bieåu thöùc chöùa bieán soá döôùi daáu caên thöùc ) hoaëc quy ñoàng ñeå ñöa veà cuøng moät phaân thöùc ( neáu chöùa nhieàu phaân thöùc ) Daïng voâ ñònh ∞ − ∞ vaø daïng 0.∞Ví duï 1. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haùm soá sau 2 lim x 2 − 3x + 4 1. lim (2 x − 3x) lim ( x 2 + x − x) 3 x → ±∞ 3. x → +∞ x →−∞Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 12 WWW.ToanCapBa.Net
  13. 13. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số 5. lim ( x + 2 − x − 2) 4. lim ( x 2 − 3 x + 2 − x) x → +∞ x → +∞6. lim ( x 2 − 4x + 3 − x 2 − 3x + 2) x→ ± ∞Baøi giaûi  3 1. lim (2 x3 − 3 x) = lim x3  2 − 2 ÷ = +∞ x → +∞ x → +∞  x  3 4  +∞ khix → +∞ 2. lim x 2 − 3x + 4 = lim x 1 − + 2 =  x → ±∞ x → ±∞ x x  −∞ khix → −∞ 2  1   1  3. lim ( x + x − x) = lim  x 1 + − x ÷= lim − x  1 + − 1÷= +∞.0 ? x →− ∞ x →−∞  x ÷ x →−∞  x ÷     x 1 ⇔ lim = lim = ? x →−∞ 2 x +x +x x →−∞ 1 − 1+ + 1 x  3 2  4. lim ( x 2 − 3 x + 2 − x) = lim x  1 − + 2 ÷ = +∞ do x → +∞ ⇒ x = x x → +∞ x → +∞  x x ÷   4 4 5. lim ( x + 2 − x − 2) = lim = lim =0 x → +∞ x → +∞ x + 2 + x − 2 x→ +∞  2 2 x  1+ + 1− ÷  x x 2 2 −x + 1 6. lim ( x − 4x + 3 − x − 3x + 2) = lim x→ ± ∞ x→ ± ∞ x 2 − 4x + 3 + x 2 − 3x + 2  1 1 − x  1− ÷  x  2 khi x → −∞ = lim = x→ ± ∞  4 3 3 2   − 1 khi x → +∞ x  1− + 2 + 1− + 2 ÷  2   x x x x Ví duï 2. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sauNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 13 WWW.ToanCapBa.Net
  14. 14. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốBaøi giaûi :Ví duï 3. ( Baøi 40-tr166-GT11-NC)1.Tìm caùc giôùi haïn sauBaøi giaûi :Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 14 WWW.ToanCapBa.Net
  15. 15. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số Baøi taäp töï luyeänTính caùc giôùi haïn sau: 2 e) lim ( x + x − x) g) lim ( x − 3 x + 2 − x) 2 x →+ ∞ x → −∞ h) lim ( x 2 − 2x + 4 − x ) k) lim x ( x 2 + 5 + x ) x → ±∞ x → ±∞ 2 2 l) lim (2x − 1 − 4x − 4x − 3) m) lim (3x + 2 − 9x + 12x − 3) x→ ± ∞ x→ ± ∞ 3 3 2 n) lim ( x − 3 x + 2 + x − 2) 2 t) lim ( x − x + x + x) x → +∞ x →±∞ o) lim ( x 2 − 3x + 2 + x − 2) p) lim ( x − 3x + 2 + x − 1) x →±∞ 2 x→ − ∞ q) lim ( x − 3x + 1 − x + 3) 2 x → ±∞ 3 r) lim ( 4 x 2 − x + 3 − 2x + 1) s) lim ( x 3 + x 2 − x) x → ±∞ x → ±∞ 2 3 3 v) lim ( x + 1 − x − 1) w) xlim ( x + 2x − 1 − x − 3x ) 3 3 2 x→ + ∞ → ±∞Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 15 WWW.ToanCapBa.Net
