El Gran Atractor, la misteriosa fuerza que está halando a la Vía Láctea.pptx
áLgebra abstracta unidandes
1. Notas para un curso de Algebra
Abstracta I
Camilo Sanabria y Mario Valencia-Pabon
Universidad de los Andes
Departamento de Matematicas
Bogota - Colombia.
19. nicion (Grupo): Una estructura G; ; e , que consta de un
conjunto G, una operacion binaria , y un elemento distintivo e, es un grupo,
si satisface los siguientes axiomas:
G1: es asociativa
8x; y; z 2 G(x (y z) = (x y) z)
G2: e es neutro en
8x 2 G(x e = x ^ e x = x)
G3: existencia de inversa
8x 2 G 9y 2 G(x y = e ^ y x = e)
Teorema 1.2 (Unicidad del neutro y de las inversas) Sea G; ; e un
grupo, entonces:
i) Si e0 es tal que para todo x 2 G, x e0 = e0 x = x, entonces e0 = e.
ii) Dado un x 2 G, si y; y0 2 G son tales que x y = y x = e = x y0 = y0 x,
entonces y0 = y.
Demostracion: Por hipotesis e e0 = e y por G2, e e0 = e0, luego e = e0.
Por hipotesis x y0 = e y por G2, y = y e, luego y = y (x y0), as por G1,
y = (y x) y0, pero y x = e por hipotesis, entonces por G2 y = y0. F
1.3 Notacion y observacion. En general, a G; ; e , la denotaremos
simplemente G, excepto cuando se deba especi
21. camos un nombre diferente para el elemento distintivo, lo denotaremos
22. 2 Captulo 1. Grupos
e. A x y, lo denotaremos xy, cuando sea claro el contexto, ademas dado que la
operacion binaria es asociativa, x(yz) o (xy)z lo denotaremos xyz.
Por otro lado el teorema anterior, justi
25. nicion (el neutro, la inversa) y notacion: Sea G; ; e un
grupo,
i) a e lo llamamos el elemento neutro o la identidad.
ii) Dado g 2 G, al elemento g0 2 G tal que gg0 = g0g = e, lo llamamos la
inversa, o el inverso, de g,y lo notamos g1.
1.5 Ejemplos: Las siguientes estructuras son grupos, cuya demostracion se
deja al lector.
i) Z;+; 0 , Q;+; 0 , R;+; 0 , C;+; 0 .
ii) Q; ; 1 , R; ; 1 , C; ; 1 .
iii) Zn;+n; [0]=n , donde a =n b si nja b y Zn = Z= =n.
iu) GLn(R); ; In , donde GLn(R) es el conjunto de matrices invertibles
de dimension n n.
u) S1; ; 1 , donde S1 = fz 2 C : jzj = 1g.
ui) Si V es un espacio vectorial, el conjunto de las transformaciones lineales
uno a uno, con la composicion como la operacion y la identidad como el
neutro.
Teorema 1.6 (ley cancelativa) Sea G un grupo. Si x; y; z 2 G son tales que
xz = yz, entonces x = y.
Demostracion: Si xz = yz, entonces x = xe = (xz)z1 = (yz)z1 = ye = y. F
1.7 Notacion y observacion. Si x 2 G y n 2 N, notamos:
xn =
e si n = 0
x xn1 de lo contrario
Dado que xn(x1)n = xn(xn)1 = e, entonces extendemos la notacion a todo Z
con xn = (x1)n. Cuando la operacion se denote aditiva (ver ejemplo 1.5 i)),
notaremos xn por nx, y x1 por x.
Observe que xnxm = xn+m, para todo n;m 2 Z, pero (xy)n no es necesaria-mente
igual a xnyn, por ejemplo:
Teorema 1.8 (xy)1 = y1x1
Demostracion: (xy)(y1x1) = e. F
26. Subgrupos 3
1.9 Posiblemente ya se habra dado cuenta de cual es la condicion para que
(xy)n = xnyn para todo x; y 2 G. En honor al noruego Niels Henrik Abel
(1802-1829):
1.10 De
27. nicion (Grupo abeliano): Un grupo G, en el cual la operacion
sea conmutativa (i.e. 8a; b 2 G(ab = ba)), se dice abeliano.
1.11 En el ejemplo 1.5, los grupo de i), ii), iii) y u) son abelianos, los de iu)
y u) no lo son. Si V = Rn estos dos ultimos grupos son bastante parecidos (ya
formalizaremos eso).
1.12 Ejercicios:
1. Pruebe que si G es un grupo
28. nito con identidad e y con un numero par de
elementos, entonces existe un elemento a 2 G, con a6= e, tal que a2 = e.
2. Pruebe que todo grupo G con identidad e y tal que a2 = e para todo
a 2 G, es abeliano.
3. Sea G un grupo
29. nito y sea x un elemento de G cuyo orden es n, donde n
es impar. Pruebe que existe k 2 N tal que x = (x2)k.
1.2. Subgrupos
1.13 De
30. nicion (Subgrupo): Si G; ; e es un grupo, diremos que
H; ; e0 es un subgrupo de G, y lo notaremos H G, si:
i) H G
ii) H; ; e0 es grupo
iii) = HH
1.14 Observacion a la de
31. nicion 1.13. Sea H G y h 2 H, como h =
h e0 = h e0, y h = h e entonces por la ley cancelativa, e = e0. As un subgrupo
esta unvocamente determinado por el conjunto H, pues la identidad es la misma
que en G y la operacion es la restriccion. Esto justi
32. ca nuestra notacion H G.
Por otro lado feg; fegfeg; e es subgrupo de G.
1.15 De
33. nicion (Grupo trivial, subgrupo propio)
i) Al grupo feg; ; e , lo llamamos grupo trivial.
ii) Si H G y H6= G, decimos que H es subgrupo propio de G, y lo
notamos H G.
1.16 Cada grupo de 1.5 i) es subgrupo del siguiente. Lo mismo sucede en
1.5 ii). Demostrar que un grupo es subgrupo de otro puede ser bastante en-gorroso
bajo nuestra de
35. 4 Captulo 1. Grupos
Teorema 1.17 Sea G; ; e un grupo. Las siguientes a
36. rmaciones son equi-valentes:
i) H G
ii) H no es vaco, es cerrado mediante la operacion de G, y mediante inver-si
on. Esto es:
H6= ;; 8x; y 2 H(xy 2 H); 8x 2 H(x1 2 H)
iii) H6= ;, 8x; y 2 H(xy1 2 H)
Demostracion:
i) ) ii): Como H G, e 2 H luego H no es vaco. Las otras dos condiciones
se siguen inmediatamente del hecho que H sea grupo y que la operacion en H
es la restriccion de la G.
ii) ) iii): Si x; y 2 H, y1 2 H luego xy1 2 H.
iii) ) i): Tomemos = HH, veamos que es una operacion binaria en
H. Sea x 2 H, el cual existe pues H no es vaco. Entonces e = x x1 2 H, y
as x1 = ex1 2 H. Luego si x; y 2 H, y1 2 H y xy = xy = x(y1)1 2 H,
entonces es una operacion binaria en H, as se cumple G1. Ademas, e 2 H y
tambien se cumple G2 pues = HH. Por esto ultimo vemos tambien que se
cumple G3 pues dado x 2 H, x1 2 H. F
1.3. Tabla de operacion
1.18 Dado un grupo G
37. nito podemos representar completamente la operacion
gracias a una tabla, al igual que solamos hacer tablas de multiplicacion en
los numeros naturales. Esto es, en la primera entrada (la superior izquierda),
ponemos el signo de la operacion, en el resto de la primera columna de la tabla
ponemos los elementos de G y hacemos lo mismo, y en el mismo orden, en la
primera
38. la. Luego llenamos el resto de la tabla como indica la operacion.
Por el axioma G3 sabemos que en cada
39. la debe aparecer e una vez, y por la
unicidad de la inversa, una unica vez. Segun la ley cancelativa, lo mismo sucede
con cada elemento. Este mismo fenomeno se repite con las columnas. Si el grupo
es abeliano la tabla sera simetrica. Estas pautas nos permiten generar grupos
nuevos (ver el cuadro 1.3).
Z4
+4 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
4-grupo de Klein V
e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
Cuadro 1.1: Los dos unicos grupos de cuatro elementos
41. nicion (Orden de un grupo, orden de un elemento):
i) el orden de un grupo G, que notamos ord(G) (o simplemente jGj), es el
numero de elementos de G, si G es in
42. nito notamos ord(G) = +1,
ii) el orden de un elemento g 2 G, que notamos ord(g), es el mnimo n 2 N
tal que gn = e. Si dicho n no existe notamos ord(g) = +1.
Lema 1.20 Si am = e, ord(a) j m.
Demostracion: Sea n = ord(a). Por de
43. nicion, n es el menor entero positivo
tal que an = e y por lo tanto m n. Usando el algoritmo de la division,
podemos escribir a m como m = qn + r, donde q 1 y 0 r n. Ahora,
e = am = aqn+r = (an)qar = eqar = ar. Si r6= 0, entonces se tiene una
contradiccion a la minimalidad de n. Luego r = 0 y as n j m. F
Teorema 1.21 Sea a 2 G, y H = fangn2Z. Entonces H G y ord(H) =
ord(a).
Demostracion: Como e = a0 2 H, anam = an+m 2 H y (an)1 = an, por el
teorema 1.17, H G.
Suponga que ord(a) = +1. Si i; j 2 Z con i j son tales que ai = aj , aji = e
luego j i = 0. Entonces si i6= j, ai6= aj , luego ord(H) = +1.
Ahora sea n = ord(a). Si i; j 2 f0; 1; : : : ; n1g con i j, son tales que ai = aj ,
por el lema anterior njj i, luego j i = 0, esto es i = j. Entonces n jHj. Y
si m n, y m = qn + r, con 0 r n, am = ar, luego jHj = n. F
1.22 De
44. nicion (Grupo generado por un elemento, grupo cclico):
Sea G un grupo.
i) Dado a 2 G, llamamos a fangn2Z, el grupo generado por a, y lo notamos
a .
ii) Decimos que G es cclico si es un grupo generado por un elemento.
1.23 Ejemplos.
i) Z = 1 , es un grupo cclico de orden in
45. nito.
ii) Zn = 1 , es un grupo cclico de orden n.
Ya veremos que todo grupo cclico tiene esta forma.
1.24 Ahora nos interesaremos en la estructura de los grupos cclicos, esto
es, estudiaremos como son sus subgrupos. Estos grupos, fuera de tener una
estructura bastante visualisable e intuitiva, son supremamente importantes.
Teorema 1.25 Todo grupo cclico es abeliano.
46. 6 Captulo 1. Grupos
Demostracion: Sea G = a . As dos elementos elementos arbitrarios en G,
son de la forma am, y an, con m; n 2 Z. Pero como vimos en 1.7, aman =
am+n = anam. Luego G es abeliano. F
Teorema 1.26 Un subgrupo de un grupo cclico es cclico.
Demostracion: Sea G = a y H G. Si H es el grupo trivial, H = e , es
cclico. Suponga que H no es trivial, es decir, H contiene al menos un elemento
diferente de e. Como H G y G = a , entonces todos los elementos de H
son potencias de a. Sea m el menor entero positivo tal que am 2 H. Se probara
entonces que b = am genera H, es decir, H = b . Para ello, tomemos un
elemento arbitrario c 2 H y probemos que c es una potencia de b. Como c 2 H,
H G y G = a , entonces c = an para algun n entero positivo. Por la
minimalidad de m, podemos usar el algoritmo de la division, y escribir n como
n = qm + r, donde q 0 y 0 r m. Entonces, an = aqm+r = (am)qar.
Por lo tanto, como an 2 H y (am)q 2 H puesto que am 2 H, entonces,
ar = (am)qan 2 H, puesto que H es grupo. Si r6= 0, entonces se tiene una
contradiccion a la minimalidad de m. Por lo tanto, r = 0, y n = qm, obteniendo
si que c = an = aqm = (am)q = bq, es decir, c es una potencia de b, lo cual
implica que H = b y por lo tanto H es cclico. F
Corolario 1.27 Si G = a es de orden in
48. nito.
