http://tailieu.vncty.com/

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN CUỐI - NĂM 2013
Môn: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số .
2
1



x
x
y
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho.
b) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (H). Viết phương trình tiếp tuyến d của (H) tại điểm M thỏa
mãn IM vuông góc với d.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình .
2
cos
2
sin)cos23(
2
cos)2cos3(


xx
x
x
x
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình ).,(
1233
)2(84 22







yx
yyx
xxyxy
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân .d
4
1
0
2
3
 
 x
x
x
I
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, 5.AD a Tam giác SAB nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy, ,SA a ,
2
a
SB  0
120 .ASB  Gọi E là trung điểm của AD. Tính thể tích
khối chóp S.ABCD và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCE theo a.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số dương a, b phân biệt thỏa mãn .1222
 ba Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
)(8
544
244
baba
P


II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc phần b)
a. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có  1; 3 ,A    5;1 .B Điểm M
nằm trên đoạn thẳng BC sao cho 2 .MC MB Tìm tọa độ điểm C biết rằng 5MA AC  và đường
thẳng BC có hệ số góc là một số nguyên.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  : 0,x y z   
 : 2 2 0.x y z    Viết phương trình mặt cầu  S có tâm thuộc  , có bán kính bằng 3, tiếp xúc
với   tại M, biết rằng điểm M thuộc  .Oxz
Câu 9.a (1,0 điểm). Tìm số phức z thỏa mãn .||)1(
)1(
1
zi
zi
i
z 



b. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, có trực tâm  3;2 .H 
Gọi D, E là chân đường cao kẻ từ B và C. Biết rằng điểm A thuộc đường thẳng : 3 3 0,d x y   điểm
 2;3F  thuộc đường thẳng DE và 2.HD  Tìm tọa độ điểm A.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm  1;3;2 ,A  3;2;1B và mặt phẳng
 : 2 2 11 0.P x y z    Tìm điểm M trên  P sao cho 2 2MB  và 0
30 .MBA 
Câu 9.b (1,0 điểm). Tìm số nguyên dương n thỏa mãn
.
2013
1
12
2
...
5
4
4
3
3
2
2
1 2
2
4
2
3
2
2
2
1
2 

 n
nnnnn C
n
n
CCCC
---------------------------- Hết --------------------------
Ghi chú: BTC sẽ trả bài vào các ngày 22, 23/6/2013. Khi nhận bài thi, thí sinh phải nộp lại Phiếu dự thi.
Chóc c¸c em häc sinh ®¹t kÕt qu¶ cao trong Kú thi tuyÓn sinh vµo §¹i häc vµ Cao ®¼ng n¨m 2013!
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

2. 1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN CUỐI - NĂM 2013
Môn: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút
Câu Đáp án Điểm
a) (1,0 điểm)
10
. Tập xác định: }.2{
20
. Sự biến thiên:
* Giới hạn tại vô cực: Ta có 1lim 

y
x
và .1lim 

y
x
Giới hạn vô cực: 

y
x )2(
lim và .lim
)2(


y
x
Suy ra đồ thị (H) có tiệm cận ngang là đường thẳng ,1y tiệm cận đứng là đường thẳng .2x
* Chiều biến thiên: Ta có .2,0
)2(
1
' 2



 x
x
y
Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  2; và  .;2 
0,5
* Bảng biến thiên:
30
. Đồ thị:
Đồ thị cắt Ox tại  ,0;1 cắt Oy tại );
2
1
;0(
nhận giao điểm )1;2(I của hai đường tiệm
cận làm tâm đối xứng.
0,5
b) (1,0 điểm)
Gọi 2,
2
1
; 0
0
0
0 







x
x
x
xM là tiếp điểm. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là
2
1
)(
)2(
1
:
0
0
02
0 





x
x
xx
x
yd , hay .0)22()2(: 0
2
0
2
0  xxyxxd
Suy ra VTCP của d là  1;)2( 2
0  xud . Ta có )1;2(I nên 







2
1
;2
0
0
x
xIM .
0,5
Câu 1.
(2,0
điểm)
Do đó IM vuông góc với d 0.  duIM 1)2(0
2
1
)2( 4
0
0
3
0 

 x
x
x 





.1
3
0
0
x
x
Với ,30 x phương trình tiếp tuyến là 2)3(  xy hay .5 xy
Với ,10 x phương trình tiếp tuyến là )1(  xy hay .1 xy
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là 5 xy và .1 xy
0,5
Câu 2.
(1,0
điểm)
Phương trình đã cho tương đương với
2
sin
2
sin)cos23(
2
cos)2cos3(
xx
x
x
x 
  02sinsin.
2
cos
0
2
sin
2
cos2
2
cos)sin2(
0
2
sin)cos22(
2
cos)sin24(
2
22
2



xx
x
xxx
x
x
x
x
x
0,5
x
'y
y
 2
1



1

xO
y
I1
2
1
21
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

3. 2























.2
2
2
2
2
22
1sin
0
2
cos







kx
kx
kx
k
x
x
x
Vậy nghiệm của phương trình là .,2
2
,2  kkxkx 


0,5
Điều kiện: .
2
1
012  yy
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 





