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                                 dφ = E ( M ) ⋅ dS = E ⋅ n.dS             2) Flux à travers une surface               ...
On considère un plan P infini ayant une densité surfacique de charge uniforme σ0     .                       P = (O, i ,...
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Donc φ =∫∫ ( O ,r ) G r ( r )dS =G r ( r ) ∫∫dSr ) =G r (r ) 4π.r                                                         ...
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03 théorème de gauss

  1. 1. Chapitre 3 : Théorème de GaussI Les coordonnées sphériques On considère un point M repéré par ses coordonnées sphériques ( r , θ, ϕ : ) r = OM  θ = (k , OM ) : colatitude.  ϕ=(i , ON ) : longitude. (N est la projection de M sur xOy )     Base locale : (er , eθ , eϕ) ( eϕ est le même vecteur que dans la base cylindrique)  OM er = OM  eθ tangent au méridien (vers le sud)  eϕ dirigé suivant un parallèle, vers l’est. Remarque :     Les vecteurs k , er , eρ, eθ sont coplanaires :    er = cos θ.k +sin θ.eρ    eθ = cos θ.eρ −sin θ.k  On a OM = rer Pour un déplacement élémentaire : Chapitre 3 : Théorème de Gauss Electrostatique Page 1 sur 9
  2. 2.   d OM = dr.er + r.de r     de r = k ( −sin θ.dθ) + e ρ (cos θ.dθ) + sin θ.de ρ    = ( −k . sin θ + e ρ cos θ) dθ + sin θ.dϕ.eϕ   = dθ.eθ + sin θ.dϕ.eϕ    Donc d OM = dr.er +r.dθ.eθ +r. sin θ.dϕeϕ . Gradient d’un champ scalaire en coordonnées sphériques : ∂F ∂r grad M F = 1 ∂F r ∂θ 1 ∂F r sin θ ∂ϕ - Périmètre d’un méridien (½ cercle) : π × R Longueur de la portion de chacun des méridiens : Rdθ (longueur de la corde) - Périmètre d’un parallèle : 2π × R sin θ Longueur du parallèle interceptée par le méridien : R sin θ.dϕ (pour le parallèle du bas : R sin(θ + dθ ).dϕ = R sin θ.dϕ ) Donc dS = R sin θ.dϕ Rdθ . = R 2 sin θ.dϕ dθ . Volume élémentaire en coordonnées sphériques : dV = dr × dS = R 2 sin θ.dr.dθ.dϕ Exemple : Aire de la sphère de centre O et de rayon R : π 2π π S = ∫∫dS = ∫ ∫ R 2 sin θ.dθ.dϕ = ∫ 2π 2 sin θ.dθ = 4π 2 R R S θ=0 ϕ=0 θ=0II Flux d’un champ de vecteurs A) Définition 1) Flux élémentaire Surface infinitésimale d’aire dS : On oriente arbitrairement le contenu sur lequel s’appuie dS .   On définit le vecteur normal n de cet élément de surface : n est unitaire, perpendiculaire à la surface, de sens vérifiant la « règle de la main droite ». Vecteur élément de surface :    dS ou dS ( M ) = dS .n   Flux élémentaire du champ E à travers dS : Chapitre 3 : Théorème de Gauss Electrostatique Page 2 sur 9