1.28 Observacion. Todo subgrupo de Z es de la forma n = nZ = fnk :
k 2 Zg, para algun n. Aqu usamos la notacion aditiva.
Teorema 1.29 Sea G = a de orden n. Entonces:
i) Si s j n, entonces as = fe; as; a2s; : : : ; a
n1
s sg tiene tama~no n=s.
ii) Todo subgrupo de G es de la forma ar , con r 2 Z, j ar j = n
(n;r)
y ar = a(n;r) .
iii) Todo subgrupo de G es de la forma as donde s j n.
iu) El orden de todo subgrupo de G divide el orden de G.
u) Por cada divisor s de n, existe exactamente un subgrupo de G de tama~no
s, que es a
n
s .
ui) si H;K G entonces, H K si y solo si jHj j jKj.
Demostracion: Note que una vez probado ii); i), iii) y iu) son consecuencias
inmediatas, tomando s = (n; r) y recordando el teorema 1.21.
Probemos entonces ii). Ya vimos en el teorema 1.26 que todo subgrupo, de G
es de la forma ar . Ahora sea s = (n; r), entonces existe q tal que r = qs.
As ar = (as)q, luego ar as . Por otro lado existen u; v 2 Z tales que
un + vr = s luego as = (an)u(ar)v = (ar)v, y as as ar . Es claro que
49. Grupos Cclicos 7
enunciado de i) que j a(n;r) j = n
(n;r)
Probemos ahora la unicidad que se a
50. rma en u). Por lo que acabamos de ver
si s j n
n, (n; n=s) = n=s y as j a
s j = n
n=s = s. Ahora, si ar es un
subgrupo de G de orden s, entonces por ii) s = n=(n; r), luego (n; r) = n=s y
n
as, ar = a
s .
Finalmente veamos ui). Suponga que K = ak y H = ah con k; h
divisores de n, suponsicion valida en vista de u). As si H K por iu), poniendo
K como G, jHj j jKj. Ahora, si jHj j jKj. existe q tal que ord(ah)q = ord(ak),
pero por u), ord(ah) = n=h y ord(ak) = n=k, luego kq = h, as (ak)q = ah,
entonces ah ak . F
1.30 Observaciones.
i) Dado un grupo G, como todo grupo tiene por subgrupo el trivial, pode-mos
representar sus cadenas de subgrupos por un retculo (i.e. lattice, en
ingles).
ii) El resultado 1.29 iu) se pueden generalizar a todos los grupos de orden
51. nito como se vera en el Teorema de Lagrange. Con el teorema anterior
quedan completamente caracterizados los grupos cclicos (ver
52. gura 1.1),
en este momento el lector ya se puede hacer la idea de porque todo grupo
cclico es de la forma de Z, o de Zn.
PSfrag replacements
Z8
2
4
f0g
Z12
3 2
6 4
f0g
Figura 1.1: Subgrupos de Z8 y de Z12
1.31 Ejercicios:
1. Pruebe que si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entonces
HK = fhk : n 2 H y k 2 Kg es un subgrupo de G.
2. Pruebe que un grupo cclico con unicamente un generador puede tener a
los sumo dos elementos.
3. Pruebe que si G es un grupo abeliano con identidad e, entonces todos los
elementos x 2 G tales que x2 = e forman un subgrupo de G. Generalice
al caso donde n 1 es un entero
54. 8 Captulo 1. Grupos
4. Sea G un grupo y sea a un elemento de
55. jo de G. Pruebe que Ha = fx 2
G : xa = axg es un subgrupo de G. Sea S G, y sea HS = fx 2 G :
xs = sx para todo s 2 Sg. Pruebe que HS G. Si S = G, entonces HG
es llamado el centro de G. Pruebe que HG es un grupo abeliano.
5. Pruebe que un grupo sin subgrupos propios no triviales es cclico.
6. Pruebe que un grupo que tiene un numero
57. nito.
7. Pruebe que Zp no tiene subgrupos propios no triviales si p es primo.
8. Sea G un grupo abeliano y sean H y K subgrupos cclicos
58. nitos con
jHj = r y jKj = s.
(a) Pruebe que si (r; s) = 1, entonces G contiene un subgrupo cclico de
orden rs.
(b) Pruebe que G contiene un subgrupo cclico de orden [r; s] (recuerde
que [r; s] denota al maximo comun multiplo de r y s).
1.5. Grupos generados y producto directo
1.32 Dado que los subgrupos de un grupo forman un retculo, podemos buscar
los mnimos subgrupos, en la relacion ser subgrupo, que contienen un subcon-junto
de los elementos del grupo.
Teorema 1.33 Sea fHigi2J una coleccion indexada de subgrupos de G, enton-ces:
i2J
Hi G
Demostracion: Como cada Hi contiene e,
T
T i2J Hi6= ;. Ahora sean x; y 2
como y 2 y1 2 para cada i 2 J. As xy1 2 para
i2J Hi, Hi, T
Hi, Hi, todo i 2 J, esto es xy1 2
i2J Hi, luego por el teorema 1.17
T
i2J Hi G. F
CTorolario 1.34 Sea A G, con A6= ; y H = fH G : A Hg. Entonces
H G.
H2H Teorema 1.35 Sea A G, con A6= ; y H = T
fH G : A Hg. Si HA 2 H
es tal que, si H 2 H, HA H entonces HA =
H2H H G.
Demostracion: Esto es trivial, pues HA 2 H, luego
T
H2H H HA. Por otro
lado como A
T
H2H H, entonces
T
H2H H 2 H as HA
T
H2H T H, y HA =
H2H H G. F
1.36 Observacion. Los dos teoremas anteriores justi
63. Grupos generados y producto directo 9
i) Dado A G, con A6= ;. Al mnimo subgrupo que contiene A lo llamamos
el grupo generado por A, y lo notamos A .
ii) Decimos que un grupo G es
65. nito.
Teorema 1.38 Dado A G, A = fam1
1 am2
2 : : : amn
n : ai 2 A;mi 2 Zg.
Demostracion: Sea HA = fam1
1 am2
2 : : : amn
n : ai 2 A;mi 2 Zg. Como A6=
1 am2
;, HA6= ;. Si x; y 2 HA, x = am1
n e y = bp1
2 : : : amn
1 bp2
2 : : : bpq
q , para
algunos ai; bj 2 A y mi; pi 2 Z. As, y1 = bpq
q : : : bq2
2 bq1
1 , luego xy1 =
n bpq
am1
1 am2
2 : : : amn
q : : : bq2
2 bq1
1 2 HA. EntoncesHA G. Ahora como A HA,
A HA. Por otro lado un elemento arbitrario de HA es de la forma de
x, pero cada ai 2 A, luego como un subgrupo es cerrado por multiplicacion,
x 2 A . As HA A y HA = A . F
Teorema 1.39 Sea fGigi2f1;2;:::;ng una coleccion de grupos. G1G2: : :Gn
bajo la operacion ((x1; x2; : : : ; xn); (y1; y2; : : : ; yn))7! (x1y1; x2y2; : : : ; xnyn) es
un grupo.
Demostracion: La operacion es asociativa, pues la operacion de cada Gi lo es.
Si ei es el neutro de Gi, (e1; e2; : : : ; en) es el neutro para nuestra operacion. Fi-nalmente
(x1; x2; : : : ; xn)(x1
1 ; x1
2 ; : : : ; x1
n ) = (e1; e2; : : : ; en), luego cada ele-mento
tiene inversa. Esto completa la demostracion. F
1.40 De
66. nicion (Producto directo): Dada fGigi2f1;2;:::;ng una coleccion
de grupos. Al grupo G1 G2 : : : Gn bajo la operacion:
((x1; x2; : : : ; xn); (y1; y2; : : : ; yn))7! (x1y1; x2y2; : : : ; xnyn)
lo llamamos el producto directo (externo) de G1;G2; : : : ;Gn.
1.41 Cuando decamos que dos grupos tienen la misma forma, formalmente
nos referamos a lo siguiente (a esto volveremos luego con mas detalle):
1.42 De
72. smo entre
R;+; 0 y R
+; ; 1 pues ex+y = exey.
Teorema 1.44 Sea G = a . Si ord(G) = +1, G es isomorfo a Z, si
ord(G) = n, G es isomorfo a Zn.
Demostracion: Si ord(G) = +1, de
74. na : Zn ! G, por (k) = ak. Es claro que es sobreyectiva, ahora
si (m1) = (m2), entonces am1m2 = e. As si +1 = ord(G) = ord(a),
m1 m2 = 0 o m1 = m2. Si n = ord(a), por el lema 1.20, n j m1 m2 luego
m1 = m2. De esto concluimos que es biyectiva. Finalmente como ak1ak2 =
ak1+k2 , es isomor
76. 10 Captulo 1. Grupos
Teorema 1.45 Sean m; n 2 Z. Existe un isomor
77. smo entre Zm Zn y Zmn si
y solo si (m; n) = 1.
Demostracion: Por el teorema 1.44, basta ver que Zm Zn es cclico de orden
mn si y solo si (m; n) = 1. Suponga primero (m; n) = 1 y sea k = ord((1; 1)).
As (1; 1)k = (0; 0) luego m j k y n j k pero si k0 2 Z es tal que m j k0 y n j k0,
(1; 1)k0
= (0; 0) luego k es el mnimo comun multiplo de m y n, este es mn.
Entonces Zm Zn = (1; 1)
Ahora suponga que Zm Zn es cclico de orden mn con Zm Zn = (a; b) .
Entonces en particular Zm = a y Zn = b . As, si k es el mnimo comun
multiplo de m y n, (a; b)k = (0; 0) luego por el lema 1.20, mn j k. As k = mn
y (m; n) = 1. F
Corolario 1.46 Zm1 Zm2 : : : Zmn es isomorfo a Zm1m2:::mn si y solo si
(m1;m2; : : : ;mn) = 1
1.47 Los grupos abelianos
78. nitamente generados tienen una estructura par-ticular.
El siguiente teorema los caracteriza y nos dice que los Zpn, con p primo,
son como los ladrillos para construirlos. Su demostracion la pospondremos para
cuando tengamos un poco mas de experiencia, y esta nos parezca mas natu-ral.
Dicho teorema se conoce como el Teorema Fundamental de los grupos
abelianos
79. nitamente generados, y al cual nos referiremos como al teorema
TFGAFG por comodidad.
Teorema 1.48 (TFGAFG) Todo grupo abeliano
80. nitamente generado es iso-morfo
a un unico grupo de la forma Zpr1
1
Zpr2
2
: : : Zprn
n Z : : : Z,
con los pi, para i 2 f1; : : : ; ng, primos tales que pi pi+1, y los ri naturales no
nulos tales que ri ri+1 si pi = pi+1.
1.49 Ejemplos:
Qi) Si
n
i=1 pri
i es la expresion de m en potencias de primos con pi pi+1,
Zm es isomorfo a
Qn
i=1 Zpri
i
.
ii) El 4-grupo de Klein V es isomorfo a Z2 Z2.
1.50 Ejercicios:
1. Encuentre el orden del elemento (3; 10; 9) en el grupo Z4 Z12 Z15.
2. Pruebe que un grupo abeliano
81. nito no es cclico si y solo si este contiene
un subgrupo isomorfo a Zp Zp para algun primo p.
3. Pruebe que si un grupo abeliano
82. nito tiene orden una potencia de un
primo p, entonces el orden de cada elemento en el grupo es una potencia
de p.
4. Sean G, H, y K grupos abelianos
85. nicion (Permutacion): Sea A un conjunto. Una permutacion
de A es una funcion biyectiva de A en A. Al conjunto de las permutaciones de
A lo notamos SA. Si A = f1; 2; : : : ; ng, SA lo notamos Sn.
1.52 Observaciones.
i) jSnj = n!
ii) La composicion de dos permutaciones es una permutacion. La identidad
es una permutacion y la inversa de un permutacion es una permutacion.
En resumen, se tiene lo siguiente:
1.53 De
86. nicion (Grupo de Permutacion). Sea A un conjunto. Al grupo
SA; ; id , donde es la composicion, lo llamamos el grupo de permuta-ciones
de A.
Teorema 1.54 Si A = faigi2f1;:::;ng, SA y Sn son isomorfos.
