UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
INECUACIONES
Curso : Matemática I
Profesor : Lic. Danilo Atoche García.
Integrantes :
Seminario Beltrán Edwin.
Ruesta Rivera Joseliana.
Silva Ancajima Emilio Pierre.
Maza Grau Juan Alberto.
Rodríguez Rodríguez Royer.
Zapata Sánchez Heidy.
López Sandoval Kevin Arnold.
Mijahuanga Castillo Carlos.
-2012-

3
EJERCICIOS
1. Si a y b son números positivos desiguales, demostrar que:
2 2
a b
a b
b a
  
0a 
0b 
0a b 
 
2
0a b 
 
2
( ) 0a b a b  
3 2 2 3
0a a b ab b   
3 3 2 2
a b a b ab   Dividimos entre ab
2 2
a b
a b
b a
  
2 2
a b
a b
b a
   L.Q.Q.D
2. Si a , b y c son números positivos distintos, demostrar que:
   2 2 2 2
3a b c a b c    
0a 
0b 
 
2
0a b   2 2
2a b ab 
 
2
0b c   2 2
2b c bc 
 
2
0a c   2 2
2a c ac 
Sumamos: 2 2 2
2 2 2 2 2 2a b c ab bc ac    
Sumamos 2 2 2
a b c  a ambos miembros
2 2 2 2 2 2
3 3 3 2 2 2a b c a b c ab bc ac       
Factorizando:  
22 2 2
3( )a b c a b c    
Por lo tanto:    2 2 2 2
3a b c a b c     L.Q.Q.D

4
3. Si a y b son números positivos distintos, demostrar que:
    
23 3 2 2
a b a b a b   
0a 
0b 
0a b 
0ab 
 
2
0a b 
2 2
2a b ab 
Multiplicamos por ab
 2 2 2 2
2ab a b a b 
Sumamos 4 4
a b
 4 2 2 4 2 2 4 4
2a ab a b b a b a b     
 
24 3 3 4 2 2
a a b ab b a b    
Agrupamos para factorizar:      
23 3 2 2
a a b b a b a b    
    
23 3 2 2
a b a b a b    LQQD
4. Si a y b son números positivos distintos, demostrar que: 4 4 3 3
a b a b ab  
Como a b pueden ocurrir dos casos:
I. a b entonces 0a b 
3 3
a b  3 3
0a b 
Multiplicamos   3 3
0a b a b   ^
4 3 3 4
0a a b ab b   
4 4 3 3
a b a b ab    L.Q.Q.D
II. a b entonces 0a b 
3 3
a b  3 3
0a b 
Multiplicamos   3 3
0a b a b  
4 3 3 4
0a a b ab b   
4 4 3 3
a b a b ab    L.Q.Q.D

5
5. Si x y y son números positivos distintos, demostrar que:
    
24 4 2 2 3 3
x y x y x y   
2
2 2
2
0 0
0
0 0
x x
x y
y y
   
 
   
 
2
0x y 
2 2
2x y xy 
Multiplicamos por 2 2
x y :  2 2 2 2 3 3
2x y x y x y 
4 2 2 4 3 3
2x y x y x y 
Sumamos 6 6
x y : 6 4 2 2 4 6 6 3 3 6
2x x y x y y x x y y     
Factorizamos por agrupación de términos:
     
22 4 4 2 4 4 3 3
x x y y x y x y    
    
24 4 2 2 3 3
x y x y x y    L.Q.Q.D
6. Si x , y , z son números positivos distintos, demostrar que:
      6xy x y yz y z zx z x xyz     
  
2 2 2
0 2x y x y xy     Multiplicamos a ambos miembros z
 2 2
2z x y xyz 
  
2 2 2
0 2x z x z xz     Multiplicamos a ambos miembros y
 2 2
2y x z xyz 
  
2 2 2
0 2y z y z yz     Multiplicamos a ambos miembros x
 2 2
2x y z xyz 
Luego sumamos  2 2
2z x y xyz    2 2
2y x z xyz    2 2
2x y z xyz 
Obtendremos:
     2 2 2 2 2 2
6z x y y x z x y z xyz     
2 2 2 2 2 2
6x z y z x y yz xy xz xyz      Luego agrupamos términos.
2 2 2 2 2 2
6x z y z x y yz xy xz xyz     
      6xy x y xz x z yz y z xyz      L.Q.Q.D

6
7. Determinar los valores de x para los cuales: 3 2
1x x x  
Transponemos 2
x y x al primer miembro: 3 2
1 0x x x   
Factorizamos el primer miembro por el método de Ruffini.
-1
1
1
-1
-1
-1
2
1
-1
-2 1 0
  2
1 2 1 0x x x   
  
