1. 3.5 OPERADORES DIFERENCIALES EN COORDENADAS
CURVILÍNEAS ORTOGONALES.
3.5.1 Operador ∇ en coordenadas curvilíneas.
Operador nabla ∇ en coordenadas cartesianas: ˆˆ ˆi j k
x y z
∂ ∂ ∂
∇ ≡ + +
∂ ∂ ∂
La forma de este operador en coordenadas curvilíneas (no necesariamente OG) puede
definirse como:
ˆk
k
g
θ
∂
∇ ≡
∂
,
donde:
• son los vectores de la base recíproca:ˆk
g ˆ ˆk k
m mg g δ→ =i .
• k
θ son las coordenadas de la base natural .ˆkg
La notación puede ilustrarse con la siguiente tabla:
Base Vectores base Componentes
Natural ˆkg k
ν contravariantes
Natural física ˆ
ˆ
ˆ
k
k
k
g
e
g
≡
( )k
ν físicos contravariantes
Recíproca ˆk
g kν covariantes
Recíproca física ˆ
ˆ
ˆ
k
k
k
g
e
g
≡ ( )kν físicos covariantes
La representación de un vector cualquiera utilizando estas bases es entonces:
( )
( )
ˆ ˆ ˆk k k
k k k kv g v g v e v e= = = =v ˆk
Para coordenadas ortogonales: ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ; factor de escalak k
k k k kg g e e g hα= ≡ = =
Entonces:
21 2
1 1 1 1 1 2
1
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1g g g g g h
h
α α α α= = = = ⇒ =i i
1 1
1 12
1 1 1
ˆ1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
k
k
k
e
g g e e g
h h h
= = = ⇒ =
h
Con esto podemos expresar el operador nabla como:

2. ˆˆk
k
k
k k
ee
h h k
θ θ
∂
∇ ≡ =
∂ ∂
∂
, suma en k para coordenadas curvilíneas OG { }1 2 3
, ,θ θ θ
3.5.2 Gradiente de un escalar.
ˆ
grad( )
k
k
k
e
u u
h x
∂
= ∇ =
∂
(coordenadas OG)
Por ejemplo, en coordenadas cilíndricas { } 1, , : 1, , 1r zr z h h h r hθθ = = = =
Además: .1 2 3
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,r ze e e e e e e e eθ= = = = = =3
Utilizando esto obtenemos:
1
ˆ ˆ ˆr z
u u
u e e e
r r
θ
θ
u
z
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
3.5.3 Divergencia de un vector
Consideremos ( )
ˆ
ˆ ˆ
m
m m
m mk k k
gv
v g g vm
k
θ θ θ θ
∂∂ ∂ ∂
= = +
∂ ∂ ∂ ∂
v
(*)
Recordemos que
ˆ
ˆre
eθ
θ
∂
=
∂
, esto es:
vector base
vector
coordenada
∂
=
∂
Las derivadas parciales de los vectores de la base natural son entonces:
1 2 3
1 2
ˆ
ˆ ˆm
mk mk mkk
g
g gα α α
θ
∂
= + +
∂
3
ˆg
⎬
Deben entonces definirse 27 constantes para expresar cambios de 3 vectores en 3
direcciones. Estas constantes quedan definidas por los símbolos de Christoffel.
Definición (símbolos de Christoffel).
El símbolo denota las derivadas parciales de los vectores de la base natural, i.e.:
a
b c
⎧ ⎫
⎨
⎩ ⎭
ˆ
ˆl
m
k
lg
g
m kθ
⎧ ⎫∂
≡ ⎨ ⎬
∂ ⎩ ⎭
Podemos ahora utilizar esta notación para expresar la derivada parcial del vector v (*)
como:

3. ˆ ˆ ˆ
m m
m l
m l mk k k
l mv v
g v g g v g
m k l kθ θ θ
ˆm
⎧ ⎫ ⎧∂ ∂ ∂
= + = +
⎫
⎨ ⎬ ⎨
∂ ∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭
v
⎬
ˆ ˆ;
m
l m
m kk k
mv
v g v
l kθ θ
⎛ ⎞⎧ ⎫∂ ∂
⇒ = + =⎨ ⎬⎜ ⎟
∂ ∂ ⎩ ⎭⎝ ⎠
v
mg
Con esto definimos también la derivada covariante dada por:
; ,
m
m m l
k k k
m mv
v v v
k l k lθ
l
v
⎧ ⎫ ⎧∂
≡ + ≡ +
⎫
⎨ ⎬ ⎨
∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎬
Utilicemos esta notación para evaluar la divergencia de un vector:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ; ; ;
m k m k m
m mk k
k m m k m m
k m k m k k
v g g v g g v g
g v g v g g v
θ θ
δ
∂ ∂
∇ = ∇ = =
∂ ∂
= = =
vi i i i
i i
m
Cambiando k por m obtenemos para coordenadas curvilíneas generales:
; ,
m
m m l
m m m
m mv
v v v v
m l m lθ
l⎧ ⎫ ⎧∂
∇ = = + = +
⎫
⎨ ⎬ ⎨
∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭
vi ⎬
Para coordenadas OG los símbolos adquieren la forma:
1 m
l
m
m h
m l h θ
⎧ ⎫ ∂
≡⎨ ⎬
∂⎩ ⎭
(suma en m, ver
apéndice al final de esta sección). Finalmente, podemos expresar la divergencia de un
vector para coordenadas ortogonales como:
Doble suma
1
,m lm
m l
m
h
v v
h θ
∂
∇ = +
∂
vi
Desarrollemos la divergencia para coordenadas ortogonales. Para esto, sustituimos
componentes físicos por vectoriales, i.e.:
( )m
m
m
v
v
h
= .
( ) ( )
1m l
m
m l
m m l
hv v
h h hθ θ
⎛ ⎞ ∂∂
∇ = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
vi

4. ( ) ( )
2
suma en m
(3 terminos)
1 m m
m
m m
m m
hv v
h hθ θ
∂∂
= −
∂ ∂
( )
suma en l y msuma en m
(3x3 terminos)(3 terminos)
1 m
l
m
l m
l m hv
h h θ
↔ ∂
+ ∂
Analicemos el último término de esta expresión:
( )
2( )
( )
1
=0 (3 terminos)
1
1
(3x2 terminos)
m
m
mm
ml
m m
l m l
m
l m l m
hv
l m
hhv
h h hv
l m
h h
θ
θ
θ≠
∂⎧
= →⎪
∂∂ ⎪
⎨
∂ ∂⎪ ≠ →
⎪ ∂⎩
∑
Con esto la divergencia es:
( ) ( )
1 1m m
l
m m
l mm l m
hv v
h h hθ θ≠
∂∂
∇ = +
∂ ∂
∑vi
( )
(1) (1) (1)
(1)32
2 31 1 1 1
1 2 1 3 1 1 2 3
11 1 1 1
,
1
mhhv v v
h h v
lh h h h h h h hθ θ θ θ
=∂∂∂ ∂
= + + →
≠∂ ∂ ∂ ∂
( )
(2) (2) (2)
(2)31
1 32 2 2 2
2 1 2 3 2 1 2 3
21 1 1 1
,
2
mhhv v v
h h v
lh h h h h h h hθ θ θ θ
=∂∂∂ ∂
+ + →
≠∂ ∂ ∂ ∂
( )
(3) (3) (3)
(3)1 2
1 23 3 3 3
3 1 3 2 3 1 2 3
31 1 1 1
,
3
mh hv v v
h h v
lh h h h h h h hθ θ θ θ
=∂ ∂∂ ∂
+ + →
≠∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( )(1) (2) (3)
2 3 1 3 1 21 2 3
1 2 3
1
h h v h h v h h v
h h h θ θ θ
∂ ∂ ∂⎡ ⎤
⇒ ∇ = + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦
vi
3.5.4 Rotacional de un vector.
Factores de escala:
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 2 3
(1) (2) (3)
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
1
h e h e h e
h h h
h v h v h v
θ θ θ
⎡ ⎤
⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∇× =
∂ ∂ ∂⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
v ˆˆ ˆ,
m
k k k k
x
h g g i
θ
∂
≡ =
∂
m

5. 3.5.5 Laplaciano de un escalar.
2 2 3 1 3 1 2
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
1 h h h h h hu u
u
h h h h h hθ θ θ θ θ θ
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∇ = + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
u
Evaluemos como ejemplo el Laplaciano en coordenadas esféricas:
2 2 2
2 2
1
1
:
tan
tan
Tx
r x y z
x y
z
y
x
θ
φ
−
−
= + +
+
=
=
1
:
sen cos
sen sen
cos
Tx
x r
y r
z r
θ φ
θ φ
θ
−
=
=
=
φ
r
θ
1 1
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ;
k k k
í k k ki
x x x x y
g i g i i i j
r r r rθ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = = = + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
z
k
∂
∂
k1
ˆˆ ˆˆ sen cos sen sen cosg i jθ φ θ φ= + + θ
2
2 2 2 2 2
1
ˆ sen cos sen sen cos 1
sen
g
θ
θ φ θ φ θ= + + =
2 2
ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ
k k
k k k
x x x y
g i i i j
z
k
θ θ θ θ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = = + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
´
2
ˆˆ ˆˆ cos cos cosg r i r sen j rsen kθ φ θ φ= − − θ
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
cos
ˆ cos cos cos
r
g r r sen r sen r
θ
θ φ θ φ θ= + + =
3 3
ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ sen sen sen cos
k
k
x x y z
g i i j k r i r ˆjθ φ θ
θ φ φ φ
∂ ∂ ∂ ∂
= = + + = − +
∂ ∂ ∂ ∂
φ
( )2 2 2 2
3
ˆ sen sen cos seng r rθ φ φ= + θ=
Los factores de escala son entonces: 1 2 31, , senh h r h r θ= = =
2
2 2 2
2 2
1 1
sen sen 2
sen
u u u u
u r sen r r
r sen r r r r
θ θ θ
θ θ θ φ θ φ
⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞
∇ = + + + +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
u