Demostracion: De
87. na : Sn ! SA por ( ) : (i)7! a(i). Sea 2 SA y
de
88. na : f1; : : : ; ng ! f1; : : : ; ng por (i) = j si (ai) = aj . Como es
una permutacion tambien y () = , luego es sobreyectiva. Veri
89. car que
tambien es inyectiva es pura rutina, as que se lo dejamos al lector. Ahora:
( 0)(ai) = a0(i) = ()(a0(i)) = () (0)(ai)
as ( 0) = () (). Luego es un isomor
90. smo. F
1.55 Notacion. A la permutacion 2 Sn, la notamos
1 2 : : : n
(1) (2) : : : (n)
.
1.56 Ejemplo: S3 = fid; ; 2; ; ; 2g con id =
1 2 3
1 2 3
, =
1 2 3
2 3 1
,
2 =
1 2 3
3 1 2
, =
1 2 3
2 1 3
, =
1 2 3
3 2 1
, y 2 =
1 2 3
1 3 2
. Note
que = 2.
1.57 De
91. nicion (Orbita): Sea 2 SA y sea a 2 A. Al conjunto fk(a) :
k 2 Zg lo llamamos la orbita de a segun .
Teorema 1.58 Sea 2 SA. Las orbitas de forman una particion de A.
Demostracion: De
92. na en A la relacion por: a b si existe k 2 Z tal que
k(a) = b. As a b si y solo si b esta en la orbita de a segun . Ahora 0 = id
luego es re
exiva. Si b = k(a), entonces a = k(b), luego es simetrica.
Ahora bien si b = k1 (a) y c = k2 (b), c = k2+k1 (a), luego es transitiva.
Ahora como es relacion de equivalencia, sus clases, que son las orbitas de
forman un particion de A. F
1.59 De
94. 12 Captulo 1. Grupos
i) Una permutacion con a lo mas una orbita de mas de un elemento es un
ciclo. Si 2 SA es un ciclo tal que la orbita con mas de un elemento es
fi(a)gi2f0;1;:::;n1g, notamos por (a (a) 2(a) : : : n1(a)), y decimos
que es un n-ciclo.
ii) Una transposicion es un 2-ciclo.
iii) Dos ciclos se dicen disyuntos si sus orbitas de mas de un elemento son
disyuntas.
1.60 Ejemplo. Continuando con 1.56, en S3, = (1 2 3), 2 = (1 3 2),
= (1 2), = (1 3) y 2 = (2 3).
Lema 1.61 Todo n-ciclo se puede expresar como producto de n 1 transposi-ciones.
Demostracion: Sea 2 SA un n-ciclo, con = (a1 a2 : : : an). Tenemos entonces
= (a1 an)(a1 an1) : : : (a1a2). F
Teorema 1.62 Toda permutacion en Sn se puede escribir como producto ciclos
disyuntos.
Demostracion: Sea 2 Sn, y fOigi2f1;:::;mg la coleccion de sus orbitas. Sea
i 2 Sn tal que i(a) = Q
(a) si a 2 Oi y i(a) = a de lo contrario. As los i son
ciclos disyuntos y =
i2f1;:::;mg i (observe que como los ciclos son disyuntos
no importa el orden en que los multipliquemos, por eso tenemos el derecho de
usar la productoria aunque el grupo no sea abeliano). F
Corolario 1.63 Toda permutacion en Sn, con n 1, se puede expresar como
producto de transposiciones.
1.64 Veamos ahora que Sn se divide en dos clases disyuntas, las permutaciones
que son el producto de un numero par de transposiciones, y las que son el
producto de un numero impar.
1.65 De
96. nido por:
sg() =
Y
1ijn
(i) (j)
i j
Lema 1.66 sg() es 1 o 1.
Demostracion: si i j aparece en el denominador, en el numerador aparece o
bien (1(i)) (1(j)), o bien (1(j)) (1(i)). F
Lema 1.67 sg() = sg()sg().
97. Grupos de permutaciones 13
Demostracion:
sg() =
Y
1ijn
(i) (j)
i j
(i) (j)
(i) (j)
=
Y
iijn
(i) (j)
(i) (j)
Y
iijn
(i) (j)
i j
= sg()sg()
sg() =
Q
iijn
(i)(j)
(i)(j) , pues (i)(j)
(i)(j) = (j)(i)
(j)(i) . F
1.68 Observaciones.
i) Si 2 Sn es una transposicion, sg() = 1.
ii) Si sg() = sg() = 1, sg() = 1.
iii) sg(id) = 1, as sg(1) = sg().
Teorema 1.69 Una permutacion en Sn es el producto de un numero par de
transposiciones, o el producto de un numero impar, pero no ambos.
Demostracion: Sea 2 Sn, si es un producto par de transposiciones sg() =
1, si es un producto impar de transposiciones sg() = 1. Luego las dos
posibilidades son excluyentes. F
1.70 De
98. nicion (permutacion par, permutacion impar, subgrupo Al-ternador):
i) Una permutacion 2 Sn es par si sg() = 1, impar si sg() = 1.
ii) El conjunto de las permutaciones pares de Sn es el grupo alternador (o
alternante), y lo notamos An.
1.71 Considere un polgono regular de n vertices. Las rotaciones y las simetras
del polgono que caen sobre el mismo, al etiquetar cada vertice con un numero
del 1 al n, se pueden identi
102. car naturalmente con las rotaciones y simetras de un polgono regular
de n vertices en si mismo, se le llama el grupo diedral y se nota Dn.
1.73 Ejemplo: D4 = f0; 1; 2; 3; 1; 2; 1; 2g, donde 1 = (1 2 3 4),
1 = (1 2)(4 3), 2 = (1 4)(2 3), 1 = (1 3), 2 = (2 4) y, para i 2 f0; 2; 3g
i = i
1 (ver cuadro 1.6 y
104. 14 Captulo 1. Grupos
4 3 3
2 3 4
1 2 4 1
2
1
PSfrag replacements
id
1 2 3 4
2 3 4 1
1 2 3 4
2 1 4 3
Figura 1.2: transformaciones del cuadrado
0 1 2 3 1 2 1 2
0 0 1 2 3 1 2 1 2
1 1 2 3 0 1 2 1 2
2 2 3 0 1 2 1 2 1
3 3 0 1 2 2 1 1 2
1 1 2 2 1 0 2 3 1
2 2 1 1 2 2 0 1 3
1 1 1 2 2 1 3 0 2
2 2 2 1 1 3 1 2 0
Cuadro 1.2: Tabla de operacion de D4
1.74 Ejercicios:
1. Pruebe que Sn no es un grupo abeliano para n 3.
2. Si A es un conjunto, entonces un subgrupo H de SA es transitivo sobre
A , si para cada a; b 2 A existe 2 H tal que (a) = b. Pruebe que si A
no es un conjunto vaco, entonces existe un subgrupo
105. nito cclico K de
SA que es transitivo sobre A, tal que jHj = jAj.
3. Pruebe que para todo subgrupo H de Sn, con n 2, se cumple que todas
las permutaciones en H son pares o bien exactamente la mitad de ellas
son pares.
1.7. Coconjuntos y el Teorema de Lagrange
1.75 De
107. nimos el coconjunto iz-quierdo
de H determinado por b, que notamos bH, por:
bH := fbh : h 2 Hg
, y el coconjunto derecho por Hb := fhb : h 2 Hg.
Teorema 1.76 Sea H G. Entonces:
i) fbHgb2G es una particion de G.
108. Coconjuntos y el Teorema de Lagrange 15
PSfrag replacements
D4
f0; 2; 1; 2g f0; 1; 2; 3g f0; 2; 1; 2g
f0; 1g f0; 2g f0; 2g f0; 1g f0; 2g
f0g
Figura 1.3: retculo de subgrupos de D4
ii) Todos los coconjuntos izquierdos de H son equipotentes.
Un resultado similar se tiene para los coconjuntos derechos.
Demostracion: De
109. na en G la relacion por a b si a1b 2 H. Como e 2 H,
es re
exiva. Si a1b 2 H, (a1b)1 = b1a 2 H, luego es simetrica. Si
a1b; b1c 2 H, a1bb1c = a1c 2 H, luego es transitiva. Entonces es
relacion de equivalencia. Suponga a 2 [b] esto equivale a b1a = h para algun
h 2 H, o a = bh que es lo mismo que a 2 bH, luego [b] = bH. Con esto
concluimos i).
Ahora de
110. na f : H ! bH por f(h) = bh. Es claro que f es sobreyectiva, la
inyectividad es consecuencia inmediata de 1.6. Luego f es un biyeccion y as H
y bH son equipotentes.
Para los coconjuntos derechos considere: a b : () ab1 2 H. F
1.77 De
112. nimos el indice de H como
numero de coconjuntos izquierdos de H.
1.78 Observaciones y notacion.
i) fbHgb2G lo notamos G=H, fHbgb2G lo notamos HnG
ii) Al ndice de H lo notamos (G : H). Si (G : H) es
113. nito, entonces (G :
H) := jG=Hj.
iii) Observe que jG=Hj = jHnGj.
iu) Si a 2 bH, entonces aH = bH. De igual forma, si a 2 Hb, Ha = Hb.
Teorema 1.79 (Teorema de Lagrange) Sea G un grupo de orden
114. nito. Si
H G, entonces jHj j jGj, mas aun jGj = jHj(G : H).
115. 16 Captulo 1. Grupos
DemostraciP
on: Por el teorema 1.76:
jGj =
bH2G=H jbHj =
P
bH2G=H jHj = (G : H)jHj F
1.80 Los coconjuntos son parte fundamental de la teora del algebra, toca
entonces entenderlos y sentirlos. De esto se dara cuenta el lector a lo largo de
su estudio
1.81 Ejercicios:
1. Sean K H G grupos tales que (H : K) y (G : H) son
116. nitos. Probar
que (G : K) = (H : K)(G : H).
2. Sean H y K dos subgrupos
117. nitos de un grupo G. Sea HK un subconjunto
de G de
118. nido por HK = fhk : h 2 H; k 2 Kg. Probar que jHKj = jHjjKj
jHKj .
123. smo): Sean G y G0 dos grupos. Una funcion
: G ! G0 es un homomor
124. smo si para todo a; b 2 G se tiene que:
(ab) = (a)(b) (2.1)
2.2 Observaciones sobre de
125. nicion 2.1.
i) Note que en el lado izquierdo de (2.1) la operacion es la de G, mientras
que en el lado derecho la operacion es la de G0.
ii) Para todo par de grupos G;G0, existe al menos un homomor
132. smo trivial, 1 es le funcion identidad, y 1 es una funcion
sobreyectiva de Z en Z. Para r6= 1, r no es sobreyectiva.
ii) Sea G = G1G2: : :Gi: : :Gn un producto directo de n grupos. La
funcion proyeccion i : G ! Gi, de
133. nida por i : (g1; : : : ; gi; : : : ; gn) = gi
es un homomor
134. smo para cada i 2 f1; : : : ; ng.
iii) Sea : Z ! Zn dado por (m) = r, donde r es el residuo de la division
de m entre n.
138. nicion (Imagen, rango, imagen inversa): Sea : X ! Y una
funcion del conjunto X al conjunto Y . Sean A X y B Y .
i) La imagen [A] de A en Y bajo es el conjunto f(a) : a 2 Ag.
ii) El conjunto [X] es el rango de .
iii) La imagen inversa 1[B] de B en X es el conjunto fx 2 X : (x) 2 Bg.
Teorema 2.5 Sea : G ! G0 un homomor
139. smo de grupos. Entonces:
i) Si e es la identidad en G entonces (e) es la identidad e0 de G0.
ii) Si a 2 G, entonces (a1) = (a)1.
iii) Si H es un subgrupo de G, entonces [H] es un subgrupo de G0.
iv) Si K0 es un subgrupo de G0, entonces 1[K0] es un subgrupo de G.
Demostracion: Como a = ae, para todo a 2 G, entonces (a) = (ae) =
(a)(e). Ahora multiplicando a ambos lados por (a)1 a derecha, se tiene
que e0 = (e), que es lo que dice i).
Para ver ii), e0 = (e) = (aa1) = (a)(a1), y multiplicando a ambos lados
por (a)1 a derecha se tiene (a)1 = (a1).
