Système équivalent,        résultantes et superpositionE. Bugnet
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RésultanteOn appelle résultante dun système de forces F1, F2, F3… Fn, une force unique notée Réquivalente au système de fo...
Illustration : charges concentrées                       y                               F1=1000 daN                   A  ...
Illustration : charges concentrées                       y                               F1=1000 daN                   A  ...
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Illustration : charges concentrées                          y                550                F1=1000 daN               ...
Illustration : charges concentrées                       y                               F1=1000 daN                   A  ...
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Illustration : charges concentrées                               y                500                    F1=1000 daN      ...
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Illustration : charges concentrées                       y                   A                                          B ...
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Illustration : charges concentrées                        y            500                    A                           ...
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Illustration : charges concentrées                          y            500               550                      A     ...
Illustration : charge répartie                             y                                                  q(x)        ...
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Principe de superposition des effetsUn effet peut être une force, un moment, un déplacement, une contrainte.Soient les éta...
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  1. 1. Système équivalent, résultantes et superpositionE. Bugnet
  2. 2. Pour une meilleur lisibilité, passez en plein écran !E. Bugnet
  3. 3. Éléments de réductionTout système de forces coplanaires peut se réduire en un point O quelconque à deux vecteurs : Somme : S O =∑ F i Moment : M O =∑ M i+∑ M O FiLe vecteur SO est indépendant de la position dans le plan du point O.Le vecteur MO est dépendant de la position dans le plan du point O.Remarque :Au sens général, un système de FORCES peut être constitué de : ● Forces concentrées ● Charges réparties ● Moments concentrés (ou Couples)
  4. 4. Système de forces équivalentDeux systèmes de forces sont EQUIVALENTS sils ont en un même point quelconque lesmêmes éléments de réduction.Vérifions, en utilisant les points A, B, C et D, si les systèmes I et II sont équivalents. Système I Système II 100 daN 200 daN y 1600 m.daN y 100 daN A B C D A B C D x x 2 2 4 2 2 4 200 daN
  5. 5. Système de forces équivalentDeux systèmes de forces sont EQUIVALENTS sils ont en un même point quelconque lesmêmes éléments de réduction.Vérifions, en utilisant les points A, B, C et D, si les systèmes I et II sont équivalents. Système I Système II 100 daN 200 daN y 1600 m.daN y 100 daN A B C D A B C D x x 2 2 4 2 2 4 200 daN S Ax =0
  6. 6. Système de forces équivalentDeux systèmes de forces sont EQUIVALENTS sils ont en un même point quelconque lesmêmes éléments de réduction.Vérifions, en utilisant les points A, B, C et D, si les systèmes I et II sont équivalents. Système I Système II 100 daN 200 daN y 1600 m.daN y 100 daN A B C D A B C D x x 2 2 4 2 2 4 200 daN S Ax =0 S Ax =0
  7. 7. Système de forces équivalentDeux systèmes de forces sont EQUIVALENTS sils ont en un même point quelconque lesmêmes éléments de réduction.Vérifions, en utilisant les points A, B, C et D, si les systèmes I et II sont équivalents. Système I Système II 100 daN 200 daN y 1600 m.daN y 100 daN A B C D A B C D x x 2 2 4 2 2 4 200 daN S Ax =0 S Ay =−100 S Ax =0
  8. 8. Système de forces équivalentDeux systèmes de forces sont EQUIVALENTS sils ont en un même point quelconque lesmêmes éléments de réduction.Vérifions, en utilisant les points A, B, C et D, si les systèmes I et II sont équivalents. Système I Système II 100 daN 200 daN y 1600 m.daN y 100 daN A B C D A B C D x x 2 2 4 2 2 4 200 daN S Ax =0 S Ay =−100 S Ax =0 S Ay =−200−100+200=−100
