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CHAPITRE III         METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES




     METHODE
   NUMERIQUE DE
  RESOLUTION DES
   EQUATIONS DE
  NAVIER-STOCKES



                             MATENE ELHACENE
                        Ingénieur d’état en génie climatique
               Inscrit première année magister (post de graduation)
                       E-mail : elhacenematene@gmail.com
                             TEL : +213 771 403 380
                                     ALGERIE
                                    Janvier 2010




                                       46
CHAPITRE III                   METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES



III.1.Introduction et rappel des équations de base :
         III.1.1.Introduction :
         Au chapitre 2, les équations de base régissant les phénomènes d’écoulement de fluide,
de transfert de chaleur ou de masse ont été établis. On savait que pour certains cas
d’écoulements simples une solution analytique exacte est possible. Pour le cas général des
écoulements turbulents, le système d’équations de Navier-Stokes ne peut être résolu
directement vu la non-linéarité des équations et l’apparition des contraintes de Reynolds
(ρ������������ ������������ ) de la turbulence comme nouvelles inconnues dans les équations de transport. Le
système d’équations est fermé à l’aide des modèles de turbulence décrits en chapitre 2.
         Les équations différentielles développées décrivent les principes de conservation de la
masse, des quantités de mouvement et de l’énergie ; dans un volume de contrôle de
l’écoulement, elles se traduisent par une balance de flux de masse ou d’énergie .Considérant
un flux J qui influe sur une variable dépendent de l’écoulement (fig. III.1) le flux net
                                                                   ������������ ������       ������������ ������       ������������ ������
traversant le volume de contrôle est : ������������������. ������ =                          +             +
                                                                    ������������         ������������          ������������




                                                                         ������������
                                                                                                                      ������������������
           ������������                                                                                              ������������ +
                                                                                                                      ������������


                                                                         ������������
                                         ������������

                       Figure. III.1 – Flux à travers un volume de contrôle.

     III.1.2.Rappel des équations de base :
       III.1.2.1.Equations des quantités de mouvement :
     L’équation différentielle décrivant la conservation des quantités de mouvement pour un
écoulement de fluide newtoniens s’écrit :
                               ������������ ������            ������������ ������         ������������                            ������        ������������    ������������ ������
                          ������             + ������������             = − ������������ + ������������ + ������[������������ (������������ ������ +                              )]   (III.1)
                                ������������              ������������ ������            ������                                ������      ������   ������������ ������
Considérons ������ comme étant la composante axiale de la vitesse ; l’équation des quantités de
mouvement suivant la direction ������, peut être écrite sous la forme suivante :
                         ������                                                     ������������
                             ������������ + ������������������ ������. ������. ������ = ������������������ ������. ������������������������ ������ − + ������������ (III.2)
                        ������������                                                    ������������
Ou ������������ : est la forme de volume dans la direction des ������.

       III.1.2.2.Equation de continuité :
      L’équation différentielle décrivant le principe de conservation de la masse est :
                                            ������������
                                                 + ������������������ ������. ������ = 0                                                               (III.3)
                                            ������������




                                                                   47
CHAPITRE III                METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES



       III.1.2.3. Equations de Reynolds pour les écoulements turbulents :
      L’équation (II.2.9) décrit le transport des contraintes de Reynolds (-ρ ������������ ������������ ) qui
apparaissent dans les équations de Navier-Stokes en utilisant l’approche statistique de
Reynolds. Ces termes sont exprimés par les modèles mathématiques de turbulence décrits au
chapitre 2.

        III.1.2.4.Equation de l’énergie cinétique :
        Les modèles de turbulence populaires à deux-équations ( Lander et Spalding 1972 ,
1974) utilisent l’équation de transport de l’énergie cinétique de turbulence (II.2.11) , qui peut
être écrite sous la forme suivante :
                     ������
                         ������������ + ������������������ ������. ������. ������ = ������������������ Г������ . ������������������������ ������ + (������ − ������������) (III.4)
                    ������������
Où :
   Г������ : est un cœfficient de diffusion de ������ ;
������ : est le taux de génération de l’énergie cinétique ������ ;
 ������ : est le taux de dissipation de l’énergie cinétique ������.
Le terme (������ − ������������)représente la source de l’équation.
Une équation similaire décrit les variations de la variable ������.

           III.1.2.5. Equation de l’énergie :
        L’équation de l’énergie contient un nombre important d’influente. On s’intéresse ici
beaucoup plus à la forme de l’équation qu’aux détails. Donc il sera suffisant de considérer
quelques cas simples :
Pour un écoulement permanent ou la dissipation visqueuse est négligée l’équation s’écrit :
                                    ������������������ ������. ������. ������ = ������������������ ������. ������������������������ ������ + ������������       (III.5)
Où ������: est l’entalpie spécifique ;
       ������ : est le coefficient de conductivité thermique ;
     T : est la température ;
    ������������ : est le taux volumétrique de génération de chaleur.
Selon la loi de Fourier du transfert de chaleur par conduction, le terme (������������������ ������. ������������������������ ������ )
représente l’influence de chaleur par conduction dans l’écoulement.
Pour des gaz parfaits et pour des solides et des liquides on peut écrire :
                                           ������. ������������������������ ������ = ������������������������ ������                   (III.6)
Avec ������ : est la chaleur spécifique à pression constante.
L’équation de l’énergie devient :
                                                                   ������
                                   ������������������ ������. ������. ������ = ������������������ ������ . ������������������������ ������ + ������������      (III.7)
Dans le cas où ������ est constante, la relation ������ = ������(������)est :
                                                       ������ = ������. ������                         (III.8)
On peut écrire :
                                                                   ������             ������
                                   ������������������ ������. ������. ������ = ������������������ ������ . ������������������������ ������ + ������������     (III.9)
Dans ce cas la température, T, ou l’enthalpie ������ peut être considérée comme variable
dépendante.
La situation de transfert de chaleur par conduction permanent est obtenu en posant (������ = 0 ) ;
donc :
                                                ������������������ ������. ������������������������ ������ + ������������ = 0       (III.10)




                                                48
CHAPITRE III                                  METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES



       III.1.2.7.Forme générale des équations :
      Les équations différentielles (III.2) a (III.5) décrivant les variations des déférentes
variables de l’écoulement (������, ������,T et ������) peuvent être écrit sous la forme générale suivante :
-en notation vectorielle :
                        ������
                            ������������ + ������������������ ������. ������. ������ = ������������������ ������ . ������������������������ ������ + ������������     (III.11)
                       ������������
-en notation tensorielle :
                                        ������             ������                ������              ������������
                                              ������������ + ������������ ������. ������. ������ = ������������        ������ . ������������        + ������������   (III.12)
                                       ������������                 ������                ������                ������
        ������
                 ������������ : Taux de change ou accumulation.
       ������������
         ������
                 ������. ������. ������ : Flux de convection
       ������������ ������
         ������             ������������
                  ������ . ������������        : Flux de diffusion
       ������������ ������                 ������
Où :
  ������ : est la variable dépendante générale qui peut être la vitesse. U, l’énergie cinétique de
turbulence ; ������, sa dissipation , ������, l’entalpie ������,ou la température ,T.
 ������ : est le coefficient de diffusion de ������
������������ : est le terme de la source.
         Les termes de l’équation généralisée (III.12) sont regroupés dans le tableau (III.1) pour
les différentes équations.
         L’avantage d’écrire les équations différentielles décrivant l’écoulement sous la forme
générale (III.12) est de construire une procédure numérique générale qui s’applique pour les
différentes équations en considérant les conditions aux limites spécifiques.
Avant de passer à la construction de cette procédure, l’équation (III.12) doit être discrétisée.

                   Tableau III.1. termes de l’équation généralisée (III.12)
       Equation        Variable ������ Coefficient de               Terme de source ������������
                                       diffusion
       Quantité de          ������������           ������������������������ = ������ + ������������             ������                 ������������������   ������������
       mouvement                                                  ������������ +            ������������������������ .        −
                                                                           ������������������              ������������������   ������������������
       Continuité            1                       0                                   0
       Energie               ������                     ������������                       ������������ . ������1 − ������������
       cinétique                                    ℑ������
       Dissipation           ������                     ������������               ������
                                                                          (������ . ������ . ������ − ������2 . ������. ������)
       d’énergie                                    ℑ������               ������ ������ 1

III.2.Discrétisation des équations différentielles [90] :
      Après avoir sélectionné les équations différentielles à résoudre, il est nécessaire de
transformer ces équations différentielles en équations algébriques ou les variations continues
des variables de l’écoulement sont représentées par des valeurs à des ponts discrets dans le
temps et dans l’espace.
      Les locations discrètes dans l’espace sont représentées par des points nodaux ( ou
nœuds) choisis dans une grille numérique qui subdivise le domaine de l’écoulement .selon la
nature et la géométrie de l’écoulement , la grille numérique peut appartenir à l’une des
familles de grilles suivantes et qui sont représentées dans la figure (III.2).