Sea H G y sean (a) y (b) dos elementos en [H]. Entonces (a)(b) = (ab),
luego (a)(b) 2 [H] pues ab 2 H, esto es [H] es cerrado bajo operacion de
G0. Ahora, como e0 = (e) y (a)1 = (a1) entonces [H] G0, veri
140. cando
iii).
Sea K0 G0 y sean a; b 2 1[K0]. Entonces (a)(b) 2 K0, puesto que K0
es grupo. Ahora, la ecuacion (2.1) prueba que ab 2 1[K0]. As, 1[K0] es
cerrado bajo la operacion de G. Ademas, e0 2 K0 luego como e0 = (e), entonces
e 2 1[fe0g] 1[K0]. Y
141. nalmente si a 2 1[K0], entonces (a) 2 K0 y
(a)1 2 K0. Pero (a)1 = (a1) y as a1 2 1[K0]. Lo que completa la
demostracion de iv). F
2.6 De
156. bra sobre (a) bajo es el coconjunto izquierdo aH de H, y es el
coconjunto derecho Ha de H. Como consecuencia, las dos particiones de G en
coconjuntos izquierdos y derechos de H son la misma.
Demostracion: Se desea probar que fg 2 G : (g) = (a)g = aH.
Suponga que a; g 2 G son tales que (g) = (a). Entonces (a)1(g) = e0,
donde e0 es la identidad en G0. Por el teorema 2.5, sabemos que (a)1 =
(a1), y entonces se tiene (a1)(g) = e0. Ademas, como es homomor
157. s-mo,
(a1)(g) = (a1g), luego (a1g) = e0. Esto es a1g 2 H, o a1g = h,
para algun h 2 H, luego g = ah 2 aH. As fg 2 G : (g) = (a)g aH.
Para comprobar la inclusion opuesta, considere g 2 aH, entonces g = ah pa-ra
algun h 2 H. Esto implica (g) = (ah) = (a)(h) = (a)e0 = (a).
As g 2 fg 2 G : (g) = (a)g, luego aH fg 2 G : (g) = (a)g.
Una demostracion similar demuestra el mismo resultado para coconjuntos de-rechos.
F
Corolario 2.10 Un homomor
158. smo : G ! G0 es inyectivo si y solo si Ker() =
feg.
Demostracion: Suponga que Ker() = feg, entonces si a; g 2 G son tales que
(a) = (g), g 2 aKer(). Pero aKer() = afeg = fag. Luego g = a.
Para demostrar la implicacion inversa, suponga que es inyectiva. Por el teore-ma
2.5 (e) = e0, la identidad de G0. Pero es inyectiva, luego el unico elemento
enviado a e0 por es e, luego Ker() = feg. F
161. nicion (Subgrupo normal): Un subgrupo H de G es normal si
sus coconjuntos derechos e izquierdos coinciden, lo que notaremos por H C G.
Es decir:
H C G : () 8g 2 G; gH = Hg
2.12 Observacion. Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal.
Corolario 2.13 (al Teorema 2.9) Ker() C G para cualquier homomor
162. s-mo
con dominio G.
Teorema 2.14 H C G () 8(h; g) 2 H G; ghg1 2 H
Demostracion: Suponga que H C G. Sea h 2 H y g 2 G. Como gh 2 gH y por
de
163. nicion gH = Hg, entonces gh = h0g, para algun h0 2 H. Luego ghg1 = h0,
esto implica ghg1 2 H.
Ahora suponga que para todo h 2 H y para todo g 2 G, ghg1 2 H. Considere
algun g 2 G. Sea gh 2 gH, con h 2 H, as ghg1 2 H, o ghg1 = h0, para algun
h0 2 H, luego gh = h0g 2 Hg. As gH Hg. De forma similar establecemos
Hg gH. Luego gH = Hg. F
Corolario 2.15 H C G () 8g 2 G; gHg1 = H
2.16 Nota. Frecuentemente consideraremos la caracterizacion del teorema
2.14 y de su corolario 2.15 para hacer demostraciones.
2.17 Ejemplo: Sea S3 el grupo simetrico sobre f1; 2; 3g y sea H el subgrupo
que consiste de la permutacion identidad y de la transposicion (1 2). Entonces
H no es normal pues (2 3)1(1 2)(2 3) = (2 3)(1 2)(2 3) = (1 3) y (1 3) =2 H.
Lema 2.18 Sea H C G y sean g1; g2 2 G. Entonces g1Hg2H = (g1g2)H.
Demostracion: g2H = Hg2 as:
g1Hg2H = g1(Hg2)H = g1(g2H)H = (g1g2)H. F
Teorema 2.19 Sea H C G. Entonces el conjunto de todos los coconjuntos de
H en G es un grupo bajo la operacion que a (g1H; g2H) le asocia (g1g2)H.
El elemento identidad de este grupo es H, y el inverso de gH es g1H, para
cualquier g 2 G.
Demostracion: Por el lema anterior el conjunto de los coconjuntos es cerrado
bajo la operacion. Sea g 2 G. El subgrupo H es un coconjunto de H pues H =
eH. Ademas, gHH = gHeH = (ge)H = gH, HgH = eHgH = (eg)H = H,
gHg1H = (gg1)H = eH = H y
164. nalmente g1HgH = (g1g)H = eH = H.
As, el conjunto de todos los coconjuntos de H es un grupo. F
166. smos y el Teorema de Cayley 21
2.20 Observacion. Es interesante en este momento observar que el resultado
anterior es otra forma de caracterizar los grupos normales, es decir un subgru-po
es normal si y solo la operacion del teorema anterior resulta bien de
167. nida.
Formalmente: Sea B = fBigi2I una particion de G tal que (Bi;Bj )7! BiBj es
una operacion bien de
168. nida de B B en B. Entonces B0, la clase de e es un
subgrupo normal de G, B = G=B0 y la operacion es (g1B0; g2B0)7! (g1g2)B0
(ver ejercicio ??).
Teorema 2.21 Sean K;N G, con N C G. Entonces:
i) N K C K
ii) N C N [ K
iii) NK = N [ K = KN
iv) si K C G y N K = feg. Entonces: nk = kn; 8(n; k) 2 K N
Demostracion: Como N C G entonces por la caracterizacion 2.14, gng1 2 N,
para todo n 2 N y g 2 G. Luego si n 2 N K N y k 2 K, knk1 2 N.
As knk1 2 N K, pues knk1 2 K, de donde i) es veri
169. cado.
Como N N [ K , ii) es trivialmente concluido segun el teorema 2.14.
Para demostrar iii), observe primero que NK N [ K , con lo cual unica-mente
debemos ver que N [K NK. Ahora, un elemento h 2 N [K
es un producto de la forma n1k1n2k2 : : : nrkr, con ni 2 N y ki 2 K, para
i 2 f1; : : : ; rg. Como N C G, entonces, como se vio en la demostracion de 2.14,
si k 2 K y n 2 N, kn = n0k para algun n0 2 N. En terminos practicos esto es,
podemos correr los kis hacia la izquierda y as h = n(k1k2 : : : kr), para algun
n 2 N, luego h 2 NK, de forma similar h 2 KN. Y as la inclusion que faltaba
es veri
170. cada.
Suponga las hipotesis adicionales para iv), y sean k 2 K y n 2 N. Entonces
nkn1 2 K y kn1k1 2 N, luego (nkn1)k1 2 K y n(kn1k1) 2 N, pero
N K = feg luego nkn1k1 = e o nk = kn. F
Teorema 2.22 Sean H;K G, entonces jHKj jHKj = jHj jKj, y as (H :
H K) = jHKj=jKj si H y K son
172. na la relacion de equivalencia en HK por (h; k) (h0; k0)
si hk = h0k0, esto es si (h0)1h = k0k1, o mas aun si (h0; k0) = (gh; gk1)
para algun g 2 H K. Entonces cada una de las jHKj clases de equivalencia
es de tama~no jH Kj. Ahora considere f : H K= ! HK de
173. nida por
f([(h; k)]) = hk. As, f es biyectiva y jHKj jH Kj = jHj jKj. F
2.4. Isomor
186. smo, luego ' es transitiva.F
2.25 Observaciones.
i) Toda coleccion de grupos se puede particionar mediante la relacion '.
ii) La estructura de dos grupos isomorfos es la misma, luego podemos iden-ti
187. carlos como uno solo, pues su unica diferencia es el nombre de los ele-mentos.
2.26 Para probar que dos grupos G y G0 son isomorfos debemos:
i. De
189. smo.
iii. Probar que es biyectiva.
Note lo util que puede resultar el corolario 2.10 al teorema 2.9 para probar iii..
Teorema 2.27 Todo grupo cclico in
190. nito es isomorfo a Z;+ .
Demostracion: Sea a un generador de G, as G = fan : n 2 Zg. De
191. na :
G ! Z por (an) = n. Ahora (anam) = (an+m) = n + m = (an) + (am).
Finalmente observe que (an) = 0 si y solo si n = 0, luego es inyectiva, y
ademas dado n 2 Z, (an) = n, luego es sobreyectiva. F
Teorema 2.28 (Teorema de Cayley) Todo grupo es isomorfo a un subgrupo
de un grupo de permutaciones.
Demostracion: Sea G un grupo y SG es grupo simetrico sobre G. Si a 2 G de
192. na
a : G ! G por a(g) = ag. Ahora si a(g) = a(g0) entonces ag = ag0 luego
g = g0, y a(a1g) = g, as vemos que a es una permutacion, pues es una
biyeccion.
Sea G0 = fa : a 2 Gg, como 1
a = a1 y e = Id entonces G0 SG. Y
as mismo vemos que g7! g es un isomor
193. smo. F
2.29 Observacion. El teorema de Cayley parece decir algo bastante general.
Pero en la teora que estamos estudiando aca no es de mucha utilidad.
194. Grupo Factor 23
2.5. Grupo Factor
2.30 En el teorema 2.19 vimos que si H C G entonces el conjunto de los
coconjuntos de H bajo la operacion (aH; bH)7! abH es un grupo. Esto motiva
la siguiente:
2.31 De
195. nicion (Grupo factor): Sea G un grupo. Dado H C G el grupo de
los coconjuntos de H bajo la operacion (aH; bH)7! abH es el grupos factor
de G modulo H. Lo notaremos G=H.
2.32 Observacion. Segun el corolario 2.13 dado un homomor
197. nir el grupo factor de G modulo H. Este grupo factor
jugara un rol supremamente importante en el resto de la teora, como empe-zaremos
viendolo en el teorema fundamental del homomor
198. smo (ver teorema
2.36).
2.33 Ejemplo: Z4 Z2 es abeliano, luego todos sus subgrupos son normales,
en particular f0g Z2. Entonces (Z4 Z2)=(f0g Z2), es un grupo y ademas
es tambien abeliano, y as lo podemos clasi
200. nitamente generados (teorema 1.48). Ahora,
Z4 Z2 = f(0; 0); (0; 1); (1; 0); (1; 1); (2; 0); (2; 1); (3; 0); (3; 1)g
y
f0g Z2 = f(0; 0); (0; 1)g
si podemos G = Z4 Z2 y
H = f0g Z2
H1 = H + (1; 0) = f(1; 0); (1; 1)g
H2 = H + (2; 0) = f(2; 0); (2; 1)g
H3 = H + (3; 0) = f(3; 0); (3; 1)g
tenemos G=H = fH;H1;H2;H3g, as como G=H tiene cuatro elementos, solo
hay dos alternativas: G=H ' Z2 Z2 o G=H ' Z4. Pero G=H = H1 luego
es cclico, y as es isomorfo Z4.
2.6. Teorema Fundamental del Homomor
210. smo con kernel H. Entonces la funcion : G=H ! [G] tal
que = H, es un isomor
211. smo.
Demostracion Sean g; g0 2 G tales que gH = g0H, as g1g0 2 H esto equivale
a (g)1(g0) = (g1g0) = e0. Esto es (g) = (g0), entonces podemos de
212. nir
por (gH) := (g). Pero H(g) = gH, luego = H.
Ahora por el teorema 2.19 es un homomor
213. smo. Es evidente que es sobre-yectivo,
y la inyectividad la podemos deducir de la equivalencia entre gH = g0H
y (g) = (g0). As es isomor
214. smo.
