1. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
POLITEKNIK PORT DICKSON
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER
PENGAMIRAN
dy
Proses mencari y apabila diberi disebut pengamiran.
dx
Pengamiran ialah proses songsang bagi pembezaan
dy
= f ′(x) kamirkan f ′(x) utk dapatkan y ∫ f ′(x)dx
dx
Pengamiran Tak Tentu.
1. Darab dengan indeks x 2.Kurangkan
indek sebanyak 1
f’(x) = 2 * 4x2-1
y = 4x2 8x
3. Tambah indeks x
sebanyak 1
8x 1+1
∫ 8x dx = 2
4. Bahagi dengan
indeks baru
Pengamiran Fungsi Algebra Asas
Rumus Kamiran xn Tambah indeks x sebanyak 1
x n+1
∫ x dx = n + 1 + c dengan syarat n ≠-1
n
Tambah
Bahagi dengan pemalar c
Rumus Kamiran ax indeks baru
n
Tambah indeks x sebanyak 1
June/JMSK/PPD/750621
1
2. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
ax n+1
∫ ax dx = n + 1 + c dengan syarat n ≠-1
n
Tambah
Bahagi dengan pemalar c
indeks baru
Contoh Soalan
1.
4x 2
∫ 4x dx = + c = 2x 2 + c
4. ∫ − 23 dy = −23y + c
2
∫
3
7x 7 x4 7x 4 5. 10 dz = 10z + c
2. ∫ dx = × +c = +c
2 2 4 8
t6 5k 2
3. ∫ t dt =
5
+c 6. ∫ 5k dk = +c
6 2
Pengamiran Hasil Tambah & Hasil Tolak
Fungsi lebih drpd byk fungsi lain, kamirkan setiap fungsi satu demi satu.
a) Pengamiran hasil tambah ∫[p(x) + q(x)]dx = ∫ p(x)dx + ∫ q(x)dx
b) pengamiran hasil tolak
∫ [p(x) − q(x)]dx = ∫ p(x)dx − ∫ q(x)dx
Contoh:
a. ∫ [2x + 3]dx = ∫ 2x dx + ∫ 3 dx
2x 3 Tambah satu
= + 3x + c pemalar sahaja
3
2t 2t
b. [3t − ∫ ] dt = ∫ 3t5 dt − ∫ dt
5
3 3
3t 6 2t 2
= − +c
6 3×2
t6 t 2
= − +c Tambah satu
2 3 pemalar sahaja
∫ ∫
c. (3x − 2)(2x + 1) dx = [6x − x − 2] dx
2
Kembangkan utk mendapat
June/JMSK/PPD/750621
2
3. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
∫
= 6x dx − x − 2 dx ∫ ∫
2
6x 3 x 2
= − − 2x + c
3 2
x2
= 2x 3 − − 2x + c
2
4x 3 − 2x 5 4x 3 2x 5
d. ∫ x dx = ∫ [
x
−
x
] dx Bahagikan setiap sebutan
pengangka dengan x
= ∫ 4x 2 dx − ∫ 2x 4 dx
4x 3 2x 5
= − +c
3 5
Pengamiran Melalui Penggantian
∫(2x − 3)
5
Cari, dx
Gantikan (2x-3)
dengan u
Penyelesaian : anggap u = 2x – 3.