2
1 1 0x x  
 1 0 ; 1x x  
1x  
-1 1
 ( ): 1, 1CS x   
8. Si a ,b ,c ,d son números positivos distintos. Si se tiene
a c
b d
 , demostrar
que:
a a c c
b b d d

 


a c
ad bc
b d
   Súmanos a ambos miembros ab
   a b d b b d  
(1)
a a c
b b d



 ad bc Súmanos a ambos miembros cd
ad cd bc cd  
   d a c c b d  
(2)
a c c
b d d




7
De (1) y (2) se tiene:
a a c a c c
b b d b d d
 
  
 
Por lo tanto:
a a c c
b b d d

 

L.Q.Q.D
9. Si a ,b ,c , x , y , z , son números positivos distintos tales que
2 2 2 2 2 2
1 1a b c x y z       , demostrar que: 1ax by cz  
 
     
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
1
2
a b c
x y z
a x b y c z
   
 
  
     
Restamos a ambos miembros
2 2 2ax by cz  
     2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2a ax x b by y c cz z ax by cz           
       
2 2 2
2 1a x b y c z ax by cz        
Si      
2 2 2
0a x b y c z      Por consiguiente:
1 0ax by cz   
1 ax by cz   L.Q.Q.D
10. Si a ,b ,c , x , y , z , son números positivos distintos. Demostrar que:
    
22 2 2 2 2 2
a b c x y z ax by cz      
0, 0, 0, 0, 0, 0a b c x y z     
0, 0, 0, 0, 0, 0ay bx az cx bz cy     
 
2 2 2 2 2
0 2ay bx a y b x axby    
 
2 2 2 2 2
0 2az cx a z c x axcz    
 
2 2 2 2 2
0 2bz cy b z c y bycz    
Sumamos: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2a y b x a z c x b z c y axby axcz bycz       
Sumamos a ambos miembros: 2 2 2 2 2 2
a x b y c z 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2a y b x a z c x b z c y a x b y c z axby axcz bycz a x b y c z             
Agrupamos, para factorizar:
       
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a x y z b x y z c x y z ax by cz          

8
    
22 2 2 2 2 2
a b c x y z ax by cz       L.Q.Q.D
11. Si a ,b ,c son números positivos distintos. Demostrar que: 3 3 3
3a b c abc  
0a b c  
 
2 2 2
0 2 0a b a b ab     
 
2 2 2
0 2 0a c a c ac     
 
2 2 2
0 2 0b c b c bc     
Sumamos: 2 2 2
2 2 2 2 2 2 0a b c ab ac bc     
2 2 2
0a b c ab ac bc     
  2 2 2
0a b c a b c ab ac bc       
3 3 3
3 0a b c abc   
3 3 3
3a b c abc  
12. Resolver:
a)
3 2
3
1
x
x



3 2
3 0
1
x
x

 

3 2 3 3
0
1
x x
x
  


5
0
1x



1 0x 
1x  
-1
 . : 1,C S x  

9
b) 2
11 28 0x x  
  7 4 0x x  
Puntos críticos: 4,7
4 7
-+ +-
   . : 4,7C S x
c)
3
2 5
x
x


3
0
2 5
x
x
 

2
5 6
0
2( 5)
x x
x
 


  
 
6 1
0 ; 5
2 5
x x
x
x
 
 

   6 1 5 0; 5x x x x    
Puntos críticos: -1, 5, 6
-1 5 6
+ +- - +
 . : 1,5 6,C S x   
d)  4 2
7 12 0x x x  
  2 2
4 3 0x x x  
    2 2 3 3 0x x x x x    
Puntos críticos: 0, -2, 2, 3, 3

10
-2 0 2
+- - +
3
+
3
-
 . : 2, 3 0, 3 2,C S x     
e)
2
2
3 2
0
3 2
x x
x x
 

 
  
  
1 2
0
1 2
x x
x x
 

 
    1 2 1 2 0x x x x    
Puntos críticos: 1, 2, -1, -2
-1 2
+ +- - +
-2 1
+
. ( ): , 2 1,1 2,C S x      
f)
2
10 16
10
1
x x
x
 


2
10x x 16 10x  10
0
1x



2
26
0
1
x
x



  2
0 4 1 26  
2
0 104  
104   Entonces 2
26 0;x x R   
1 0x 
1x 
1
 . 1,C S x   

11
g)
7 5
4
8 3
x
x



7 5
4 0
8 3
x
x

 

 7 5 4 8 3
0
8 3
x x
x
  


7 5 32 12
0
8 3
x x
x
  


25 17
0
8 3
x
x
 


  25 17 8 3 0x x   
  25 17 8 3 0x x  
Puntos críticos: 17 3,
25 8
 
-+ +-
17
25
 3
8

  17 3. : ,
25 8
C S x  
h)
  
  
1 2
1
3 4
x x
x x
 

 
  