Su unicidad es evidente, pues si : G=H ! [G] es tal que = H,
(gH) = (g). F
Corolario 2.37 Si : G ! G0 es un homomor
215. smo sobreyectivo con kernel
H, G=H ' G0.
2.38 Observacion. El teorema fundamental del homomor
216. smo nos habla de
la dinamica del grupo G: si tenemos un homomor
217. smo sobreyectivo de G en
G0 con kernel H, podemos descomponer la operacion de G en dos partes una
primera que tiene la dinamica de H con consecuencias en otra despues que tiene
la de G0. Por ejemplo sea a; c 2 G, b 2 aH con b = ah0 y d 2 cH con d = ch,
entonces bd 2 acH y si h00 2 H es tal que ch00 = h0c, bd = ac(h00h) (ver
218. gura
2.2). Una visualizacion de esto es la operacion de suma en los reales que se
puede descomponer en una parte decimal y en otra entera (1; 75 2 0; 75 + Z,
2; 43 2 0; 43 + Z, 4; 18 = 1; 75 + 2; 43 2 1; 18 + Z = 0; 18 + Z).
PSfrag replacements
bd = ac(h00h)
d = ch
uv
u
v
G G0
acH
aH
cH
H
h
h00
h00h
b = ah0
e0
...
...
Figura 2.2: Teorema Fundamental del Homomor
220. Calculo de Grupo Factor 25
2.7. Calculo de Grupo Factor
2.39 Ejemplos:
i) El subgrupo trivial f0g de Z es un subgrupo normal. Calculemos Z=f0g.
Como N = f0g tiene unicamente un elemento, todo coconjunto de N tiene
un solo elemento. Es decir, los coconjuntos son de la forma fmg para algun
m entero. As Z=f0g ' Z
ii) Sea n 2 N. El conjunto nR = fnr : r 2 Rg es un subgrupo de R con
la adicion. nR es normal puesto que R es abeliano. Calculemos R=nR.
Note que cada x 2 R es de la forma n( x
n) con x
n 2 R. De ah que para
cualquier x 2 R tenemos que x 2 nR. Entonces nR = R y en consecuencia
R=nR consta de un unico elemento, a saber, nR. A nR=R no le queda mas
alternativa que ser el grupo trivial.
2.40 Observacion. Por el teorema fundamental del homomor
221. smo, podemos
pensar en el grupo factor G=H como un grupo en el cual cada coconjunto de
H colapsa a un solo elemento. En particular H colapsa a un neutro. Como
acabamos de ver el colapso puede variar de inexistente (cuando H = feg), a
catastro
222. co (cuando H = G). Es claro que estos dos tipos de colapsos no nos
proporcionan mayor informacion sobre la dinamica en G.
2.41 Ejemplos:
i) Comencemos observando lo siguiente: Si G es un grupo
223. nito y G=N tiene
solo dos elementos, entonces jGj = 2jNj. Note ademas que cualquier sub-grupo
conteniendo la mitad de los elementos de G es forzosamente normal,
puesto que dado a 2 G, a esta en H o no esta en H. En el primer caso se
tendra a 2 H;aH = H = Ha, y en el segundo a =2 H;aH = Ha forzo-samente.
Ahora bien, como sabemos que jSnj = 2jAnj, entonces el grupo
alternante An es un subgrupo normal de Sn y el grupo cociente tiene dos
elementos. Sabiendo que cualquier grupo de orden dos es isomorfo a Z2
conocemos completamente la operacion en Sn=An. Tomando =2 An una
permutacion impar y si renombramos An por impar y An por par
veri
224. camos la siguiente propiedad de la dinamamica de Sn:
(par)(par) = par (impar)(par) = impar
(par)(impar) = impar (impar)(impar) = par
Vemos como conocimiento acerca de la operacion en el grupo factor Sn=An
re
eja una propiedad de la operacion en Sn.
ii) El recproco del teorema de Lagrange no es cierto. Veamos que
no es cierto que k j jGj implique que exista algun H G tal que jHj =
k. Mostraremos que A4 no tiene subgrupos de orden seis. Suponga por
contradiccion que H es un subgrupo de A4 de orden seis. Como jA4j = 12,
H es normal. As A4=H tiene solo dos elementos H y H para algun
226. smos
=2 H. Como en un grupo de orden dos el cuadrado de todo elemento
es la identidad, entonces HH = H y HH = H. Ahora, el producto
en el grupo factor se puede lograr mediante el producto de elementos
representativos de los los coconjuntos, luego tenemos que para cualquier
2 A4; 2 2 H. Pero en A4 se tiene (123) = (132)2 y (132) = (123)2 luego
(123) y (132) estan en H. De la misma forma se veri
227. ca que (124), (142),
(134), (143), (234) estan todos en H. Esto muestra que H tiene al menos
ocho elementos, contradiciendo la hipotesis de que H tenia seis elementos.
iii) Calculemos el grupo factor Z4 Z6= (0; 1) . Sea H = (0; 1) ,
as H = f(0; 0); (0; 1); (0; 2); (0; 3); (0; 4); (0; 5)g Como H tiene 6 elementos,
todos los coconjuntos de H tambien deben tener 6 elementos y j(Z4
Z6)=Hj = 4. Como Z4Z6 es abeliano, entonces Z4 Z6=H tambien. Los
coconjuntos de H en Z4 Z6 son:
H = (0; 0) + H
H1 = (1; 0) + H
H2 = (2; 0) + H
H3 = (3; 0) + H
As Z4 Z6= (0; 1) es cclico, luego es isomorfo a Z4.
Teorema 2.42 Sea G = H K el producto de dos grupos H y K. Entonces
H
= f(h; e) : h 2 Hg es un subgrupo normal de G. Ademas, G= H
es isomorfo
a K. Similarmente, G= K
' H
DemostraciH
on: Considere el homomor
228. smo 2 : H K ! K, donde 2(h; k) =
k. Como Ker(2) = y 2 es sobreyectiva, el teorema 2.36 nos dice que
H K= H
' K. F
Teorema 2.43 Un grupo factor de un grupo cclico es cclico.
Demostracion: Sea G = a , y N G. As N C G, y como a genera todo G,
aN genera todo G=N. Luego G=N = aN es cclico. F
2.44 Observacion. Ya vimos que un grupo factor de un grupo no cclico bien
podra ser cclico (por ejemplo, Sn=An, para n 3). El teorema 2.42 nos muestra
como algunos grupos factor colapsan separadamente, este no siempre es el caso
como lo veremos ahora mismo.
2.45 Ejemplos:
i) Calculemos Z4Z6= (0; 2) . Sea H = (0; 2) = f(0; 0); (0; 2); (0; 4)g.
En primera instancia note que Z4 Z6 es abeliano, luego el grupo factor
tambien es abeliano, y como jHj = 3, es de orden 8. Usando el teorema
fundamental de los grupos abelianos
230. Grupos simples 27
el grupo factor debe ser isomorfo a uno de los siguientes grupos: Z8, Z4Z2
o Z2 Z2 Z2. Con un poco de paciencia calculamos los coconjuntos:
H = (0; 0) + H = f(0; 0); (0; 2); (0; 4)g H4 = (2; 0) + H = f(2; 0); (2; 2); (2; 4)g
H1 = (0; 1) + H = f(0; 1); (0; 3); (0; 5)g H5 = (2; 1) + H = f(2; 1); (2; 3); (2; 5)g
H2 = (1; 0) + H = f(1; 0); (1; 2); (1; 4)g H6 = (3; 0) + H = f(3; 0); (3; 2); (3; 4)g
H3 = (1; 1) + H = f(1; 1); (1; 3); (1; 5)g H7 = (3; 1) + H = f(3; 1); (3; 3); (3; 5)g
y los subgrupos generados son:
H1 = fH;H1g
H2 = fH;H2;H4;H6g
H3 = fH;H3;H4;H7g
H4 = fH;H4g
H5 = fH;H5g
H6 = H2
H7 = H3
Como no hay ningun elemento de orden 8, entonces no puede ser isomorfo a
Z8. Como no todo elemento tiene orden 2, entonces tampoco lo puede ser a
Z2Z2Z2. Entonces no quedendo mas alternativa, es isomorfo a Z4Z2.
Este es un ejemplo de como los coconjuntos colapsan separadamente.
ii) Calculemos el grupo factor (Z4 Z6)= (2; 3) . Sea H = (2; 3) , en-tonces
H = f(0; 0); (2; 3)g. Como H es de orden 2, entonces (Z4 Z6)=H
es de orden 12. Se podra cometer el error de pensar que Z4 y Z6 sepa-radamente
colapsan en grupos isomorfos a Z2 y que y entonces el grupo
factor sera isomorfo a Z2 Z2. De esta manera el grupo factor tendra
orden 4 y no 12 como de hecho es. Tenga cuidado en no pensar que los fac-tores
siempre colapsan separadamente!! Ahora bien, los grupos abelianos
de orden 12 son: Z4 Z3 (que es isomorfo a Z12), Z6 Z2 y Z2 Z2 Z3.
Ademas Z4Z3 es el unico que tiene un elemento de orden 4. Probaremos
que el coconjunto (1; 0) + H es un elemento de orden 4. Para encontrar
la potencia mas peque~na de un coconjunto que de la identidad, basta es-coger
la potencia mas peque~na del representante que este en H. Ahora,
4(1; 0) = (1; 0) + (1; 0) + (1; 0) + (1; 0) = (0; 0). Por lo tanto (Z4 Z6)=H
tiene un elemento de orden 4 y as es isomorfo a Z4 Z3.
2.8. Grupos simples
Teorema 2.46 Sea : G ! G0 un homomor
231. smo. Si N C G, [N] C [G]. Si
N0 C [G], 1[N0] C G.
Demostracion: Sean N C G y N0 C [G]. [N] [G] y 1[N0] G por el
teorema 2.5. Ahora si ((g); (n)) 2 [G] [N], gng1 2 N y (gng1) =
(g)(n)(g)1 2 [N], luego [N] C [G]. Por otro lado si g; n 2 G1[N0],
(gng1) = (g)(n)(g)1 2 N0 y gng1 2 1[N0], luego 1[N0] C G. F
235. smo : Z2 !
S3 por (0) = 0 y (1) = . Ahora bien Z2 C Z2, pero fid; g = [Z2] no es
subgrupo normal de S3, como ya se vio previamente.
2.48 Observaciones.
i) Como lo muestra el ejemplo anterior, aun si N C G, [N] puede no ser
subgrupo normal de G0.
ii) Sabiendo que construir grupos factor nos ilustra sobre la dinamica del
grupo, podemos preguntarnos en que condiciones un grupo no admite sino
colapsos triviales.
2.49 De
236. niciones (Grupo simple, subgrupo normal maximal):
i) Un grupo G es llamado simple si su unico subgrupo propio normal es feg.
ii) Un subgrupo propio normal M de G es llamado maximal, si:
N C G ^M N ) N = G
2.50 Observaciones a la de
237. nicion 2.49.
i) Semejante a los numeros primos, el grupo trivial no es simple.
ii) Un subgrupo es normal maximal si y solo si el unico subgrupo normal que
lo contiene propiamente es todo el grupo.
Teorema 2.51 M es un subgrupo normal maximal de G si y solo si G=M es
simple.
Demostracion: Sea M un subgrupo normal maximal de G. Considere la proyec-ci
on canonica M, y tome N0 C G=M. Ahora, por el teorema 2.46, 1[N0] C G.
Entonces si N0 = fMg, 1[N0] = Ker(M) = M, de lo contrarioM 1(N0)
lo cual implica 1(N0) = G, y as N0 = G=M. As el unico subgrupo propio
normal de G=M es fMg.
Para veri
238. car el converso, suponga que G=M es simple, y tome N C G tal que
M N. As M[N] C G=M y N6= fMg, luego M[N] = G=M. Entonces N es
un subgrupo de G que contiene a M y a un representante de cada coconjunto
de M, luego N = G. As M es normal maximal. F
2.9. El centro y el conmutador
2.52 Todo grupo tiene dos subgrupos normales importantes, el centro y el
conmutador, que nos indican de cierto modo que tan abeliano es G. Por
un lado nos podemos preguntar que elementos conmutan en G, y por otro,
como podriamos abelianizar G (i.e encontrar un grupo factor de G abeliano
y parecido a G).