  16. 16. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số 4. Ñeå tìm giôùi haïnKhi u(x) hoaëc v(x) chöùa caùc caên thöùc khoâng cuøng chæ soá . • Kheùo leùo theâm vaø bôùt vaøo töû soá hay maãu soá ( coù chöùa caên khoâng cuøng chæ soá ) moät soá hôïp lyù ( thöôøng laø theâm vaøo soá x0) • Taùch giôùi haïn ñaõ cho thaønh hai giôùi haïn maø sao cho moãi giôùi haïn chæ chöùa caên thöùc coù cuøng chæ soá vaø aùp duïng caùc ñònh lyù ,hoaëc quy taéc tìm giôùi haïn ñaõ bieát . • Chaúng haïn ,ta tìm : • Chuù yù : Ñoâi khi ta phaûi theâm ,bôùt moät ñaïi löôïng h(x) sao cho h(x0)=c. Sau ñoù aùp duïng caùch phaân tích treân ñeå giaûi . ( Thoâng qua ví duï : ) Ví duï minh hoaïVí duï 1. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sauBaøi giaûi :Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 16 WWW.ToanCapBa.Net
  17. 17. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốVí duï 2. Tìm caùc giôùi haïn sau.Baøi giaûi :Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 17 WWW.ToanCapBa.Net
  18. 18. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốVí duï 3. Tìm caùc giôùi haïn sauBaøi giaûi :Ví duï 4. Tìm caùc giôùi haïn sauBaøi giaûi :Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 18 WWW.ToanCapBa.Net
  19. 19. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốVí duï 5. Tìm giôùi haïn sau :Giaûi :Ta theâm ,bôùt moät haøm soá h(x)=1+x ,vôùi h(0)=1. Khi ñoù 5 Ñeå tìm giôùi haïn :Khi u(x) hoaëc v(x) chöùa caùc caên thöùc khoâng cuøng chæ soá .( vôùi caêncoù chæ soá cao hôn 3- töø 4 trôû ñi ). • Ta ñoåi bieán soá baèng caùch ñaët u= • Chuyeån giôùi haïn ñaõ cho töø bieán x trôû thaønh bieán u vôùi giôùi haïn môùi coù theå aùp duïng caùc ñònh lyù vaø quy taéc tìm giôùi haïn laø coù theå tìm ñöôïc ngay .Ví duï1: minh hoaï ( ÑH-SP II-99).Tìm giôùi haïn sau :Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 19 WWW.ToanCapBa.Net
  20. 20. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốBaøi giaûi :Ta coù : • Ñaët : • Ñaët : • Vaäy :Ví duï 2: Tìm caùc giôùi haïn sauBaøi giaûi :Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 20 WWW.ToanCapBa.Net
  21. 21. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số 6 Phaàn naâng cao . AÙp duïng giôùi haïn : • Neáu giôùi haïn ñaõ cho chöùa caùc haøm soá löôïng giaùc , baèng caùch bieán ñoåi löôïng giaùc ,ta bieán ñoåi haøm soá caàn tìm giôùi haïn sao cho söû duïng ñöôïc giôùi haïn treân. • Neáu haøm soá tìm giôùi haïn chöùa hoãn hôïp caû caèn thöùc +löôïng giaùc ,hay ña thöùc vôùi löôïng giaùc thì ta phaûi theâm hay bôùt hoaëc taùch giôùi haïn ñoù thaønh hai giôùi haïn sao cho hai giôùi haïn naøy coù theå tìm ñöôïc ngay baèng caùc ñònh lyù vaø quy taéc tìm giôùi haïn ñaõ bieát . Ví duï minh hoaï :Ví duï 1. Tìm caùc giôùi haïn sauBaøi giaûi :Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 21 WWW.ToanCapBa.Net
  22. 22. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốVí duï 2. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau.Baøi giaûi :Vaäy : III.Phaàn baøi taäp töï luyeänBaøi 1. Tìm caùc giôùi haïn sauBaøi 2. Tìm caùc giôùi haïn sauBaøi 3. Tìm caùc giôùi haïn sauNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 22 WWW.ToanCapBa.Net