du du
Maka, = 2 ⇒ dx =
dx 2
du
∫(2x − 3) dx = ∫ u5
5
2 Gantikan dx dengan
1
= ∫ u5du
2
1 u5+1
Ganti semula = × +c
u = (2x-3) 2 5 +1
(2x − 3)6
= +c
2×6
(2x − 3)6
= +c
12
Contoh :
June/JMSK/PPD/750621
3
4. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
∫ (3x + 5) dx
6
a. Cari kamiran bagi Gantikan
(3x+5) dengan
Anggap : u = 3x + 5
du du
= 3 ⇒ dx =
dx 3
Gantikan dx dengan
du
∫ (3x + 5) dx = ∫ u
6 6
3
1 u7
= +c
3 7
Gantikan semula
u dengan 3x + 5
(3x + 5)7
= +c
21
Rumus-Rumus Melalui Kaedah Penggantian
Tambah indeks n
sebanyak 1
Rumus Kamiran (ax+ b) n
( ax +b )n+1 + c ,
∫ ( ax +b) dx = a(n +1)
n
n ≠−1
didarab dengan pekali x pemalar c
Bahagi dengan indeks baru Tambah
(2x + 1) 2 (3x − 4)3
a. ∫ (2x + 1) dx = ∫ (3x − 4) dx = +c
2
+c b.
2× 2 3×3
(2x + 1)2 (3x − 4)3
= +c = +c
4 9
(4t + 7)5 (3k − 1)−1
∫ (3k − 1) dk =
−2
∫(4t + 7) dt =
4
+c +c
4 ×5 3 ×(−1)
c. d.
(4t + 7)5 (3k − 1)−1
= +c =− +c
20 3
PENGAMIRAN FUNGSI LOGARITHMA, TRIGONOMETRI & EKSPONEN
June/JMSK/PPD/750621
4
5. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
1
Kamiran Fungsi Salingan x, ;
x
Semua nilai
mesti +ve
utk semua nilai x
1
∫ x dx = ln x + c
1 1
∫ (ax +b )dx = a ln ax +b +c
1 f' ( x )
∫(ax +bn
dx = ∫
)
f(x )
dx
Contoh
a) 1 1 1 b) −3 1
∫ 2x dx = 2 ∫ x dx ∫ x
dx = −3∫ dx
x
1 = −3ln x + c
= ln x + c
2
c) 1 1 1 d) 1 1
∫ − 5x dx = − 5 ∫ x dx ∫ 2t + 3 dt = 2 ln 2t + 3 + c
1
= − ln x + c
5
e) 1 1 f) 1 1
∫ 5 - 2x dx = − 2 ln 5 - 2x + c ∫ 5x + 2 dx = 5 ln 5x + 2 + c
g) x h) p4
∫ x 2 + 3 dx ∫ p5 + 3 dp
katakan f ( x ) = x 2 + 3 Tulis semula
katakan f ( x ) = p 5 + 3 Tulis semula
dalam
f' ( x ) = 2x bentuk
f' ( x ) = 5p 4 dalam
bentuk
maka maka
x 1 2x
∫ x 2 + 3 dx = 2 ∫ x 2 + 3dx p4
∫ p5 + 3
1 5p 4
dp = ∫ 5 dp
5 p +3
1
= ln x 2 + 3 + c 1
2 = ln p 5 + 3 + c
5
Kamiran Fungsi Trigonometri
June/JMSK/PPD/750621
5
6. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
1. ∫ sin x dx = −kos x + c
2. ∫ kos x dx = sin x + c
∫ sek x dx = tan x + c
2
3.
1
4. ∫ sin ax dx = − a kos ax + c
1
5. ∫ kos ax dx = a sin ax + c
1
∫ sek ax dx = tan ax + c
2
6.
a
1
7. ∫ sin (ax + b) dx = − a kos (ax + b) + c
1
8. ∫ kos (ax + b) dx = a sin (ax + b) + c
1
∫ sek (ax + b) dx = tan (ax + b) + c
2
9.