239. El centro y el conmutador 29
2.53 Notacion. Dados a; b 2 G notaremos aba1b1 por [a : b] y lo llamare-mos
conmutador de a y b.
Teorema 2.54 K = fz 2 G : zg = gz; 8g 2 Gg y H = f[a : b] : a; b 2 Gg
son subgrupos normales de G.
Demostracion: Comencemos con K, si g 2 G, eg = ge, luego e 2 K. Ahora
si k1; k2 2 K y g 2 G, k1g = gk1, as multiplicando a izquierda y derecha
por k1
1 obtenemos, gk1
1 = k1
1 g, luego k1
1 2 K, y k1k2g = k1gk2 = gk1k2,
as k1k2 2 K. Entonces K G.
Ahora sea (g; k) 2 G K. Entonces si g0 2 G, (gkg1)g0 = kg0 = g0k =
g0(gkg1), luego gkg1 2 K. As K C G.
Ahora preocupemonos por H. H G por de
240. nicion. Si a; b 2 G, e = [a : a] 2 H,
[a : b]1 = [b : a] 2 H. Luego por el teorema 1.38, H consiste de todos los pro-ductos
241. nitos de conmutadores.
Si x; y; g 2 G, gxyg1 = (gxg1)(gyg1), entonces concluiremos que H es nor-mal
si g[x : y]g1 es un producto de conmutadores. Pero,
g[x : y]g1 = gxyx1y1g1
= gxyx1(g1y1yg)y1g1
= ((gx)y(gx)1y1)(ygy1g1)
= [gx : y][y : g]
luego H C G. F
2.55 De
242. niciones (Centro y conmutador):
i) El centro de G es el subgrupo Z(G) de
243. nido por:
Z(G) := fz 2 G : zg = gz; 8g 2 Gg
ii) El conmutador de G es el subgrupo C(G) de
244. nido por:
[G : G] := f[a : b] : a; b 2 Gg
2.56 Observacion: En el caso en que G es abeliano, su centro es todo G y
su conmutador es feg. Bajos estas condiciones estos subgrupos, como se poda
esperar, no son de mucha utilidad.
2.57 Ejemplo: Por veri
245. cacion (continuando el ejemplo 1.56), vemos que
Z(S3) = fidg
Teorema 2.58 Sea G un grupo:
i) G=[G : G] es abeliano.
ii) G=N es abeliano si y solo si [G : G] N
247. smos
Demostracion: Sean a; b 2 G, como [a : b] 2 [G : G], ab(ba)1[G : G] = [G : G],
luego ab[G : G] = ba[G : G]. As G=[G : G] es abeliano.
Ahora suponga que G=N es abeliano, esto equivale a: para todo a; b 2 G, abN =
baN; que sucede si y solo si [a : b] = ab(ba)1 2 N para todo a; b 2 G, que es
[G : G] N. F
2.59 Ejemplo: S3=A3 es abeliano luego [G : G] A3. Con la notacion de
1.56, [ : ] = 2 = = 2 y [2 : ] = 2 = 2 = = . Luego
A3 [G : G]. Concluimos que [G : G] = A3.
2.10. Ejercicios
1. Sea : G ! G0 un homomor
262. smo interno de G por
g).
4. Sea H un subgrupo de un grupo G. Pruebe que H C G si y solo si
ig[H] = H, para todo g 2 G. (Es decir, H es normal en G si y solo si H
es invariante bajo todos los automor
263. smos internos de G).
5. Un subgrupo H es dicho conjugado con un subgrupo K de un grupo
G si existe un automor
264. smo interno ig de G tal que ig[H] = K. Pruebe
que la conjugacion es una relacion de equivalencia sobre la coleccion de
subgrupos de G.
6. Sea H un subgrupo normal de un grupo G, y sea m = (G : H). Pruebe
que am 2 H para todo a 2 G.
7. Pruebe que la interseccion de subgrupos normales de un grupo G es un
subgrupo normal de G.
8. Pruebe que si un grupo G tiene exactamente un solo subgrupo H de un
orden dado, entonces H C G.
9. Pruebe que si H y N son subgrupos de un grupo G, donde N es normal
en G, entonces H N es normal en H. Pruebe con un ejemplo que H N
no es necesariamente normal en todo G.
266. smos de un grupo G forman
un grupo bajo la operacion de composicion.( Dicho grupo se denota por
AUT(G)).
11. Pruebe que los automor
267. smos internos de un grupo G forman un subgrupo
normal de AUT(G). (Pruebe primero que el conjunto de los automor
268. smos
internos de G es un subgrupo de AUT(G)).
12. Sean G y G0 dos grupos y sean H y H0 subgrupos normales de G y G0
respectivamente. Sea un homomor
269. smo de G en G0 tal que [H] H0.
Pruebe que induce un homomor
270. smo natural : G=H ! G0=H0.
13. Pruebe que si un grupo
271. nito G contiene un subgrupo propio de ndice 2
en G, entonces G no es simple.
14. Pruebe que si un grupo G no es abeliano, entonces el grupo factor G=Z(G)
no es cclico.
15. Use el ejercicio anterior para probar que un grupo G no abeliano de orden
pq, donde p y q son primos, tiene un centro trivial.
275. nicion (Elementos conjugados): Dos elementos k; h de un mismo
grupo G son conjugados si k = ghg1 para algun g 2 G.
3.2 Observaciones a la de
276. nicicion 3.1.
i) La relacion ser conjugados es una relacion de equivalencia en el grupo, la
veri
277. cacion de esta trivialidad se le deja al lector. Las clases de equiva-lencia
de esta relacion las denominaremos clases de conjugacion y la
notaremos [ h].
ii) La clase de conjugacion de la identidad contiene solamente a la identidad.
Ademas es la unica clase de conjugacion que es un grupo, ya que las otras
no contienen a la identidad.
iii) Un grupo es abeliano si y solo si todas sus clases de conjugacion son
conjuntos unipuntuales (ejercicio).
3.3 De
279. nido por:
C(h) := fg 2 G : hg = ghg
3.4 Ejemplo: Considere S3, el grupo de permutaciones sobre el conjunto
f1; 2; 3g. Sea h = (1 2). Entonces, el centralizador de h es C(h) = fid; (1 2)g. Cla-ramente
C(h) S3, pero C(h) no es subgrupo normal en S3 pues (1 3)(1 2)(1 3)1 =
(2 3).
3.5 Observacion. El Centralizador de h son justamente los elementos de G
que conmutan con h. Evidentemente e 2 C(h), ahora si g; g0 2 C(h) entonces
hgg0 = ghg0 = gg0h, esto es gg0 2 C(h). Lo anterior muestra que C(h) G. El
280. 34 Captulo 3. Conjugacion
centralizador tiene apariencia de ser un subgrupo normal, aunque el ejemplo
anterior muestra que no siempre es el caso. Pero, aunque C(h) no es subgrupo
normal, si podemos de
281. nir las siguientes aplicaciones que seran de gran utilidad
en el futuro:
3.6
h : G ! G
g7! hgh1
Note que si hgh1 = hg0h1 entonces g = g0 y si g0 = h1gh entonces hg0h1 =
g, luego h es una biyeccion. Ademas para g; g0 2 G arbitrarios hgg0h1 =
(hgh1)(hg0h1), luego h es isomor
283. smo de G).
Ahora bien, si b 2 gC(h) entonces b = gk para algun k 2 C(h) as bhb1 =
gkh(gk)1 = gkhk1g1 = ghg1. Luego:
fh : G=C(h) ! G
gC(h)7! g(h)
esto es fh(gC(h)) = ghg1, esta bien de
285. smo pues G=C(h) no tiene porque tener estructura de grupo,
puesto que C(h) no es necesariamente normal en G.
Teorema 3.7 Sea G un grupo
286. nito, y h 2 G. Entonces: j[ h]j = (G : C(h)).
Demostracion: Es claro que para demostrar esto basta ver que la aplicacion
fh de
287. nida en 3.6 es biyectiva, ya que cuando g recorre G, fh(g) recorre [ h].
Suponga que fh(aC(h)) = fh(bC(h)), esto es aha1 = bhb1 o b1ah = hb1a,
luego b1a 2 C(h) lo que equivale a aC(h) = bC(h). Ahora sea a 2 [ h] as a =
ghg1 para algun g 2 G, luego g(h) = a o fh(gC(h)) = a. F
3.8 El hecho que g sea un isomor
288. smo, implica que si H G entonces
gHg1 G, lo que nos sugiere expandir nuestra relacion de ser conjugados a la
siguiente, que tambien es de equivalencia:
3.9 De
289. nicion (Subgrupos conjugados): Dos subgrupos H;K de un mis-mo
grupo G son conjugados si K = gHg1 para algun g 2 G.
3.2. An para n 5 es simple
3.10 Recordemos los siguientes resultados ya obtenidos:
i) Toda permutacion de un conjunto
290. nito es la permutacion identidad, un
ciclo, o un producto de dos o mas ciclos disyuntos.
291. An para n 5 es simple 35
ii) Toda permutacion de un conjunto
292. nito con mas de un elemento puede
expresarse como un producto
294. nito es un producto o bien de un numero
par de transposiciones o bien de un numero impar de transposiciones, pero
no las dos.
iu) Un n-ciclo es, par si n 1 es par; impar si n 1 es impar.
u) Toda permutacion par de un conjunto
295. nito con al menos tres elementos
puede expresarse como un producto de 3-ciclos.
((a b)(a c) = (a b c); (a b)(c d) = (a c b)(a c d))
Lema 3.11 Si k n 2 es impar, todos los k-ciclos en An pertenecen a una
misma clase de conjugacion.
Demostracion: Sea k como en las hipotesis. Demostraremos que todo k-ciclo
es conjugado de h = (1 2 : : : k). Considere un ciclo k = (m1 m2 : : :mk) en
An. Sea g 2 An tal que g(i) = mi (Por que existe un tal elemento en An?).
As g1(mi) = i. Ahora si i k 1, ghg1(mi) = gh(i) = g(i + 1) = mi+1
y ghg1(mk) = gh(k) = g(1) = m1. Pero si d 2 f1; : : : ; ng es tal que d6= mi,
para todo i 2 f1; : : : ; kg, g1(d) k + 1, y as hg1(d) = g1(d) entonces
ghg1(d) = d. Luego ghg1 = k, esto es k y h son conjugados. F
3.12 Observacion: A4 no es simple. Considere
V4 := fid; (1 2)(3 4); (1 3)(2 4); (1 4)(2 3)g
Sea g 2 A4, entonces g(1 2)(3 4)g1 = (g(1) g(2))(g(3) g(4)) es un elemento
de V4 y algo similar sucede con las otras dos permutaciones de V4 diferentes a
la identidad. Luego V4 C A4. (Ejercicio: pruebe que V4 es el unico subgrupo
normal propio no trivial de A4).
Lema 3.13 Sea n 5 y N C An no trivial. Entonces, existen g 2 Nnfidg y
a 2 f1; 2; : : : ; ng, tales que g(a) = a.
Demostracion: Dividimos la prueba en dos casos: uno, todo elemento h 2 N es
tal que h2 = id; dos, el caso en que no.
Suponga que primero que no, y sean h 2 N y a 2 f1; 2; : : : ; ng tales que h2(a)6=
a. Sea b = h(a), c = h(b), as a, b y c son distintos. Ahora como n 5, existen
otros dos elementos d, e distintos a los tres anteriores. Sea h0 = (c d e)h(c d e)1
as h0 2 N y h0(a) = b, h0(b) = d. Luego h06= h y si g = h1h0, entonces g 2 N,
donde g no es la identidad y g(a) = a.
Ahora suponga el otro caso, y sea h 2 Nnfidg y a 2 f1; 2; : : : ; ng tal que
h(a)6= a. Sea b = h(a). Ahora como h es par h6= (a b) y as existen dos
elementos mas c y d, distintos, tales que h(c) = d. Sea e un quinto elemento
distinto de a, b, c, y d, y sea h0 = (c d e)h(c d e)1. Entonces h0 2 N es tal que
h0(a) = b y h0(d) = e luego h06= h y si g = h1h0, entonces g 2 N, donde g no
es la identidad y g(a) = a. F
296. 36 Captulo 3. Conjugacion
Lema 3.14 Sea n 5 y N C An. Si N contiene un 3-ciclo, N = An.
