Modelos de selección de carteras Markowitz frontera eficiente

Florida Centre de Formació
1
Curso 2010-11
4º ADE
TEMA 4. Modelos de selección de carteras
Bibliografía:Ferrando M., A.R. Gómez, C. Lassala, J.A. Piñol, A. Reig: “Teoría de la
financiación I. Modelos CAPM, APT y Aplicaciones” (2005). Pirámide. Capítulo 3
TEORIA DE LA FINANCIACIÓN I

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Modelos de selección de carteras
4.1. Introducción
4.2. El conjunto de posibilidades de inversión con múltiples activos arriesgados
4.3. La frontera eficiente
4.4. Análisis gráfico y determinación analítica de la frontera eficiente
4.5. Especificación de las curvas de indiferencia del inversor
4.6. Determinación de la cartera óptima del inversor
4.7. La introducción del activo libre de riesgo
4.8. El teorema de la separación

3
4.1. INTRODUCCIÓN
• La principal aportación del modelo de Markowitz es que
recoge de forma explícita el comportamiento racional del
inversor con base en el modelo de media-varianza.
• Su modelo matemático pretende maximizar la utilidad
esperada de un individuo racional y averso al riesgo
resolviendo el problema de cómo repartir su presupuesto
de inversión entre los diferentes activos arriesgados (N)
que se negocian en el mercado. Cartera óptima.

4
Hipótesis fundamentales del modelo de markowitz
• El inversor es racional (prefiere más riqueza a menos riqueza).
• Las decisiones del inversor se basan en dos parámetros de la función de
distribución de la variable aleatoria rentabilidad: la media y la varianza (o
desviación típica). Modelo de dos dimensiones o Modelo de decisión media-
varianza.
• El inversor es averso al riesgo.
• El horizonte de planificación incluye un único periodo.
• En el mercado existen N activos arriesgados.
• Los mercados de capitales son perfectos:
– Información igualmente asequible para todos los participantes en el mercado y
carece de coste alguno.
– Ningún inversor puede influir en la formación de los precios.
– Se puede prestar y pedir prestado al tipo de interés libre de riesgo.
– No existen impuestos, ni inflación, ni costes de transacción.
– Se permite la venta en descubierto.
– Todas las inversiones son perfectamente divisibles.

5
Cartera eficiente en el sentido de Markowitz
• Deben cumplirse
simultáneamente dos
condiciones:
– Para su nivel de rendimiento
esperado, no existe otra
cartera que tenga un menor
riesgo.
– Para el riesgo que soporta,
no existe otra cartera que
ofrezca un rendimiento
esperado mayor.
σp
)
~
( p
R
E
B
C
D
A

6
Etapas para encontrar la cartera óptima del inversor
• Determinación del conjunto de posibilidades de
inversión.
• Determinación de la Frontera Eficiente.
• Especificación de las preferencias del inversor.
• Determinación de la cartera óptima.

7
4.2. EL CONJUNTO DE POSIBILIDADES DE INVERSIÓN
CON N ACTIVOS ARRIESGADOS
• Caracterización de todas las posibles
combinaciones de rendimiento esperado y
desviación típica que pueden obtenerse en
el mercado
– Se estima para cada título su esperanza,
desviación típica y sus covarianzas con el resto
de títulos y carteras.
– Se representa gráficamente las combinaciones
posibles de rendimiento esperado y riesgo.

8
Formación de carteras con 3 activos arriesgados. 2000
simulaciones (wi diferentes).

9
4.3. LA FRONTERA EFICIENTE
• Carteras que, dado un
nivel de rendimiento,
tienen el mínimo riesgo.
Conjunto de carteras de
mínima varianza. Curva
DE. Siempre cóncava.
• La cartera situada en E es
la de mínima varianza
global.
• Las carteras eficientes no
son dominadas en el
espacio media-varianza
por ninguna otra.
Ep
σp
B
A
E
D

10
A
EB
Ep
σp
A’
B’
B
EA=EA’
EB’
σB= σB’ σA’
σA
ECMV
σCMV’
4.4.1. ANÁLISIS GRÁFICO DE LA F.E.

11
4.4.2. DETERMINACIÓN ANALÍTICA DE LA F.E. (I)
• La aplicación de este
programa nos permite
determinar qué activos y
en qué proporciones
invertir para que la
rentabilidad esperada sea
máxima, dado un nivel de
riesgo.
• Si repetimos el proceso
para los distintos niveles
de riesgo, se genera la
frontera eficiente.