  23. 23. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốBaøi 4. Tìm caùc giôùi haïn sauBaøi 5. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sauIII. Söû duïng ñònh nghóa ñaïo haøm ñeå tìm giôùi haïn cuûa haømsoá • Theo ñònh nghóa ñaïo haøm : "Cho haøm soá y= f(x) coù D=(a;b)x 0 laø moät giaù trò thuoäc D . Giôùi haïn cuûa tyû soá Goïi laø giaù trò ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi ñieåm x 0. • Neáu haøm soá f=f(x) toàn taïi ñaïo haøm taïi ñieåm x0 : f(x 0)≠ 0 , thì : • Moät soá coâng thöùc tính ñaïo haøm caàn bieát : Ví duï aùp duïngVí duï 1. (ÑH-Thuyû lôïi -KA-2001).Tìm giôùi haïn sauBaøi giaûi :Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 23 WWW.ToanCapBa.Net
  24. 24. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốVôùi :Ví duï 2. Tìm caùc giôùi haïn sauBaøi giaûiNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 24 WWW.ToanCapBa.Net
  25. 25. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốVí duï 3. Tìm caùc giôùi haïn sauBaøi giaûiNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 25 WWW.ToanCapBa.Net
  26. 26. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số* Chuù yù : Coù theå söû duïng moät soá keát quaû sau ñeå tìmgiôùi haïnKeát quaû 1. Tìm giôùi haïn sauTöø phaân tích : abc-1= (abc-ab)+(ab-a)+(a-1)=ab(c-1)+a(b-1)+(a-1). (1) Choneân :Ví dụ . Tìm giới hạn sauBaøi giaûi :Do (1)Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 26 WWW.ToanCapBa.Net
  27. 27. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốKết quả 2 .Tìm giới hạn sauVí dụ 1:Bài giải :Ví dụ 2 :Baøi giaûi : Moät soá baøi taäp töï luyeänNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 27 WWW.ToanCapBa.Net
  28. 28. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốBaøi 1. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sauBaøi 2. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sauBaøi 3. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sauBaøi 4. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau BAØI TAÄP THAM KHAÛO - ÑEÅ LUYEÄN TAÄP .Baøi 1. Duøng ñònh nghóa, CMR: x +1 x 2 − 3x + 2 a) lim(2x + 3) = 7 b) lim =1 c) lim = −1 x →2 x →3 2(x − 1) x →1 x −1 Baøi 2. Tìm caùc giôùi haïn sau b) lim x − 5x + 6 c) lim x − 1 2 a) lim(x + 5x + 10x) 3 2 x →0 x →3 x →1 x−2 2x 2 + 3x + 1 d) xlim2 →− − x 2 + 4x + 2  1 1  x2 −4 1+ x − 1− x e) xlim1 − ÷ →  1 + x 1 − 2x 3  f) lim 3 g) lim x→0x − 3x + 2 x →1 x sinx tgx j) lim tan x + sin2x h) limπ k) limπ x →0 cos x x→ x x→ π−x 2 4 0 Daïng voâ ñònh 0Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 28 WWW.ToanCapBa.Net