Demostracion: Por el lema 3.11 si N contiene un 3-ciclo, al ser normal tambien
contiene los dem'as 3-ciclos. Ahora por 3.10 u), estos generan An. F
Teorema 3.15 Si n 5, An es simple.
Demostracion: Procederemos por induccion sobre n.
Sea N C A5 no trivial. Por el lema 3.13, existen g 2 N n fidg y a 2 f1; : : : ; 5g
tales que g(a) = a. Sea h 2 A5 tal que h(a) = 5, y g0 = hgh1, luego g0(5) = 5
y g0 2 N n fidg. De
297. na H = fg 2 A5 : g(5) = 5g, as H G y H '
A4. Luego N H C H, y g0 2 N H, y como el unico subgrupo propio
no trivial normal de A4 es V4, f(1 2)(3 4); (1 3)(2 4); (1 4)(2 3)g N H.
Ahora (1 2)(4 5) = (3 4 5)(1 2)(3 4)(3 4 5)1, luego (1 2)(4 5) 2 N. Ademas
(3 4 5) = (1 2)(3 4)(1 2)(4 5), as (3 4 5) 2 N. Entonces por el lema 3.14,
N = A5.
Sea n 5. Suponga que An1 es simple. Sea N C An no trivial y H = fg 2
An : g(n) = ng. Por el lema 3.13, existen g 2 N n fidg y a 2 f1; : : : ; ng tales
que g(a) = a. Sea h 2 An tal que h(a) = n, y g0 = hgh1, luego g0(n) = n y
g0 2 N n fidg. Luego N H C H, y g0 2 N H, entonces N H = H, pues
H ' An1 y An1 es simple, as N contiene un 3-ciclo y entonces por el lema
3.14, N = An. F
3.16 Observaciones.
i) Actualmente debe ser claro para el lector lo elegante de la conjugacion
en los grupos de permutaciones. Si h =
Qn
Q i=1(ai bi), entonces ghg1 = n
i=1(g(ai) g(bi)). Es impreciso hablar de una productoria en un grupo
no abeliano, para que la identidad sea cierta se requiere que se considere
el mismo orden en el producto que expresa ghg1 que el que se uso para
h. Lo anterior, evidentemente, no es lo unico impresionante en todo esto.
ii) Uno de los objetivos de los primeros cursos en Algebra Abstracta es de-mostrar
la insolubilidad de los polinomios de grado mayor o igual a cinco
(la insolubilidad de la quintica). Por extra~no que nos parezca actual-mente,
el hecho que An sea simple para n 5 es una de las razones para
ello. Elegante, no?. Sigamos entonces con nuestro estudio.
3.3. Ejercicios
1. Pruebe que un grupo G es abeliano si y solo si todas sus clases de conju-gaci
on contienen exactamente un elemento de G.
2. Sea H un subgrupo de un grupo G. Para cada g 2 G, el subconjunto
gHg1 es un conjugado de H. Probar que cada conjugado de H es un
subgrupo de G y que la interseccion de los conjugados de H es un subgrupo
normal de G.
298. Captulo 4
Accion de grupo sobre un
conjunto
4.1. G-conjuntos
4.1 De
299. nicion (Accion de Grupo y G-conjunto): Sea X un conjunto y
G un grupo. Una accion de G sobre X es una aplicacion : G X ! X tal
que:
i) e x = x; 8x 2 X
ii) (g1g2) x = g1 (g2 x); 8x 2 X; 8g1; g2 2 G
Bajo estas condiciones, X es un G-conjunto. Cuando no halla lugar a confucion
notaremos g x por gx.
4.2 Nota. Aqu de
300. nimos la accion actuando por la izquierda, algunos
libros la pre
301. eren actuando por la derecha. Por lo general esto ultimo se hace
cuando tambien se pre
302. ere la composicion por derecha (i.e. f g(x) = g(f(x))).
4.3 Ejemplo: Sea X un conjunto, y H un subgrupo de SX. Entonces X es
un H-conjunto, donde la accion de H sobre X es la de
303. nida por gx = g(x). La
condicion ii) de la de
306. nicion de la permutacion identidad como la funcion identidad. Note
que en particular, f1; : : : ; ng es un Sn-conjunto.
4.4 El siguiente teorema muestra que para cada G-conjunto X, dado un g 2 G
la aplicacion g : X ! X de
307. nida por g(x) = gx es una permutacion de X,
y que existe un homomor
308. smo : G ! SX tal que la accon de G sobre X
es basicamente la descrita en el ejemplo 4.3 con H = [G]. Por lo tanto, las
acciones de los subgrupos de SX sobre X describen todas las posibles acciones de
un grupo G sobre X. As al momento de estudiar el conjunto X, acciones usando
309. 38 Captulo 4. Accion de grupo sobre un conjunto
subgrupos de SX seran su
310. cientes. Sin embargo, algunas veces, un conjunto X
es usado para estudiar G va una accion de grupo G sobre X.
Teorema 4.5 Sea X un G-conjunto. Para cada g 2 G, la funcion g : X ! X
de
311. nida por g(x) = gx es una permutacion de X. Ademas, la aplicacion :
G ! SX de
313. smo. As (g)(x) = gx, esto
es:
: G ! SX
g7! g : X ! X
x7! gx
Demostracion: Dado g 2 G, demostremos que x7! gx es una biyeccion. Sean
x; y 2 X, tales que gx = gy. As por 4.1 ii), ex = g1gx = g1gy = ey, luego
por 4.1 i), x=y. Ahora, sea x 2 X, tome x0 = g1x, as gx0 = gg1x = ex = x.
Visto entonces que x7! gx es una biyeccion, tiene sentido nuestra funcion ,
pues x7! gx es una permutacion.
Ahora, de la condicion ii) de la de
314. nicion 4.1 se sigue inmediatamente que es
un homomor
318. elmente sobre X si: dado un g 2 G tal que gx = x
para todo x, implica g = e.
ii) Decimos que G actua transitivamente sobre X si: para cada x1; x2 2 X,
existe un g 2 G tal que gx1 = x2.
4.7 Observacion. Sea X un G-conjunto. Segun el teorema 4.5 y el corolario
2.13, el subconjunto N de G que deja todo elemento de X
319. jo es un subgrupo
normal. Ahora, por el teorema fundamental del homomor
320. smo, a X lo podemos
ver como un G=N-conjunto, donde gNx = gx. As G=N actua
325. nir un accion
a derecha pero no a izquierda.
ii) Recuerde g : G ! G de
326. nida por g(g0) = gg0g1. Entonces, e = id y
g1 g2 = g1g2 , luego si de
327. nimos g x = g(x), G es un G-conjunto.
iii) Sea V un espacio vectorial sobre R, los axiomas 1~v y (rs)~v = r(s~v), mues-tran
que V se puede ver como un R-conjunto, con el grupo R; :; 1 .
328. Subgrupo estabilizador y orbitas 39
iu) Sea Sn = fx 2 Rn+1 : kxk = 1g la esfera n-dimensional. Considere
SOn+1(R) = fU 2 Mn+1n+1 : det(U) = 1 ^ UUt = Ig el conjunto
de matrices ortonormales de dimension n + 1 n + 1. As bajo la accion
U x = Ux, Sn es un SOn+1(R)-conjunto.
u) Sea H G y LH el conjunto de los coconjuntos izquierdos de H en G.
Bajo la accion g xH = (gx)H, LH es un G-conjunto. Esta accion sera de
gran utilidad (cf. Captulo 6).
4.2. Subgrupo estabilizador y orbitas
4.9 Notacion. Sea X un G-conjunto, notaremos:
Xg := fx 2 X : gx = xg, y Gx := fg 2 G : gx = xg
Teorema 4.10 Sea X un G-conjunto. Entonces, Gx G, para todo x 2 X.
Demostracion Sea x 2 X. ex = x luego e 2 Gx, si g 2 Gx, g1x = g1gx = x,
luego g1 2 Gx, y
329. nalmente si g1; g2 2 Gx, g1g2x = g1x = x, entonces g1g2 2
Gx. F
4.11 De
330. nicion (Subgrupo estabilizador): Dado X un G-conjunto. A Gx
lo llamamos el subgrupo estabilizador de x.
Teorema 4.12 Sea X un G-conjunto. La relacion de
331. nida por x1 x2 si
existe un g 2 X tal que gx1 = x2, es de equivalencia.
Demostracion: ex = x, para todo x 2 X, luego la relacion es re
exiva.Sea
x1; x2; x3 2 X. Si gx1 = x2, x1 = g1x2, entonces la relacion es simetrica.
Ahora si g1x1 = x2 y g2x2 = x3, tenemos que g2g1x1 = x3, luego la relacion es
tambien transitiva. F
4.13 De
332. nicion ( Orbitas): A la clase de equivalencia de x de la relacion
de
333. nida en 4.12, la llamamos orbita de x, y la notaremos Gx. As:
Gx := fa 2 Xj 9g 2 G : gx = ag
4.14 Aunque la notacion de la orbita y del estabilizador se parecen, no hay que
confundirlos. Existen otras notaciones para estos conjuntos pero esta nos parece
bastante descriptiva. Ahora bien, un lector prudente que ya se desenvuelva en
esta teora, le parecera el siguiente resultado muy natural.
Teorema 4.15 jGxj = (G : Gx)
Demostracion: Si x0 2 Gx, con x0 = g1x = g2x entonces g1
1 g2 2 Gx, luego
g1Gx = g2Gx. As podemos de
334. nir : Gx ! fgGxgg2G por (gx) = gGx.
Veamos que es una biyeccion. Sea x1; x2 2 Gx, tales que (x1) = (x2).
Ahora, suponga que x1 = g1x y x2 = g2x, as g1Gx = g2Gx luego existe un
g 2 Gx tal que g2 = g1g, entonces x2 = g1gx = g1x = x1. La sobreyectividad es
evidente, dado g 2 G, (gx) = gGx. F
335. 40 Captulo 4. Accion de grupo sobre un conjunto
4.3. Aplicaciones de G-conjuntos en combinato-ria:
La formula de Burnside
4.16 Suponga que queremos saber de cuantas maneras se puede marcar un
dado cubico de forma que cada marcada sea distinguible de las otras, sin impor-tarnos
que lados opuestos sumen siete. Para marcar la primera cara disponemos
de 6 numeros, para la segunda de 5, y as sucesivamente vemos que tenemos
6! = 720 formas de marcarlos, pero varias de estas marcadas no son distinguibles
pues algunas se pueden obtener de otras mediante rotacion. As si consideramos
las diferentes rotaciones del cubo como un grupo, y las 720 marcadas como un
conjunto, dos de estas no son distinguibles si estan en la misma orbita de la
accion rotar el cubo. Aqu es donde el problema se une con nuestra teora, y
para resolverlo usamos la formula de Burnside.
Teorema 4.17 (La formula de Burnside) Sea G un grupo
336. nito y X un G-conjunto.
Si r es el numero de orbitas en X, entonces: rjGj =
P
g2G jXgj.
Demostracion: Considere todos los pares (g; x) tales que gx = x, y sea N el
numero de dichos pares. Para cada g 2 G, hay jXgj pares teniendo a g como
primer elemento. Entonces:
N =
X
x2X
jXgj (4.1)
Por otro lado, para cada x 2 X, hay jGxj pares teniendo a x como segundo
elemento. Entonces:
N =
X
x2X
jGxj (4.2)
Ahora, por el teorema 4.15, jGxj = (G : Gx), y por el teorema de Lagrange
(G : Gx) = jGj=jGxj, as jGxj = jGj=jGxj, y remplazando en (4.2):
N =
X
x2X
jGj
jGxj
= jGj
X
x2X
1
jGxj
(4.3)
Ahora jGxj es el mismo para todo x0 2 Gx, luego
P
x02Gx 1=jGxj = 1, as de
(4.3), N = jGjr, y combinando esto con (4.1) obtenemos el resultado buscado.