12
4.4.2. DETERMINACIÓN ANALÍTICA DE LA F.E. (II)
• La aplicación de este
programa nos permite
determinar qué activos y
en qué proporciones
invertir para que el riesgo
esperado sea mínimo,
dado un nivel de
rentabilidad.
• Si repetimos el proceso
para los distintos niveles
de riesgo, se genera la
frontera eficiente.

13
I4 > I3 > I2 > I1
I4 I3 I2 I1
Ep
σp
A
B
C
Dadas las hipótesis sobre racionalidad y aversión al
riesgo:
Curvas de indiferencia
o isoutilidad
4.5. ESPECIFICACIÓN DE LAS CURVAS DE
INDIFERENCIA DEL INVERSOR

14
Consideraciones acerca las curvas de indiferencia
• Crecientes en el espacio media-varianza.
• Convexas.
• No se pueden cortar.
• Una curva de indiferencia, en su corte con el eje de ordenadas, nos
proporciona el equivalente cierto de cualquier inversión arriesgada
contenida en ella.
• No se prolongan por debajo del eje de abscisas.
• Cuanto más arriba y a la izquierda estén situadas, representarán
niveles de utilidad esperada superiores.

15
4.6. DETERMINACIÓN DE LA CARTERA ÓPTIMA DEL
INVERSOR (I)
• La cartera óptima se define como aquella cartera, entre
todas las que configuran la frontera eficiente,
correspondiente a la combinación media-desviación típica
(o media-varianza) que maximiza su utilidad esperada,
esto es, aquella que mejor se ajusta a sus preferencias
personales sobre el riesgo.
• Para determinar la cartera óptima de un inversor es
necesario especificar previamente sus curvas de
indiferencia entre rendimiento esperado y riesgo, cuya
forma dependerá de su función de utilidad, que será única
para cada inversor.

16
I4 I3 I2 I1
Ep
σp
b
a
C0
V0
E0
4.6. DETERMINACIÓN DE LA CARTERA ÓPTIMA DEL
INVERSOR (II)
• La cartera óptima del inversor
es la representada por el punto
de tangencia entre la frontera
eficiente y la curva de
indiferencia representativa de
un mayor nivel de utilidad
esperada.
• Cualquier otro punto de la
frontera eficiente se
corresponde con una curva de
indiferencia que proporciona al
inversor menor satisfacción.

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• Determinada la cartera óptima de un inversor, si sustituimos V* por la
varianza de dicha cartera en el programa de optimización planteado,
la resolución de ese problema nos mostrará la composición de la
cartera óptima, es decir, los valores de w1, w2,…, wN, que nos indican
la proporción del presupuesto que el inversor debe colocar en cada
activo arriesgado para maximizar su utilidad esperada.
• Alternativamente, podríamos sustituir E* por la rentabilidad esperada
de la cartera en el mencionado programa, y la resolución del problema
nos mostraría, del mismo modo, los valores de w1, w2,…, wN, para
obtener una satisfacción máxima.
Solución al modelo de selección de carteras de
Markowitz

18
4.7. LA INTRODUCCIÓN DEL ACTIVO LIBRE DE RIESGO
• Extensión del modelo de Markowitz se añade la
hipótesis de la existencia de una tasa libre de riesgo a la
cual se puede prestar y pedir prestada cualquier cantidad
de dinero.
– Alternativas
• Invertir todo el presupuesto en el activo libre de riesgo.
• Invertir todo el presupuesto en activos arriesgados.
• Destinar parte del presupuesto a la adquisición del activo sin riesgo o,
lo que es lo mismo, cederla en préstamo al tipo de interés sin riesgo.
• Colocar en los activos arriesgados una cantidad superior a su
presupuesto de inversión, endeudándose al tipo de interés sin riesgo
para financiar la diferencia.

19
CONCEPTOS PREVIOS EN EL NUEVO CONTEXTO
• Carteras mixtas: combinaciones entre el título libre de riesgo y las
carteras eficientes.
• RF: rentabilidad del activo libre de riesgo.
• El activo libre de riesgo proporciona un rendimiento cierto. Por tanto,
la esperanza matemática de su rentabilidad es constante e igual a RF,
y tanto su desviación típica como sus covarianzas con el resto de
activos y carteras que se negocian en el mercado son nulas.
• La inversión en el activo libre de riesgo constituye la cartera de
varianza global más pequeña posible. Por tanto, el activo libre de
riesgo forma parte de la nueva frontera eficiente.