  3. 3.     dφ = E ( M ) ⋅ dS = E ⋅ n.dS 2) Flux à travers une surface Pour une surface ouverte (qui s’appuie sur un contour fermé) :  Découpage de Sen surfaces infinitésimales dS .n .  dφ = E ( M ) ⋅ dS ( M )      φS ( E ) = ∫∫ E ( M ) ⋅ dS ( M ) = ∫∫ E ( M ) ⋅ dS ( M ) n( M ) S S Pour une surface fermée : Cette surface définit un volume intérieur et un volume extérieur. Le vecteur normale est choisit sortant.    φS ( E ) = ∫∫ E ( M ) ⋅ dS ( M ) S B) Théorème de Gauss On considère une surface S fermée, délimitant un volume V intérieur qui contient une charge QV ou Qint :  QV Alors φS ( E ) = (S est appelée une surface de Gauss) ε0 Dans  situations de symétrie, le théorème de Gauss permet ainsi un calcul plus les simple de E .III Plan infini uniformément chargé A) Présentation Chapitre 3 : Théorème de Gauss Electrostatique Page 3 sur 9
  4. 4. On considère un plan P infini ayant une densité surfacique de charge uniforme σ0 .   P = (O, i , j ) Un point M de l’espace est repéré par ses coordonnées cartésiennes x, y , z dans    le repère (O, i , j , k ) .  B) Calcul de E (M ) 1) Symétries Soit M ( x, y , z ) un point de l’espace.     Les plans ( M , i , k ) et ( M , j , k ) sont des plans de symétrie.   Donc E est colinéaire à k .   Donc E ( M ) = E z ( x, y, z )k  ∂E z Invariance par translation de direction i . Donc =0 ∂x ∂E z De même, =0 ∂y   Donc E ( M ) = E z ( z ) k , et E z (z ) est impair. 2) Surface de Gauss S sup : surface supérieure horizontale d’aire S dans le plan de constante z >0  S lat : surface latérale du cylindre parallèle à k S inf : surface horizontale d’aire S dans le plan de côte −z. S tot = S inf + S lat + S sup est une surface fermée.  φS ( E ) = ∫∫ dφ = ∫∫ dφ + ∫∫ dφ + ∫∫ dφ S S inf S lat S sup En un point P de S inf :   n( P ) = −k     dφ = E ( P ) ⋅ dS .(−k ) = E z ( z P )k ⋅ dS (−k ) Or, E z ( z P ) = E z (−z ) = −E z ( z ) Donc dφ = −E z ( z ) dS  Donc φSinf ( E ) = E z ( z ) ∫∫dS = E z ( z ) S S inf  De même, φSsup ( E ) = E z ( z ) S Pour S lat :Chapitre 3 : Théorème de GaussElectrostatique Page 4 sur 9
  5. 5.     dφ = E ( P ) ⋅ dS .n = E z ( z P )k ⋅ dS .n = 0  Donc φSlat ( E ) = 0  Donc φS ( E ) = 2 E z ( z ) S Qint = QV ∩P = σ 0 S Donc, d’après le théorème de Gauss : σ S 2E z ( z)S = 0 ε0 σ0 Donc E z ( z ) = . 2ε 0 σ0    2ε k si z > 0  Ainsi, E ( M ) =  0  −σ  0 k si z < 0  2ε 0  σ0 On a une discontinuité du champ en 0, ∆E = ε0 C) Condensateur plan Deux plaques parallèles d’aire S et distantes de e. Plaque supérieure : densité surfacique σ > 0 , charge q =σ.S Plaque inférieure : densité surfacique − σ < 0 , charge − q Modélisation : On néglige les effets de bord ; les plaques sont modélisées par des plans infinis.   Ainsi, à l’extérieur des deux plaques, E (M ) = 0 , et entre les deux  −σ  E (M ) = k. ε0Chapitre 3 : Théorème de GaussElectrostatique Page 5 sur 9
  6. 6.  Le champ E à l’intérieur est uniforme et dirigé de la charge positive vers la charge négative.  E ( M ) = −grad M V − ∂∂V x −σ  Donc k = − ∂y ∂V ε0 − ∂∂V z σ.z Donc V ne dépend que de z et V ( z ) = + cte à l’intérieur. ε Et de plus V = cte à l’extérieur (la même, par continuité) On a : U = q / C σ.e σ.S .e q Et U = Vq −V−q = V ( 2 ) −V ( 2 ) = = = e −e ε0 ε0 S (ε 0 S / e) Donc C = ε 0 S / eIV Analogie électrostatique – gravitation Electrique Gravitationnelle Force Chapitre 3 : Théorème de Gauss Electrostatique Page 6 sur 9
