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03 théorème de gauss

Kais Kh
Kais Kh
1  sur  9
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Chapitre 3 : Théorème de Gauss

I Les coordonnées sphériques




      On considère un point M repéré par ses coordonnées sphériques ( r , θ, ϕ :
                                                                              )
      r = OM
            
      θ = (k , OM ) : colatitude.
            
      ϕ=(i , ON ) : longitude.
      (N est la projection de M sur xOy )




                                 
      Base locale : (er , eθ , eϕ) ( eϕ est le même vecteur que dans la base cylindrique)
          OM
      er =
           OM
      
      eθ tangent au méridien (vers le sud)
      
      eϕ dirigé suivant un parallèle, vers l’est.
      Remarque : 
                         
      Les vecteurs k , er , eρ, eθ sont coplanaires :




                        
      er = cos θ.k +sin θ.eρ
                          
      eθ = cos θ.eρ −sin θ.k
                     
      On a OM = rer
      Pour un déplacement élémentaire :

 Chapitre 3 : Théorème de Gauss
 Electrostatique                                                                  Page 1 sur 9
        
       d OM = dr.er + r.de r
                                                      
       de r = k ( −sin θ.dθ) + e ρ (cos θ.dθ) + sin θ.de ρ
                                                    
            = ( −k . sin θ + e ρ cos θ) dθ + sin θ.dϕ.eϕ
                                   
            = dθ.eθ + sin θ.dϕ.eϕ
                                                      
       Donc d OM = dr.er +r.dθ.eθ +r. sin θ.dϕeϕ .
       Gradient d’un champ scalaire en coordonnées sphériques :
                    ∂F
                    ∂r

       grad M F =   1 ∂F
                    r ∂θ
                       1    ∂F
                    r sin θ ∂ϕ




       - Périmètre d’un méridien (½ cercle) : π × R
       Longueur de la portion de chacun des méridiens : Rdθ (longueur de la corde)
       - Périmètre d’un parallèle : 2π × R sin θ
       Longueur du parallèle interceptée par le méridien : R sin θ.dϕ
       (pour le parallèle du bas : R sin(θ + dθ ).dϕ = R sin θ.dϕ )
       Donc dS = R sin θ.dϕ Rdθ
                           .
                  = R 2 sin θ.dϕ dθ
                                .
       Volume élémentaire en coordonnées sphériques :
       dV = dr × dS = R 2 sin θ.dr.dθ.dϕ
       Exemple :
       Aire de la sphère de centre O et de rayon R :
                      π      2π                     π
       S = ∫∫dS = ∫        ∫      R 2 sin θ.dθ.dϕ = ∫ 2π 2 sin θ.dθ = 4π 2
                                                        R               R
              S       θ=0 ϕ=0                       θ=0




II Flux d’un champ de vecteurs
       A) Définition
            1) Flux élémentaire

                   Surface infinitésimale d’aire dS :




                  On oriente arbitrairement le contenu sur lequel s’appuie dS . 
                                                   
                  On définit le vecteur normal n de cet élément de surface : n est unitaire,
             perpendiculaire à la surface, de sens vérifiant la « règle de la main droite ».
                  Vecteur élément de surface :
                             
                                        
                  dS ou dS ( M ) = dS .n
                                                                
                  Flux élémentaire du champ E à travers dS :

  Chapitre 3 : Théorème de Gauss
  Electrostatique                                                               Page 2 sur 9
              
                   dφ = E ( M ) ⋅ dS = E ⋅ n.dS



             2) Flux à travers une surface

                   Pour une surface ouverte (qui s’appuie sur un contour fermé) :




                                                                             
                   Découpage de Sen surfaces infinitésimales dS .n .
                        
                   dφ = E ( M ) ⋅ dS ( M )
                                                                        
                   φS ( E ) = ∫∫ E ( M ) ⋅ dS ( M ) = ∫∫ E ( M ) ⋅ dS ( M ) n( M )
                                 S                       S



                 Pour une surface fermée :
                 Cette surface définit un volume intérieur et un volume extérieur. Le vecteur
             normale est choisit sortant.