  29. 29. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số 1. Tìm caùc giôùi haïn sau: x2 −4 x 2 −1 a) lim b) lim x →2x2 − 3x + 2 x → −1 x 2 + 3x + 2 x 2 − 5x x 2 − 2x c) lim d) lim x→5x2 − 25 x → 2 −2x 2 + 6x − 4 x 3 − 3x + 2 x 3 − x 2 − x +1 e) lim f) lim x →1x 4 − 4x + 3 x →1 −x 2 + 3x − 2 g) lim 2x 3 x − 6 h) lim x 2− x − 72 2 4 2 + x → −2 x +8 x →3 x − 2x − 3 x +1 5 x 3 − 5x 2 + 3x + 9 i) xlim1 3 j) lim →− x + 1 x→3 x 4 − 8x 2 − 9 2x 4 + 8x 3 + 7x 2 − 4x − 4 k) lim x →1 3x 3 + 14x 2 + 20x + 8 x 3 − 3x 2 − 9x + 2  2  1 l) xlim 2 m) lim  2 − x →1 x − 1 ÷ →− x3 − x + 6  x −1  1 3  x − 5x 5 + 4x 6 n) lim  − x →1 1 − x 1 − x 3 ÷ o) lim 2  x →1 (1 − x) (x + h) 3 − x 3 x 2 − (a + 1)x + a p) lim q) lim h→ 0 h x →a x 3 − a3 x −a 4 4 2(x + h)3 − 2x 3 r) xlima s) lim → x−a h →0 h  x+2 x−4  x +x−2 1992 t) lim  2 + ÷ u) lim 1990 x →1 x − 5x + 4 3(x − 3x + 2)  2  x →1 x +x−2 x n − nx + n − 1 k) lim x →1 (x − 1) 2 2. Tìm caùc giôùi haïn sau: 4x 2 + x − 18 x 2 + x − 30 A = lim B = lim x→2 x3 − 8 x →5 2x 2 − 9x − 5 4x 2 − 1 x +1 lim D = x → 1 4x 3 + 2x 2 − 1 C = xlim1 2 →− x + 2x 2 − x − 2 3 x 2 − 4x + 3 2x 2 + 3x + 1 E = lim G = xlim1 x →1 x 2 + 2x − 3 →− − x 2 + 4x + 5Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 29 WWW.ToanCapBa.Net
  30. 30. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số x 4 − 16 x3 − x 2 + x −1 H = xlim2 L = lim →− x 2 + 2x x →1 − x 2 − 5x + 6 x3 −1 x 3 − 27 I = lim J = lim x →1 x2 − x x →3 x 2 − 4x + 3 x 3 + 2x 2 − 6x − 4 N = lim x→2 8 − x3 x 3 + x 2 − 5x − 2 2x 2 − 5x + 2 O = lim F = lim1 4x 2 − 1 x →2 x 2 − 3x + 2 x→ 2 x 3 + 4x 2 + 6x + 3 x 3 − 3x + 2 P = xlim1 Q = lim 2 →− x2 − x − 2 x →1 x − 2x + 1 x5 −1 8x 3 − 64 R = lim M = lim x →1 x3 −1 x→2 x 2 − 5x + 6 3. Tìm caùc giôùi haïn sau: x +1 − x2 + x +1 x −3 −2 2− x +2 a) lim b) lim c) lim x →0 x x →7 49 − x 2 x →2 x 2 − 3x + 2 2x + 7 − 3 x + 5 − 2x + 1 2− x2 + 3 e) lim f) lim g) lim 2 x →1x3 − 4x 2 + 3 x→4 x−4 x →1 − x + 3x − 2 4x + 1 − 3 x − x +2 x +1 3 d) lim h) lim 0) xlim1 x →2 x2 − 4 x →2 x3 −8 →− 2 2x + 5x + 3 3− 5+ x 3− 8+ x i) lim 3x − 2 − 4x − x − 2 2 j) lim k) lim x →1 2 x − 3x + 2 x → 4 1− 5 − x x →1 2x − 5 − x 3 1− 3 1− x x− x+2 x 2 − 23 x + 1 o) lim p) lim x) lim x →0 2x + x 2 x →2 4x + 1 − 3 x →1 (x − 1) 2 x 2 + 2 x + 6 − 4x + 1 x −1 4 m ) lim n) lim x 3 − 2x + 1 x + x2 − 2 3 x →1 x →1 3 3 2x + 12 + x x+7−2 x +1 −1 q) xlim2 r) lim s) lim 3 →− x 2 + 2x x →1 x −1 x →0 x +1 −1 3 3 x+7 −2 3 x −1 x −1 t) lim v) lim 4 w) lim x →1 x −1 x →1 x −1 x →1 3 4x + 4 − 2 4. Tính caùc giôùi haïn sau:Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 30 WWW.ToanCapBa.Net