  9. 9. Système de forces équivalentDeux systèmes de forces sont EQUIVALENTS sils ont en un même point quelconque lesmêmes éléments de réduction.Vérifions, en utilisant les points A, B, C et D, si les systèmes I et II sont équivalents. Système I Système II 100 daN 200 daN y 1600 m.daN y 100 daN A B C D A B C D x x 2 2 4 2 2 4 200 daN S Ax =0 S Ay =−100 S Ax =0 S Ay =−200−100+200=−100 M A=−(100×2)+1600=1400
  10. 10. Système de forces équivalentDeux systèmes de forces sont EQUIVALENTS sils ont en un même point quelconque lesmêmes éléments de réduction.Vérifions, en utilisant les points A, B, C et D, si les systèmes I et II sont équivalents. Système I Système II 100 daN 200 daN y 1600 m.daN y 100 daN A B C D A B C D x x 2 2 4 2 2 4 200 daN S Ax =0 S Ay =−100 S Ax =0 S Ay =−200−100+200=−100 M A=−(100×2)+1600=1400 M A=0−(100×2)+( 200×8)=1400
  11. 11. Système de forces équivalentDeux systèmes de forces sont EQUIVALENTS sils ont en un même point quelconque lesmêmes éléments de réduction.Vérifions, en utilisant les points A, B, C et D, si les systèmes I et II sont équivalents. Système I Système II 100 daN 200 daN y 1600 m.daN y 100 daN A B C D A B C D x x 2 2 4 2 2 4 200 daN S Ax =0 S Ay =−100 S Ax =0 S Ay =−200−100+200=−100 M A=−(100×2)+1600=1400 M A=0−(100×2)+( 200×8)=1400 M B=0+1600=1600
  12. 12. Système de forces équivalentDeux systèmes de forces sont EQUIVALENTS sils ont en un même point quelconque lesmêmes éléments de réduction.Vérifions, en utilisant les points A, B, C et D, si les systèmes I et II sont équivalents. Système I Système II 100 daN 200 daN y 1600 m.daN y 100 daN A B C D A B C D x x 2 2 4 2 2 4 200 daN S Ax =0 S Ay =−100 S Ax =0 S Ay =−200−100+200=−100 M A=−(100×2)+1600=1400 M A=0−(100×2)+( 200×8)=1400 M B=0+1600=1600 M B=(200×2)+(200×6)+(200×4)=1600
  13. 13. Système de forces équivalentDeux systèmes de forces sont EQUIVALENTS sils ont en un même point quelconque lesmêmes éléments de réduction.Vérifions, en utilisant les points A, B, C et D, si les systèmes I et II sont équivalents. Système I Système II 100 daN 200 daN y 1600 m.daN y 100 daN A B C D A B C D x x 2 2 4 2 2 4 200 daN S Ax =0 S Ay =−100 S Ax =0 S Ay =−200−100+200=−100 M A=−(100×2)+1600=1400 M A=0−(100×2)+( 200×8)=1400 M B=0+1600=1600 M B=(200×2)+(200×6)+(200×4)=1600 M C =(100×2)+1600=1800
  14. 14. Système de forces équivalentDeux systèmes de forces sont EQUIVALENTS sils ont en un même point quelconque lesmêmes éléments de réduction.Vérifions, en utilisant les points A, B, C et D, si les systèmes I et II sont équivalents. Système I Système II 100 daN 200 daN y 1600 m.daN y 100 daN A B C D A B C D x x 2 2 4 2 2 4 200 daN S Ax =0 S Ay =−100 S Ax =0 S Ay =−200−100+200=−100 M A=−(100×2)+1600=1400 M A=0−(100×2)+( 200×8)=1400 M B=0+1600=1600 M B=(200×2)+(200×6)+(200×4)=1600 M C =(100×2)+1600=1800 M C =( 200×4)+(100×2)+(200×4)=1800
  15. 15. Système de forces équivalentDeux systèmes de forces sont EQUIVALENTS sils ont en un même point quelconque lesmêmes éléments de réduction.Vérifions, en utilisant les points A, B, C et D, si les systèmes I et II sont équivalents. Système I Système II 100 daN 200 daN y 1600 m.daN y 100 daN A B C D A B C D x x 2 2 4 2 2 4 200 daN S Ax =0 S Ay =−100 S Ax =0 S Ay =−200−100+200=−100 M A=−(100×2)+1600=1400 M A=0−(100×2)+( 200×8)=1400 M B=0+1600=1600 M B=(200×2)+(200×6)+(200×4)=1600 M C =(100×2)+1600=1800 M C =( 200×4)+(100×2)+(200×4)=1800 M D=(100×6)+1600=2200
  16. 16. Système de forces équivalentDeux systèmes de forces sont EQUIVALENTS sils ont en un même point quelconque lesmêmes éléments de réduction.Vérifions, en utilisant les points A, B, C et D, si les systèmes I et II sont équivalents. Système I Système II 100 daN 200 daN y 1600 m.daN y 100 daN A B C D A B C D x x 2 2 4 2 2 4 200 daN S Ax =0 S Ay =−100 S Ax =0 S Ay =−200−100+200=−100 M A=−(100×2)+1600=1400 M A=0−(100×2)+( 200×8)=1400 M B=0+1600=1600 M B=(200×2)+(200×6)+(200×4)=1600 M C =(100×2)+1600=1800 M C =( 200×4)+(100×2)+(200×4)=1800 M D=(100×6)+1600=2200 M D=(200×8)+(100×6)=2200