                                             
                   φS ( E ) = ∫∫ E ( M ) ⋅ dS ( M )
                                S




        B) Théorème de Gauss

             On considère une surface S fermée, délimitant un volume V intérieur qui contient
        une charge QV ou Qint :




                             QV
             Alors φS ( E ) =    (S est appelée une surface de Gauss)
                              ε0
             Dans  situations de symétrie, le théorème de Gauss permet ainsi un calcul plus
                  les
        simple de E .




III Plan infini uniformément chargé
        A) Présentation




   Chapitre 3 : Théorème de Gauss
   Electrostatique                                                                   Page 3 sur 9
On considère un plan P infini ayant une densité surfacique de charge uniforme σ0
     .             
          P = (O, i , j )
           Un point M de l’espace est repéré par ses coordonnées cartésiennes x, y , z dans
                     
     le repère (O, i , j , k ) .

                       
     B) Calcul de      E (M )
          1) Symétries

                  Soit M ( x, y , z ) un point de l’espace.
                                                  
                  Les plans ( M , i , k ) et ( M , j , k ) sont des plans de symétrie.
                                              
                  Donc E est colinéaire à k .
                                                
                  Donc E ( M ) = E z ( x, y, z )k
                                                                       ∂E z
                  Invariance par translation de direction i . Donc           =0
                                                                         ∂x
                                ∂E z
                  De même,           =0
                                 ∂y
                                             
                  Donc E ( M ) = E z ( z ) k , et E z (z ) est impair.


          2) Surface de Gauss




                  S sup : surface supérieure horizontale d’aire S dans le plan de constante
           z >0
                                                                   
                  S lat : surface latérale du cylindre parallèle à k
                  S inf : surface horizontale d’aire S dans le plan de côte   −z.
                  S tot = S inf + S lat + S sup est une surface fermée.
                        
                  φS ( E ) = ∫∫ dφ = ∫∫ dφ + ∫∫ dφ + ∫∫ dφ
                                 S        S inf       S lat        S sup

                  En un point P de S inf :
                           
                  n( P ) = −k
                                                              
                  dφ = E ( P ) ⋅ dS .(−k ) = E z ( z P )k ⋅ dS (−k )
                  Or, E z ( z P ) = E z (−z ) = −E z ( z )
                  Donc dφ = −E z ( z ) dS
                                  
                  Donc φSinf ( E ) = E z ( z ) ∫∫dS = E z ( z ) S
                                                 S inf
                                       
                  De même, φSsup ( E ) = E z ( z ) S
                  Pour S lat :



Chapitre 3 : Théorème de Gauss
Electrostatique                                                                          Page 4 sur 9
                                  
                dφ = E ( P ) ⋅ dS .n = E z ( z P )k ⋅ dS .n = 0
                             
                Donc φSlat ( E ) = 0
                             
                Donc φS ( E ) = 2 E z ( z ) S
                Qint = QV ∩P = σ 0 S
                Donc, d’après le théorème de Gauss :
                              σ S
                2E z ( z)S = 0
                               ε0
                                 σ0
                Donc E z ( z ) =      .
                                 2ε 0
                                 σ0 
                                 2ε k si z > 0
                                 
                Ainsi, E ( M ) =  0 
                                   −σ
                                  0 k si z < 0
                                  2ε 0
                                 
                                                                     σ0
                On a une discontinuité du champ en 0, ∆E =
                                                                     ε0


     C) Condensateur plan




          Deux plaques parallèles d’aire S et distantes de e.
          Plaque supérieure : densité surfacique σ > 0 , charge q =σ.S
          Plaque inférieure : densité surfacique − σ < 0 , charge − q

          Modélisation :
          On néglige les effets de bord ; les plaques sont modélisées par des plans infinis.




                                                                          
          Ainsi, à l’extérieur des deux plaques,                  E (M ) = 0 ,   et entre les deux
             −σ 
     E (M ) =    k.
              ε0



Chapitre 3 : Théorème de Gauss
Electrostatique                                                                         Page 5 sur 9

             Le champ E à l’intérieur est uniforme et dirigé de la charge positive vers la
        charge négative.
             