   -   grille rectangulaire
   -   grille curvilinéaire et orthogonale,


                                                                   49
CHAPITRE III              METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES



   -  grille curvilinéaire non orthogonale.
   -  Grille à subdivision arbitraire.
    Le choix d’une structure de grille détermine la flexibilité géométrique de la procédure
numérique a utiliser et doit être fait selon la méthode de discrétisation choisie.

      III.2.1.Méthodes de discrétisation :
        La procédure de discrétisation fait des approximations aux drivées dans le temps et
dans l’espace des variables de l’écoulement présente dans l’équation (III.12), à chaque nœud
de la grille, a en fonctions algébriques des variables dans le nœud considéré et les nœuds en
son voisinage.
    La discrétisation se fait en suivant l’une des quatre méthodes :
    - Méthode des différences finies.
    - Méthode des volumes finis
    - Méthode des éléments finis
    - Méthode des spectrales.
        Dans ce qui suit on se limite a examiner uniquement les méthodes les plus utilisées
dans le domaine de la dynamique et la thermique des écoulements de fluides qui sont les
méthodes des différences finies et des volumes finis. Pour plus d’informations sur les autres
méthodes, on peut consulter Patankar (1980) et Aston (1991).




       Figure III.2 : Arrangement des grilles numériques de discrétisation




                                             50
CHAPITRE III               METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES




                     DISCRITISATION : Transformation des équations
                      différentielles continues en équations algébriques
                                           discrètes




       Méthode des       Méthode des                   Méthode des            Méthode
       différences       volumes finis                éléments finis          spectrale
          finies




                                       RESULTATS

                        Equations discrétisées pour chaque nœud

                           Figure. III.3-méthode de discrétisation

                                       ą������ . ������������ =    ������   ą������ . ������������ + ������          (III.13)

 ������:  Represente la sommation sur les nœuds en voisinage du nœud P ;
ą������ : Coefficient de l’équation qui tient compte des effets combinés de l’accumulation, le
transport par convection et diffusion et du terme source dans l’équation (III.12).
������ : représente un part du terme source, ������������ .

      La description des quatre principales méthodes de discrétisation des équations
différentielles nécessite l’examen de deux méthodes numériques fondamentales qui
constituent une base de travail pour ces méthodes. il s’agit de :
    - la formulation en série de Taylor
    - la méthode des résidus.
      Dans les sections qui suivent nous allons examiner en particulier la méthode des
différences finies et celle des volumes finis. Cette dernière méthode a été classée par la
méthode utilisée dans la littérature pour la résolution des problèmes de la thermo et de la
dynamique des fluides.




                                               51
CHAPITRE III                 METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES



        III.2.2.Formulation en série de Taylor :
      C’est la procédure la plus simple et la plus utilisée pour exprimer les dérivées dans les
équations différentielles en fonction des séries de Taylor. Pour expliquer la méthode nous
allons l’illustrer dans l’exemple montré sur la figure III.4.

               (������ − 1)                                  (������)                                            (������ + 1)
                                                         )

                                 ������������                                                     ������������                            x

                     W                                          P                                         E


                     Figure. III.4-nœuds de discrétisation en séries de Taylor
                            P: nœud            E: East       W: West

L’expansion des séries de Taylor autour de nœud P, permet d’écrire :
                                                      ������������                    ������ 2 ������     ������ ������ 2
                               ������������+1 = ������������ + ( ������������ )������ . ������������ + ( ������������ 2 )������ .                   +⋯              (III.14)
                                                                                             2!
                                                         ������������                   ������ 2 ������       ������ ������ 2
                               ������������−1 = ������������ − ( ������������ )������ . ������������ + ( ������������ 2 )������ . 2! − ⋯ (III.15)
Notant ici que les termes du troisième ordre sont négligés. La différence et la somme des deux
équations permet d’obtenir :
                                              ������������          ������    −������
                                             ( )������ = ������+1 ������−1                           (III.16)
                                                     ������������                 2������������
                                               ������ 2 ������            ������ ������+1 +������ ������−1 −2������ ������
                                              ( ������������ 2 )������
                                              =                                     (III.17)
                                                     ������������ 2
Les relations (III.16) et (III.17) représentent un schéma de discrétisation aux différences
centrées. D’autres schémas peuvent être obtenus.

      III.2.3.Méthode des résidus :
      La méthode des résidus est une méthode numérique très puissante et efficace qui permet
la résolution des équations différentielles.
Soit une équation différentielle représentée par :
                                             ������ ������ = 0                                 (III.18)
Supposant ������ comme une solution approchée de l’équation (III.18) qui contient un nombre de
paramètres (ą������ ) ; par exemple :
                                    ������ = a0 + a1 x + a2 x² + ⋯ + am x m                 (III.19)
La substitution de (III.19) dans (III.18)donne un résidu tel que :
                                                ������ ������ = ������                              (III.20)
      L’objectif est de maintenir le résidu proche de zéro.Donc on considère une fonction de
balance ������ telle que :
                                                 ������. ������. ������������ = 0                       (III.21)
L’intégration se fait sur le domaine d’intérêt.
        ������ étant une fonction de balance .En utilisant une succession de fonction, on peut
générer plusieurs équations algébriques qui permettent d’évaluer les paramètres (ą������ ) et par la
suite déterminer la solution de l’équation différentielle (III.18).Plusieurs méthodes ont été
développées selon les différentes classes de fonction de balance ������.




                                                             52
CHAPITRE III                                     METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES




       III.2.4.Méthode des différences finies :
       La méthode des différences finies est la méthode la plus directe pour la discrétisation
des équations différentielles décrivant une variable d’écoulement ������ . les variations de la
variable ( ������ ) sont exprimées par des fonctions des distances ������������������ dans les directions des
coordonnés et sont liées à des nœuds choisis dans la grille numérique.
Considérons l’équation générale (III.12) dans le cas d’un écoulement unidimensionnel :
                                     ������               ������                       ������²
                             ������������ + ������������ ������. ������. ������ − ������������ ² Г������ . ������ − ������������ = 0                (III.22)
                        ������������
 D’après les les équations (III.16) et (III.17) et en se référant à la figure (III.5) , l’équation
(III.22) s’écrit donc :
                      ������ ������ −������ 0
                         ������
                                ������                   ������ ������+1 −������ ������−1                ������ ������+1 +������ ������−1 −2������ ������
                 ������                  + (������. ������)������                       − (Г������ )������                              − (������������ )������ = 0   (III.23)
                          ������������                             2������ ������                             ������������ 2


        NW
                                                                                N                                                  NE


             W                                                                  P                                                    E


  (������ − 1)
                                          ������������                                  (������)                             ������������             (������ + 1)
                                                                                −1


        SW                                                                      S                                                    SE

Figure. III.5 grille pour discrétisation par la méthode des différences finies

Daun l’équation (III.23) les dérivées partielles et temporelles ont été approximées par des
différences centrées ou avancées. D autres formulations sont possibles.
La méthode d’approximation des dérivées temporelles permet de différenties entre les
méthodes de discrétisation et a des conséquences sur l’algorithme de solution. ce point sera
traité en section (III.2.5.5).

       III.2.5.Méthode des volumes finis :
         La méthode des volumes finis ou volume de contrôle est une version spéciale de la
méthode des résidus.
         Le domaine de calcul est subdivisée en subdomaines ou à des volumes de contrôle
finis ; Il suffit de poser la fonction de balance, ������ , égale à l’unité ( ������ =1) dans un
subdomaines et égale à zéro (������ = 0) ailleurs . L intégration de l’intégration de l’équation
(III.21) donnant le résidus R doit être égale à zéro, dans un volume de contrôle.
         Dans la littérature, la méthode des volumes finis à été qualifiée comme la plus utilisée
parmi les méthodes de discrétisation. Dans ce qui suit nous allons l’examiner à travers le
traitement de l’équation différentielle généralisée (III.22) dans le cas d’un écoulement à une
dimension ; Il est à noter ici que nous avons considérer une seule dimension pour raison de
simplifier la procédure toutefois, La même procédure s’applique pour les autres dimensions.