6. 2 2
2 2
1
sen cos
sen
u u
θ θ
u
θ θ θ φ
∂ ∂ ∂
+ + +
∂ ∂ ∂
Finalmente:
2 2
2
2 2 2 2 2 2
arrastre arrastre
2 1 cot 1
sen
u u u u
u
r r r r r r
θ 2
2
u
θ θ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∇ = + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂φ
Apéndice A.3.5. Símbolos de Christoffel para coordenadas OG
1
2
mj jkim mk
k j m
g gi ig
g
j k k jθ θ θ
∂ ∂⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧∂
≡ + − =⎨ ⎬ ⎨⎜ ⎟
∂ ∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠
⎫
⎬
0
27 símbolos
coordenadas OG: ( )
2
11 1
2
22 2
2
33 3
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
ij
g h
g g h
g h
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
= = ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1 1
2 2
ji ik ji ikjk jkii
k j i k j i
ii
g g g gg gi
g
j k gθ θ θ θ θ θ
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞ ⎛⎧ ⎫
= + − = + +⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
0
(sin suma)
Consideremos 0 0ji ik jki j i k j k g g g≠ ≠ ≠ ⇒ = = =
0
i
j k
⎧ ⎫
∴ =⎨ ⎬
⎩ ⎭
(6 símbolos)
Consideremos 0ik jki j j k g g= ≠ = =
2
2 2
1 1
2 2
ii i i i
k k
ii i i
g h hi h
i k g h h k
θ θ θ
∂ ∂⎛ ⎞⎧ ⎫ ∂
= = =⎨ ⎬ ⎜ ⎟
∂ ∂⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ∂
1 i
k
i
i h
i k h θ
⎧ ⎫ ∂
=⎨ ⎬
∂⎩ ⎭
sin suma (12 símbolos)
Consideremos 0 0ji ik jk jji j k g g g≠ = = = = g
2
2
1 1 2
2 2
jj j
i i
ii i
gi h
j j g hθ θ
∂⎛ ⎞⎧ ⎫ ∂⎪ ⎪
= − = − = −⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎜ ⎟∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎝ ⎠ 2 2
j
j i
i
h
h
h θ
∂
∂
2
jj
i
i
hi h
j j h θ
∂⎧ ⎫⎪ ⎪
= −⎨ ⎬
∂⎪ ⎪⎩ ⎭
sin suma (6 símbolos)

7. ik ii
j i
g g
i j k
θ θ
∂ ∂
= = =
∂ ∂
Consideremos
2
2
21 1
2 2
ii i
i i
ii i
g hi
i i g hθ θ
∂ ∂⎧
⎨
⎫
= = =⎬
∂ ∂⎩ ⎭
ih
2 2
ih
i
i
h
θ
∂
∂
1 i
i
ii i h
hi
θ
∂
= sin suma (3 símbolos)
demás en coordenadas 2-D:
⎧ ⎫
⎨ ⎬
∂⎩ ⎭
( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 2 3 3
, ,x x x x xθ θ θ θ θ= = ≡A
3
0 0
3⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩i i i i 3
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎭
i i
jemplo: coordenadas cilíndricas { } { }1 2 3
1 2 3E 1 1 , , , ,h h r h r zθ θ θ θ⇒ = = = =
si0
i
j k
⎧ ⎫
=⎨ ⎬
⎩ ⎭
i j j k≠ ≠
3
0
3
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
i
i i i
1
1
1 21 1 1 1
0 0
1 1 2 2 3 31
h r
h r rθ θ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂
= = = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
∂ ∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
3
0=
1 1 2 2 1 21 1 1 1
0
1 2 2 1 2 1 1 2 1 3 2 31
r
r r rθ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫∂ ∂
= = = = = = 0=⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
=
2
2 1 11 1
0 0
1 1 2 2 3 3 3 3
r
r r
r rθ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫∂ ∂
= − = = − = − = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
2
1 2 2 1
todos los demás 0
2 2 2 1 1 2
r
r
⎧
⎨
⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⇒ = − = = =⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