             E ( M ) = −grad M V
                         − ∂∂V
                             x
                  −σ 
             Donc    k = − ∂y
                           ∂V
                  ε0
                         − ∂∂V
                             z
                                                    σ.z
             Donc V ne dépend que de z et V ( z ) =     + cte à l’intérieur.
                                                     ε
             Et de plus V = cte à l’extérieur (la même, par continuité)




             On a : U = q / C
                                                   σ.e σ.S .e        q
             Et U = Vq −V−q = V ( 2 ) −V ( 2 ) =      =       =
                                  e       −e
                                                   ε0   ε0 S    (ε 0 S / e)
             Donc C = ε 0 S / e




IV Analogie électrostatique – gravitation




                    Electrique                                     Gravitationnelle
                                               Force



   Chapitre 3 : Théorème de Gauss
   Electrostatique                                                                    Page 6 sur 9

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  • 1. Chapitre 3 : Théorème de Gauss I Les coordonnées sphériques On considère un point M repéré par ses coordonnées sphériques ( r , θ, ϕ : ) r = OM  θ = (k , OM ) : colatitude.  ϕ=(i , ON ) : longitude. (N est la projection de M sur xOy )     Base locale : (er , eθ , eϕ) ( eϕ est le même vecteur que dans la base cylindrique)  OM er = OM  eθ tangent au méridien (vers le sud)  eϕ dirigé suivant un parallèle, vers l’est. Remarque :     Les vecteurs k , er , eρ, eθ sont coplanaires :    er = cos θ.k +sin θ.eρ    eθ = cos θ.eρ −sin θ.k  On a OM = rer Pour un déplacement élémentaire : Chapitre 3 : Théorème de Gauss Electrostatique Page 1 sur 9
  • 2.  d OM = dr.er + r.de r     de r = k ( −sin θ.dθ) + e ρ (cos θ.dθ) + sin θ.de ρ    = ( −k . sin θ + e ρ cos θ) dθ + sin θ.dϕ.eϕ   = dθ.eθ + sin θ.dϕ.eϕ    Donc d OM = dr.er +r.dθ.eθ +r. sin θ.dϕeϕ . Gradient d’un champ scalaire en coordonnées sphériques : ∂F ∂r grad M F = 1 ∂F r ∂θ 1 ∂F r sin θ ∂ϕ - Périmètre d’un méridien (½ cercle) : π × R Longueur de la portion de chacun des méridiens : Rdθ (longueur de la corde) - Périmètre d’un parallèle : 2π × R sin θ Longueur du parallèle interceptée par le méridien : R sin θ.dϕ (pour le parallèle du bas : R sin(θ + dθ ).dϕ = R sin θ.dϕ ) Donc dS = R sin θ.dϕ Rdθ . = R 2 sin θ.dϕ dθ . Volume élémentaire en coordonnées sphériques : dV = dr × dS = R 2 sin θ.dr.dθ.dϕ Exemple : Aire de la sphère de centre O et de rayon R : π 2π π S = ∫∫dS = ∫ ∫ R 2 sin θ.dθ.dϕ = ∫ 2π 2 sin θ.dθ = 4π 2 R R S θ=0 ϕ=0 θ=0 II Flux d’un champ de vecteurs A) Définition 1) Flux élémentaire Surface infinitésimale d’aire dS : On oriente arbitrairement le contenu sur lequel s’appuie dS .   On définit le vecteur normal n de cet élément de surface : n est unitaire, perpendiculaire à la surface, de sens vérifiant la « règle de la main droite ». Vecteur élément de surface :    dS ou dS ( M ) = dS .n   Flux élémentaire du champ E à travers dS : Chapitre 3 : Théorème de Gauss Electrostatique Page 2 sur 9