       III.2.5.1.Principe de méthode :
      L équation à discrétiser est :
                           ������            ������                ������        ������������
                               ������. ������ + ������������ ������. ������. ������ = ������������ ������ . ������������ + ������������                                                  (III.24)
                          ������������



                                                                             53
CHAPITRE III                     METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES



      La méthode consiste à subdiviser le domaine de calcul (volume géométrique de
l’écoulement) en petits volumes de contrôle tel que chaque nœud est entouré par un seul
volume de contrôle.
Considérons le cas d’un écoulement à une dimension :


                                       −������                            +������



                                                              P


                                                                                                                     x

                     ������0                                                                                ������ ������

                                             Volume de contrôle

                           Figure .III .5 : Arrangement des volumes de contrôle

      La discrétisation de l’équation (III.24) ne s’obtient pas par substitution des expressions
des différences dans l’équation différentielle (III.24). Par contre, cette équation est intégrée le
long du volume de contrôle ; d’où :
  ������ ������+                                                   ������������             ������������          ������+
          ������������������������   + [ ������������������)+ − ������������������   −   = [ Г������            − Г������       )    +        ������ ������������           (III.25)
 ������������ ������−                                                  ������������ +           ������������ −       ������− ������
L’équation (III.25) est une équation « intégro – différentielle « exacte qui exprime une
balance entre les flux convectif et le flux diffusif.
La source et le taux d’accumulation en volume intégré. Ceci constitue une propriété
importante de cette approche, qui est la conservation.
                   ������
Pour S + = 0 et ������������ = 0 , il est clair que le flux sortant de la face d’un volume de contrôle
représente le flux entrant dans le volume de contrôle voisinant. D’où le principe de la
conservation tout le long du domaine de calcul.
      Une généralisation du cas à une dimension considéré ici s’obtient comme suit :
                      ������
Ecrivant l’équation: ������������ ������������ + ������������ ������ − ������ Г������ ������������������������ ������ = ������������
L’intégration sur un volume de contrôle donne :
                  ������
                       ������������ ������������ +    ������(������ ������ − Г������ ������������������������ ������)������������ = ������������ ������������      (III.26)
                 ������������

                                                                            ������



                                                    (������)
                                                       )




                                  Figure. III.7- Volume de contrôle (V)



                                                       54
CHAPITRE III                    METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES



Le théorème de Gauss est utilisé pour transformer les intégrales de volume en intégrales de
surface :
                                          ������������ ������������ = ������ ������ ������������                       (III.27)
L’équation (III.26) s’écrit donc :
                 ������
                      ������. ������. ������������ + (������. ������ − Г������ . ������������������������ ������)������ ������������ = ������������ . ������������ (III.28)
                ������������

        III.2.5.2.Définition des nœuds :
                                                    ������������
       Du à la présence du flux de diffusion (Г������ . ������������ ) la voleur de la variable ������ dans un nœud
est influencée par les valeurs des nœuds voisinant.


                                                                                            Flux de
                         U                                                 U                convection




       ������������−1                                         ������������                                     ������������+1

                                                                                 Flux de diffusion

                             Figure. III.8- convection et diffusion a un nœud

Les nœuds sont placés au centre de chaque volume de contrôle



                ������������−1                                       ������������
                                                                                                     ������������−1



                 Figure. III.9- position des nœuds dans les volumes de contrôle

     Cet arrangement permet de définir des flux dans les surfaces des volumes. Ces flux
dépendent des valeurs nodales au centre des volumes diffusion est négligeable ou absente.

      III.2.5.3.Approximation spatiale :
     Pour la simplicité on considère l’équation (III.25) dans le cas :
                   ������
    - permanent : ������������ = 0
    - terme source : ������������ = 0
                                                                    ������������         ������������
                         (������. ������. ������)+ − (������. ������. ������)− = (Г������ . ������������ )+ − (Г������ . ������������ )−                      (III.29)

      L’équation (III.29) ne peut être résolue telle qu’elle est. Les valeurs de et les dérivées le
long des faces de volume doivent être exprimées en fonction des valeurs de dans les nœuds
voisinants.


                                                        55
CHAPITRE III                            METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES



D’une façon générale la variation ������(������) est supposée de suivre l’une des trois distributions :
   - uniforme ;
   - linéaire ;
   - polynominale ;
Considérons comme exemple, une variation linéaire entre les nœuds :



                                                                          ������(������)




                                                                                                                                               ������
             ������ − 2             ������ − 1                           ������          ������ + 1                  ������ + 2          ������ + 3


                                        Figure. III -10 : variation linéaire de (x)
                                                ������ ������+1 −������ ������
                      ������ ������ = ������������ −                             (������ − ������������ )                   si      ������������ < ������ < ������������+1
                                                ������ ������+1 −������ ������

                                                    ������ ������ −������ ������−1
                      ������ ������ = ������������−1 +                                (������ − ������������ )              si      ������������−1 < ������ < ������������
                                                     ������ ������ −������ ������−1

Les faces ������− et ������+ du volume de contrôle sont situées a mi – distance entre les nœuds
������������+1 ; ������������ et ������������−1 .

Pour    ������ = ������������������ , nous avons :
                                                       ������ ������+1 +������ ������                                                   ������ ������ +������ ������−1
            (������. ������. ������)+ = ������. ������+ +                                            ;     (������. ������. ������)− = ������. ������− +
                                                                 2                                                            2

                         ������������                       ������ ������+1 −������ ������                            ������������               ������ ������ −������ ������−1
                   Г������             ≃ Г������+                                    ;          Г������            ≃ Г������ −
                         ������������ +                         ������������ +                                ������������ −                ������������ −

L’équation (III.29) devient pour ������������ = ������������������:
        ������������+                           ������������−                                Г������                          Г������
                ������������+1 + ������������ −                 ������������ + ������������−1 = ������������ ������������+1 − ������������ − ������������ ������������ − ������������−1                                  (III.30)
         2                               2

Pour Г������ = ������������������ et ������ = ������������������ , l’équation (III.30) s’ écrit :
                                 ������������                                      ������
                                          ������������+1 − ������������−1 =                          ������������+1 − 2������������ + ������������−1                             (III.31)
                                  2                                        ������������

Qui peut se mettre sous la forme suivante : ������0 . ������������ = ������1 . ������������+1 + ������2 . ������������−1
La même équation à été obtenu par des différences finies a la section (III. 2.4).
      En générale, la méthode des volumes finis ne donne pas les mêmes équations
discrétisées que les différences finies.
Appliquant maintenant l’équation (III.31) dans un cas simple ou uniquement trois nœuds sont
considérés.




                                                                            56
CHAPITRE III                    METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES




                            ������                                 ������


                                                ������2 ?
             ������1                                                                      ������3




                                 ������x                          ������x

Les valeurs de ������1 , et ������3 sont utilisée comme conditions aux limites .
L’équation (III.31) devient :
                            1                      ������
                              . ������. ������ ������3 − ������1 =     ������ − 2������2 + ������1
                            2                      ������������ 3
et :

                                1      ������. ������. ������������      1      ������. ������. ������������
                        ������2 =     . 1−              ������3 + . 1 +              ������1 ….
                                2         2������           2         2������

On défini :
                                                ������. ������. ������������
                                              ������ =
                                               ������
                                                    ������
������ : est le nombre de Peclet qui représente le rapport entre la convection et la diffusion .
 ������
Donc :
                                 1       ������          1       ������
                           ������2 = 2 . 1 − 2������ ������3 + 2 . 1 − 2������ ������1 ….                     (III.32)

Les variations de ������ entre les limites frontières ������1 et ������3 sont représentées en fonction du
nombre ������ dans la figure (III .11).
         ������




       Figure. III.11 : Solution exacte pour le problème convection-diffusion a une dimension

       Les formulations utilisées ci – dessus peuvent crée des équations algébriques qui sont
physiquement non réalistes .Une solution consiste à utiliser des distributions polynominales,
l’une des approximations les plus utilisées est basée sur un polynôme de premier ordre dite
« Upwind «. Elle est généralement utilisée pour le flux convectif.




                                                        57
CHAPITRE III                  METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES




                                            ������������                                            ������������+1

       ������������−1
                                                                             ������+

                                  ������−




                ������ − 1                              ������                             ������ + 1


                                  ������−                                       ������+

                 Figure. III.12 : Approximation UPWIND pour le flux de convection
D’après la figure (III.12), on peut écrire les approximations suivantes :
                           ������ ������ = ������������−1 si ������������−1 < ������ < ������������ et ������ > 0
                            ������ ������ = ������������ si ������������ < ������ < ������������+1            et ������ > 0
L’utilisation de l’approximation « UPWIND « pour la convection, et une approximation
linéaire pour la diffusion dans l’équation (III.29) résulte en :
                                                               ������     −������        ������ −������
                       ������. ������+. ������������ − ������. ������−. ������������−1 = Г������+ . ������+1 ������ − Г������ −. ������ ������������ ������−1 (III.33)
                                                                   ������������
Pour ������ = ������������������ et ������ = ������������������
                                                   1+������            1
                                        ������������ = 2+������������ . ������������−1 + 2+������ . ������������+1                       (III.34)
                                                         ������            ������
                                                   1
Noter que pour ������ = 0 ;
                ������                      ������������ = 2 (������������−1 + ������������+1 )
Et lorsque ������ ⟼ ∞ ;
            ������                    ������������ ⟼ ������������−1




      La formulation « UPWIND » garantie un réalisme physique des équations quelque soit
les valeurs du nombre de Peclet ������ ; mais l’ordre inférieur du polynôme utilisé peut introduire
                                 ������
des erreurs numériques considérables surtout dans le cas les problèmes à deux et trois
dimension.