  31. 31. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số 3 x +1 + x + 4 − 3 x + 9 + x + 16 − 7 x +1+ x + 4 − 3 a. lim b. lim c. lim x →0 x x →0 x x→0 x 3 x +1− 3 x +1 x + 3 − 3 3x + 5 8x + 11 − x + 7 d. lim e. lim f. lim x→0 x x →1 x2 −1 x →1 x 2 − 3x + 2 ∞ Daïng voâ ñònh ∞ 1. Tìm caùc giôùi haïn sau: 2x + 1 x 2 +1 x x +1 a) xlim b) lim c) lim → +∞ x −1 x → −∞ 1 − 3x − 5x 2 x → +∞ x 2 + x +1 3x(2x 2 − 1) d) xlim 2 → −∞ (5x − 1)(x + 2x) 3x 3 − 2x + 2 3x 3 − 2x 2 − 1 x 3 − 2x 2 − 2 e) xlim f) xlim g) xlim →±∞ −2x 3 + 2x 2 − 1 →±∞ 4x 4 + 3x − 2 →±∞ 3x 2 − x − 1 x 4 − 3x 2 + 1 h) xlim 3 →±∞ − x + 2 x − 2 (x − 1) 2 (7x + 2) 2 (2x − 3) 2 (4x + 7)3 i) xlim j) xlim →±∞ (2x + 1) 4 →±∞ (3x − 4) 2 (5x 2 − 1) x 2 − 3x + 2x 4x 2 + 1 l) lim k) lim x →+∞ 3x − 1 x →∞ 3x − 1 x 2 − 3x + 2x x 2 + x + 2 + 3x + 1 m) lim n) lim x →−∞ 3x − 1 x→±∞ 4x 2 + 1 + 1 − x 4x 2 − 2x + 1 + 2 − x o) lim x→±∞ 9x 2 − 3x + 2x x 2 + 2x + 3 + 4x + 1 x x +3 p) lim q) xlim x → ±∞ 2 4x + 1 + 2 − x →+∞ x2 +1 3 x + 2x 2 + x 3 r) lim x →−∞ 2x − 2 3 ( x 3 + 2x 2 )2 + x 3 x 3 + 2x 2 + x 2 (x x + x − 1)( x + 1) s) lim t) lim x →−∞ 3x 2 − 2x x → +∞ (x + 2)(x − 1)  Giôùi haïn moät beân 1. Tìm caùc giôùi haïn sauNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 31 WWW.ToanCapBa.Net
  32. 32. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số x 2 − 2x 3x − 1 x −1 a) lim b) xlim c) lim x →2 − 3x + 1 →2 + 2 + x →1 x −1 x −1 x2 +x3 d) lim e) lim+ x →1− x −1 x→0 2x 2x x 2 − 3x + 3 x 2 − 3x + 3 f) lim± g) lim− h) lim+ x→0 4x 2 + x 3 x →2 x−2 x →2 x−2 x −3 x 2 − 3x + 3 i) lim j) lim− ± x →4 x −4 x →− 2 x2 + x − 2 x 2 − 3x + 3 x 3 − 3x + 2  1− x  k) lim l) lim− g) lim±  x  ÷ x →− 2+ x2 + x − 2 x →1 x 2 − 5x + 4 x→0  x ÷  1 + cos2x x2 +x−2 lim h) lim+ i) π+ π x →1 x −1 x→ −x 2 2 2. Tìm giôùi haïn beân phaûi, giôùi haïn beân traùi cuûa hs f(x) taïi x o vaø xeùt xem haøm soá coù giôùi haïn taïi xo khoâng ?  x 2 − 3x + 2  (x > 1) 4− x 2  2  (x < 2) a) f (x) =  x − 1 b) f (x) =  x − 2 − x (x < 1) 1 − 2x (x > 2)  2   vôù x o = 2 i vôù x o = 1 i  1 + x −1  x>0 c) f (x) =  3 1 + x − 1 3 / 2 x≤0  vôù x o = 0 i 3. Tìm A ñeå haøm soá sau coù giôùi haïn taïi x o:  x 3 −1  (x < 1) a) f (x) =  x − 1 vôùi x0 = 1  Ax + 2 (x ≤ 1)   x + 6 + 2x − 9 A + 3 x<3 b) f (x) =  x − 4x 2 + 3x vôùi x0 = 3 3x 2 − 2 x ≥3  Giôùi haïn haøm löôïng giaùc 1. Tính caùc giôùi haïn sau:Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 32 WWW.ToanCapBa.Net
  33. 33. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số sin5x 1 − cos2x cosx − cos7x a) xlim0 b) xlim0 2 c) xlim0 → 3x → x → x2 cosx − cos3x tgx − sin x  1 3  d) xlim0 e) lim f) lim  − ÷x → sin 2 x x→0 x 3 x → 0  sin x sin3x  sin2x + sin x 1 − sin x − cos2x g) lim h) lim x →0 3sin x x →0 sin xD¹ng 1: x → aBµi 1: Thay vµo lu«n. x2 −3  4x − 3  5 2 x 4 + 3x + 2 1) xlim1 2) lim  3) xlim2 3 →− x3 + 2 x →3 2 x + 7   →− x2 − x + 2 x2 5x − 1 x 2 + 5x + 3 4) lim 5) lim 6) xlim2 x →3 x3 − x − 6 