  • 3.    dφ = E ( M ) ⋅ dS = E ⋅ n.dS 2) Flux à travers une surface Pour une surface ouverte (qui s’appuie sur un contour fermé) :  Découpage de Sen surfaces infinitésimales dS .n .  dφ = E ( M ) ⋅ dS ( M )      φS ( E ) = ∫∫ E ( M ) ⋅ dS ( M ) = ∫∫ E ( M ) ⋅ dS ( M ) n( M ) S S Pour une surface fermée : Cette surface définit un volume intérieur et un volume extérieur. Le vecteur normale est choisit sortant.    φS ( E ) = ∫∫ E ( M ) ⋅ dS ( M ) S B) Théorème de Gauss On considère une surface S fermée, délimitant un volume V intérieur qui contient une charge QV ou Qint :  QV Alors φS ( E ) = (S est appelée une surface de Gauss) ε0 Dans  situations de symétrie, le théorème de Gauss permet ainsi un calcul plus les simple de E . III Plan infini uniformément chargé A) Présentation Chapitre 3 : Théorème de Gauss Electrostatique Page 3 sur 9
  • 4. On considère un plan P infini ayant une densité surfacique de charge uniforme σ0 .   P = (O, i , j ) Un point M de l’espace est repéré par ses coordonnées cartésiennes x, y , z dans    le repère (O, i , j , k ) .  B) Calcul de E (M ) 1) Symétries Soit M ( x, y , z ) un point de l’espace.     Les plans ( M , i , k ) et ( M , j , k ) sont des plans de symétrie.   Donc E est colinéaire à k .   Donc E ( M ) = E z ( x, y, z )k  ∂E z Invariance par translation de direction i . Donc =0 ∂x ∂E z De même, =0 ∂y   Donc E ( M ) = E z ( z ) k , et E z (z ) est impair. 2) Surface de Gauss S sup : surface supérieure horizontale d’aire S dans le plan de constante z >0  S lat : surface latérale du cylindre parallèle à k S inf : surface horizontale d’aire S dans le plan de côte −z. S tot = S inf + S lat + S sup est une surface fermée.  φS ( E ) = ∫∫ dφ = ∫∫ dφ + ∫∫ dφ + ∫∫ dφ S S inf S lat S sup En un point P de S inf :   n( P ) = −k     dφ = E ( P ) ⋅ dS .(−k ) = E z ( z P )k ⋅ dS (−k ) Or, E z ( z P ) = E z (−z ) = −E z ( z ) Donc dφ = −E z ( z ) dS  Donc φSinf ( E ) = E z ( z ) ∫∫dS = E z ( z ) S S inf  De même, φSsup ( E ) = E z ( z ) S Pour S lat : Chapitre 3 : Théorème de Gauss Electrostatique Page 4 sur 9
  • 5.    dφ = E ( P ) ⋅ dS .n = E z ( z P )k ⋅ dS .n = 0  Donc φSlat ( E ) = 0  Donc φS ( E ) = 2 E z ( z ) S Qint = QV ∩P = σ 0 S Donc, d’après le théorème de Gauss : σ S 2E z ( z)S = 0 ε0 σ0 Donc E z ( z ) = . 2ε 0 σ0    2ε k si z > 0  Ainsi, E ( M ) =  0  −σ  0 k si z < 0  2ε 0  σ0 On a une discontinuité du champ en 0, ∆E = ε0 C) Condensateur plan Deux plaques parallèles d’aire S et distantes de e. Plaque supérieure : densité surfacique σ > 0 , charge q =σ.S Plaque inférieure : densité surfacique − σ < 0 , charge − q Modélisation : On néglige les effets de bord ; les plaques sont modélisées par des plans infinis.   Ainsi, à l’extérieur des deux plaques, E (M ) = 0 , et entre les deux  −σ  E (M ) = k. ε0 Chapitre 3 : Théorème de Gauss Electrostatique Page 5 sur 9