  
1 2
1 0
3 4
x x
x x
 
 
 
     
  
1 2 3 4
0
3 4
x x x x
x x
    

 
2
x 2
3 2x x  
  
7 12
0
3 4
x
x x
 

 
  
4 10
0
3 4
x
x x


 
   4 10 3 4 0 ; 3, 4x x x x x     
Los puntos críticos son:
5
, 3, 4
2

12
5/2 3 4
+ +- - +
 . : 5 2,3 4,C S x   
i)
2
2
2 6 3
1
5 4
x x
x x
 

 
2
2
2 6 3
1 0
5 4
x x
x x
 
 
 
 2 2
2
2 6 3 5 4
0
5 4
x x x x
x x
    

 
2 2
2
2 6 3 5 4
0
5 4
x x x x
x x
    

 
  
2
1
0
4 1
x x
x x
 

 
4x  y 1x  .
Para hallar los valores críticos de: 2
1x x  utilizamos la formula general
para resolver ecuaciones. Luego los puntos críticos son:
1 5
2
 
  
 
y
1 5
2
 
  
 
además 4x  y 1x  .
1 4
+ ++ - - ++
1 5
2
 1 5
2

 
1 5 1 5
. : , 1, 4,
2 2
C S x
 
   
j)
2 2 3
2 4 1
x x
x x
 

 
2 2 3
0
2 4 1
x x
x x
 
 
 
     
  
2 4 1 2 3 2
0
2 4 1
x x x x
x x
    

 

13
  
2
5 4
0
2 4 1
x x
x x
 

 
2x   1 4x 
  
  
1 4
0
2 4 1
x x
x x
 

 
Los puntos críticos son: 1, 4, -2, 1/4
-2 11/4 4
+ +- - ++
  1. : , 2 ,1 4,
4
C S x      
13. Resolver:
a)
1
1
1x


1
1 0
1x
 

 
 
1 1
0
1
x
x
 


 
1 1
0
1
x
x
 


 
2
0
1
x
x



  2 1 0x x   1x 
  2 1 0x x   1x 
Los puntos críticos son: 1, 2
21
-+ +-
 . : 1,2C S x

14
b)
2
0
3 5x


3 5 0x 
5
3
x 
5
3
 
5
. : ,
3
C S x 
c)
4
4x
x
 
4
4 0x
x
  
2
4 4
0
x x
x
 
 0x 
 
2
2
0
x
x

 2x  y 0x 
0x 
0
   . : 0, 2C S x  
d)
2 3
2
1 2
x x
x x
 
 
 
2 2 2 3
1 2
x x x
x x
   

 
2 2 2 3
0
1 2
x x x
x x
   
 
 
    
  
2 1 3
0
1 2
x x x x
x x
   

 

15
 
  
2 2
2 4 3
0
1 2
x x x x
x x
   

 
  
2 2
2 4 3
0
1 2
x x x x
x x
   

 
  
2 3
0
1 2
x
x x


 
2x  y 1x 
   2 3 1 2 0x x x   
Los puntos críticos son:
3
,1, 2
2
1 3/2 2
+ +- - +
  3. : 1, 2,
2
C S x  
e)   4 5 6 6x x   
  4 5 6 6 0x x    
2
9 20 12 0x x   
2
9 8 0x x  
  8 1 0x x  
Los puntos críticos son: -8, -1
-1-8
+-+
   . : , 8 1,C S x     

16
f)
2
3x
x
  
2
2
3
x
x

 
2
2
3 0
x
x

 
2
3 2
0 ,
x x
x
 

  2 1
0
x x
x
 

  2 1 0,x x x   0x 
Los puntos críticos son: 0, -1, -2
0
+ +- - +
-1-2
 . : 2, 1 0,C S x    
g) 2
10 1
5 2
x
x



2
10 1
0
5 2
x
x

 

 
2
2
2 20 5
0
2 5
x x
x
  


 
2
2
2 25
0
2 5
x x
x
 


Encontramos el discriminante de: 2
2 25x x 
    
2
2 4 1 25   
96  
Como el discriminante es negativo, significa que:
 2
2 25 0 ,x x x R    
Y como también  2
5 0 ,x x R   
. ( ): ,C S x  

17
h)
1 1
2
1
x x
x x
 
 

1 1
2 0
1
x x
x x
 
  

2
( 1) 2 (1 ) (1 )
0
(1 )
x x x x x
x x
    


2 2 2
2 2 (1 2 )
0
(1 )
x x x x x x
x x
     


2 2 2
2 2 1 2
0
(1 )
x x x x x x
x x
     


2
2 1
0
(1 )
x x
x x
 


 (2 1) 1
0 , 0, 1
( 1)
x x
x x
x x
 
  