  17. 17. Système de forces équivalent Remarque : Il est important de préciser que les deux systèmes sont statiquement équivalents. Si on remplace lun par lautre, ils auront le même effet sur létat déquilibre (ou de mouvement) et créeront le même système de réactions aux appuis. Par contre, du point de vue de la résistance des matériaux, cela est faux quant aux déformations, déplacements et contraintes dans le matériau. Illustration : Ces deux systèmes sont équivalents : ● les réactions aux appuis sont égales ● mais les diagrammes des Vy et Mfz, et les déformations sont totalement différents. F y y F/2 F/2A B A B x x l/2 a a l l
  18. 18. RésultanteOn appelle résultante dun système de forces F1, F2, F3… Fn, une force unique notée Réquivalente au système de forces Fi et définie par : ⃗ =∑ F i R ⃗ M =∑ M ⃗ O ⃗ R ⃗ O FiLéquation 1 permet de définir la norme, le sens et la direction de RLéquation 2 permet de définir son support
  19. 19. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculez les actions aux appuis A et B
  20. 20. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculez les actions aux appuis A et B∑ f x =0∑ f =0 y∑ M A=0
  21. 21. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculez les actions aux appuis A et B∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y∑ M A=0
  22. 22. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculez les actions aux appuis A et B∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y Ay+1000−500+B y =0∑ M A=0
  23. 23. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculez les actions aux appuis A et B∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y Ay+1000−500+B y =0∑ M A=0 M A +M A +M A +M A =0 ⃗ A ⃗ F1 ⃗2 F ⃗ B
  24. 24. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculez les actions aux appuis A et B∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y Ay+1000−500+B y =0∑ M A=0 M A +M A +M A +M A =0 ⃗ A ⃗ F1 ⃗2 F ⃗ B (1000×2)−( 500×5)+M A =0 ⃗ B
  25. 25. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculez les actions aux appuis A et B∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y Ay+1000−500+B y =0∑ M A=0 M A +M A +M A +M A =0 ⃗ A ⃗ F1 ⃗2 F ⃗ B (1000×2)−( 500×5)+M A =0 ⃗ B 10× B y =500
  26. 26. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculez les actions aux appuis A et B∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y Ay+1000−500+B y =0∑ M A=0 M A +M A +M A +M A =0 ⃗ A ⃗ F1 ⃗2 F ⃗ B (1000×2)−( 500×5)+M A =0 ⃗ B 10× B y =500 B y =50
  27. 27. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculez les actions aux appuis A et B∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y Ay+1000−500+B y =0∑ M A=0 M A +M A +M A +M A =0 ⃗ A ⃗ F1 ⃗2 F ⃗ B (1000×2)−( 500×5)+M A =0 ⃗ B 10× B y =500 B y =50
  28. 28. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 50 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculez les actions aux appuis A et B∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y Ay+1000−500+B y =0∑ M A=0 M A +M A +M A +M A =0 ⃗ A ⃗ F1 ⃗2 F ⃗ B (1000×2)−( 500×5)+M A =0 ⃗ B 10× B y =500 B y =50
  29. 29. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 50 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculez les actions aux appuis A et B∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y Ay+1000−500+B y =0 Ay=−550∑ M A=0 M A +M A +M A +M A =0 ⃗ A ⃗ F1 ⃗2 F ⃗ B (1000×2)−( 500×5)+M A =0 ⃗ B 10× B y =500 B y =50
  30. 30. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 50 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculez les actions aux appuis A et B∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y Ay+1000−500+B y =0 Ay=−550∑ M A=0 M A +M A +M A +M A =0 ⃗ A ⃗ F1 ⃗2 F ⃗ B (1000×2)−( 500×5)+M A =0 ⃗ B 10× B y =500 B y =50
  31. 31. Illustration : charges concentrées y 550 F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 50 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculez les actions aux appuis A et B∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y Ay+1000−500+B y =0 Ay=−550∑ M A=0 M A +M A +M A +M A =0 ⃗ A ⃗ F1 ⃗2 F ⃗ B (1000×2)−( 500×5)+M A =0 ⃗ B 10× B y =500 B y =50
  32. 32. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Déterminez la résultante R du système de forces F1 et F2.