        III.2.5.4.Traitement du terme source ������������ :
      Le terme source ������������ présent dans l’équation (III.24) dépend d’une facon générale d’un
certain nombre de variable et de constantes.
Dune manière générale en peut écrire :
                                           ������������ = ������(������)                             (III.35)
   Dans plusieurs situations des phénomènes d’écoulement l’expression (III.35) peut s’écrire :
                                    ������������ = ������ + ������. ������ ������                             (III.36)




                                                              58
CHAPITRE III                   METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES



Les cas suivants peuvent se présenter :
   - Pour ������ > 0 : ������������ représente la génération de la chaleur par réaction chimique .
   - Pour ������ < 0 : ������������ représente l’extraction de l’énergie par frottement .
                                                                         ������                    ������+
Si ������(x) est exprimée par une relation linéaire de (x) : ������ + ������������ . ������������ ≃ ������− [������ + ������. ������ ������ (������)]������������
                                                                           −
    Sans perdre beaucoup de précision, cette expression peut être écrite :
                                      ������ +
                                           ������ . ������������ ≃ ������������ . ������������ ≃ (������ + ������������������ )������������
                                     ������ − ������
                                                                                                    (III.37)
D’une façon générale, partant sur la base d’un point de vue numérique, la non-linéarité du
terme ������������ diminue la stabilité de la procédure numérique .pour cela, le terme ������������ doit être
linéarisé.
Soit ������������∗ une valeur approchée ou supposée de ������������ . Le processus de linéarisation de ������������ permet
de substituer ������������ = ������ + ������. ������������������         Par son approximation linéaire :
                                                  ������������ = ������ ∗ + ������∗ . ������������                          (III.38)




                                  Figure. III.13 : Linéarisation de ������������

                                                                         ������                     ������   ������������
Considérons l’équation (III.24) dans le cas permanent : ������������ ������. ������. ������ = ������������ (Г������ . ������������ ) + ������������
Qui peut être écrite selon (III.31) :
                   ������������                      ������
                          ������������+1 − ������������−1 = ������������ ������������+1 − 2������������ + ������������−1 + ������������ . ������������                      (III.39)
                       2
              ������
������������ = ������ + ������������ Est remplacé par son terme linéarisé ������������ = ������ ∗ + ������∗ . ������������
En divisant par ������������, l’équation (III.39) devient :
                  ������������                        ������
                          ������������+1 − ������������−1 =         ������ − 2������������ + ������������−1 + (������ ∗ + ������∗ . ������������ )
                 2. ������������                     ������������² ������+1
Et après réarrangement on obtient :
                 2������                        ������      ������������            ������      ������������
                        − ������∗ ������������ = ������ ∗ + ������������ 2 + 2.������������ ������������−1 + ������������ 2 + 2.������������ ������������+1                 (III.40)
                 ������������²
Le coefficient de linéarisation étant ������∗ < 0 ; ceci augmente le coefficient de ������������ .
Ce qui par conséquence permet d’augmenter la stabilité numérique.
Noter que l’équation (III.40) constitue un système d’équations algébriques linéaires qui peut
être résolu par une méthode directe pour obtenir les solutions approchées ������������∗ ; qui par la suit
est utilisée pour déterminer ������ ∗ et ������∗   l’équation (III.40) est résolue par itération pour la
détermination des valeurs exactes de ������������

      III.2.5.5.Approximation des dérivées temporelles :
D’après l’équation (III.25) les processus de convection, diffusion et le terme source sont
exprimés en fonction des valeurs nodales, donc l’équation (III.25) peut s’écrire comme :
                                    ������ ������+
                                            ������. ������. ������������   = ������(������������ , ������������+1 , ������������−1 , … )                (III.41)
                                   ������������ ������−
Où ������ est un operateur algébrique qui peut être obtenu à partir des équation(III.30) et (III.34) .


                                                           59
CHAPITRE III                            METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES


                ������+
Le terme       ������−
                    ������. ������. ������������    peut être déterminé à partir de l’expression choisie à ������(������)
considérons le cas le plus simple :
                                                                         ������+
                                                                        ������−
                                                                             ������. ������. ������������        ≃ ������. ������������ . ������������               (III.42)
Substituant (III.42) dans (III.41) :
                                                             ������
                                                                  ������. ������������ . ������������ = ������(������������ , ������������+1 , ������������−1 , … )              (III.43)
                                                           ������������
                                                                                     ������
Afin de faire l’approximation temporelle ( ������������ ), nous allons adopter les mêmes méthodes
utilisées pour les équations différentielles ordinaires :
                                              ������ ������ +1                          ������ ������ +1
                                                         ������������������
                                   ������. ������������                     ������������ =                     ������(������������ , ������������+1 , ������������−1 , … )������������
                                                          ������������
                                           ������ ������                      ������ ������
                                                                          ������
                            ������. ������������     ������������������+1        −    ������������������
                                                                   = ������ ������ +1 ������(������������ , ������������+1 , ������������−1 , … )������������                (III.44)
                                                                           ������
Ici ������������������
         représente la valeur de ������������ à                       l’instant ������������ et ������������������+1 a l’instant ������������+1
Pour calculer l’intégrale de l’équation (III.44) les variations sont supposées suivre une
distribution polynomiale de la forme :
                                                   ������ − ������ ������+1
                             ������������ ������ = ������������������+1 +                 ������������������������+1 + ⋯
                                                        ������������
                                              ������+1    ������−������ ������ +1     ������+1
                              ������������−1 ������ = ������������−1 + ������������ ������������������−1 + ⋯              (III.45)
etc …………

Selon la forme d’un polynôme ������(������)les méthodes d’approximation peuvent se classer en trois
catégories :
    - méthode explicite d’Euler.
    - méthode implicite d’Euler.
    - méthode d’Euler modifiée ou méthode Crank – Nicolson

    a- Méthode explicite globale d’Euler :
     ������(������): est un polynôme d’ordre zéro
                                          ������������ ������ ≃ ������������������
                                                                                     ������
                                                                       ������������−1 ������ ≃ ������������−1
                                                                                     ������
                                                                       ������������+1 ������ ≃ ������������+1




Les valeurs de ������������ sont exprimées en fonction des valeurs obtenues au temps antérieure (������) .
L’équation (III.44) devient :
                                               1
                           ������������������+1 − ������������������ =   . ������(������������������ , ������������−1 , ������������+1 )������������
                                                                 ������       ������
                                                                                       (III.46)
                                                                       ������������������




                                                                                     60
CHAPITRE III                       METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES



     b- Méthode implicite globale d’Euler :
������(������): est un polynôme d’ordre zéro
                                       ������������ ������ ≃ ������������������+1
                                                       ������+1
                                      ������������−1 ������ ≃ ������������−1
                                                       ������+1
                                      ������������+1 ������ ≃ ������������+1




Les valeurs de ������������ sont éxprimées en fonction des valeurs au temps (������ + 1 ).
L’équation (III.44) s’écrit donc :
                                                1
                          ������������������+1 − ������������������ = ������������������ . ������(������������������+1 , ������������−1 , ������������+1 )������������
                                                                       ������+1     ������+1
                                                                                                         (III.47)

    c- Méthode de Crank – Nicolson :
������(������): Suit un polynôme en premier ordre :
                                                           ������������������+1 − ������������������
                                         ������������ ������ =     ������������������+1
                                                         +                    (������ − ������ ������+1 )
                                                                   ������������
                                                                ������+1       ������
                                                    ������+1   ������������−1 − ������������−1
                                      ������������−1 ������ = ������������−1 +                       (������ − ������ ������ +1 )
                                                                     ������������
                                                                ������+1       ������
                                                    ������+1   ������������+1 − ������������+1
                                      ������������+1 ������ = ������������+1 +                       (������ − ������ ������ +1 )
                                                                     ������������




Equation (III.44) s’écrit donc :
                                          1          ������ ������ +1 −������ ������ ������ ������−1 −������ ������−1 ������ ������+1 −������ ������+1
                                                        ������        ������    ������ +1    ������      ������ +1    ������
                   ������������������+1 − ������������������ = ������������������ . ������                   ,               ,                   (III.48)
                                                            2                2                2
D’autres méthodes peuvent être obtenus en utilisant des polynômes d’ordre élevé pour ������(������).

      III.2.6.Condition aux limites :
      La présence de la diffusion rend les coordonnées spatiales x , des coordonnées en
« double direction « , et par la suite le problème est considéré comme un problème aux
frontières .




                                                                  61
CHAPITRE III                            METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES



                                         ������. ������. ������                    ������. ������. ������

                                                                                        Convectio
                                                                                        n



                              ������ − 1                         ������                         ������ + 1
     ������
                                                                                                    Diffusion

                                                                                                     ������      ������������
                                                                                                         Г .
                                                                                                    ������������ ������ ������������


Figure. III.14. Coordonnées double direction (diffusion)

Donc les conditions aux limites doivent être prescrites. En général, les conditions aux limites
se divisent en deux catégories :
        - valeur prescrite aux frontières ������������
                             ������������
        - gradient prescrite ������������ aux frontières qui représente les flux de diffusion.
                                              ������
L’indice ������ représente la frontière.