x →1 2x + 7 →− 2x 3 + 2x 2 + x + 6Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö. x 2 + 3 x − 10 xn − an 1) lim x →2 3 x 2 − 5 x − 2 2) lim x →a x−a x n − a n − na n −1 ( x − a ) x n − nx + n − 1 3) lim 4) lim x →a ( x − a) 2 x →1 ( x − 1) 2  1  3  n 1  5) lim 1 − x −  6) lim −  x →1  1− x  3 x →1 1 − x n 1− x  ( x + h) 3 − x 3 7) lim h→0 h x −1 x 2 + 2 x − 15 8) lim 1− 9) lim x→1 x x →3 x −3 x + 2 x − 15 2 x 3 −1 10) lim 11) lim x → x ( x + 5) − 6 x →−5 x +5 1 x + 3x 2 − 9 x − 2 3 x 2 + 3x − 4 12) lim 13) lim x →2 x3 − x − 6 x →−4 x 2 + 4x x 2 − 5x + 6 x 3 + 3x 2 + 2 x 14) x →−4 lim 2 15) lim x − 12 x + 20 x →−2 x2 − x − 6 x4 −1 x 3 + 4x 2 + 4x 16) x →1 lim 2 17) lim x + 2x − 3 x → −2 x2 − x − 6Bµi 3: Nh©n lîng liªn hîp (cã mét c¨n bËc hai) x2 + 5 − 3 4 x +9 −2 5−x 1) lim . 2) lim 3) lim 5− x x →2 x−2 x →7 x −7 x →5 3 x − 5 −1 x 4) lim 5) lim 1 + x −1 x →2 x −2 x →0Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 33 WWW.ToanCapBa.Net
  34. 34. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số x +1 1 + x + x2 −1 6) lim 7) lim x →−1 6 x 2 + 3 + 3x x →0 x x + 4 −3 1 − 2 x + x 2 − (1 + x ) 8) lim 9) lim x →5 x 2 − 25 x →0 x x −3 x 3 − 3x − 2 10) lim 2 x + 10 − 4 11) lim x →3 x →1 x −1 1 + x −1 n x −2 −2 12) lim (n ∈N, n ≥ 2) 13) lim x →0 x x →6 x −6 3x − 2 − 4 x 2 − x − 2 2 x − 3x + 1 14) lim 15) lim x →1 x 2 − 3x + 2 x→1 x 2 −1 x 3 − 3x + 58 x −1 16) lim 17) lim x →2 x−2 x →1 x + 2x − 3 2Bµi 4: Nh©n lîng liªn hîp (cã hai c¨n bËc hai) 5+x − 5−x 1+ x − 1− x 1) lim 2) lim x →0 x x →0 x 2x −1 − x a+x− a 3) lim 4) lim (a > 0) x→1 x −1 x →0 x 1+ x − x2 + x +1 3x − 2 − 4 x 2 − x − 2 5) lim 6) lim x →0 x x →1 x 2 − 3x + 2 3 3x − 2 − 4 x − x − 2 3 2 1 − 3x + x 2 − 1 + x 7) lim 10) lim x →1 x 2 − 3x + 2 x →0 x 3 a+ x −3 a 3 x − 2 + 3 1− x + x2 8) lim 9) lim x →0 x x →1 x2 −1Bµi 5: Nh©n lîng liªn hîp (cã mét c¨n bËc ba) 1 + 4x −1 3 3 4x − 2 a) lim b) lim x →0 x x →2 x −2 1 − x +1 3 x c) lim d) lim 3 x →0 3x x →0 x +1 −1Bµi 6: Nh©n lîng liªn hîp (c¶ tö vµ mÉu) 3− 5+x x − x +2 x2 − x 1) lim 2) lim 3) lim x →4 1− 5 −x x→2 4 x +1 − 3 x→1 x −1 3 x +1 3 x −1 3 x −1 4) lim 5) lim 4 9) lim x →−1 x +3 −2 2 x →1 x −1 x→1 x −1 4 − x 2 −2 7 + 2x − 5 x −8 6) lim 7) lim 8) lim x →0 9 − x −3 2 x →9 x −3 x →64 4 −3 xBµi 7: Nh©n lîng liªn hîp (cã c¶ c¨n bËc hai vµ c¨n bËc ba) 2 1− x − 3 8 − x 3x − 2 − 3 4 x 2 − x − 2 1) lim (§HQG – KA 97) 2) lim x →0 x x →1 x 2 − 3x + 2Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 34 WWW.ToanCapBa.Net