20
Análisis de las carteras mixtas (I)
P
T
F
R
T
R
E
F
R
P
R
E
s
arriesgado
activos
de
eficiente
cartera
la
y
riesgo
de
libre
activo
el
con
formar
pueden
se
que
mixtas
carteras
las
todas
de
riesgo
el
y
esperado
iento
ren
el
relaciona
que
recta
línea
la
de
ecuación
la
obtiene
se
os
tér
ordenando
T
R
E
T
P
F
R
T
P
P
R
E
T
P
w
T
w
T
w
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F
FT
w
w
T
w
F
w
P
T
R
E
w
F
wR
P
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E
cartera
la
de
esperado
iento
n
T
R
w
F
wR
p
R
cartera
la
de
iento
n







































)
~
(
)
~
(
.
dim
min
Re
)
~
(
)
1
(
)
~
(
)
1
(
)
1
(
2
2
)
1
(
)
1
(
2
2
2
)
1
(
2
2
)
~
(
)
1
(
)
~
(
dim
Re
~
)
1
(
~
:
dim
Re

21
Obtención de la frontera eficiente
P
T
F
T
F
P
R
R
E
R
R
E 




)
~
(
)
~
(
• La ordenada en el origen es el par rendimiento-riesgo
correspondiente al activo libre de riesgo, y la
pendiente es la expresión del cociente.
• Según cuál sea el valor de w, el inversor se sitúa en
uno u otro punto de esa línea recta
• Si w=1, el inversor se sitúa en el punto RF e invierte
todos sus fondos en el activo libre de riesgo.
• Si w=0, el inversor se sitúa en el punto T, colocando
todo su presupuesto en la cartera eficiente de activos
arriesgados.
• Si 0<w<1, el inversor distribuye todo su presupuesto
colocando parte en la cartera eficiente y parte en la
cartera T. CARTERAS INVERTIDAS.
• Si w<0, el individuo se endeuda a la tasa libre de
riesgo RF, invirtiendo la totalidad de su presupuesto y
los fondos obtenidos con el préstamo en la cartera T,
de modo que se sitúa en algún punto de la recta a la
derecha de T. CARTERAS EN PRÉSTAMO
Ep
σp
σCMV’
ECMV
RF
CMV
T
ET
σT
Carteras en préstamo
Carteras invertidas

22
Obtención de la cartera óptima del inversor
• La cartera óptima, O, será
aquella que proporcione el
par rentabilidad esperada-
desviación típica
localizado en el punto de
tangencia entre la nueva
frontera eficiente y el
mapa de curvas de
indiferencia del inversor.
Ep
σp
RF
T
ET
σT
O

23
RECAPITULANDO…
• La cartera arriesgada T (cartera tangente que se combina con el activo
libre de riesgo de cara a la formación de carteras mixtas) es
independiente tanto de la distribución del presupuesto de los
inversores como de la predisposición particular que muestren frente al
riesgo los diferentes inversores individuales.
• Si todos los inversores dispusiesen de la misma información (hipótesis
de expectativas homogéneas) serían las posibilidades objetivas del
mercado las que determinarían el conjunto de oportunidades de
inversión y la frontera eficiente.
• Por tanto, la cartera arriesgada óptima, T, sería la misma para todos
los inversores individuales fuera cual fuera la actitud particular frente
al riesgo de cada uno de ellos.

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4.8. EL TEOREMA DE LA SEPARACIÓN
• Cualquier inversor maximizará su utilidad esperada, con independencia de su
grado de aversión al riesgo, repartiendo su presupuesto únicamente entre el
activo libre de riesgo y la cartera arriesgada T.
• Este teorema simplifica el proceso de selección de la cartera óptima a dos
etapas, esto es, el inversor toma dos decisiones por separado:
– La identificación de la única cartera de activos arriesgados, la cartera T, que será la
que cualquier inversor combinará con el activo libre de riesgo (qué activos y en qué
proporciones compondrán la cartera T).
– La elección por parte de cada inversor particular de su cartera óptima.
Dependiendo de su grado de aversión al riesgo, decidirá qué cantidad de su
presupuesto de inversión prestará o pedirá prestado al tipo de interés libre de
riesgo (w), y qué cantidad invertirá en la cartera arriesgada T, (1-w).

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