Los puntos críticos son:
1
2
, -1, 0,1
-1 1/2 1
+ +- - ++
0

1
. ( ): , 1 0, 1,
2
C S x

    
14. Demostrar la validez de las siguientes desigualdades:
a)
3
1
3 4
d c
c d
  , donde 0d  , 0c  , 2 3d c
Si 0d  1
0d
 
Si 0c  1
0c
 
1 1
0 0cd dc 
  
3 2
0 0
2 3
c d
d c
  
3 2
0 0
2 3
c d
d c
  

18
2
3 2
0
2 3
c d
d c
 
   
 
3 2
2
2 3
c d
d c
  Dividimos entre 2
3
1
4 3
c d
d c
 
3
1
3 4
d c
c d
  L.Q.Q.D
b) 2
2
9
6x
x
 
  
 
, donde 0x 
4
2
9
6 0
x
x

 
4
2
9 6
0
x x
x
 

 
22
2
3
0
x
x


22
3
0 ; 0
x
x
x
 
  
 
c) 2
yx
y x
  , si 0x  , 0y  , x y
0 0x x  
0 0y y  
0xy 
 
2
0x y 
2x y xy 
Dividimos entre xy
2
x y
xy xy
 
2
yx
y x
  L.Q.Q.D

19
d)
3 5
2
5 3
a b
b a
  , si 0a  , 0b  , 3 5a b
0 3 0a a  
0 5 0b b  
0 15 0ab ab  
 
2
3 5 0a b 
2 2
9 25 30a b ab  entre 15ab
3 5
2
5 3
a b
b a
  L.Q.Q.D
e) Para cualquier número reales a , b ,c ,d :     2 2 2 2 2
ab cd a c b d   
 
2
0 ad bc 
2 2 2 2
0 2a d abcd b c  
2 2 2 2
2abcd a d b c  sumamos 2 2
a b y 2 2
c d a ambos miembros
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2a b abcd c d a d b c a b c d      factorizando
     2 2 2 2 2 2 2
ab cd a d b c b d    
    2 2 2 2 2
ab cd d b a c    L.Q.Q.D
15. Resolver:
a)
1 2 3
1 3 2x x x
 
  
   
  
3 2 1 3
3 1 2
x x
x x x
  

  
   
  
3 2 1 3
0
3 1 2
x x
x x x
  
 
  
     
   
2 3 5 3 1 3
0
1 3 2
x x x x
x x x
    

  
2
3x 2
5 6 10 3x x x   
   
9 3 9
0
1 3 2
x x
x x x
  

  
   
1
0
1 3 2
x
x x x


  

20
    1 3 2 1 0x x x x    
Los puntos críticos son: -1, -3, -2, 1
-3 -2 -1 1
- - +++
 . : 3, 2 1,1C S x    
b)
6 3 7
0
1 1 2x x x
  
  
        
   
6 1 2 3 1 2 7 1 1
0
1 1 2
x x x x x x
x x x
       

  
     
   
2 2 2
6 3 2 3 2 7 1
0
1 1 2
x x x x x
x x x
      

  
   
2
4 15 25
0
1 1 2
x x
x x x
  

  
  
   
4 5 5
0
1 1 2
x x
x x x
 

  
Los puntos críticos son:
5
, 5, 1, 1, 2
4
  
++ +
1
-
-2 -1
-
5
4

-
5
5
. : 2, 1,1 5,
4
C S      
c) 2 2
2
2 7 5 6 5
x x
x x x x

   
2 2
2
0
2 7 5 6 5
x x
x x x x
 
   
     
2
0
2 5 1 5 1
x x
x x x x
 
   
   
   
2 5 2 5
0
2 5 5 1
x x x x
x x x
  

  

21
   
5
0
2 5 5 1
x
x x x

  
   
5
5 2 5 5 1 0 , 5, 1
2
x x x x x x x         
Los puntos críticos son:
5
0, , 5, 1
2
  
-5 -5/2 -1 0
- - ++++ +
5
. : , 5 , 1 0,
2
C S       
d) 4 2
21 20 0x x x  
Sacamos factor común
 3
21 20 0x x x  
Para factorizar  3
21 20x x  utilizamos Ruffini.
5
1
1
0
5
-21
25
-20
20
5 4 0
  2
5 5 4 0x x x x   
   5 1 4 0x x x x   
Los puntos críticos son: 0, 5, -1, -4
-4 -1 0 5
- - +++
 . : 4, 1 0,5C S x   

22
e)
2
1 1
4 3 0
4 4
x x
   
       
   
1
4
z x 
2
4 3 0z z  
  3 1 0z z  
1 1
3 1 0
4 4
x x
  
      
  
11 3
0
4 4
x x
  
    
  
-
-3/4-11/4
++
 
11 3
. : ,
4 4
C S x  