  35. 35. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số 5 − x3 − 3 x2 + 7 3) lim x →1 x2 −1 3x − 2 − 4 x 2 − x − 2 3 x + 7 − 5 − x2 3 4) lim 5) lim x →1 x 2 − 3x + 2 x →1 x −1 3x + 4 − 3 8 + 5x 3 1 + 2x − 1 + 7 x 6) lim 7) lim x→0 x x →0 xD¹ng 2: Giíi h¹n mét bªn 8 + 2x − 2 2 x − 3x 1) xlim 2) lim x +2 3 x − 2x + + →−2 x →0  3x − 1 ; x ≤ 1 4) f ( x ) =  3x − 6 + x 2 − 4 x + 4 lim f ( x) 3) lim .  x + 1 ;x> 1 x→1 x →2 x−2 2  3x 2 + 2 x + 1 ; x ≥ 0  5) f ( x) =  sin x . T×m lim f ( x) ; x→1  ;x< 0  x o ;x< 0  2 6) f ( x ) =  x ; 0 ≤ x < 1 . T×m lim f ( x) ; x→1 lim f ( x ) x→0  2  − x − 2x + 1 ; x ≥ 1  mx 2 ; x ≤ 2 7) f ( x) =  3 ;x> 2  x 2 − 5x + 6 ; x > 2 8) f ( x) =  . T×m m ®Ó hµm sè cã giíi h¹n t¹i x = 2.  mx + 4 ;x≤ 2 1 2  5 (2 x + 3) ; x ≤ 1  9) f ( x ) =  6 − 5x ; 1 < x < 3 . T×m lim f ( x) ; lim f ( x) x→1 x→3 x− 3 ;x≥ 3  Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 35 WWW.ToanCapBa.Net
  36. 36. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số x4 +1 lim 2x 10) xlim 11) x →0 → −3 + x 2 + 4x + 3 4x 2 + x 3D¹ng 3: x → ∞: Cã c¸c d¹ng v« ®Þnh: ∞ - ∞ ; 0x∞ ; . Khi ®ã chóng ta ph¶i khö: ∞ ∞Chó ý: Khi x → -∞ hoÆc x → +∞ mµ chia cho x th× ph¶i chó ý tíi dÊu. x 3 + 3x + 1 1) lim 2) lim  x +  x − x  x →∞ 2 − 6x 2 − 6x 3  x →+∞  3) lim x →∞ ( 2 x − 3) 20 ( 3x + 2 ) 30 ( 2 x + 1) 50 → +∞ ( 6) xlim x − 7 x + 1 − x − 3x + 2 2 2 ) 4) xlim x x + 1 − x − 2 → +∞ 2 2 ( ) 5) lim (x − x2 −1 ) − (x + n x2 −1 ) n x →+∞ xn → +∞ 2 ( 7) xlim x − 4 x + 1 − x − 9 x 2 ) → +∞ 2 ( 8) xlim x − 2 x + 1 − x − 6 x + 3 2 ) ( 9) xlim x − 4 ± x − 7 x + 2 → +∞ 2 ) 15) xlim ( ( x + a )( x + b ) − x ) → +∞ → +∞ ( 10) xlim 2 x + 1 ± 4 x + 4 x + 3 2 ) 11)   lim  3x + 3x + 3x − 3 x  x →+∞   x→∞ 3 2 ( 12) lim x − 2 x − x − x 3 ) → +∞ 3 3 2 2 ( 18) xlim x + 2 x − x − 2 x ) x→ ∞ 3 3 2 ( 13) lim x − x + 3x − x + 1 ) 14) xlim x −1 − x →+∞ 2 ( ) 16)  lim  x +  x →+∞ x+ x − x− x−  x   17) xlim x + x − x + 2 → +∞ 2 ( ) 19) lim x →+∞ ( x. 1 x +1 − x −1 ) → +∞ ( 20) xlim x + 2 x − 2 x + x + x 2 2 ) 21) xlim ( x + 2 − 2 x − 1 + x ) → +∞ 24) xlim x. x + 4 − x − 3 → +∞ 2 2 ( ) 22) xlim x .( x + 3 − x − 1) → +∞ 23) xlim x − 2 .( x + 3 − x − 1) → +∞ 25) xlim ( 2 x + 5 − 2 x − 7 ) → +∞ x→ ∞ 3 3 2 ( 26) lim x + 6 x − x ) x→ ∞ 2 3 3 ( 27) lim x + x + 1 − x − x + 1 3 3 2 ) sin xD¹ng 4: lim x x →0 =1 sin 5 x tan 2 x sin x n 1) lim 2) x →0 3 x lim 3) x →0 lim x →0 x sin x m 1 − cos x sin 5 x. sin 3 x. sin x 4) lim 5) lim x →0 x2 x→0 45 x 3 sin x. sin 2 x.... sin nx tan x − sin x sin x − sin a 6) lim 7) lim 8) lim x − a x →0 n! x n x →0 3 sin x x →aNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 36 WWW.ToanCapBa.Net