  • 6. Le champ E à l’intérieur est uniforme et dirigé de la charge positive vers la charge négative.  E ( M ) = −grad M V − ∂∂V x −σ  Donc k = − ∂y ∂V ε0 − ∂∂V z σ.z Donc V ne dépend que de z et V ( z ) = + cte à l’intérieur. ε Et de plus V = cte à l’extérieur (la même, par continuité) On a : U = q / C σ.e σ.S .e q Et U = Vq −V−q = V ( 2 ) −V ( 2 ) = = = e −e ε0 ε0 S (ε 0 S / e) Donc C = ε 0 S / e IV Analogie électrostatique – gravitation Electrique Gravitationnelle Force Chapitre 3 : Théorème de Gauss Electrostatique Page 6 sur 9
  • 7. q↔m  q1 q 2   − Gm1 m2  F1→2 = u 2 12 1 ↔ −G F1→2 = u12 4πε 0 M 1 M 2 4πε 0 2 M 1M 2     − Gm1    F12 = q 2 E1 ( M 2 ) F12 = m2  M M2 u12  = m2 G1 ( M 2 )   1 2    − Gm  q  G m en O ( M ) = u r (on peut ainsi définir E q en O ( M ) = ur OM 2 4πε 0 OM 2 les distributions de masse…) Potentiel grad ϕ. ϕ : potentiel   G =− E =−grad V gravitationnel. q − Gm V (M ) = (charge ponctuelle q en O) ϕ( M ) = (masse ponctuelle m en O) 4πε0 r r Energie potentielle E p = qV (M ) E p = mϕ(M ) Théorème de Gauss  Q  φS ( E ) = v φS (G ) = M v × (−4πG ) ε0 Application :  Champ gravitationnel G (M ) créé par la Terre, considérée comme une boule de centre O et de rayon RT = 6400km . On suppose la masse volumique µ uniforme. 0 4 Masse : M T = µ0 πRT = 6,0.10 24 kg 3 3 1) Symétries Symétrie sphérique : ϕ ne dépend que de r (dans les coordonnées sphériques)  − dϕ   G ( M ) = −grad ϕ = e r = G r ( r )e r dr 2) Théorème de Gauss On considère comme surface de Gauss une sphère de centre O et de rayon r. Elément infinitésimal de surface dS autour de M ∈S (O, r ) :    dS = dS ( M ) n( M ) = dS .e r ( M )     dφ = G ( M ) ⋅ dS = G r ( r ).er ⋅ dS .er = G r ( r ) dS Chapitre 3 : Théorème de Gauss Electrostatique Page 7 sur 9
  • 8. Donc φ =∫∫ ( O ,r ) G r ( r )dS =G r ( r ) ∫∫dSr ) =G r (r ) 4π.r 2 S S (O , Masse intérieure à S (O, r ) : Si r > RT : 4 M int = πRT µ0 = M T 3 3 Si r < RT : 4 r3 M int = π .r 3 µ 0 = M T 3 3 RT Théorème de Gauss :  φS (G ) = −4πGM int r3 1er cas : r ≤ RT ; 4π .r G r (r ) = −4πGM T 2 3 RT GM T r  GM T D’où G r ( r ) = − 3 , soit G (r ) = − 3 OM . RT RT 2ème cas : r ≥ RT ; 4π .r 2 Gr (r ) = −4πGM T GM  GM  Donc G r ( r ) = − 2 T , soit G (r ) = − 2 T er r r Ainsi, la Terre crée à l’extérieur un champ gravitationnel identique à celui d’une masse ponctuelle M T en O. ( ∝ signifie « proportionnel à ») 3) Potentiel gravitationnel  dϕ G = −grad ϕ ⇔ G r = − dr  GM T r 2 ϕ (r ) =  + k1 si 0 ≤ r ≤ RT Donc  2 RT3 ϕ (r ) = − GM T + k si r ≥ R   r 2 T Donc, par continuité : Chapitre 3 : Théorème de Gauss Electrostatique Page 8 sur 9
  • 9. 2 GM T RT − GM T 3 + k1 = + k2 2 RT RT − 3 GM T On choisit de plus rlim ϕ = 0 , donc k 2 = 0 . Ainsi, k1 = →+∞ . 2 RT  − 3 GM T 1 GM T r 2 ϕ (r ) =  + si 0 ≤ r ≤ RT Donc  2 RT 2 RT3 ϕ (r ) = − GM T si r ≥ R   r T 4) Analogie électrique Boule de rayon R et de densité volumique de charge ρ0 uniforme. 4 Q= πR 3 ρ0 . 3  Q.r  ρ 0 OM  E (M ) = er = si 0 ≤ r ≤ R  4πε 0 R 3 3ε 0   E ( M ) = Q e si r ≥ R    4πε 0 r 2 r  −3 Q 1 Q.r 2  V (r ) = + si 0 ≤ r ≤ R  2 4πε 0 R 2 4πε 0 R 3 Et  V (r ) = Q si r ≥ R   4πε 0 r Chapitre 3 : Théorème de Gauss Electrostatique Page 9 sur 9