a
Contoh:
a)
∫
− 3 kos x dx = −3 kos x dx ∫
= −3 sin x + c
b) 2
sek x 1
∫ 2 dx = 2 sek x dx
2
1
= tan x + c
2
c)
∫ 2 kos 4x dx = 2∫ kos 4x dx
1
= 2• sin 4x + c
4
1
= sin 4x + c
2
d) x 1
∫ kos 3 dx = ∫ kos 3 xdx
1 1
= sin x + c
1 3
3
1
= 3 sin x + c
3
June/JMSK/PPD/750621
6
7. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
e) 1 1
∫ 2 sin (3k + 1) dk = 2 ∫ sin (3k + 1) dk
1 1
= • − kos (3k + 1) + c
2 3
1
= − kos (3k + 1) + c
6
f)
∫ 5 sek (1- 3x) dx = 5∫ sek 2 (1- 3x) dx
2
1
= 5 • − tan (1- 3x) + c
3
5
= − tan (1- 3x) + c
3
g) sin x
∫ tan x dx = ∫ kos x dx
Tulis semula
katakan f ( x ) = kos x dalam
f' ( x ) = −sin x
bentuk
maka
sin x - sin x
∫ kos x dx = ∫ kos x dx
= − ln kos x + c
h) kos x
∫ kot x dx = ∫ sin x dx
katakan f ( x ) = sin x
Tulis semula
dalam
f' ( x ) = kos x
bentuk
maka
kos x kos x
∫ sin x dx = ∫ sin x dx
= ln sin x + c
Pengamiran Melalui Penggantian – Identiti Trigonometri
Jika soalan trigo yang mempunyai kuasa maka penyelesaian masalah mesti
menggunakan identiti trigo.
Langkah-langkah penyelesaian masalah
1. Tukar ke bentuk yg boleh dikamirkar dgn menggunakan identiti trigo. –
pilih identiti trigo yg sesuai
2. salin balik soalan yg telah ditukat bentuk dan selesaikan.
June/JMSK/PPD/750621
7
8. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
a)
∫ kos 3x dx Diketahui : kos 2A = 2kos 2 A − 1
2
1 Gantikan : A = 3x
1
= ∫ (kos 6x + 1)dx kos 2(3x) = 2kos2 3x − 1
2
1
[
= ∫ kos 6x dx + ∫ 1 dx
2
] 2kos2 3x = kos 2(3x) + 1
kos 2(3x) + 1
kos2 3x =
1 1 2
= sin 6x + x + c
2 6 1
= (kos 6x + 1)
1 1 2
= sin 6x + x + c 2
12 2
b) 1
∫ tan 3x dx Diketahui : sek 2 A = 1+ tan2 A
2
Gantikan : A = 3x
= ∫ (sek 3x − 1) dx
2
sek 2 3x = 1 + tan 2 3x
= ∫ sek 3x dx − ∫ 1 dx
2
tan 2 3x = sek 2 3x - 1
1
= tan 3x − x + c 2
3
c) x Diketahui : kos 2A = 1 − 2sin 2 A
∫ sin
2
dx
3 2 sin 2 A = 1 − kos 2A
1 2 1 − kos 2A
= ∫ (1− kos x)dx sin 2 A =
2 3 2
1 2 1
= ∫ (1− kos x)dx = (1 − kos 2A)
2 3 2
1 2 x
= ∫ 1 dx − ∫ kos x dx Gantikan : A =
2 3 3
x 1 2
1 1 2 sin 2 = (1 − kos x)
= x − sin x + c 3 2 3
2 2 3
3
1 3 2
= x − sin x + c
2 2 3
1 3 2
= x − sin x + c
2 4 3
Kamiran Fungsi Eksponen
∫e dx = e x + c
x
1.
1
2. ∫ e ax dx = e ax + c
a
1 ax + b
∫ e dx =
ax + b
3. e +c
a
June/JMSK/PPD/750621
8
9. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
Contoh:
a)
∫e dx = e x + c
x
b) 1 −4x
∫e
− 4x
dx = e +c
−4
c) 1
− x 1
1
− x
∫e 2
dx =
−1
e 2
+c
2
1
− x
= −2e 2 + c
d) 1 3x +5
∫ e dx = 3 e + c
3x + 5
Soalan Latihan
1. Cari setiap kamiran berikut.
3 2 x4 4 3
a. ∫ [ x + 4 x ]dx = + x +c
4 3
1 3 1
b. ∫ [3t 3 − 3 ]dt = t 4 + 2 + c
t 4 2t
2 2
c. ∫ [ 2 − 3]dx = − − 3x + c
x x
2. Nilaikan yang berikut:
3
a. ∫ [k 2 − 4k + 4]dk = k − 2k 2 + 4k + c
3
4 3
∫(2 z − 3) dz = z − 6 z 2 + 9 z + c
2
b.