  37. 37. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số cos x − cos b 1 − 2x +1 9) lim 10) lim x →b x −b x →0 sin 2 x tan x − tan c 1 − cos 3 x cot x − cot c 11) lim 12) lim 13) lim x →c x −c x →0 x sin x x →c x −c sin 2 x − sin 2 a cos αx − cos βx 14) lim 17) lim x →a x2 − a2 x →0 x2 sin 5 x − sin 3x πx x 3 +815) lim 16) lim(1 − x ) tan 18) lim x →0 sin x x→1 2 x→ 2 − tan( x + 2) 1 − cos x. cos 2 x. cos 3 x sin ( a + 2 x ) − 2 sin ( a + x ) + sin a19) lim 20) lim x →0 1 − cos x x →0 x2 tan ( a + 2 x ) − 2 tan ( a + x ) + tan a sin ax + tan bx ( a + b ≠ 0)21) lim 2 24) lim (a + b) x x →0 x→0 x cos ax − cos bx. cos cx sin ( a + x ) − sin ( a − x )22) lim 23) lim tan ( a + x ) − tan ( a − x ) 25) x →0 x2 x →0 2x + 1 − 3 x 2 + 1 1 − cos x cos(a + x) − cos( a − x)lim (GHN’00) 26) lim 27) limx →0 sin x x →0 sin x x →0 x sin x − tan x 28) lim x →0 x3 sin x. cos x − sin x lim 1 − 1 +sin 3 x29) x →0 sin x 30) lim (QG–KB 97) x→0 1 − cos x 2 1 − cos x   π31) lim 34) lim tan 2 x. tan 4 − x  (SPHN ‘00) π   x→0 1 − cos x x→ 4 tan ( a + x ). tan ( a − x ) − tan 2 a sin 2 2 x − sin x. sin 4 x32) lim 33) lim 35) x →0 x2 x →0 x4 1 − cos 5 x. cos 7 xlimx →0 sin 2 11x sin x − sin 2 x  1 1  lim 336) lim −  37) x →0  x 38) lim ( x + 2 ) sin  x →0 sin x tan x  x1 − 2 sin 2  x →∞ x  2 1 + x 2 − cos x 1 + tan x − 1 + sin x x +3 − 2 x39) lim (TM’99) 40) lim (HH’00)41) lim tan( x −1) x →0 x2 x →0 x3 x→1(DLHP’00) cos x 1 − cos ax sin 5 x lim42) lim 43) lim 44) x →− π π x →0 x2 x →0 tan 7 x 2 x+ 2Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 37 WWW.ToanCapBa.Net
  38. 38. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm số 1 + cos x 2 − 2 cos x 2 sin x − 1 lim45) lim x →π ( x −π ) 2 46) x→ π 4  π sin  x −  50) lim 2 cos 2 x − 1 π x→  4 4 cos 3x − cos 5 x. cos 7 x sin x + cos x47) lim 48) xlimπ π + 4x 49) x →0 x2 →− 4 sin ( π6 − x )limx→ π 1 − 2 sin x 6 1 tan x − sin x 1 − cos ax lim51) x →π cos x − tan x 52) lim 53) lim (a 2 x →0 x. tan x. sin x x →0 x2≠0) 1 − cos ax 1 − cos 2 2 x sin( x − 1)55) lim x →0 1 − cos bx 56) lim 57) lim x →0 x. sin x x →1 x 2 − 4x + 3 cos x 1 − 2 sin x lim lim x. sin ax58) x→ π 2 x − π 59) x →6 π − x π 54) lim x →0 1 − cos ax 2 6 2 sin x − 1 1 − cos 5 x sin 7 x − sin 5 x60) lim 4 cos 2 x − 3 π 61) lim x →0 1 − cos 3 x 62) lim x→ 6 x →0 sin x π  sin  − x 63) lim  4  x→ 1 − π 4 2 sin xNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 38 WWW.ToanCapBa.Net
  39. 39. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 39 WWW.ToanCapBa.Net
  40. 40. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 40 WWW.ToanCapBa.Net
  41. 41. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 41 WWW.ToanCapBa.Net
  42. 42. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 42 WWW.ToanCapBa.Net
  43. 43. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 42 WWW.ToanCapBa.Net
  44. 44. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 42 WWW.ToanCapBa.Net
  45. 45. WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp tìm giới hạn của hàm sốNguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 42 WWW.ToanCapBa.Net

×