  7. 7. q↔m q1 q 2   − Gm1 m2 F1→2 = u 2 12 1 ↔ −G F1→2 = u12 4πε 0 M 1 M 2 4πε 0 2 M 1M 2    − Gm1   F12 = q 2 E1 ( M 2 ) F12 = m2  M M2 u12  = m2 G1 ( M 2 )   1 2   − Gm  q  G m en O ( M ) = u r (on peut ainsi définirE q en O ( M ) = ur OM 2 4πε 0 OM 2 les distributions de masse…) Potentiel grad ϕ. ϕ : potentiel  G =−E =−grad V gravitationnel. q − GmV (M ) = (charge ponctuelle q en O) ϕ( M ) = (masse ponctuelle m en O) 4πε0 r r Energie potentielleE p = qV (M ) E p = mϕ(M ) Théorème de Gauss  Q φS ( E ) = v φS (G ) = M v × (−4πG ) ε0 Application :  Champ gravitationnel G (M ) créé par la Terre, considérée comme une boule de centreO et de rayon RT = 6400km . On suppose la masse volumique µ uniforme. 0 4 Masse : M T = µ0 πRT = 6,0.10 24 kg 3 3 1) Symétries Symétrie sphérique : ϕ ne dépend que de r (dans les coordonnées sphériques)  − dϕ   G ( M ) = −grad ϕ = e r = G r ( r )e r dr 2) Théorème de Gauss On considère comme surface de Gauss une sphère de centre O et de rayon r. Elément infinitésimal de surface dS autour de M ∈S (O, r ) :    dS = dS ( M ) n( M ) = dS .e r ( M )     dφ = G ( M ) ⋅ dS = G r ( r ).er ⋅ dS .er = G r ( r ) dSChapitre 3 : Théorème de GaussElectrostatique Page 7 sur 9
  8. 8. Donc φ =∫∫ ( O ,r ) G r ( r )dS =G r ( r ) ∫∫dSr ) =G r (r ) 4π.r 2 S S (O , Masse intérieure à S (O, r ) : Si r > RT : 4 M int = πRT µ0 = M T 3 3 Si r < RT : 4 r3 M int = π .r 3 µ 0 = M T 3 3 RT Théorème de Gauss :  φS (G ) = −4πGM int r3 1er cas : r ≤ RT ; 4π .r G r (r ) = −4πGM T 2 3 RT GM T r  GM T D’où G r ( r ) = − 3 , soit G (r ) = − 3 OM . RT RT 2ème cas : r ≥ RT ; 4π .r 2 Gr (r ) = −4πGM T GM  GM  Donc G r ( r ) = − 2 T , soit G (r ) = − 2 T er r r Ainsi, la Terre crée à l’extérieur un champ gravitationnel identique à celui d’une masse ponctuelle M T en O. ( ∝ signifie « proportionnel à ») 3) Potentiel gravitationnel  dϕ G = −grad ϕ ⇔ G r = − dr  GM T r 2 ϕ (r ) =  + k1 si 0 ≤ r ≤ RT Donc  2 RT3 ϕ (r ) = − GM T + k si r ≥ R   r 2 T Donc, par continuité :Chapitre 3 : Théorème de GaussElectrostatique Page 8 sur 9
  9. 9. 2 GM T RT − GM T 3 + k1 = + k2 2 RT RT − 3 GM T On choisit de plus rlim ϕ = 0 , donc k 2 = 0 . Ainsi, k1 = →+∞ . 2 RT  − 3 GM T 1 GM T r 2 ϕ (r ) =  + si 0 ≤ r ≤ RT Donc  2 RT 2 RT3 ϕ (r ) = − GM T si r ≥ R   r T 4) Analogie électrique Boule de rayon R et de densité volumique de charge ρ0 uniforme. 4 Q= πR 3 ρ0 . 3  Q.r  ρ 0 OM  E (M ) = er = si 0 ≤ r ≤ R  4πε 0 R 3 3ε 0   E ( M ) = Q e si r ≥ R    4πε 0 r 2 r  −3 Q 1 Q.r 2  V (r ) = + si 0 ≤ r ≤ R  2 4πε 0 R 2 4πε 0 R 3 Et  V (r ) = Q si r ≥ R   4πε 0 rChapitre 3 : Théorème de GaussElectrostatique Page 9 sur 9

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