.2
4
0)2)(4( 2
2
yx
x
xyx
Với ,4x thế vào phương trình thứ hai ta được






)12(9)1(
1
1231 2
yy
y
yy






)12(9)1(
1
2
yy
y
.10310
10310
1
01020
1
2












 y
y
y
yy
y
0,5
Câu 3.
(1,0
điểm)
Với ,22
 yx thế vào phương trình thứ hai ta được .12352
 yyy (*)
Áp dụng BĐT Côsi ta có
(*).123)12(525)12(5)12()1((*) 2
VPyyyyyyVT 
Do đó phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy nghiệm của hệ là .10310,4  yx
0,5
Đặt .dd44 222
ttxxtxxt  Khi ,20  tx khi .31  tx Suy ra
 


3
2
2
)d(
4
tt
t
t
I
0,5
Câu 4.
(1,0
điểm)
.33
3
16
3
4)d4(
3
232
3
2






 
t
ttt 0,5
Áp dụng định lý côsin trong tam giác SAB
2 2
2 2 0 7
2 120
4 2 4 2
7
. . .cos .
a a a a
AB a a AB     
Kẻ SH AB tại H. Vì    SAB ABCD nên
 .SH ABCD Ta có
0
2 . .sin120 21
.
14
SABS SA SB a
SH
AB AB
  
Suy ra
3
1 21 7 15
. . . 5 .
3 14 2 12
SABCD
a a a
V a 
0,5
Câu 5.
(1,0
điểm)
Vì ,BC AB BC SH  nên  .BC SAB Do đó 0
90CBS  (1)
Áp dụng định lý Pitago trong các tam giác vuông CED, SAE, SBC ta có
22 2
2 2 2 7 5 12
4 4 4
a a a
CE CD DE     ,
2 2
2 2 2 2 5 9
4 4
a a
SE SA AE a     ,
2 2
2 2 2 2 21
5
4 4
a a
SC SB BC a     .
Từ đó suy ra 2 2 2
.SC SE CE  Do đó 0
90CES  (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ diện SBCE nội tiếp mặt cầu đường kính SC. Do đó mặt cầu này có tâm là trung
điểm của SC, có bán kính bằng
21
.
2 4
SC a
R  
0,5
S
A
B C
D
E
a
5a
2
a
H
1200
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

4. 3
Từ giả thiết và áp dụng BĐT Côsi ta có .2.42242)4(16 2
bababa  Suy ra
80  ab . Do đó 244
22
244
)(8
5
.
8
44
64)(8
544
ba
ab
ba
ba
baba
P










.
2
1
.
64
5
16
1
2
2
2
2








a
b
b
aa
b
b
a
Đặt .
a
b
b
a
t  Khi đó 2t và .
8
1
2
1
.
64
5
16
1
2
1
.
64
5
)2(
16
1 22





t
t
t
tP
0,5
Câu 6.
(1,0
điểm)
Xét hàm
8
1
2
1
.
64
5
16
1
)( 2



t
ttf trên ).;2(  Ta có
,
2
5
8
5
)2(0)(';
)2(
1
.
64
5
8
1
)(' 2
2


 ttttf
t
ttf vì .2t
Vì 
 
)(lim)(lim
2
tftf
tt
nên .
64
27
2
5
)(min
);2(








ftf
Suy ra ,
64
27
P dấu đẳng thức xảy ra khi .4,2  ba
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là ,
64
27
đạt được khi .4,2  ba
0,5
Gọi H là trung điểm MC. Khi đó AH BC và
.BM MH HC x  
Áp dụng định lý Pitago trong các tam giác vuông ABH,
AMH ta có
 
22 2
2 2 2
42 52
325
AHAH x AB
xAH x AM
  

  
 
 

Gọi phương trình đường thẳng BC là
     2 2
5 1 0 0 .a x b y a b     
Ta có    2 2
06 4
; 4 4 5 12 0
5 12 0
aa b
d A BC a a b
a ba b
 
      
 