  33. 33. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Déterminez la résultante R du système de forces F1 et F2.⃗ = F 1+ F 2R ⃗ ⃗
  34. 34. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Déterminez la résultante R du système de forces F1 et F2.⃗ = F 1+ F 2R ⃗ ⃗ R x =F 1 x +F 2 x =0
  35. 35. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Déterminez la résultante R du système de forces F1 et F2.⃗ = F 1+ F 2R ⃗ ⃗ R x =F 1 x +F 2 x =0 R y =F 1 y +F 2 y =500
  36. 36. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Déterminez la résultante R du système de forces F1 et F2.⃗ = F 1+ F 2R ⃗ ⃗ R x =F 1 x +F 2 x =0 R y =F 1 y +F 2 y =500M A =M A +M A ⃗ R ⃗ F1 ⃗2 F
  37. 37. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Déterminez la résultante R du système de forces F1 et F2.⃗ = F 1+ F 2R ⃗ ⃗ R x =F 1 x +F 2 x =0 R y =F 1 y +F 2 y =500M A =M A +M A ⃗ R ⃗ F1 ⃗2 F(500×x)=(1000×2)−(500×5)
  38. 38. Illustration : charges concentrées y F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 2 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Déterminez la résultante R du système de forces F1 et F2.⃗ = F 1+ F 2R ⃗ ⃗ R x =F 1 x +F 2 x =0 R y =F 1 y +F 2 y =500M A =M A +M A ⃗ R ⃗ F1 ⃗2 F(500×x)=(1000×2)−(500×5) 500x=− =−1 500
  39. 39. Illustration : charges concentrées y 500 F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 1 2 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Déterminez la résultante R du système de forces F1 et F2.⃗ = F 1+ F 2R ⃗ ⃗ R x =F 1 x +F 2 x =0 R y =F 1 y +F 2 y =500M A =M A +M A ⃗ R ⃗ F1 ⃗2 F(500×x)=(1000×2)−(500×5) 500x=− =−1 500
  40. 40. Illustration : charges concentrées y 500 F1=1000 daN A C D B x F2=500 daN 1 2 5 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Déterminez la résultante R du système de forces F1 et F2.⃗ = F 1+ F 2R ⃗ ⃗ R x =F 1 x +F 2 x =0 R y =F 1 y +F 2 y =500M A =M A +M A ⃗ R ⃗ F1 ⃗2 F(500×x)=(1000×2)−(500×5) 500x=− =−1 500
  41. 41. Illustration : charges concentrées y A B x 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculer à nouveau A et B en utilisant la résultante R.
  42. 42. Illustration : charges concentrées y 500 A B x 1 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculer à nouveau A et B en utilisant la résultante R.
  43. 43. Illustration : charges concentrées y 500 A B x 1 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculer à nouveau A et B en utilisant la résultante R.∑ f x =0∑ f =0 y∑ M A=0
  44. 44. Illustration : charges concentrées y 500 A B x 1 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculer à nouveau A et B en utilisant la résultante R.∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y∑ M A=0
  45. 45. Illustration : charges concentrées y 500 A B x 1 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculer à nouveau A et B en utilisant la résultante R.∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y 500+ A y +B y =0∑ M A=0
  46. 46. Illustration : charges concentrées y 500 A B x 1 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculer à nouveau A et B en utilisant la résultante R.∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y 500+ A y +B y =0∑ M A=0 M A +M A =0 ⃗ R ⃗ B
  47. 47. Illustration : charges concentrées y 500 A B x 1 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculer à nouveau A et B en utilisant la résultante R.∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y 500+ A y +B y =0∑ M A=0 M A +M A =0 ⃗ R ⃗ B −(500×1)+M A =0 ⃗ B
  48. 48. Illustration : charges concentrées y 500 A B x 1 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculer à nouveau A et B en utilisant la résultante R.∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y 500+ A y +B y =0∑ M A=0 M A +M A =0 ⃗ R ⃗ B −(500×1)+M A =0 ⃗ B 10× B y =500
  49. 49. Illustration : charges concentrées y 500 A B x 1 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculer à nouveau A et B en utilisant la résultante R.∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y 500+ A y +B y =0∑ M A=0 M A +M A =0 ⃗ R ⃗ B −(500×1)+M A =0 ⃗ B 10× B y =500 B y =50