3
2 + 4x 5
2
∫ x 2 dx = − x + x + c
4
c.
3. Nilaikan kamiran yang berikut:
a. ∫ 7dz = 7z +c
5
2 t
∫ 2t dt = 5
3
b. +c
10 10
c. ∫x 4
dx = −
3x 3
+c
∫ (6 x ) 9 2 2 3
d.
2
+ 9 x − x dx = 2 x 3 + x − x +c
2 3
4x3
∫ ( 2 x − 5) dz
2
e. = − 10 x 2 + 25 x + c
3
June/JMSK/PPD/750621
9
10. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
4. Tuliskan semula ungkapan berikut supaya ia boleh diselesaikan dengan
menggunakan rumus hasil tambah dan hasil tolak pengamiran.
a. (3x - 2)2 = 3 x 3 − 6 x 2 + 4 x + c
x 2 ( x − 1) 1 1
b. = 2
− +c
x 5
2x x
(k + 1)(k − 1) 1
c. 2
= k + +c
k k
5. Selesaikan:
3
∫ 4 + 3s ds = 4s + 4 s
3
a.
4
+c
49 3
∫ (6 − 7 x )
2
b. dz = 36 x − 21x 2 + x +c
3
Soalan Latihan
1. Dapatkan setiap kamiran berikut:
(2 x − 3) 5 (3z + 6) 4
∫ (2 x − 3) dx = ∫ (3z + 6) dz =
4 3
a. +c b. +c
10 12
(5 − 7t ) 6 3(4 x + 8) 4
c. ∫ (5 − 7t ) dt = − ∫ 6(4 x + 8) 3 dx =
5
+c d. +c
42 8
1 π π
e. ∫ (7 x − 2) dx = −
−3
14(7 x − 2) 2
+c f. ∫ (1 + 3t ) 2 dt = − 3(1 + 3t ) + c
1 1 −3 1
g. ∫ dx = − +c h. ∫ 2(3x + 5) 4 dx = 6(3x + 5) 3 + c
(4 x − 5) 3
8(4 x − 5) 2
a. Nilaikan kamiran berikut:
−1
a. ∫k
2
24
(1 − k 3 ) 8 + c
(1 − k 3 ) 7 dk =
∫ (3z − z ) (3 − 3z )dz = 3 (3s − s ) + c
3 3 2 1 2 3
b.
p2 +1
dp = 1 ( p 3 + 3 p ) 3 + c
2
c. ∫ 3 p3 + 3 p 2
June/JMSK/PPD/750621
10
11. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
PENGAMIRAN TENTU
Gantikan x = a
a disebut had bawah
b pengamiran dan b
∫a
f ( x ) = [ F ( x )]b = F (b) − F ( a )
a had atas pengamiran
Hasil pengamiran Gantikan x = b
CONTOH
2
Gantikan semua x dengan 2
2 x
a.
∫ 0
(x + 1) dx = [
2
+ x ]2
0
22
=( + 2) − (0 + 0)
2
=4 Gantikan semua x dengan 0
2
2 2x 3 3x 2
∫ (2x − 3x) dx = −
2
b.
1
3 2 1
2 × 23 3 × 2 2 2 × 13 3 × 12
= 3 − 2 − 3 − 2
16 2 3
= − 6 − −
3 3 2
1
=
6
2
2 x3
c. ∫ (4x − x ) dx = 2x 2 −
2
−1
3 −1
23 (−1)3
= 2 × 2 2 − − 2 × (−1)2 −
3
3
8 1
= 8 − − 2 +
3 3
=3
June/JMSK/PPD/750621
11