0,5
Câu
7.a
(1,0
điểm)
Với 0,a  đường thẳng BC có hệ số góc 0k  (thỏa mãn). Khi đó : 1.BC y 
Với 5 12 0,a b  đường thẳng BC có hệ số góc
5
12
k (không thỏa mãn).
Ta có      
2 2
; 5 : 1 3 25.A R x y     Khi đó tọa độ của C và M là nghiệm của hệ phương
trình
   
   
   
2 2
1 2;1 , 4;1
4;1 , 2;11 3 25
y C M
C Mx y
 

   
 

 
Vì M nằm trên đoạn thẳng BC nên  4;1 .C 
0,5
Vì    ;0; .M Oxz M a b  Mặt khác    2 2 ;0; .M a b M b b   
Gọi I là tâm của  .S Khi đó  
2
: 2 ; 2 ; 2 .
1 2 2
x b y z b
IM I b t t b t
 
     
 
0,5Câu
8.a
(1,0
điểm)
Vì    ;2 ;3 .I t b I b b b     Ta có   
9
; 3 1.
3
b
R d I b     
Với        
2 2 2
1 : 1 2 3 9.b S x y z       
Với        
2 2 2
1 : 1 2 3 9.b S x y z        
0,5
 1; 3A  
A
 5;1B CHM
xxx
55
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

5. 4
Đặt .0,,, 22
 yxyxyixz  Ta có
ziz
i
i
zzzi
zi
i
z )1(||
1
1
||)1(
)1(
1







 
 
   
 
























)2(.1
0
)1(0
11
)(
22
22
22
22
2222
2222
yxyx
xy
yx
yxyx
yxyx
yxyx
yxyxyx
iyxyxyxiyx
0,5
Câu
9.a
(1,0
điểm)
Với ,0x ta có ,11)2( 2
 yyy thỏa mãn (1). Suy ra .iz 
Với ,0y ta có ,11)2( 2
 xxx không thỏa mãn (1).
Vậy .iz 
0,5
Ta có    
2 2
2 3 2 4D DHD x y     
2 2
6 4 9 0D D D Dx y x y      (1)
Vì  3 3; .A d A m m   Ta có
. 0AD HD AD HD  
 
        3 3 . 3 . 2 0D D D Dx m x y m y       
 2 2
3 2 7 9 0D D D Dx y mx m y m        (2)
0,5
Câu
7.b
(1,0
điểm)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được    6 3 2 7 18 0D Dm x m y m      (3)
Hoàn toàn tương tự ta có    6 3 2 7 18 0E Em x m y m      (4)
Từ (3) và (4) suy ra đường thẳng DE có phương trình    6 3 2 7 18 0.m x m y m     
Vì  2;3 0.F DE m    Do đó  3;0 .A
0,5
Nhận thấy    , , 6.A P B P AB   Áp dụng định lý côsin trong tam giác MAB ta có
2 2 2 0
2. . .cos30 2.MA MB BA MB MA    Suy ra 2 2 2
.MB MA AB  Do đó tam giác MAB
vuông tại A.
0,5Câu
8.b
(1,0
điểm)
Ta có  , 0; 5;5 .AM Pu AB n    
  
Do đó  
1
: 3 1;3 ;2 .
2
x
AM y t M t t
z t


    
  
Ta có 2 2 2
2 2 1.MA t t t      
Với  1 1;2;3 .t M 
Với  1 1;4;1 .t M  
0,5
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có
  .,...11 22
2
22
2
1
2
2
xxCxCxCx nn
nnn
n

Lấy đạo hàm hai vế ta được   .,2...3212 122
2
23
2
2
2
1
2
12
xxnCxCxCCxn nn
nnnn
n
 
Suy ra   .,2...3212 22
2
33
2
22
2
1
2
12
xxnCxCxCxCxnx nn
nnnn
n


Lấy tích phân trên  0;1 hai vế của đẳng thức ta được
    


0
1
22
2
33
2
22
2
1
2
0
1
12
d2...32d12 xxnCxCxCxCxxnx nn
nnnn
n
0,5
Câu
9.b
(1,0
điểm)
.
12
2
...
4
3
3
2
2
1
)1(
12
)1(2
1
0
122
2
43
2
32
2
21
2
1
0
2
12




















 nn
nnnn
n
n
xC
n
n
xCxCxCx
n
xn
Suy ra .
12
1
12
2
...
5
4
4
3
3
2
2
1 2
2
4
2
3
2
2
2
1
2




n
C
n
n
CCCC n
nnnnn
Theo bài ra ta có .1006
2013
1
12
1


n
n
0,5
A
C
: 3 3 0d x y  
B
 2;3F 
DE
H
2
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com