  50. 50. Illustration : charges concentrées y 500 A B x 1 50 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculer à nouveau A et B en utilisant la résultante R.∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y 500+ A y +B y =0∑ M A=0 M A +M A =0 ⃗ R ⃗ B −(500×1)+M A =0 ⃗ B 10× B y =500 B y =50
  51. 51. Illustration : charges concentrées y 500 A B x 1 50 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculer à nouveau A et B en utilisant la résultante R.∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y 500+ A y +B y =0 Ay=−550∑ M A=0 M A +M A =0 ⃗ R ⃗ B −(500×1)+M A =0 ⃗ B 10× B y =500 B y =50
  52. 52. Illustration : charges concentrées y 500 550 A B x 1 50 10Soit la poutre AB, de longueur l=10m, qui reprend en C et D les charges concentrées F1 etF2. ● Calculer à nouveau A et B en utilisant la résultante R.∑ f x =0 Ax=0∑ f =0 y 500+ A y +B y =0 Ay=−550∑ M A=0 M A +M A =0 ⃗ R ⃗ B −(500×1)+M A =0 ⃗ B 10× B y =500 B y =50
  53. 53. Illustration : charge répartie y q(x) x a bSoit la charge répartie quelconque suivante définie par la fonction q(x), x variant de a à b.Déterminer la résultante Q de cette charge. ( Q = ? ; xQ = ? )
  54. 54. Illustration : charge répartie y q(x) Q x a bSoit la charge répartie quelconque suivante définie par la fonction q(x), x variant de a à b.Déterminer la résultante Q de cette charge. ( Q = ? ; xQ = ? ) b bQ=∫a dQ=∫a q( x). dx
  55. 55. Illustration : charge répartie y q(x) Q x a bSoit la charge répartie quelconque suivante définie par la fonction q(x), x variant de a à b.Déterminer la résultante Q de cette charge. ( Q = ? ; xQ = ? ) b bQ=∫a dQ=∫a q( x). dx Q représente la surface sous la courbe
  56. 56. Illustration : charge répartie y q(x) Q x a xQ bSoit la charge répartie quelconque suivante définie par la fonction q(x), x variant de a à b.Déterminer la résultante Q de cette charge. ( Q = ? ; xQ = ? ) b bQ=∫a dQ=∫a q( x). dx Q représente la surface sous la courbeM O =M O ⃗ Q ⃗ dQ
  57. 57. Illustration : charge répartie y q(x) Q x a xQ bSoit la charge répartie quelconque suivante définie par la fonction q(x), x variant de a à b.Déterminer la résultante Q de cette charge. ( Q = ? ; xQ = ? ) b bQ=∫a dQ=∫a q( x). dx Q représente la surface sous la courbe b bM O =M O ⃗ Q ⃗ dQ → x×Q=∫a x×dQ=∫a x×q( x). dx
  58. 58. Illustration : charge répartie y q(x) Q x a xQ bSoit la charge répartie quelconque suivante définie par la fonction q(x), x variant de a à b.Déterminer la résultante Q de cette charge. ( Q = ? ; xQ = ? ) b bQ=∫a dQ=∫a q( x). dx Q représente la surface sous la courbe b bM O =M O ⃗ Q ⃗ dQ → x×Q=∫a x×dQ=∫a x×q( x). dx La résultante Q passe par le centre de gravité de la surface
  59. 59. Principe de superposition des effetsUn effet peut être une force, un moment, un déplacement, une contrainte.Soient les états de charge suivants : qF État 0
  60. 60. Principe de superposition des effetsUn effet peut être une force, un moment, un déplacement, une contrainte.Soient les états de charge suivants : qF État 0 =
  61. 61. Principe de superposition des effetsUn effet peut être une force, un moment, un déplacement, une contrainte.Soient les états de charge suivants : qF F État 0 = État 1
  62. 62. Principe de superposition des effetsUn effet peut être une force, un moment, un déplacement, une contrainte.Soient les états de charge suivants : qF F État 0 = État 1 +
  63. 63. Principe de superposition des effetsUn effet peut être une force, un moment, un déplacement, une contrainte.Soient les états de charge suivants : q qF F État 0 = État 1 + État 2
  64. 64. Principe de superposition des effetsUn effet peut être une force, un moment, un déplacement, une contrainte.Soient les états de charge suivants : q qF F État 0 = État 1 + État 2 M A 0=M A 1+M A 2
  65. 65. Principe de superposition des effetsUn effet peut être une force, un moment, un déplacement, une contrainte.Soient les états de charge suivants : q qF F État 0 = État 1 + État 2 M A 0=M A 1+M A 2 δ0 =δ1+δ 2
  66. 66. Principe de superposition des effetsUn effet peut être une force, un moment, un déplacement, une contrainte.Soient les états de charge suivants : q qF F État 0 = État 1 + État 2 M A 0=M A 1+M A 2 δ0 =δ1+δ 2 σ F 0=σ F 1+σ F 2
  67. 67. The end !E. Bugnet

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