          III.2.6.1.Valeur prescrite ������������:
        Réécrivant l’équation (III.25) qui représente l’équation différentielle intégrée dans le
volume de contrôle :
   ������ ������+                                            ������������        ������������       ������+
           ������������������������ = −[ ������������������)+ − ������������������ − + [ Г������ ������������ − Г������ ������������ )− + ������− ������������ ������������    (III.49)
  ������������ ������−                                                         +

La valeur de ������− à ������ −est préscrite à la frontière :
������− = ������������             donc : ������. ������. ������ − = ������. ������−. ������������
Les équations (III.29) et (III.30) pour ������ = 1 :
1
  . ������. ������− . ������1 + ������0 Est remplacée par (������. ������−. ������������ )
2
                       ������������
Le gradient ( ������������ ) est exprimé par exemple comme :
                                          ������������   ������1 − ������������
                                         ( )− =
                                          ������������     ∆������
                                                       2



                 ������−




                                  ������−                 ������+
          ������������



                               Figure. III .15 : conditions aux limites (valeurs prescrite)




                                                            62
CHAPITRE III                METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES



       III.2.6.2.Gradient prescrit :
      Dans le cas ou la frontière est une paroi, le gradient est prescrit ; plusieurs cas peuvent
se présenter tel que :
                                                                      ������������
       -dans le cas de transfert de chaleur avec paroi adiabatique :������������ = 0
                                                                               ������

       - dans le cas de transfert de chaleur avec un flux de chaleur : ������������ = −������ ������∞ − ������������


      III.3.Solution des équations algébriques (discrétisées) :
      La discrétisation des équations différentielles régissant les phénomènes d’écoulement
permet de transformer les variation continues en valeurs discretes données par des équations
algébriques (III.22) (III.31) ; (III.34) et (III.40) . Ces équations peuvent se mettre sous la
forme suivante :
                                     ������������ . ������������ =        ������������ . ������������ + ������������

                                           ������������ . ������������ = ������������ . ������������ − ������������                    (III.50)

Où les coefficients ������������ , sont des coefficients qui tiennent compt de l éffet de la convection, la
diffusion, et la source de l’équation différentielle. et ������������ = ������������ (������������. ������������. ������������)
L’équation (III.50) représente un système d’équations algébriques couplées qui s’écrit sous
forme matricielle :
                                      . . . .                   .
                                      . ������������ . ������������ = ������������ . ������������ − ������������                  (III.51)
                                      . . . .                   .
      Il est à noter ici que la construction des équations discrétisées a permet d’écrire ces
équation sous forme algébrique (III.50) qui peuvent être résolu par n’importe quelle méthode
de résolution des équations algébriques simultanées
    En pratique les méthodes itératives les plus utilisées pour la résolution des problèmes
multi – dimensionnels sont :
    - la méthode de Gauss – Siedel (résolution point par point)
    - la méthode de résolution ligne par ligne d’élimination de Gauss (algorithme de la
        matrice tri diagonale TDMA).




                                                     63

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Methode Numerique De Resolution Des Equations De Navier Stockes(Matene Elhacene)