F
Corolario 4.18 Si G es un grupo
337. nito y X un G-conjunto, entonces:
(numero de orbitas en X bajo G) =
1
jGj
X
g2G
jXgj
4.19 Ejemplo: Continuemos con el problema del dado. Estabamos en que
dos marcadas son distinguibles si y solo si pertenecen a orbitas distintas, luego
nuestro problema se reduce a contar el numero de estas. Formalicemos la idea de
actuar por rotacion del cubo. Primero note que hay 24 posibles posiciones para
el cubo mediante rotaciones: cada cara se puede poner abajo (6 posibilidades),
338. La formula de Burnside 41
y despues, la posicion del cubo queda completamente determinada por la cara
que se ponga al frente (4 posibilidades). Estas rotaciones, si etiquetamos cada
vertice del cubo, se pueden identi
340. gura 4.1). As jGj = 24, y ademas, dado g 2 G con g6= e,
se tiene jXgj = 0, pues toda rotacion diferente a la identidad cambia de posicion
el dado. Sin embargo jXej = 720. Entonces por el corolario 4.18, el numero de
orbitas es 1
24720 = 30. Luego el numero de marcadas distinguibles es 30.
5
6 7
4 3
1 2
8
8 7
5 6
1
2
4
3
7 6
5
2 1
8
3 4
6 5
1
2 3
4
7 8 PSfrag replacements
id 1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 1 6 7 8 5 1 2 3 4 5 6 7 8
3 4 1 2 7 8 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8
4 1 2 3 8 5 6 7
Figura 4.1: Rotaciones del cubo
Teorema 4.20 Sea G un grupo. Sea A un G-conjunto y B un conjunto, ambos
342. nida por gf(x) = f(g1x). Ademas,
si dado un k 2 N, denotamos Ck(G) el conjunto de permutaciones en [G],
donde es el homomor
343. smo del teorema 4.5, teniendo exactamente k ciclos en
su descomposicion cclica. Entonces:
(numero de orbitas en BA bajo G) =
1
jGj
X+1
k=1
jCk(G)jjBjk
Demostracion: Como ef(x) = f(e1x) = f(x) y (g1g2)f(x) = f((g1g2)1x) =
f(g1
2 g1
1 x) = g2f(g1
1 x) entonces vemos que lo que se de
344. nio en el enunciado
del teorema es una accion.
Ahora bien, por la formula de Burnside, es su
345. ciente demostrar que para un
k 2 N dado:
jCk(G)jjBjk =
X
g2Ck(G)
jXgj
Note que si es una permutacion en A, como en la descomposicion los cclos
son disyuntos, f((a)) = f(a) para todo a 2 A si y solo si f es constante sobre
cada cclo de . Suponga que g 2 Ck(g), entonces BA
g = ff 2 BA : gf = fg, y
BA
g esta compuesta por todas las aplicaciones que son constantes en cada uno
de los k cclos de (g1), y estas son jBjk. F
4.21 Ejemplo: Sean n crculos iguales dispuestos en crculo. Queremos ver
cual es el numero de coloraciones distinguibles que se logran con c colores. Note
346. 42 Captulo 4. Accion de grupo sobre un conjunto
que si consideramos los n crculos como los vertices de un polgono convexo
regular con n lados, entonces podemos usar el grupo diedral Dn para representar
las distintas con
347. guraciones de los crculos.
Sean entonces A el conjunto de los n crculos, G = Dn (jGj = 2n) y B el
conjunto de los c colores. Ahora cada coloracion se puede ver como un elemento
de PBA, luego si el numero de coloraciones distinguibles es N, tenemos N =
1
n
jCk(G)jck.
2n
k=1 El numero de rotaciones que son k n
k -ciclos es el numero de elementos en Zn
que generan un subgrupo de orden n
k , esto es jNkj donde Nk = fa 2 f1; : : : ; ng :
(a; n) = kg. Ahora si n es impar, cada una de las n simetras pasa por un vertice,
luego es n1
2 2-ciclos y un 1-ciclo. Y si n es par, cada una de las n=2 simetras
que pasan por un vertice es n2
2 2-ciclos y dos 1-ciclos, y cada una de las n=2
simetras que no pasan por algun vertice es n
2 2-ciclos. Esto abarca todos los
elementos de Dn. Entonces:
N =
8
:
1
2n(
P
kjn jNkjck + c
n+1
2 ) si n es impar
1
2n(
P
kjn jNkjck + n
2 (c
n
2 + c
n
2 +1)) si n es par.
4.4. Ejercicios
1. Sea X un G-conjunto, y sean x1; x2 2 X tales que x1 y x2 se encuentran
en la misma orbita. Probar que los estabilizadores Gx1 y Gx2 de x1 y x2
respectivamente, son subgrupos conjugados en G. Deducir que Gx1 y Gx2
tienen el mismo orden.
2. Sea X un G-conjunto, donde G es un grupo de permutaciones. Sea O una
orbita de X bajo la accion de G. Si x; y 2 O, entonces pruebe que el
conjunto de permutaciones en G que envan x a y (es decir, el conjunto
f 2 G : (x) = yg) es un coset derecho de Gx. Contrariamente, pruebe
que todos los elementos de un coset derecho de Gx envan x al mismo
punto en O.
3. Sea G un grupo de permutaciones actuando transitivamente sobre un con-junto
X. Entonces, G actua sobre X X, y una orbita de X X bajo la
accion de G es llamada un orbital (para diferenciarla de una orbita de X
bajo G). Sea x 2 X. Pruebe que existe una biyeccion entre los orbitales de
XX bajo G y las orbitas de X bajo la accion del subgrupo estabilizador
Gx.
357. ne el join H _ N de H y de
N por:
H _ N := HN
5.3 Observacion. H_N es el subgrupo mas peque~no de G que contiene HN.
Ademas H _ N es el subgrupo mas peque~no de G conteniendo tanto a H como
a N, puesto que cada uno de tales subgrupos debe contener HN. En general,
HN no es un subgrupo de G.
Lema 5.4 Si N C G, y H G, entonces H _ N = HN = NH. Ademas, si
H C G, entonces HN C G.
359. smos y Series de Grupos
Demostracion: La primera parte del lema no es sino una reformulacion del teo-rema
2.21 iii).
Ahora, supongamos ademas que H C G, y sea h 2 H; n 2 N y g 2 G, luego
ghng1 = (ghg1)(gng1) 2 HN, y as HN C G. F
Teorema 5.5 (Segundo Teorema de Isomor
360. smo) Si H G y N C G,
entonces HN=N ' H=(H N).
Demostracion: Como N C G entonces H N C H. Sean h; h1 2 H y n; n1 2 N,
y suponga que h1n1 = hn. Eso es equivalente a h1h1 = nn1
1 , as h1h1 esta en
H y en N, es decir, h1h1 2 H N que es lo mismo que h(H N) = h1(H N)
elemento de H=(H N). Luego podemos de
361. nir : HN ! H=(H N) por
(hn) = h(H N).
Veamos que es un homomor
362. smo. Sean n1; n2 2 N y h1; h2 2 H. Como en el
lema 5.4, se puede escribir n1h2 = h2n3 para algun n3 2 N, puesto que N C G.
Entonces:
((h1n1)(h2n2)) = ((h1h2)(n3n2)) = h1h2(H N) = h1(H N)h2(H N) =
(h1n1)(h2n2).
Luego es homomor
363. smo, y es evidente que es sobreyectivo. Ahora, si hn 2 HN
es tal (hn) = N, esto es hnN = N o hN = N luego h 2 H N. As Ker() =
(H N)N = N, y ademas [HN] = H=(H N), luego por el teorema 5.1
HN=N ' H(H N). F
5.6 Ejemplos:
i) Sea G = Z Z Z, H = Z Z f0g, y N = f0g Z Z. As HN = G
y H N = f0g Z f0g. Se tiene entonces que (HN)=N ' Z y tambien
que H=(H N) ' Z.
ii) Si H;K C G y K H, entonces H=K C G=K (compruebelo).
Teorema 5.7 (Tercer Teorema de Isomor
364. smo) Sean H;K C G, con K
H, entonces G=H ' (G=K)(H=K).
Demostracion: Sea : G ! (G=K)(H=K) dada por (a) = (aK)(H=K), para
a 2 G. Claramente, es sobreyectiva, y para a; b 2 G, se tiene que:
(ab) = [(ab)K](H=K) = [(aK)(bK)](H=K) = [(aK)(H=K)][(bK)(H=K)] =
(a)(b)
Entonces es homomor
365. smo. Ahora, si x 2 G es tal que (x) = H=K, x 2 H,
luego por el teorema 5.1 se tiene que G=H ' (G=K)(H=K). F
5.8 Nota. Una buena manera de ver el teorema 5.7 es mirando la aplicacion
canonica H : G ! G=H siendo factorizada por un subgrupo normal K de G,
obteniendose H = H=K K, como se ilustra en 5.2
370. nita H0;H1; : : : ;Hn
de subgrupos de G tal que Hi Hi+1, para todo i 2 f0; 1; : : : ; n 1g, y
tal que
feg = H0 C H1 C H2 C C Hn1 C Hn = G
ii) Una serie normal es una serie subnormal donde ademas:
Hi C G, 8i 2 f0; 1; : : : ; ng.
5.10 Observaciones.
i) Para un grupo abeliano, las nociones de series subnormales y normales
coincide, puesto que todo subgrupo es normal.
ii) Una serie normal es siempre subnormal. Pero lo contrario no es cierto (ver
5.11).
5.11 Ejemplos:
i) f0g C 8Z C 4Z C Z, y f0g C 9Z C Z, son series subnormales (y normales
a la vez).
ii) Considere D4, el grupo de isometras del cuadrado (el grupo diedral). La
serie f0g C f0; 1g C f0; 2; 1; 2g C D4 es subnormal, pero no es
normal, puesto que f0; 1g no es normal en D4.
5.12 De
373. namiento de una serie subnormal (normal) fHigi2f0;1;:::;ng de
un grupo G si fHigi2f0;1;:::;ng fKjgj2f0;1;:::;mg (i.e. cada Hi es uno de los Kj )
5.13 Ejemplo: La serie f0g C 72Z C 24Z C 8Z C 4Z C Z es un re
374. namiento
de la serie f0g C 72Z C 8Z C Z (note que los subgrupos 4Z y 24Z han sido
insertados).
5.14 Para estudiar le estructura de un grupo G, los grupos factor Hi+1=Hi
son de mucha utilidad.
377. nicion (Series isomorfas): Dos series subnormales (normales)
fHigi2f0;1;:::;ng y fKjgj2f0;1;:::;ng de un mismo grupo G son isomorfas si existe
una correspondencia biunvoca entre las colecciones de grupos factores, esto
es entre fHi+1=Higi2f0;1;:::;n1g y fKj+1=Kjgj2f0;1;:::;n1g tal que los grupos
correspondientes son isomorfos
5.16 Observacion. Claramente dos series subnormales (normales) isomorfas
deben contener el mismo numero de grupos.
5.17 Ejemplo: Las dos series de Z15: f0g C 5 C Z15 y f0g C 3 C Z15,
son isomorfas. Tanto Z15= 5 como 3 =f0g son isomorfos a Z5, y
Z15= 3 es isomorfo a 5 =f0g, o a Z3.
Teorema 5.18 (Lema de Zassenhaus (mariposa)) Sean H y K dos sub-grupos
de un grupo G y sean H y K subgrupos normales de H y K respecti-vamente.
Entonces (ver
378. gura 5.3):
i) H(H K) C H(H K)
ii) K(H K) C K(H K)
iii) H(H K)H(H K) ' K(H K)=K(H K)
' (H K)=[(H K)(H K)]
PSfrag replacements H K
H(H K) K(H K)
H K
H(H K) K(H K)
H K
H K H K
(H K)(H K)
Figura 5.3: Lema de la Mariposa
Demostracion: H C H y H K es un subgrupo tanto de H como de K, luego
por el lema 5.4 H(HK) es grupo. De manera analoga vemos que H(HK),
K(H K), y K(H K) tambien lo son.
Ahora si r 2 H K y s 2 H K, entonces srs1 esta en H y en K, pero
esto es srs1 2 H K. Luego H K C H K. Con un mismo argumento