  • 1. CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOCKES MATENE ELHACENE Ingénieur d’état en génie climatique Inscrit première année magister (post de graduation) E-mail : elhacenematene@gmail.com TEL : +213 771 403 380 ALGERIE Janvier 2010 46
  • 2. CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES III.1.Introduction et rappel des équations de base : III.1.1.Introduction : Au chapitre 2, les équations de base régissant les phénomènes d’écoulement de fluide, de transfert de chaleur ou de masse ont été établis. On savait que pour certains cas d’écoulements simples une solution analytique exacte est possible. Pour le cas général des écoulements turbulents, le système d’équations de Navier-Stokes ne peut être résolu directement vu la non-linéarité des équations et l’apparition des contraintes de Reynolds (ρ������������ ������������ ) de la turbulence comme nouvelles inconnues dans les équations de transport. Le système d’équations est fermé à l’aide des modèles de turbulence décrits en chapitre 2. Les équations différentielles développées décrivent les principes de conservation de la masse, des quantités de mouvement et de l’énergie ; dans un volume de contrôle de l’écoulement, elles se traduisent par une balance de flux de masse ou d’énergie .Considérant un flux J qui influe sur une variable dépendent de l’écoulement (fig. III.1) le flux net ������������ ������ ������������ ������ ������������ ������ traversant le volume de contrôle est : ������������������. ������ = + + ������������ ������������ ������������ ������������ ������������������ ������������ ������������ + ������������ ������������ ������������ Figure. III.1 – Flux à travers un volume de contrôle. III.1.2.Rappel des équations de base : III.1.2.1.Equations des quantités de mouvement : L’équation différentielle décrivant la conservation des quantités de mouvement pour un écoulement de fluide newtoniens s’écrit : ������������ ������ ������������ ������ ������������ ������ ������������ ������������ ������ ������ + ������������ = − ������������ + ������������ + ������[������������ (������������ ������ + )] (III.1) ������������ ������������ ������ ������ ������ ������ ������������ ������ Considérons ������ comme étant la composante axiale de la vitesse ; l’équation des quantités de mouvement suivant la direction ������, peut être écrite sous la forme suivante : ������ ������������ ������������ + ������������������ ������. ������. ������ = ������������������ ������. ������������������������ ������ − + ������������ (III.2) ������������ ������������ Ou ������������ : est la forme de volume dans la direction des ������. III.1.2.2.Equation de continuité : L’équation différentielle décrivant le principe de conservation de la masse est : ������������ + ������������������ ������. ������ = 0 (III.3) ������������ 47
  • 3. CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES III.1.2.3. Equations de Reynolds pour les écoulements turbulents : L’équation (II.2.9) décrit le transport des contraintes de Reynolds (-ρ ������������ ������������ ) qui apparaissent dans les équations de Navier-Stokes en utilisant l’approche statistique de Reynolds. Ces termes sont exprimés par les modèles mathématiques de turbulence décrits au chapitre 2. III.1.2.4.Equation de l’énergie cinétique : Les modèles de turbulence populaires à deux-équations ( Lander et Spalding 1972 , 1974) utilisent l’équation de transport de l’énergie cinétique de turbulence (II.2.11) , qui peut être écrite sous la forme suivante : ������ ������������ + ������������������ ������. ������. ������ = ������������������ Г������ . ������������������������ ������ + (������ − ������������) (III.4) ������������ Où : Г������ : est un cœfficient de diffusion de ������ ; ������ : est le taux de génération de l’énergie cinétique ������ ; ������ : est le taux de dissipation de l’énergie cinétique ������. Le terme (������ − ������������)représente la source de l’équation. Une équation similaire décrit les variations de la variable ������. III.1.2.5. Equation de l’énergie : L’équation de l’énergie contient un nombre important d’influente. On s’intéresse ici beaucoup plus à la forme de l’équation qu’aux détails. Donc il sera suffisant de considérer quelques cas simples : Pour un écoulement permanent ou la dissipation visqueuse est négligée l’équation s’écrit : ������������������ ������. ������. ������ = ������������������ ������. ������������������������ ������ + ������������ (III.5) Où ������: est l’entalpie spécifique ; ������ : est le coefficient de conductivité thermique ; T : est la température ; ������������ : est le taux volumétrique de génération de chaleur. Selon la loi de Fourier du transfert de chaleur par conduction, le terme (������������������ ������. ������������������������ ������ ) représente l’influence de chaleur par conduction dans l’écoulement. Pour des gaz parfaits et pour des solides et des liquides on peut écrire : ������. ������������������������ ������ = ������������������������ ������ (III.6) Avec ������ : est la chaleur spécifique à pression constante. L’équation de l’énergie devient : ������ ������������������ ������. ������. ������ = ������������������ ������ . ������������������������ ������ + ������������ (III.7) Dans le cas où ������ est constante, la relation ������ = ������(������)est : ������ = ������. ������ (III.8) On peut écrire : ������ ������ ������������������ ������. ������. ������ = ������������������ ������ . ������������������������ ������ + ������������ (III.9) Dans ce cas la température, T, ou l’enthalpie ������ peut être considérée comme variable dépendante. La situation de transfert de chaleur par conduction permanent est obtenu en posant (������ = 0 ) ; donc : ������������������ ������. ������������������������ ������ + ������������ = 0 (III.10) 48
  • 4. CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES III.1.2.7.Forme générale des équations : Les équations différentielles (III.2) a (III.5) décrivant les variations des déférentes variables de l’écoulement (������, ������,T et ������) peuvent être écrit sous la forme générale suivante : -en notation vectorielle : ������ ������������ + ������������������ ������. ������. ������ = ������������������ Г������ . ������������������������ ������ + ������������ (III.11) ������������ -en notation tensorielle : ������ ������ ������ ������������ ������������ + ������������ ������. ������. ������ = ������������ Г������ . ������������ + ������������ (III.12) ������������ ������ ������ ������ ������ ������������ : Taux de change ou accumulation. ������������ ������ ������. ������. ������ : Flux de convection ������������ ������ ������ ������������ Г������ . ������������ : Flux de diffusion ������������ ������ ������ Où : ������ : est la variable dépendante générale qui peut être la vitesse. U, l’énergie cinétique de turbulence ; ������, sa dissipation , ������, l’entalpie ������,ou la température ,T. Г������ : est le coefficient de diffusion de ������ ������������ : est le terme de la source. Les termes de l’équation généralisée (III.12) sont regroupés dans le tableau (III.1) pour les différentes équations. L’avantage d’écrire les équations différentielles décrivant l’écoulement sous la forme générale (III.12) est de construire une procédure numérique générale qui s’applique pour les différentes équations en considérant les conditions aux limites spécifiques. Avant de passer à la construction de cette procédure, l’équation (III.12) doit être discrétisée. Tableau III.1. termes de l’équation généralisée (III.12) Equation Variable ������ Coefficient de Terme de source ������������ diffusion Quantité de ������������ ������������������������ = ������ + ������������ ������ ������������������ ������������ mouvement ������������ + ������������������������ . − ������������������ ������������������ ������������������ Continuité 1 0 0 Energie ������ ������������ ������������ . ������1 − ������������ cinétique ℑ������ Dissipation ������ ������������ ������ (������ . ������ . ������ − ������2 . ������. ������) d’énergie ℑ������ ������ ������ 1 III.2.Discrétisation des équations différentielles [90] : Après avoir sélectionné les équations différentielles à résoudre, il est nécessaire de transformer ces équations différentielles en équations algébriques ou les variations continues des variables de l’écoulement sont représentées par des valeurs à des ponts discrets dans le temps et dans l’espace. Les locations discrètes dans l’espace sont représentées par des points nodaux ( ou nœuds) choisis dans une grille numérique qui subdivise le domaine de l’écoulement .selon la nature et la géométrie de l’écoulement , la grille numérique peut appartenir à l’une des familles de grilles suivantes et qui sont représentées dans la figure (III.2). - grille rectangulaire - grille curvilinéaire et orthogonale, 49
  • 5. CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES - grille curvilinéaire non orthogonale. - Grille à subdivision arbitraire. Le choix d’une structure de grille détermine la flexibilité géométrique de la procédure numérique a utiliser et doit être fait selon la méthode de discrétisation choisie. III.2.1.Méthodes de discrétisation : La procédure de discrétisation fait des approximations aux drivées dans le temps et dans l’espace des variables de l’écoulement présente dans l’équation (III.12), à chaque nœud de la grille, a en fonctions algébriques des variables dans le nœud considéré et les nœuds en son voisinage. La discrétisation se fait en suivant l’une des quatre méthodes : - Méthode des différences finies. - Méthode des volumes finis - Méthode des éléments finis - Méthode des spectrales. Dans ce qui suit on se limite a examiner uniquement les méthodes les plus utilisées dans le domaine de la dynamique et la thermique des écoulements de fluides qui sont les méthodes des différences finies et des volumes finis. Pour plus d’informations sur les autres méthodes, on peut consulter Patankar (1980) et Aston (1991). Figure III.2 : Arrangement des grilles numériques de discrétisation 50
  • 6. CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES DISCRITISATION : Transformation des équations différentielles continues en équations algébriques discrètes Méthode des Méthode des Méthode des Méthode différences volumes finis éléments finis spectrale finies RESULTATS Equations discrétisées pour chaque nœud Figure. III.3-méthode de discrétisation ą������ . ������������ = ������ ą������ . ������������ + ������ (III.13) ������: Represente la sommation sur les nœuds en voisinage du nœud P ; ą������ : Coefficient de l’équation qui tient compte des effets combinés de l’accumulation, le transport par convection et diffusion et du terme source dans l’équation (III.12). ������ : représente un part du terme source, ������������ . La description des quatre principales méthodes de discrétisation des équations différentielles nécessite l’examen de deux méthodes numériques fondamentales qui constituent une base de travail pour ces méthodes. il s’agit de : - la formulation en série de Taylor - la méthode des résidus. Dans les sections qui suivent nous allons examiner en particulier la méthode des différences finies et celle des volumes finis. Cette dernière méthode a été classée par la méthode utilisée dans la littérature pour la résolution des problèmes de la thermo et de la dynamique des fluides. 51
  • 7. CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES III.2.2.Formulation en série de Taylor : C’est la procédure la plus simple et la plus utilisée pour exprimer les dérivées dans les équations différentielles en fonction des séries de Taylor. Pour expliquer la méthode nous allons l’illustrer dans l’exemple montré sur la figure III.4. (������ − 1) (������) (������ + 1) ) ������������ ������������ x W P E Figure. III.4-nœuds de discrétisation en séries de Taylor P: nœud E: East W: West L’expansion des séries de Taylor autour de nœud P, permet d’écrire : ������������ ������ 2 ������ ������ ������ 2 ������������+1 = ������������ + ( ������������ )������ . ������������ + ( ������������ 2 )������ . +⋯ (III.14) 2! ������������ ������ 2 ������ ������ ������ 2 ������������−1 = ������������ − ( ������������ )������ . ������������ + ( ������������ 2 )������ . 2! − ⋯ (III.15) Notant ici que les termes du troisième ordre sont négligés. La différence et la somme des deux équations permet d’obtenir : ������������ ������ −������ ( )������ = ������+1 ������−1 (III.16) ������������ 2������������ ������ 2 ������ ������ ������+1 +������ ������−1 −2������ ������ ( ������������ 2 )������ = (III.17) ������������ 2 Les relations (III.16) et (III.17) représentent un schéma de discrétisation aux différences centrées. D’autres schémas peuvent être obtenus. III.2.3.Méthode des résidus : La méthode des résidus est une méthode numérique très puissante et efficace qui permet la résolution des équations différentielles. Soit une équation différentielle représentée par : ������ ������ = 0 (III.18) Supposant ������ comme une solution approchée de l’équation (III.18) qui contient un nombre de paramètres (ą������ ) ; par exemple : ������ = a0 + a1 x + a2 x² + ⋯ + am x m (III.19) La substitution de (III.19) dans (III.18)donne un résidu tel que : ������ ������ = ������ (III.20) L’objectif est de maintenir le résidu proche de zéro.Donc on considère une fonction de balance ������ telle que : ������. ������. ������������ = 0 (III.21) L’intégration se fait sur le domaine d’intérêt. ������ étant une fonction de balance .En utilisant une succession de fonction, on peut générer plusieurs équations algébriques qui permettent d’évaluer les paramètres (ą������ ) et par la suite déterminer la solution de l’équation différentielle (III.18).Plusieurs méthodes ont été développées selon les différentes classes de fonction de balance ������. 52
  • 8. CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES III.2.4.Méthode des différences finies : La méthode des différences finies est la méthode la plus directe pour la discrétisation des équations différentielles décrivant une variable d’écoulement ������ . les variations de la variable ( ������ ) sont exprimées par des fonctions des distances ������������������ dans les directions des coordonnés et sont liées à des nœuds choisis dans la grille numérique. Considérons l’équation générale (III.12) dans le cas d’un écoulement unidimensionnel : ������ ������ ������² ������������ + ������������ ������. ������. ������ − ������������ ² Г������ . ������ − ������������ = 0 (III.22) ������������ D’après les les équations (III.16) et (III.17) et en se référant à la figure (III.5) , l’équation (III.22) s’écrit donc : ������ ������ −������ 0 ������ ������ ������ ������+1 −������ ������−1 ������ ������+1 +������ ������−1 −2������ ������ ������ + (������. ������)������ − (Г������ )������ − (������������ )������ = 0 (III.23) ������������ 2������ ������ ������������ 2 NW N NE W P E (������ − 1) ������������ (������) ������������ (������ + 1) −1 SW S SE Figure. III.5 grille pour discrétisation par la méthode des différences finies Daun l’équation (III.23) les dérivées partielles et temporelles ont été approximées par des différences centrées ou avancées. D autres formulations sont possibles. La méthode d’approximation des dérivées temporelles permet de différenties entre les méthodes de discrétisation et a des conséquences sur l’algorithme de solution. ce point sera traité en section (III.2.5.5). III.2.5.Méthode des volumes finis : La méthode des volumes finis ou volume de contrôle est une version spéciale de la méthode des résidus. Le domaine de calcul est subdivisée en subdomaines ou à des volumes de contrôle finis ; Il suffit de poser la fonction de balance, ������ , égale à l’unité ( ������ =1) dans un subdomaines et égale à zéro (������ = 0) ailleurs . L intégration de l’intégration de l’équation (III.21) donnant le résidus R doit être égale à zéro, dans un volume de contrôle. Dans la littérature, la méthode des volumes finis à été qualifiée comme la plus utilisée parmi les méthodes de discrétisation. Dans ce qui suit nous allons l’examiner à travers le traitement de l’équation différentielle généralisée (III.22) dans le cas d’un écoulement à une dimension ; Il est à noter ici que nous avons considérer une seule dimension pour raison de simplifier la procédure toutefois, La même procédure s’applique pour les autres dimensions. III.2.5.1.Principe de méthode : L équation à discrétiser est : ������ ������ ������ ������������ ������. ������ + ������������ ������. ������. ������ = ������������ Г������ . ������������ + ������������ (III.24) ������������ 53
  • 9. CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES La méthode consiste à subdiviser le domaine de calcul (volume géométrique de l’écoulement) en petits volumes de contrôle tel que chaque nœud est entouré par un seul volume de contrôle. Considérons le cas d’un écoulement à une dimension : −������ +������ P x ������0 ������ ������ Volume de contrôle Figure .III .5 : Arrangement des volumes de contrôle La discrétisation de l’équation (III.24) ne s’obtient pas par substitution des expressions des différences dans l’équation différentielle (III.24). Par contre, cette équation est intégrée le long du volume de contrôle ; d’où : ������ ������+ ������������ ������������ ������+ ������������������������ + [ ������������������)+ − ������������������ − = [ Г������ − Г������ ) + ������ ������������ (III.25) ������������ ������− ������������ + ������������ − ������− ������ L’équation (III.25) est une équation « intégro – différentielle « exacte qui exprime une balance entre les flux convectif et le flux diffusif. La source et le taux d’accumulation en volume intégré. Ceci constitue une propriété importante de cette approche, qui est la conservation. ������ Pour S + = 0 et ������������ = 0 , il est clair que le flux sortant de la face d’un volume de contrôle représente le flux entrant dans le volume de contrôle voisinant. D’où le principe de la conservation tout le long du domaine de calcul. Une généralisation du cas à une dimension considéré ici s’obtient comme suit : ������ Ecrivant l’équation: ������������ ������������ + ������������ ������ − ������ Г������ ������������������������ ������ = ������������ L’intégration sur un volume de contrôle donne : ������ ������������ ������������ + ������(������ ������ − Г������ ������������������������ ������)������������ = ������������ ������������ (III.26) ������������ ������ (������) ) Figure. III.7- Volume de contrôle (V) 54
  • 10. CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES Le théorème de Gauss est utilisé pour transformer les intégrales de volume en intégrales de surface : ������������ ������������ = ������ ������ ������������ (III.27) L’équation (III.26) s’écrit donc : ������ ������. ������. ������������ + (������. ������ − Г������ . ������������������������ ������)������ ������������ = ������������ . ������������ (III.28) ������������ III.2.5.2.Définition des nœuds : ������������ Du à la présence du flux de diffusion (Г������ . ������������ ) la voleur de la variable ������ dans un nœud est influencée par les valeurs des nœuds voisinant. Flux de U U convection ������������−1 ������������ ������������+1 Flux de diffusion Figure. III.8- convection et diffusion a un nœud Les nœuds sont placés au centre de chaque volume de contrôle ������������−1 ������������ ������������−1 Figure. III.9- position des nœuds dans les volumes de contrôle Cet arrangement permet de définir des flux dans les surfaces des volumes. Ces flux dépendent des valeurs nodales au centre des volumes diffusion est négligeable ou absente. III.2.5.3.Approximation spatiale : Pour la simplicité on considère l’équation (III.25) dans le cas : ������ - permanent : ������������ = 0 - terme source : ������������ = 0 ������������ ������������ (������. ������. ������)+ − (������. ������. ������)− = (Г������ . ������������ )+ − (Г������ . ������������ )− (III.29) L’équation (III.29) ne peut être résolue telle qu’elle est. Les valeurs de et les dérivées le long des faces de volume doivent être exprimées en fonction des valeurs de dans les nœuds voisinants. 55
  • 11. CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES D’une façon générale la variation ������(������) est supposée de suivre l’une des trois distributions : - uniforme ; - linéaire ; - polynominale ; Considérons comme exemple, une variation linéaire entre les nœuds : ������(������) ������ ������ − 2 ������ − 1 ������ ������ + 1 ������ + 2 ������ + 3 Figure. III -10 : variation linéaire de (x) ������ ������+1 −������ ������ ������ ������ = ������������ − (������ − ������������ ) si ������������ < ������ < ������������+1 ������ ������+1 −������ ������ ������ ������ −������ ������−1 ������ ������ = ������������−1 + (������ − ������������ ) si ������������−1 < ������ < ������������ ������ ������ −������ ������−1 Les faces ������− et ������+ du volume de contrôle sont situées a mi – distance entre les nœuds ������������+1 ; ������������ et ������������−1 . Pour ������ = ������������������ , nous avons : ������ ������+1 +������ ������ ������ ������ +������ ������−1 (������. ������. ������)+ = ������. ������+ + ; (������. ������. ������)− = ������. ������− + 2 2 ������������ ������ ������+1 −������ ������ ������������ ������ ������ −������ ������−1 Г������ ≃ Г������+ ; Г������ ≃ Г������ − ������������ + ������������ + ������������ − ������������ − L’équation (III.29) devient pour ������������ = ������������������: ������������+ ������������− Г������ Г������ ������������+1 + ������������ − ������������ + ������������−1 = ������������ ������������+1 − ������������ − ������������ ������������ − ������������−1 (III.30) 2 2 Pour Г������ = ������������������ et ������ = ������������������ , l’équation (III.30) s’ écrit : ������������ Г������ ������������+1 − ������������−1 = ������������+1 − 2������������ + ������������−1 (III.31) 2 ������������ Qui peut se mettre sous la forme suivante : ������0 . ������������ = ������1 . ������������+1 + ������2 . ������������−1 La même équation à été obtenu par des différences finies a la section (III. 2.4). En générale, la méthode des volumes finis ne donne pas les mêmes équations discrétisées que les différences finies. Appliquant maintenant l’équation (III.31) dans un cas simple ou uniquement trois nœuds sont considérés. 56
  • 12. CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES ������ ������ ������2 ? ������1 ������3 ������x ������x Les valeurs de ������1 , et ������3 sont utilisée comme conditions aux limites . L’équation (III.31) devient : 1 Г������ . ������. ������ ������3 − ������1 = ������ − 2������2 + ������1 2 ������������ 3 et : 1 ������. ������. ������������ 1 ������. ������. ������������ ������2 = . 1− ������3 + . 1 + ������1 …. 2 2Г������ 2 2Г������ On défini : ������. ������. ������������ ������ = ������ Г������ ������ : est le nombre de Peclet qui représente le rapport entre la convection et la diffusion . ������ Donc : 1 ������ 1 ������ ������2 = 2 . 1 − 2������ ������3 + 2 . 1 − 2������ ������1 …. (III.32) Les variations de ������ entre les limites frontières ������1 et ������3 sont représentées en fonction du nombre ������ dans la figure (III .11). ������ Figure. III.11 : Solution exacte pour le problème convection-diffusion a une dimension Les formulations utilisées ci – dessus peuvent crée des équations algébriques qui sont physiquement non réalistes .Une solution consiste à utiliser des distributions polynominales, l’une des approximations les plus utilisées est basée sur un polynôme de premier ordre dite « Upwind «. Elle est généralement utilisée pour le flux convectif. 57
  • 13. CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES ������������ ������������+1 ������������−1 ������+ ������− ������ − 1 ������ ������ + 1 ������− ������+ Figure. III.12 : Approximation UPWIND pour le flux de convection D’après la figure (III.12), on peut écrire les approximations suivantes : ������ ������ = ������������−1 si ������������−1 < ������ < ������������ et ������ > 0 ������ ������ = ������������ si ������������ < ������ < ������������+1 et ������ > 0 L’utilisation de l’approximation « UPWIND « pour la convection, et une approximation linéaire pour la diffusion dans l’équation (III.29) résulte en : ������ −������ ������ −������ ������. ������+. ������������ − ������. ������−. ������������−1 = Г������+ . ������+1 ������ − Г������ −. ������ ������������ ������−1 (III.33) ������������ Pour ������ = ������������������ et Г������ = ������������������ 1+������ 1 ������������ = 2+������������ . ������������−1 + 2+������ . ������������+1 (III.34) ������ ������ 1 Noter que pour ������ = 0 ; ������ ������������ = 2 (������������−1 + ������������+1 ) Et lorsque ������ ⟼ ∞ ; ������ ������������ ⟼ ������������−1 La formulation « UPWIND » garantie un réalisme physique des équations quelque soit les valeurs du nombre de Peclet ������ ; mais l’ordre inférieur du polynôme utilisé peut introduire ������ des erreurs numériques considérables surtout dans le cas les problèmes à deux et trois dimension. III.2.5.4.Traitement du terme source ������������ : Le terme source ������������ présent dans l’équation (III.24) dépend d’une facon générale d’un certain nombre de variable et de constantes. Dune manière générale en peut écrire : ������������ = ������(������) (III.35) Dans plusieurs situations des phénomènes d’écoulement l’expression (III.35) peut s’écrire : ������������ = ������ + ������. ������ ������ (III.36) 58
  • 14. CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES Les cas suivants peuvent se présenter : - Pour ������ > 0 : ������������ représente la génération de la chaleur par réaction chimique . - Pour ������ < 0 : ������������ représente l’extraction de l’énergie par frottement . ������ ������+ Si ������(x) est exprimée par une relation linéaire de (x) : ������ + ������������ . ������������ ≃ ������− [������ + ������. ������ ������ (������)]������������ − Sans perdre beaucoup de précision, cette expression peut être écrite : ������ + ������ . ������������ ≃ ������������ . ������������ ≃ (������ + ������������������ )������������ ������ − ������ (III.37) D’une façon générale, partant sur la base d’un point de vue numérique, la non-linéarité du terme ������������ diminue la stabilité de la procédure numérique .pour cela, le terme ������������ doit être linéarisé. Soit ������������∗ une valeur approchée ou supposée de ������������ . Le processus de linéarisation de ������������ permet de substituer ������������ = ������ + ������. ������������������ Par son approximation linéaire : ������������ = ������ ∗ + ������∗ . ������������ (III.38) Figure. III.13 : Linéarisation de ������������ ������ ������ ������������ Considérons l’équation (III.24) dans le cas permanent : ������������ ������. ������. ������ = ������������ (Г������ . ������������ ) + ������������ Qui peut être écrite selon (III.31) : ������������ Г������ ������������+1 − ������������−1 = ������������ ������������+1 − 2������������ + ������������−1 + ������������ . ������������ (III.39) 2 ������ ������������ = ������ + ������������ Est remplacé par son terme linéarisé ������������ = ������ ∗ + ������∗ . ������������ En divisant par ������������, l’équation (III.39) devient : ������������ Г������ ������������+1 − ������������−1 = ������ − 2������������ + ������������−1 + (������ ∗ + ������∗ . ������������ ) 2. ������������ ������������² ������+1 Et après réarrangement on obtient : 2Г������ Г������ ������������ Г������ ������������ − ������∗ ������������ = ������ ∗ + ������������ 2 + 2.������������ ������������−1 + ������������ 2 + 2.������������ ������������+1 (III.40) ������������² Le coefficient de linéarisation étant ������∗ < 0 ; ceci augmente le coefficient de ������������ . Ce qui par conséquence permet d’augmenter la stabilité numérique. Noter que l’équation (III.40) constitue un système d’équations algébriques linéaires qui peut être résolu par une méthode directe pour obtenir les solutions approchées ������������∗ ; qui par la suit est utilisée pour déterminer ������ ∗ et ������∗ l’équation (III.40) est résolue par itération pour la détermination des valeurs exactes de ������������ III.2.5.5.Approximation des dérivées temporelles : D’après l’équation (III.25) les processus de convection, diffusion et le terme source sont exprimés en fonction des valeurs nodales, donc l’équation (III.25) peut s’écrire comme : ������ ������+ ������. ������. ������������ = ������(������������ , ������������+1 , ������������−1 , … ) (III.41) ������������ ������− Où ������ est un operateur algébrique qui peut être obtenu à partir des équation(III.30) et (III.34) . 59
  • 15. CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES ������+ Le terme ������− ������. ������. ������������ peut être déterminé à partir de l’expression choisie à ������(������) considérons le cas le plus simple : ������+ ������− ������. ������. ������������ ≃ ������. ������������ . ������������ (III.42) Substituant (III.42) dans (III.41) : ������ ������. ������������ . ������������ = ������(������������ , ������������+1 , ������������−1 , … ) (III.43) ������������ ������ Afin de faire l’approximation temporelle ( ������������ ), nous allons adopter les mêmes méthodes utilisées pour les équations différentielles ordinaires : ������ ������ +1 ������ ������ +1 ������������������ ������. ������������ ������������ = ������(������������ , ������������+1 , ������������−1 , … )������������ ������������ ������ ������ ������ ������ ������ ������. ������������ ������������������+1 − ������������������ = ������ ������ +1 ������(������������ , ������������+1 , ������������−1 , … )������������ (III.44) ������ Ici ������������������ représente la valeur de ������������ à l’instant ������������ et ������������������+1 a l’instant ������������+1 Pour calculer l’intégrale de l’équation (III.44) les variations sont supposées suivre une distribution polynomiale de la forme : ������ − ������ ������+1 ������������ ������ = ������������������+1 + ������������������������+1 + ⋯ ������������ ������+1 ������−������ ������ +1 ������+1 ������������−1 ������ = ������������−1 + ������������ ������������������−1 + ⋯ (III.45) etc ………… Selon la forme d’un polynôme ������(������)les méthodes d’approximation peuvent se classer en trois catégories : - méthode explicite d’Euler. - méthode implicite d’Euler. - méthode d’Euler modifiée ou méthode Crank – Nicolson a- Méthode explicite globale d’Euler : ������(������): est un polynôme d’ordre zéro ������������ ������ ≃ ������������������ ������ ������������−1 ������ ≃ ������������−1 ������ ������������+1 ������ ≃ ������������+1 Les valeurs de ������������ sont exprimées en fonction des valeurs obtenues au temps antérieure (������) . L’équation (III.44) devient : 1 ������������������+1 − ������������������ = . ������(������������������ , ������������−1 , ������������+1 )������������ ������ ������ (III.46) ������������������ 60
  • 16. CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES b- Méthode implicite globale d’Euler : ������(������): est un polynôme d’ordre zéro ������������ ������ ≃ ������������������+1 ������+1 ������������−1 ������ ≃ ������������−1 ������+1 ������������+1 ������ ≃ ������������+1 Les valeurs de ������������ sont éxprimées en fonction des valeurs au temps (������ + 1 ). L’équation (III.44) s’écrit donc : 1 ������������������+1 − ������������������ = ������������������ . ������(������������������+1 , ������������−1 , ������������+1 )������������ ������+1 ������+1 (III.47) c- Méthode de Crank – Nicolson : ������(������): Suit un polynôme en premier ordre : ������������������+1 − ������������������ ������������ ������ = ������������������+1 + (������ − ������ ������+1 ) ������������ ������+1 ������ ������+1 ������������−1 − ������������−1 ������������−1 ������ = ������������−1 + (������ − ������ ������ +1 ) ������������ ������+1 ������ ������+1 ������������+1 − ������������+1 ������������+1 ������ = ������������+1 + (������ − ������ ������ +1 ) ������������ Equation (III.44) s’écrit donc : 1 ������ ������ +1 −������ ������ ������ ������−1 −������ ������−1 ������ ������+1 −������ ������+1 ������ ������ ������ +1 ������ ������ +1 ������ ������������������+1 − ������������������ = ������������������ . ������ , , (III.48) 2 2 2 D’autres méthodes peuvent être obtenus en utilisant des polynômes d’ordre élevé pour ������(������). III.2.6.Condition aux limites : La présence de la diffusion rend les coordonnées spatiales x , des coordonnées en « double direction « , et par la suite le problème est considéré comme un problème aux frontières . 61
  • 17. CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES ������. ������. ������ ������. ������. ������ Convectio n ������ − 1 ������ ������ + 1 ������ Diffusion ������ ������������ Г . ������������ ������ ������������ Figure. III.14. Coordonnées double direction (diffusion) Donc les conditions aux limites doivent être prescrites. En général, les conditions aux limites se divisent en deux catégories : - valeur prescrite aux frontières ������������ ������������ - gradient prescrite ������������ aux frontières qui représente les flux de diffusion. ������ L’indice ������ représente la frontière. III.2.6.1.Valeur prescrite ������������: Réécrivant l’équation (III.25) qui représente l’équation différentielle intégrée dans le volume de contrôle : ������ ������+ ������������ ������������ ������+ ������������������������ = −[ ������������������)+ − ������������������ − + [ Г������ ������������ − Г������ ������������ )− + ������− ������������ ������������ (III.49) ������������ ������− + La valeur de ������− à ������ −est préscrite à la frontière : ������− = ������������ donc : ������. ������. ������ − = ������. ������−. ������������ Les équations (III.29) et (III.30) pour ������ = 1 : 1 . ������. ������− . ������1 + ������0 Est remplacée par (������. ������−. ������������ ) 2 ������������ Le gradient ( ������������ ) est exprimé par exemple comme : ������������ ������1 − ������������ ( )− = ������������ ∆������ 2 ������− ������− ������+ ������������ Figure. III .15 : conditions aux limites (valeurs prescrite) 62
  • 18. CHAPITRE III METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES III.2.6.2.Gradient prescrit : Dans le cas ou la frontière est une paroi, le gradient est prescrit ; plusieurs cas peuvent se présenter tel que : ������������ -dans le cas de transfert de chaleur avec paroi adiabatique :������������ = 0 ������ - dans le cas de transfert de chaleur avec un flux de chaleur : ������������ = −������ ������∞ − ������������ III.3.Solution des équations algébriques (discrétisées) : La discrétisation des équations différentielles régissant les phénomènes d’écoulement permet de transformer les variation continues en valeurs discretes données par des équations algébriques (III.22) (III.31) ; (III.34) et (III.40) . Ces équations peuvent se mettre sous la forme suivante : ������������ . ������������ = ������������ . ������������ + ������������ ������������ . ������������ = ������������ . ������������ − ������������ (III.50) Où les coefficients ������������ , sont des coefficients qui tiennent compt de l éffet de la convection, la diffusion, et la source de l’équation différentielle. et ������������ = ������������ (������������. ������������. ������������) L’équation (III.50) représente un système d’équations algébriques couplées qui s’écrit sous forme matricielle : . . . . . . ������������ . ������������ = ������������ . ������������ − ������������ (III.51) . . . . . Il est à noter ici que la construction des équations discrétisées a permet d’écrire ces équation sous forme algébrique (III.50) qui peuvent être résolu par n’importe quelle méthode de résolution des équations algébriques simultanées En pratique les méthodes itératives les plus utilisées pour la résolution des problèmes multi – dimensionnels sont : - la méthode de Gauss – Siedel (résolution point par point) - la méthode de résolution ligne par ligne d’élimination de Gauss (algorithme de la matrice tri diagonale TDMA). 63